О надежности схем в базисе при однотипных константных неисправностях на входах элементов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион УДК 519.718

М. А. Алехина Г к к )

О НАДЕЖНОСТИ СХЕМ В БАЗИСЕ \ V х{, л х{, х ^

1г=1 г=1 I

ПРИ ОДНОТИПНЫХ КОНСТАНТНЫХ НЕИСПРАВНОСТЯХ НА ВХОДАХ ЭЛЕМЕНТОВ

Решается задача построения асимптотически оптимальных по надежно-

Г к к ]

сти схем в базисе \ V х. л х. х >, где к > 4. Доказано, что любую булеву [г=1 ..=1 . \

функцию /(, Х2,..., хп), не равную х. (г = 1,2,..., и) и константам 0 и 1, можно реализовать асимптотически оптимальной по надежности схемой, функционирующей с ненадежностью асимптотически равной ук при у ^ 0 . Функции х., г = 1, 2,..., п , можно реализовать абсолютно надежно, а константы 0 и 1 - схемами сколь угодно высокой надежности.

Рассматривается реализация булевых функций схемами из ненадеж-

Г к к )

ных функциональных элементов в базисе | V х., л х., х> [1], где к > 4.

Схема реализует функцию f (, х2,..., хп), если при поступлении на входы схемы набора а = (, «2,..., ап) при отсутствии неисправностей на выходе схемы появляется значение f (~). Входы всех элементов схемы независимо друг от друга переходят в неисправные состояния типа 0 (1). Неисправности типа 0 на входах элементов характеризуются тем, что поступающий на вход элемента нуль не искажается, а единица с вероятностью у(у< 1/2) может превратиться в нуль. Неисправности типа 1 на входах элементов определяются аналогично.

Далее будем предполагать, что базисные элементы подвержены неисправностям типа 0 на входах. Вероятности ошибок на выходах базисных элементов следующие:

- для дизъюнктора EV имеем £>1(0,..., 0) = 0, Р0(,..., йк) = ут , где т -число единиц в наборе (,..., йк);

- для конъюнктора Ел имеем Р0 (1, ...,1) = 1 -(1 -у) , £1(1,..., йк ) = 0, где (,..., йк) - любой набор, кроме набора, все компоненты которого равны единице;

- для инвертора Ех имеем Р0 (0) = 0, Рх(1) = у .

Пусть Pf (~)(, ~) - вероятность появления значения f (а) на выходе

схемы 5 , реализующей булеву функцию f (~) при входном наборе а . Ненадежность р(5) схемы 5 определяется как максимальное из чисел Pf (~ )(, а)

при всевозможных входных наборах а . Надежность схемы 5 равна 1 - р(5).

Замечание 1. Легко видеть, что ненадежности дизъюнктора и инвертора равны у , а ненадежность конъюнктора равна 1 - (l - y)k . При у — 0 верно 1 - (l - у) ~ ky , т.е. ненадежность конъюнктора асимптотически равна ky .

Пусть Py(f ) = inf P(S), где S - схема из ненадежных элементов, реализующая булеву функцию f. Схему A из ненадежных элементов, реализующую булеву функцию f, назовем асимптотически оптимальной по надежности, если p(a)~ Py(f) при у —— 0 , т.е. lim P(A) = 1.

у у—0 Py(f )

Очевидно, функцию xi (i = 1,2,..., n) можно реализовать абсолютно надежно (соответствующая схема состоит лишь из полюса, которому приписана переменная xi , и не содержит функциональных элементов). Однако произвольную булеву функцию нельзя реализовать абсолютно надежной схемой или схемой, сколь угодно высокой надежности [2]. Поэтому важными представляются ответы на вопросы «Какова надежность (ненадежность) наилучшей схемы из ненадежных элементов?» и «Какие функции можно реализовать такими схемами?».

Впервые задачу синтеза надежных схем из ненадежных элементов рассматривал Дж. фон Нейман [3]. Он предполагал, что элементы подвержены инверсным неисправностям, когда функциональный элемент с приписанной ему булевой функцией ф(~) в неисправном состоянии, в которое переходит с

вероятностью е, реализует функцию ф(~). С помощью итерационного метода Дж. Нейман установил, что при е < 1/6 произвольную булеву функцию можно реализовать схемой, вероятность ошибки на выходе которой при любом входном наборе значений переменных не превосходит се (c - некоторая абсолютная константа). С ростом числа итераций сложность схемы увеличивается экспоненциально.

Схема из ненадежных элементов характеризуется двумя важными параметрами: вероятностью ошибки на выходе схемы (ненадежностью) и сложностью схемы. Оптимизации сложности схем уделялось главное внимание в работах С. И. Ортюкова [4], Д. Улига [5] и некоторых других авторов. Проблема построения асимптотически наилучших по надежности схем рассматривалась автором для базисов, содержащих функции не более чем двух переменных [6], а также в базисе {x а у a z, x v y v z, x} [7]. В этой работе задача построения асимптотически оптимальных по надежности схем решается для

Г k k _]

базиса < v xi, a xi, x >, где k > 4. Далее будет доказано, что любую функ-\i=1 i=1 I

цию, не равную x^, i = 1,2,..., n , и константам 0 и 1, можно реализовать асимптотически оптимальной по надежности схемой, функционирующей с ненадежностью, асимптотически равной уk при у — 0 (в то время как ненадежность любого элемента базиса не менее у , см. замечание 1).

Построим схемы, реализующие базисные функции с большей надежностью, чем базисные элементы. Для этого докажем леммы 1-4.

Пусть f (і?) - произвольная булева функция, а Б - любая схема, ее реализующая. Р1(б , а) и ро (, а) - вероятности ошибок на выходе схемы Б при нулевых и единичных входных наборах а соответственно. Возьмем к экземпляров схемы Б и соединим их выходы со входами дизъюнктора. Построенную схему обозначим ф(5) (рис. 1).

X

Лемма 1. Вероятности ошибок на выходе схемы ф(5) (рис. 1) удовлетворяют неравенствам:

Р1(ф(5), а )< 1 -(1 - Р1 (5, а ))к (1)

при наборах а таких, что f (~~ ) = 0, и

Р0 (ф(5), а )<(у + Р0 (5, а ))к (2)

при наборах а таких, что f (а ) = 0.

Доказательство. Пусть набор а такой, что f (а ) = 0. Тогда вероятность ошибки на выходе схемы ф(5) удовлетворяет соотношению

Р(ф(5), а )< (1 - Р1 (5, а ))к • 0 + (1 - (1 - Р^, а ))к )(1 - ук )< 1 - (1 - Р^5, а ))к.

Пусть набор а такой, что f (а ) = 1. Тогда вероятность ошибки на выходе схемы ф(5) удовлетворяет соотношению

к

Р,(ф(5), а) = Хст(Р,(5, а)) т(1-(Р,(5, 3)Г"У-т =

т=0

= (Р)(5, «) +(1 - Р0(5, а))у)к < ((5, «) + у)к.

Лемма 1 доказана.

Построим схему 5V , реализующую дизъюнкцию V к=1 х^ с большей надежностью, чем функциональный элемент EV (см. замечание 1). Для этого на рисунке 1 все схемы 5 заменим элементами EV. По лемме 1, используя соотношения (1) и (2), оценим вероятности ошибок на выходе построенной схемы ф(Е^ при у< 1/16. Имеем р^ = 0, Р0 < (2у)к < 16у4, т.к. к > 4. По схеме ф^) построим схему ф2 (EV). Используя формулы (1) и (2), оценим 20

вероятности ошибок на выходе схемы ф2 . Получаем: Р1 = 0,

Р0 <(у + 16у4 ^ <ук ( + у2 У.

Очевидно, что существуют такие положительные константы с и С2,

что при у < с2 верно неравенство ук ( + у2 ^ < ук + с^ук+1.

Схему ф2 (EV) обозначим как 5V . Она реализует дизъюнкцию с вероятностями ошибок Р1 = 0, Р0 < ук + С1ук+1 при у < С3 = т1и{с2,1/16}.

Пусть f (а) - произвольная булева функция, а 5 - любая схема, ее реализующая. Как и раньше, Р1(5,а ) и Р0 (5, а) - вероятности ошибок на выходе схемы 5 при нулевых и единичных входных наборах а соответственно. Возьмем к экземпляров схемы 5 и соединим их выходы со входами схемы 5V . Построенную схему обозначим ф(5) (рис. 2).

X

Рис. 2

Лемма 2. Пусть у< С3. Тогда вероятности ошибок на выходе схемы ф(5) (рис. 2) удовлетворяют неравенствам:

Р(ф(5) а)< 1 -(1 - Р1(, а))к (3)

при наборах а таких, что f (^г) = 0, и

Р0(ф(5) а) <(Р0((, а))к + ук + С1ук+1 (4)

при наборах а таких, что f (й) = 1.

Доказательство. Пусть набор а такой, что f (~) = 0. Тогда вероятность ошибки на выходе схемы ф(5) удовлетворяет соотношению

Р1 (ф(5 , а)) < (1 - р( , а))к • 0+(1 -(1 - р(5 , а))к )• 1 < 1 -(1 - р(5 , а))к.

Пусть набор а такой, что f (^г) = 1. Тогда вероятность ошибки на выходе схемы ф(5) удовлетворяет соотношению

Р0(ф(5) а) <(Р0(5, а))к -1 + (1 -(Р0(5, а))к )(ук + с1ук+1)<

<(Р0(5, а))к + ук + С1ук+1.

Лемма 2 доказана.

Лемма 3. Пусть р - вероятность ошибки на выходе некоторой схемы 5.

Если р < 3/( - 2) , то 1 - (1 - р)к < кр .

Доказательство. По биному Ньютона имеем равенство

(1 - Р)к =1 - кР + с2 р 2 - р3 +...+(- Р)к.

Отсюда получаем

1 -(1 - Р)к = кР - Ок Р2 + °кР3 +...-(- Р)к .

Рассмотрим разности

(- С2т + рСк2т+1 )=(-1/( - 2т) + р /(2т +1) )к!/^2т )(к - 2т -1)) .

Очевидно, если все такие выражения отрицательны, то утверждение леммы верно, т.е. при всех т таких, что 2т < к -1, выполняются неравенства Р < (2т +1) /( - 2т).

Рассмотрим функцию g (х ) = ( х +1) /( - 2 х ) действительной переменной х и найдем ее наименьшее значение на отрезке [1, [(к - 1)/2]]. Для этого вычислим производную g'(х ) = (2к + 2) /(к - 2х)2 . Имеем g '(х ) > 0 при всех значениях х, т.е. функция g(х ) возрастает на отрезке [1, [(к - 1)/2]]. Следовательно, наименьшее значение функция g (х ) принимает в точке х = 1, и оно равно g(1) = 3/(к - 2) .

Лемма 3 доказана.

Используя леммы 2 и 3, построим схему 5л , реализующую конъюнкцию лк=1 х. надежнее, чем базисный элемент Eл (конъюнктор). Для этого на рисунке 2 все схемы 5 заменим элементами Eл (для каждого из них

Р1 = 0, Р0 = 1 -(1 - у)к). Используя соотношения (3), (4) и лемму 3, оценим вероятности ошибок на выходе построенной схемы ф(л) при у < С4 = = тш{с3,3 /(к - 2)} .

Имеем Р1 = 0, Р0 < (ку )к + ук + с^ук+1. По схеме Ф(Eл) построим схему ф2 (Eл). Используя формулы (3) и (4), оценим вероятности ошибок на выходе схемы ф2 (л). Имеем

Р1 = 0, Р0 < ук + С1ук+1 + (ук + С1ук+1 + (ку)к к к <

< ук + сгук+1 + (ук 1 + кк + С1у| к < ук + сгук+1 + с5ук2 < ук + с6ук+1.

I к \к

Здесь константы с5 = 11 + к + с^ , с6 = с1 + с5 .

Схему ф2(Eл) обозначим 5л . Она реализует конъюнкцию с вероятностями ошибок Р1 = 0, Р0 = ук + с6ук+1 при у < с4.

Чтобы повысить надежность инвертора, докажем лемму 4. В схеме ф(5) (рис. 2) заменим схему 5V схемой 5л. Новую схему назовем ^(5) (рис. 3).

Рис. 3

Лемма 4. Вероятности ошибок на выходе схемы ¥(5) (рис. 3) удовлетворяют неравенствам:

Р() а)<((5, а))к (5)

при наборах а таких, что f (~~) = 0, и

Ро(¥(5) ~) < Ук + С6Ук+1 + (і -(1 - Ро(5, ~))к) (6)

при наборах а таких, что f (~~) = 1.

Доказательство. Пусть набор а такой, что f (й) = 0. Тогда вероятность ошибки на выходе схемы ¥(5) удовлетворяет соотношению

Р() а)< (Р1(5, а))к • 1 + (1 - (Р1(5, а))к)• 0 < (^1(5, а) .

Пусть набор а такой, что f (й) = 1. Тогда вероятность ошибки на выходе схемы ¥(5) удовлетворяет соотношению

Ро (¥(5), а < (1 -- Ро (,а)) к (ук + С6Ук+1) + (1-(1- Ро (,а)) к) • 1 <Ук + СбУк+1 +

+ 1 -(1 - Ро(, а)).

Лемма 4 доказана.

На рисунке 3 заменим все схемы 5 инверторами (для них Ро = о, Р1 = у), а набор X одной переменной х. Построенную схему обозначим I. Очевидно, что она реализует функцию х . По лемме 4, используя соотношения (5) и (6), оценим вероятности ошибок на выходе схемы I:

Ро <У к + с6 У к+1, Р1 <У к .

Операция х по произвольной схеме 5 , реализующей булеву функцию

/, строит схему х(^) (рис. 4). Схема х(5) содержит к подсхем А. Результат т -кратного применения (тє N) операции х к схеме 5 будем обозначать

Xт (5) .

Очевидно, в результате применения (возможно, неоднократного) операции х к схеме 5, реализующей булеву функцию f, получаются схемы, реализующие ту же функцию f. Кроме того, применение этой операции к некоторым схемам 5 (при некоторых условиях на Р(5)) приводит к схемам, имеющим более высокую надежность, чем исходная схема 5.

х

Рис. 4

Лемма 5. Р((5)) < ук + с1ук+1 + (кР{5) + ук + с6 ук+1 ^.

Доказательство. Сначала оценим вероятности ошибок на выходе подсхемы А (рис. 4). Пусть набор а такой, что f (а) = 0 . По лемме 4, используя соотношение (5), оценим вероятность ошибки на выходе схемы А и получим

Р1 (а, а) < Р1к (5, а) . (7)

Пусть набор а такой, что f (а) = 1. По леммам 4 и 1, используя соотношение (6), для вероятности ошибки на выходе схемы А получаем неравенство

Р0(А, а) < кР0(5, а) + ук + с6ук+1. (8)

Оценим вероятности ошибок на выходе схемы х(5). Пусть набор а такой, что f (аг) = 0. Тогда по леммам 2 и 3, используя (3) и (7), получаем

Р((5) а) < кР1к (5, а) . (9)

Пусть набор а такой, что f (а) = 1. Тогда по леммам 2 и 3, используя соотношения (4) и (8), получаем

Р0(х(5) а) < ук + с1ук+1 + (кР0(5, а) + ук + с6ук+1)к . (10)

Из соотношений (9) и (10) следует, что

Р(х(5)) < шах| кР (5), ук + с1ук+1 + (кР(5)+ук + с6ук+1)к | =

= ук + с1ук+1 + (кР (5) + ук + с6ук+1)к .

Лемма 5 доказана.

2

Пример 1. При у< 1/к константы 0 и 1 можно реализовать схемами, сколь угодно высокой надежности.

Действительно, возьмем инвертор, конъюнктор и построим схему В0, реализующую константу 0, моделируя формулу х а х а ... а х . Вероятности ошибок

на выходе Во : Р\ = 0 при х = 0 , Р\ = у(1- у)к < У при х = 1. По схеме Во построим схему %(Во) (рис. 4). Используя соотношение (9), оценим вероятности

ошибок на выходе построенной схемы: Рі = 0 при х = 0, Рі < кук при х = 1.

Проделав т шагов итерации, построим схему %т (В0) , реализующую константу

0 с ненадежностью р(%т(в0)) < к1+к+к2+...+кт-1 (у)кт = кИ_і)/(к-1)(у)к>П <

( \к,т ( \к,т

<(ку) <(1/к) . Таким образом, с ростом числа итераций т константу 0

можно реализовать схемой, со сколь угодно малой вероятностью ошибки.

Схема сколь угодно высокой надежности, реализующая константу 1,

строится с помощью инвертора и схемы %т(В0) , построенной выше (рис. 5). Вероятности ошибок на ее выходе: Р0 = 0 при х = 0, Р0 <

< Г (1/к)к 1(1 -у) <(1/к)к при х = 1.

х

%т (В0)

0

Рис. 5

Теорема 1. Существует такая положительная константа С7, что при у < С7 любую булеву функцию можно реализовать схемой С с ненадежностью Р(С) < у к + Сб у к+1.

Доказательство проводится индукцией по числу существенных переменных для булевых функций. Индуктивный переход выполняется следующим образом: сначала, моделируя формулу

/{ХЪ ..., хп ) = Хп Л ... Л Хп Л /1 V ... V Хп Л ... Л Хп Л /1 VХп Л ... Л Хп Л ^,

к-1 раз

к -1 раз

к -1 раз

к -1 раз

где /о = /(х1, ..., хп_1,0 ) и /1 = /(х1,..., хп_1,1), строим схему 5 , реализующую функцию / При этом используются схемы I, и две схемы 5Л .

Функции /о и /1, согласно индуктивному предположению можно реализовать схемами С1 и С2 , ненадежность которых не больше ук + Сбук+1. Тогда ненадежность схемы 5 удовлетворяет неравенству р(я) <

< 4-(ук + Сб ук+1) + ук + Сб у к+1 = 5(ук + Сб у к+*). По схеме 5 строим схему %(5) . По лемме 5 получаем

р(Х(5)) <ук + С^ук+1 + (5к (ук + Сбук+!) +ук + Сбук+! ^ =

= ук + С1ук+1 + (5к +1)к (1 + Сбу)к ук 2.

2

Рассмотрим последнее слагаемое (5к +1 ) (1 + Сб у) у . Пусть у< 1/Сб,

22

тогда 1 + Сбу< 2 и верно неравенство (к + 1)к (1 + Сбу)к ук <(10к + 2)к ук .

ч1/(к 2 _к _1)

Пусть константа с8 =

с6 - С1

к

У

(напомним, что с6 > С1). То-

(10к + 2 )к

гда при у < С8 выполняется неравенство ук (10к + 2 )к < (б _ С1 )ук+1.

Полагаем С7 = шш{с8,1/Сб, С4}. Тогда при у< С7 верно неравенство

Р(х(5)) <ук + ^ук+* + (сб _С)ук+* = ук + Сбук+*. Схема %(5) - искомая. Теорема 1 доказана.

Из теоремы 1 следует, что при неисправностях типа 0 на входах элементов любую булеву функцию можно реализовать схемой, ненадежность

которой асимптотически не больше ук при у —— 0 .

Лемма 6 [б]. Пусть / - произвольная булева функция, отличная от константы; 5 - любая схема, ее реализующая. Пусть подсхема А схемы 5 содержит выход схемы 5 и реализует булеву функцию g с ненадежностью Р(А) < 1/2. Обозначим через Рц,..., Р\к всевозможные различные вероятности ошибок на выходе схемы А при наборах Ь таких, что g (~) = 0 . Аналогично, пусть Р01,..., Р0т - всевозможные различные вероятности ошибок на выходе схемы А при наборах Ь таких, что g(~) = 1. Пусть р1 = тт{рц,..., р^},

р0 = тш{р01,..., Р0т}. Тогда вероятности ошибок на выходе схемы g(~) = 0 удовлетворяют неравенствам

Р^(5,~)> р1, если /(а) = 0 ;

Р0(5,~)> р0, если /(~) = 1.

Теорема 2. Для любой функции /(, Х2,..., хп) , отличной от констант

0, 1 и функций хIX = 1,2,..., п), и любой схемы 5, реализующей /, при

у < 1/(2к) верно неравенство Р(5) >ук .

Доказательство. В схеме 5 выделим выходной элемент Е . Если Е -конъюнктор, то Р0 = 1 _ (1 _ у)к = р0 > ук . Если Е - дизъюнктор, то р0 = ук .

Если E - инвертор, то pi = p1 = у ^ Yk • Во всех случаях по лемме 6 утверждение теоремы верно. Теорема 2 доказана.

Из теоремы 2 следует, что при неисправностях типа 0 на входах элементов схемы, построенные в теореме 1 для функций f (xi, Х2, ..., xn) , отличных от xi X = 1, 2,..., n) и констант, являются асимптотически оптимальными по надежности и функционируют с ненадежностью, асимптотически равной уk при у ^ 0 .

Поскольку ненадежности двойственных схем равны [6], а рассматриваемый базис двойственен себе, полученные результаты справедливы и при неисправностях типа 1 на входах базисных элементов.

Список литературы

1. Редькин, Н. П. Надежность и диагностика схем / Н. П. Редькин. - М. : Изд-во МГУ, 1992.

2. Тарасов, В. В. К синтезу надежных схем из ненадежных элементов /

B. В. Тарасов // Матем. заметки. - 1976. - 20 т. - № 3. - С. 391-400.

3. Нейман, Дж. Вероятностная логика и синтез надежных организмов из ненадежных компонент / Дж. Нейман // Автоматы. - М. : ИЛ, 1956. -

C. 68-139.

4. Ортюков, С. И. Об избыточности реализации булевых функций схемами из ненадежных элементов / С. И. Ортюков // Труды семинара по дискретной математике и ее приложениям (Москва, 27-29 января 1987 г.). - М. : Изд-во МГУ, 1989. -

C. 166-168.

5. Uhlig, D. Reliable networks from unreliable gates with almost minimal comlexity /

D. Uhlig // Fundamentals of Computation Theory. Intern. ranf. FCT'87 (Kazan, June 1987). - Proc. Berlin: Springer-Verl., 1987. - P. 462-469. - (Lecture Notes in Comput. Sci.; V. 278).

6. Алехина, М. А. Синтез асимптотически оптимальных по надежности схем : монография / М. А. Алехина. - Пенза : Информационно-издательский центр ПГУ, 2006.

7. Алехина, М. А. О надежности схем в базисе {x v y v z, x & y & z, x} при одно -типных константных неисправностях на входах элементов / М. А. Алехина // Дискретная математика. - 2006. - 18 т. - Вып. 1. - С. 116-125.