О надёжности схем в базисе Россера - Туркетта (в Pk) Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

№9 ПРИЛОЖЕНИЕ Сентябрь 2016

Секция 5

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ НАДЁЖНОСТИ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ И УПРАВЛЯЮЩИХ СИСТЕМ

УДК 519.718 DOI 10.17223/2226308X/9/37

О НАДЁЖНОСТИ СХЕМ В БАЗИСЕ РОССЕРА — ТУРКЕТТА (В Pk

М. А. Алехина, О. Ю. Барсукова

Рассматривается реализация функций k-значной логики схемами из ненадёжных функциональных элементов в базисе Россера — Туркетта. Предполагается, что все элементы схемы независимо друг от друга подвержены инверсным неисправностям на выходах. Найдены верхняя и нижняя оценки ненадёжности схем, а также класс функций, для которых нижние оценки справедливы.

Ключевые слова: функции k-значной логики, ненадёжные функциональные элементы, надёжность и ненадёжность схемы, инверсные неисправности на выходах элементов.

Пусть k, n G N, k ^ 3, Ek = {0,1,... , k—1}, Pk — множество всех функций k-значной логики, т. е. функций f (xi,... , xn) : (Ek)n ^ Ek. Рассмотрим реализацию функций из множества Pk схемами из ненадёжных функциональных элементов в базисе Россера — Туркетта {0,1,..., k — 1, Jo(x1), J1(x1),..., Jk-1(x1), min{x1, x2}, max{x1, x2}}.

Будем считать, что схема из ненадёжных элементов реализует функцию f (Xn) (Xn = (x1,... , xn)), если при поступлении на входы схемы набора an при отсутствии неисправностей в схеме на её выходе появляется значение f (an).

Пусть схема S реализует функцию f (Xn), an — произвольный входной набор схемы S, f (an) = т. Обозначим через Pj(S, an) вероятность появления значения i G Ek на выходе схемы S при входном наборе an, а через Pf(an)=T(S, an) —вероятность появления ошибки на выходе схемы S при входном наборе an. Ясно, что Pf(an)=T (S, an) = = PT+1(S, an) + PT+2(S, an) + ... + PT+k-1 (S, an). В выражениях т +1, т + 2,..., т + k — 1 сложение осуществляется по mod k. Например, если входной набор an схемы S такой, что f (an) = 0, то вероятность появления ошибки на этом наборе равна

Pf (a™)=o(S, an) = P1(S, an) + P2(S, an) +... + Pk-1(S, an) = £ Pi(s, an).

i=1

Ненадёжностью схемы S, реализующей функцию f (Xn), будем называть число P(S), равное наибольшей из вероятностей появления ошибки на выходе схемы S. Надёжность схемы S равна 1 — P(S).

Предполагается, что элементы схемы независимо друг от друга с вероятностью е,

0 < е < 1/(2(k — 1)), подвержены инверсным неисправностям на выходах, т.е. каждый базисный элемент с функцией ^(Xm), m G N, на любом входном наборе am, таком, что ^(am) = т, с вероятностью е выдаёт любое из значений a, а = т (mod k). Поэтому вероятность ошибки на выходе любого базисного элемента равна (k — 1)е. Очевидно, что ненадёжность любого базисного элемента также равна (k — 1) е, а надёжность —

1 — (k — 1)е.

1 Работа поддержана грантом РФФИ, проект №14-01-00273.

Математические основы надёжности вычислительных и управляющих систем

97

Пусть Р£(/) = Ш Р(Б), где инфимум берется по всем схемам Б из ненадёжных элементов, реализующим функцию /(Хп). Схему А, реализующую /, назовем асимптотически оптимальной по надёжности, если Р(А) ~ Р£(/) при е ^ 0.

Справедливы теоремы об оценках ненадёжности схем и классе функций, для схем которых нижняя оценка ненадёжности верна.

Теорема 1. Любую функцию / Е Рк можно реализовать такой схемой Б, что Р(Б) ^ 3(к - 1)е + 90к2е2 при всех е Е (0,1/(288к4)].

Обозначим через К(п) множество таких к-значных функций, зависящих от переменных Х1,... ,хп (п ^ 3), что каждая из этих функций принимает все к значений и не представима ни в виде хк V Л,(Хп), ни в виде хк&^(Хп) (к Е {1, 2,..., п}, Л,(Хп) -

оо

произвольная функция к-значной логики). Пусть К = У К(п).

п=3

Теорема 2. |К(п)| ^ кк" - 2пк(к-1)к"-1 - к(к - 1)к".

Теорема 3. Пусть функция / Е К. Тогда для любой схемы Б, реализующей /, при е Е (0,1/(288к4)] верно неравенство Р(Б) ^ 3(к- 1)е- (к - 1)(3к- 1)е2 + к(к- 1)2е3.

В заключение можно сделать следующие выводы:

1) Любую функцию из Рк можно реализовать схемой, функционирующей с ненадёжностью, асимптотически (при е ^ 0) не больше 3(к - 1)е (теорема 1).

2) Любую функцию из класса К (содержащего почти все функции из Рк) нельзя реализовать схемой с ненадёжностью, асимптотически (при е ^ 0) меньше 3(к - 1)е (теорема 3).

3) Схема, реализующая функцию / Е К и удовлетворяющая условиям теоремы 1, является асимптотически оптимальной по надёжности и функционирует с ненадёжностью, асимптотически равной 3(к - 1)е при е ^ 0.

Таким образом, в базисе Россера — Туркетта: 1) любую функцию к-значной логики можно реализовать схемой, ненадёжность которой асимптотически (при е ^ 0) не больше 3(к - 1)е; 2) для почти любой функции такая схема является асимптотически оптимальной по надёжности и функционирует с ненадёжностью, асимптотически равной 3(к - 1)е при е ^ 0.

В списке литературы приведены работы, в которых получены результаты по надёжности и ненадёжности схем в базисе Россера — Туркетта при к = 3 [1-4] и к = 4 [5-8]. Результаты для произвольного к получены впервые.

ЛИТЕРАТУРА

1. Алехина М. А., Барсукова О. Ю. О надежности схем, реализующих функции из Р3 // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физ.-мат. науки. 2012. №1(21). С.57-65.

2. Алехина М. А., Барсукова О. Ю. Оценки ненадежности схем в базисе Россера — Туркетта // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физ.-мат. науки. 2014. №1(29). С. 5-19.

3. Алехина М. А., Барсукова О. Ю. Ненадёжность схем в базисе Россера — Туркетта // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2014. №7. С. 109-110.

4. Барсукова О. Ю. Синтез надежных схем, реализующих функции двузначной и трехзначной логик: дис. .. .канд. физ.-мат. наук. Пенза, 2014. 87с.

5. Алехина М. А., Каргин С. П. Асимптотически оптимальные по надежности схемы в базисе Россера — Туркетта в Р4 // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физ.-мат. науки. 2015. №1. С. 38-54.

98

Прикладная дискретная математика. Приложение

6. АлехинаМ. А., Каргин С. П. Об одном методе повышения надежности схем в базисе Рос-сера — Туркетта // Труды IX Междунар. конф. «Дискретные модели в теории управляющих систем» (Москва и Подмосковье, 20-22 мая 2015 г.), посвященной 90-летию со дня рождения С. В. Яблонского. М.: МГУ, МАКС Пресс, 2015. С. 17-19.

7. Алехина М. А., Каргин С. П. Верхняя оценка ненадежности схем в базисе Россера — Туркетта (в Р4) // Сб. статей Междунар. науч.-технич. конф. «Проблемы автоматизации и управления в технических системах — 2015», посвященной 70-летию Победы в Великой Отечественной войне (г. Пенза, 19-21 мая 2015 г.) Пенза: Изд-во Пенз. ун-та, 2015. С. 315-317.

8. Алехина М. А., Каргин С. П. Нижние оценки ненадёжности схем в базисе Россера — Туркетта (в Р4) // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2015. №8. С. 104-105.

УДК 519.718 Б01 10.17223/2226308X/9/38

НЕНАДЁЖНОСТЬ СХЕМ ПРИ СЛИПАНИЯХ ВХОДОВ

ЭЛЕМЕНТОВ1

М. А. Алехина, О. А. Логвина

Рассматривается реализация булевых функций схемами из ненадёжных функциональных элементов в некоторых полных конечных базисах. Предполагается, что каждый из элементов схемы независимо от других элементов подвержен дизъюнктивным (конъюнктивным) слипаниям входов. Показано, что в некоторых базисах любую булеву функцию можно реализовать схемой сколь угодно высокой надёжности, а в некоторых — схемой, ненадёжность которой равна нулю.

Ключевые слова: ненадёжные функциональные элементы, надёжность схемы, ненадёжность схемы, слипание входов элементов.

Задача синтеза надёжных схем, реализующих булевы функции, при константных неисправностях одного типа (например, только типа 0 на входах элементов) решена в полных неприводимых базисах из двухвходовых элементов [1], при константных неисправностях двух типов [2 - 4], при константных неисправностях четырёх типов на входах и выходах [5, 6].

В этой работе рассмотрим реализацию булевых функций схемами из ненадёжных элементов в полном конечном базисе В и исследуем модель неисправностей, в которой каждый элемент схемы подвержен дизъюнктивным (конъюнктивным) слипаниям входов, когда на оба входа базисного элемента при наличии неисправности подается дизъюнкция (конъюнкция) входных значений. Различные слипания переменных исследовались, например, в работах [7-10] при построении тестов.

Считаем, что схема из ненадёжных элементов реализует функцию /(х1,...,хп), п Е N если при поступлении на входы схемы набора ап = (а1,... , ап) при отсутствии неисправностей в схеме на её выходе появляется значение /(ап). Предполагаем, что в неисправные состояния элементы схемы переходят независимо друг от друга с вероятностью е Е (0,1/2). Пусть схема Б реализует булеву функцию /(Хп). Обозначим через Р/(дП) (Б, ап) вероятность появления значения /(ап) на выходе схемы Б при входном наборе ап. Ненадёжность Р(Б) схемы Б равна максимальному из чисел Р/(¿п)(Б, ап) по всем входным наборам ап схемы Б. Надёжность схемы Б равна 1 - Р(Б).

1 Работа поддержана грантом РФФИ, проект №14-01-00273.