CC BY
24
Вестник КемГУ №3/1 2011 Вещественный анализ
УДК 517.518.34 + 517.537.3
О НАХОЖДЕНИИ ГРАНИЦ РИССА СПЛАЙН-БАЗИСА С ПОМОЩЬЮ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПОЛИНОМОВ
Е. В. Мищенко
DETERMINATION OF RIESZ BOUNDS FOR SPLINE BASIS WITH THE USE OF TRIGONOMETRIC POLYNOMIALS
E. V. Mishchenko
При нахождении верхней и нижней границы Рисса для B-сплайна произвольного порядка m мы приходим к необходимости анализа функциональных рядов видаУ] J—_^, 2т ■ Показано, что сум-
—JJ (x J)
ма указанного ряда представляет собой отношение тригонометрических полиномов определенного вида■ Доказаны свойства полиномов, с помощью которых устанавливаются границы Рисса■ Одним из приложений полученных результатов являются формулы для нахождения сумм некоторых степенных рядов■
The problem on determination of the upper and lower Riesz bounds for the m-th order B-spline basis is reduced to analysis of the series J—-J (x-j)2m ■ It is shown that the sum of the series is a ratio of certain trigonometric polynomials■ Some properties of these polynomials which help to determine the Riesz bounds are established■ The results of the work are applied in the theory of series to find sums of some power series which go back to L■ Euler■
Ключевые слова: B-сплайны, базис Рисса, верхняя и нижняя границы Рисса, тригонометрические полиномы, степенные ряды.
Keywords: B-splines, Riesz basis, upper and lower Riesz bounds, trigonometric polynomials, power series, Bernoulli and Euler numbers.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (№ 08-01- 00888), Федерального агентства по образованию и Министерства образования и науки РФ (регистрационный номер проекта 2.1.1/4591) и междисциплинарного интеграционного проекта СО РАН 2009-2011 (номер проекта 91).
1. Введение
Согласно определению (см., например, [1]), семейство функций {Ьк(х), к 1, 2, ... } образует базис Рисса (или безусловный базис) в некотором гильбертовом пространстве Н, если
1) линейная оболочка {fk (х), к = 1, 2,... } является плотной в Н;
2) существуют две константы 0 < А, В < то, называемые соответственно нижней и верхней границей Рисса, такие, что для любой последовательности {ей} € ¡2 почти всюду выполняются неравенства:
оо оо оо
А ^ Ы2 < IIX)еЬШи < В ^ кI2.
к=1 к=1 к=1
Второе свойство также называют условием Рисса.
Вопрос о базисе Рисса возникает, например, в теории вейвлетов при построении так называемого кратномасштабного анализа пространства Ь2, другими словами, цепочки вложенных друг в друг подпространств ... С У-1 С У0 С У1 С ..., удовлетворяющих некоторому набору требований. Одним из них является существование функции ф(х) из Уо, семейство сдвигов которой
{ф(■ — к),к € Ъ} (1)
образует базис Рисса в Уо. В соответствии с приведенным выше определением, необходимо установить два свойства рассматриваемого семейства (1):
1') является ли линейная оболочка {ф( — к), к € Ъ} плотной в Уо;
2') существуют ли две константы 0 < А, В < то (нижняя и верхняя границы Рисса), такие, что для любой последовательности {ек} € ¡2 почти всюду верно:
о о о
А^ 1ек |2 <11^, екФ(-к)||^2 < В^ 1екI2.
к=-о к=-о к=-о
Известна теорема [2], устанавливающая эквивалентность между условием Рисса и свойствами преобразования Фурье функции ф в пространстве Ь2.
Теорема 1. Для любой функции ф € £2 и констант 0 < А < В < то следующие два утверждения эквивалентны:
множество {ф(. — к),к € Ъ} удовлетворяет условию Рисса с константами 2пА, 2пВ,
(и) преобразование Фурье ф(£) = ^2^1 е-гХф(х)3,х
К
удовлетворяет неравенству
о
А <53 ф(£ + 2пк)|2 < В (2)
к=-о
почти всюду.
Вестник КемГУ №3/1 2011 Вещественный анализ
В настоящей работе мы установим свойство (п) для семейства вида (1), в котором в качестве функции ф выступает В-сплайн порядка т. Как будет показано ниже, для преобразования Фурье Вт сплайна порядка т верна следующая формула:
УЗ \Вт(£ + 2nk)\
к=—с
sin2(m+1)(£/2 + пк)
2n
Е
к = — с
(£/2 + nk)2(m+1')
d2
m— 1
ж л
у ______1___
(x + nk)2m (2m — 1)! dx2m 1
ctg x.
E
i
(x — j)2
sin nx
можно вывести более общие выражения
Е
3 = — ж
d2
m2
(x — j)2m (2m — 1)! dx2m 2 sin2 nx:
= n2( - — tí Г) f
dx2 \dv2
E
1
(x—j)2m j = — tt
гонометрических полиномов специального вида.
2. Получение представлений для ряда Е
(x-j)2
j=-<x
Теорема 2. Для рядов вида У] ix_j)2m, m =
(x j)
j = — Ж
1, 2,..., справедливы следующие представления:
(1)
Е
j=—&
ж
Е
j = — (X
1
n2(m+1) Sm (sin2 nx)
2m+2 , (5)
(x — j)2(m+1) (2m + 1)! sin""" " nx
n‘2(m+1) Cm(cos2 nx)
(x — j)2(m+1) (2m + 1)! (1 — cos2 nx)m+1'
Таким образом, вопрос о нахождении верхней и нижней границ Рисса сплайн-базиса можно свести к нахождению равномерных оценок сверху и снизу на интервале сходимости для ряда вида
Е (х-])2™ ,т = 1 2
3 = -Ж
Исследуя свойства сплайн-базиса в [2], К. Чуи приводит формулу:
(6)
в которых функции Sm и Cm являются полиномами степени m, т. е.
mm
Sm(x)=J2 smxk (7) и Cm(x)=J2 ^ xk , (8)
k=0
к=0
а коэффициенты в™ и с™ в формулах (7), (8) находятся из рекуррентных соотношений, причем все с™ в формуле (8) являются положительными. Формулы для нахождения коэффициентов в™ имеют вид:
= 1, вт+1 = + 3)(2т + 2) = (2т + 3)!,
Отмечая, что полученная формула - явная и служит инструментом для нахождения границ Рисса, К. Чуи [2, стр. 150] считает тем не менее ее слишком сложной в применении для больших значений т.
Между тем, в [3] замечено, что из известной формулы
m1 = —4sm = (—4)m+1
m+1
(3)
т = 1,2,..., используя проверяемое непосредственной выкладкой утверждение, что для любой дважды дифференцируемой функции /(х) верно
= (2m + 3 — 2k)(2m + 2 — 2k)sm — 4(m + 2 — k)2sm—1,
(9)
если 0 < k < m +1, m = 0,1, 2,...; коэффициенты ¿m, 0 < k < m +1, m = 0,1, 2,... находятся из следующих соотношений:
¿00 = 1, ¿m+1 = 2¿m + 2(m+1)¿m,
¿m+1 = 4¿m = 4m+1
m+1 m ^ 7
¿m+1 = (2k+2)(2k+1)¿m+1+
+ (8k(m +1 — k)+2(m+1 + k))¿m+4(m+2 — kfc—,
m (10) в которых мы полагаем, что ¿m = 0, если m < k или 0 < k.
Доказательство. Обозначим £ = nx, v = sin £, w = cos £. По аналогии с (4) мы получаем, что для любой дважды дифференцируемой функции f (x) верно
(4)
d2f
dx2
d2f df
1~2 = n ((1 — v ) dv2 — VdV
dv
где v = sin nx. Используя это замечание и формулу (3), в следующем параграфе покажем, что для произвольного положительного целого m ряд
d2f = 2((1 2) d2f df ) dx2 = n К(1 — w ) dW2 — wdWJ
(11')
(11")
представляет собой отношение три-
Из формулы (2) очевидно следует справедливость (9) и (10) для m = 0
So(v2) = Co(w2) = 1, т. е. s° = ¿0 = 1.
2
1
1
k
2
n
! = — Ж
2
1
1
n
и
Вестник КемГУ №3/1 2011 Вещественный анализ
Получим формулы (5),(7),(9). Пусть для некоторого т известно, что
.2m ^m
Sm(v2)
dx2m
2m+2
и функция Sm имеет вид (7).
Используя (11;) получаем, что
Е
3 = -<ж 1
1
(х - j)2(m + 2)
d2(m+l)
(2(m + 2) — 1)! dx2(m+1) Vsin2 nx
1
(2(m + 2) — 1)! dx2 Vdx2m sin2 nx:
п
2m
d2 /£
(2(m + 2) — 1)! dx2\ v2(m+1)
П
2(m+1)
d2
(1—v ^—v:r:
d N Ek=0 skv
dv
2k
v
2(m+1)
(2(m+2)—1)!
П2(т+1) /
—-------- ---——t~¡—((2m + 2)(2m + 3)sm +
(2(m + 2) — 1)!v2(m+2) Vv >K ' 0
k=1
+ E Smv2k (2m + 3 — 2k)(2m + 2 — 2k) — 1
m
— E s'm’v2k+2(2m + 2 — 2fc)2) =
k=0
2(m+1)
E
m+1 Sm+1v2k Sv
(2(m + 2) — 1)!
2(m+2)
причем
m+1
0
s¡m(2m + 3)(2m + 2),
sr¡m+1=sr¡} (2m+3-2k)(2m+2-2k)—sr¡}_14(m+2—k)'2,
em+1 = _Asm sm+1 4:Sm'
Формулы (5), (7), (9) доказаны.
Аналогично, применяя (11я), получаем формулы (6), (8), (10). Положительность коэффициентов Cm в формуле (8) непосредственно следует из вида (10).
Функции Сш и Sm обладают рядом свойств, которые мы сформулируем в следующем утверждении.
Утверждение 1. Функции Ст (cos2 £) и Sm (sin2 £), как функции от £, обладают следующими свойствами (см. рис. 1):
1. Ст и Sm определены на всей оси R и принимают только положительные значения.
2. Ст и Sm - п-периодические функции, симметричные относительно £ = 0.
3. Экстремумы Ст и Sm расположены в точках £ = k п, k Е Z; максимумы расположены в точках £ = kn, минимумы - в точках
£ = (2k + 1)п, k Е Z.
4. При этом
значения
(2т+1)!
) __ Sm (SÍ]
(2т+1)!
лю при m ^ ж.
(2т+1)!
Sm (sin kn) _
(2т+1)! = 1? а
стремятся к ну-
Рис. 1. Функции Cmm^)f), m = 1, 2, 3,4 Доказательство. Из теоремы 2 мы получаем, свойств sin и cos:
что Cm (cos2 É) = S7
É).
Положительность функций Cm (cos2 £) и 5'm(sin2 £) следует из вида функции Cm(cos2 £) и замечания, что для любых m и k, таких, что m = 1,2,..., и 0 < k < m, коэффициенты cm -положительные.
Cm (cos2 (É + п)) = Cm(cos2 É) = Cm(cos2(—£)) Sm (sin2 (É + п)) = Sm (sin2 É) = Sm (sin2 (—É)).
Экстремумы функции находим, анализируя значения их первых производных по £, при этом, Свойство 2 очевидным образом следует из учитывая свойство периодичности 2, достаточно
2
п
2
v
2
п
)
2
2
2
2
2
Вестник КемГУ №3/1 2011 Вещественный анализ
рассмотреть отрезок [0, п]:
d Cm (cos2 £) = d£
Найдем значения в точках минимумов. Рассмотрим £ = П .В силу (5):
г —1
- £ 2(k +1) cm+1 cos2k Є
k=0
cos £ sin £ = 0.
Sm (Sin2 2) = X 2 42(m+1) ^ 1
(2m + 1)! = VW ^ (1 + 2k)2(m+1)'
ТОГО, ЧТО £ к = 0 (1 + 2й)2(т + 1) < Е к = 0 (1 + 2й)2т
В силу положительности коэффициентов с]^+1,вы- для любого целого т > 1, а последовательность
стремится к 0 при т ^ ж, следует, что и числовая последователь-
m — 1 / \
ражение 2(k + 1) ck+1 cos2k £ > 0 для любо- Í-)
k=0 ¿ ;
го £ е [0,п]. Следовательно, первые производные исследуемых функций обращаются в ноль в тех точках, где cos £ = 0 либо sin £ = 0. При этом d Cm (cos2 £)<0, если £ е (0, |), d Cm(cos2 £)>0, если £ е (2, п). Свойство 3 доказано.
(2т+1)!
Sm
ность
(2m+1)!
свойства доказаны.
(2m+3)!
— стремится к нулю при m ^ ж>. Все
Имея рекуррентные формулы (9), (10), мы мо-Для доказательства свойства 4 заметим, что в жем находить п°лин°мы Бт и Ст любого поряд-
точках максимумов
Cm(cos2 kn) = Sm(sin2 kn) = sJJ1 = (2m + 1)!
ка. Для примера в таблицах 1 и 2 помещены значения коэффициентов ст, вт для значений т = 0,1, 2, 3, 5.
Таблица 1
Значения cm
m \ k 0 1 2 3 4 5
0 1
1 2 4
2 16 88 16
3 272 2880 1824 64
4 7936 137216 185856 31616 256
5 353792 9061376 21253376 8728576 518656 1024
Таблица 2
Значения sm
m \ k 0 1 2 3 4 5
0 1
1 6 -4
2 120 -120 16
3 5040 -6720 2016 -64
4 362880 -604800 282240 -32640 256
5 39916800 -79833600 50561280 -10813440 523776 -1024
3. Определение верхней и нижней границ Рисса для сплайн-базиса
Напомним определение В-сплайна. Функция Вт, В-сплайн порядка т определяется рекуррентно: В0(х) = Х[од), где Х[од) -характеристическая
функция отрезка [0,1):
Bm(x)=Bm—1(x)*Bo(x) = J Bm—1(x-y)Bo(y)dy =
R
1
= J Bm—1(x - y)dy. (2)
Так как B0(£) = -^=e //2^g//2, из свойств сверт-
ки следует, что
£/2
В (£) = — Де-*/2£/2\т+Х Вт(£) £/2 ) .
Рассмотрим множество 8рап{Вт(х—к), к € Ъ}, т = 1, 2,.... Через Ут обозначим его замыкание в норме || || ¿2 (д) У 0 является линейным пространством, подпространством Ь2(И.).
Утверждение 2. Семейство {Вт(х — к), к € Ъ} образует базис Рисса в У°.
Доказательство. Свойство 1' из определения базиса Рисса очевидно выполнено. Для установления свойства 2' получим оценку для суммы
Вестник КемГУ №3/1 2011 Вещественный анализ
£°——ю \вт(£ + 2пк) |2 и применим теорему 1. =2 О ( —1)3 ц4)
Используя формулы (5), (6), получаем: 0 (1 + 2])2т+1' ^ '
О \й 2 1 -А в1п2(т+1)(£/2 + пк) Согласно теореме 1:
£ |а„(«+2пк)| = - £ (£/2 + пк)=(->+» = „ , , „ ,
к— — ОО к— — оо
V ______-____ — V _________-___
¿-^ (2^ — 1)2т 2^т (1 _ j)2m
1 іс 1 ' = — Ж 4 " 3 = — Ж 4 2
— 8Іп2(т+1)(Є/2^ 1
2п к=—ж (£/2 + ^^)2(т+1) 1 ^2т Ст— 1 (соя2 2) 1 -2т
к= — ж ч>/ ' _ Ст— 1 (СОа 2) _ ^ п т
1 Ст(сои2(£/2)) 1 5т(віп2(£/2)) 22т (2т _ 1)! вІп2т(2) 22т (2т _ 1)! 0
2п (2т + 1)! 2п (2т +1)! С учетом (13), имеем формулу для нахождения
Согласно свойству 3 из утверждения 1 об экстре- точной суммЫ:
мумах функций Ст и Бт: о _ _ 2т
1 = 1 П ст—1 (15)
(2] — 1)2т 22т+1 (2т — 1)! 0 ' ^ '
22т+2 ^ 1 ^ — 1)2т 22т+1 (2т — 1)!
Е
п2т+з (1 + 2к)2(т+1)
к—0 Подставляя значения ¿т из таблицы 1, полу-
1 п ( 2^/2)) о чаем что
1 Ст(СОв (£/2)) \0 ( 2_м\2 ^ ю 1 п2
о----7^---ГТм--- < / , \Вт(£ + 2пк)\ < ^ 1 п
2п (2т + 1)! 5=* к——ю | = у>
1
< 1 Ст(сОБ2(£/2) _
_ 2п (2т +1)! 5=0 2п УЗ
к=1
1 п4
Тогда по теореме 1 нижней и верхней границами
(2& — 1)4 96’
Рисса являются константы: 1
Е-
6
2 +2 сх» (2к — 1)6 960
22т+2 1 к = 1 ^ )
и т. д.
т п2т+2 ^-0 (1 + 2к)2(т+1) ’ т " Теперь исследуем выражение (14). Дифферен-
цируя выражение (5) с учетом представления (7), Отсюда следует, что значение верхней границы не нетрудно установить, что
зависит от значения т, а значения нижней границы стремятся к нулю при т ^ то.
4. О нахождении сумм некоторых
ряд0в п2т+1 2 £(т - к)8К
п к—0
ОО ..
V _______1______
(х - і)2т+1
3 = — ж
т—1
т—1 _• 2к
81П ПХ
Результаты, полученные во втором параграфе, = (2т)! а;п2т+1 ПХ 008ПХ' (16)
имеют приложение в теории степенных рядов. С
их помощью можно находить точные значения для рядов вида:
(2т)! вт“"" * пх
Справедливо представление:
Е (_1)3
те те , ,'+1 (x_j)2m+1
у 1 и (—^ (12) '=—ж (х j)
3= (2j — 1)2т 3= ^ — 1)2т+1 ’ ^ >
где т - произвольное положительное целое число. 22т+1\ —-*/ (X — ?)2т+1 ( Х — 1 —?)2т+1 ) ■
1 'Е 1 1
Вводя обозначения а7- =
' 2'-1
Ь2 = ( —1)^'+1а„-т+ , замечаем, что а^ = —а—^+1,
(17)
Вынося множитель за знак суммирования и Ьз = Ь—Э+1' Поэтому: используя (17), перепишем левую часть выраже-
О 1 О 1 ния (14):
V ________1_____= 2У__________1____= ю ( —1)2+1
^ (2? — 1)2т (23 — 1)2т Е (2] — 1)2т+1 =
3 = — Ж
3 = — Ж
2^__________1_____ (13) _ 1 у- ( —1)3
/-о (1+2j)2^ ^ 1 ( —1)2т+222т+1 (х — j)2т+1
( 1)3 + 1 ( 1)3 + 1
_ _і__I_____ ______( ______________________
(2j _ 1)2т+1 (2j _ 1)2т+1 24т+2 \_ х _ j)2m+1 ' /_./ ( ж—1 _j)2m+1
1
2
Вестник КемГУ №3/1 2011 Вещественный анализ
Поскольку ряд Y1
2m+1 является нечетной
(x-j)2m+1
j = -TO
функцией аргумента x, окончательно получаем:
1
j = -TO
(2j - 1)2m+1 24m+1 ^ (4 - j)2m+1'
j = -TO
Таким образом, с учетом (16) окончательная формула для нахождения суммы ряда (14) выглядит следующим образом:
(_1)j+1 _2m+1 m-1
( 1)_____= п__________ (m-k)sm—12m—k
j= (2j-1)2m+1 24m+1(2rn)! k= k)Sk 2
, находим, что:
E
(-1)j+1
j=1
E
j=1
(2j - 1)3 32 ’
(-1)j+1 5n5
(2j - 1)5 1536’
j=1
(2j - 1)7 184320
E
j=1
1
= (22m - 1)n2m (2j - 1)2m = 2(2m)!
E(-1)j+1
j=1
T2m+1
(2j - 1)2m+1 22m+2(2m)!
|E2mI
B2m = (-1)m+1-
1
2m22m(22m - 1)’
E2m
(-1)
л m— 1
1 v
22m— 1 / ^ k=0
(m - k)sm—12m—k.
Эти формулы дают способ определения чисел Бернулли и Эйлера, отличающийся от изложенного в классических учебниках [7 - 9].
5. Заключение
Мы доказали, что сумма функционального ряда
Е
(x—j)2
представляет собой отношение три-
(18)
Используя приведенные в таблице 2 значения
Для частных случаев т =1, 2 эти значения были найдены Эйлером [4]. В известном справочнике [5] приведены формулы, полученные Жолли [6], согласно которым:
где В2т и Е2т обозначают числа Бернулли и Эйлера соответственно. Отсюда и из формул (15) и (18) мы получаем формулы для определения В2т
и Е2т :
] = -<х>
гонометрических полиномов. Доказанные нами свойства этих полиномов позволяют утверждать, что в пространстве кусочно-полиномиальных (порядок полинома не превосходит m) функций с разрывами в целочисленных точках семейство целочисленных сдвигов В-сплайна порядка m образует базис Рисса. Найденные нами границы Рисса являются неулучшаемыми. Приложением полученных результатов являются формулы для нахождения сумм степенных рядов, которые для двух частных случаев были рассмотрены Л. Эйлером. Мы также получили связь коэффициентов найденных полиномов с числами Бернулли и Эйлера.
Литература
[1] Функциональный анализ /под ред. С. Г. Крейна. - М.: Наука, 1964. - 424 с.
[2] Чуи, К. Введение в вейвлеты/ К. Чуи. -М.: Мир, 2001. - 412 с.
[3] Соболев, С. Л. Введение в теорию кубатур-ных формул / С. Л. Соболев. - М.: Наука, 1974. -808 с.
[4] Эйлер, Л. Введение в анализ бесконечных/ Л. Эйлер. - М.: Физматгиз, 1961. - 315 с.
[5] Градштейн, И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И. С. Градштейн, И. М. Рыжик. - М.: Физматгиз, 1962. - 1100 с.
[6] Jolley, L.B. Summation of Series / L. B. Jolley. - London: Chapman and Hall LTD, 1925. - 251 p.
[7] Гельфонд, А. О. Исчисление конечных разностей, ч.1/ А. О. Гельфонд. - М.; Л.: ОНТИ, 1936. - 176 с.
[8] Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 / Г. М. Фих-тенгольц. - М.; Л.: Гостехиздат, 1948. - 860 с.
[9] Чезаро, Э. Элементарный учебник алгебраического анализа и исчисления бесконечно малых, ч.1 / Э. Чезаро. - Л.; М.: ОНТИ, 1936. - 592 с.
1
3
П
и
1
с
0
