О надежности неветвящихся программ в базисе, содержащем функцию вида Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.718

C. М. Грабовская О НАДЕЖНОСТИ НЕВЕТВЯЩИХСЯ ПРОГРАММ В БАЗИСЕ, СОДЕРЖАЩЕМ ФУНКЦИЮ ВИДА xf1 v xa21

Аннотация. Рассматривается реализация булевых функций неветвящимися программами с оператором условной остановки в полном конечном базисе B, содержащем некоторую функцию вида xf1 v xf2, аь а2 е {0,1}. Предполагается, что функциональные операторы с вероятностью е (ее (0,1/2)) подвержены инверсным неисправностям на выходах, а операторы условной остановки абсолютно надежны. Доказано, что любую булеву функцию f можно реализовать неветвящейся программой, функционирующей с ненадежностью не больше е + 81е2 при ее (0,1/960].

Ключевые слова: булевы функции, неветвящиеся программы, оператор условной остановки, синтез, надежность.

Abstract. The problem of synthesis of nobranching programs with conditional stop-operator is considered in full finite basis, contained some kind function xf1 v xf2, aj, a2 е {0,1}. All functional operators are supposed to be prone output inverse failures with probability е(ее (0,1/2)). Conditional stop-operators are absolutely reliable. Any boolean function is proved to be possible to realize by nobranching program, functioned with unreliability no more е + 81 е2 at ее (0,1/960].

Keywords: boolean functions, nobraching programs, conditional stop-operator, synthesis, reliability.

Введение

Рассматривается реализация булевых функций неветвящимися программами с оператором условной остановки [1] в полном конечном базисе B. Программы с оператором условной остановки характеризуются наличием управляющей команды - команды условной остановки, дающей возможность досрочного прекращения работы при выполнении определенного условия. Сформулируем необходимые понятия и определения (см. работу [1]).

Пусть X = {x!,..., xn} - множество независимых булевых переменных, x = (x1,..., xn) - набор независимых переменных, nе N. Введем множества переменных Y = {У1,..., yi} и Z ={^,...,zm}, lе N, mе N . Переменные из множества Y назовем внутренними, переменные из множества Z - выходными переменными. Пусть далее а е Y U Z , b1,..., bd е X U Y U Z, (d е{1,..., n}), h - булева функция из базиса B, зависящая не более чем от d переменных. Вычислительной командой p назовем выражение p : а = h{i>i,., bd). Переменную а назовем выходом вычислительной команды, переменные b1,..., bd -входами этой команды.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РГНФ, номер проекта 09-06-

28615а/В.

Пусть теперь а е X и У и % . Командой остановки р назовем выражение р : 81ор(а). Переменную а назовем входом команды остановки р.

Последовательность Рг = р^... рг-... рь, состоящая из вычислительных команд и команд остановки, называется неветвящейся программой с условной остановкой, если при любом уе{1,2,...,Ь] каждый вход команды ру есть

либо независимая переменная, либо выход некоторой вычислительной команды рI, где 1 < у .

Неветвящаяся программа работает в дискретные моменты времени г = 0,1, 2,..., не изменяет значения независимых переменных и изменяет значения внутренних и выходных переменных. Значения у1 (х; г) внутренних переменных у1 и значения гу (х; г) выходных переменных г у программы Рг

в произвольный момент времени г на наборе независимых переменных х = (XI,..., хп) определим индуктивно следующим образом:

- в начальный момент времени г = 0 значения всех внутренних и выходных переменных считаем неопределенными;

- если команда р{ не изменяет значения внутренней переменной уг-(или выходной переменной гу ), то положим

У1 (х; г) = у (х; г -1), г у (х; г) = г у (х; г -1);

- если команда р{ изменяет значения внутренней переменной уг- (или выходной переменной г у), и значения 1-го, ..., й-го входов команды р{ в момент времени (г -1) равны соответственно Ъ^х; г -1),..., Ъ^ (х; г -1), то положим

У1 (х; г) = (Й!(х; г -1),., Ъа (х; г -1)), г у (х; г) = (Ъ1( х; г -1),., Ъа (х; г -1)).

Значением команды р{ программы Рг на наборе х = (х1,..., хп) независимых переменных х1, х2,..., хп назовем значение ее выхода в момент времени г и обозначим р{ (хх).

Через п(р) обозначим номер команды р в программе Рг, т.е. п (рг- ) = 1.

Пусть р?1,..., р{ - все команды остановки из Рг, причем ^ <... < гг . Тогда че-

рез sу будем обозначатьу-ю команду остановки программы Рг, т.е. sу = ру .

Вычислительную команду рг- (переменную х\) назовем аргументом команды остановки 8у, п(8у) = г , и обозначим через qу, если

(1) выход команды рг- (переменная х{) является входом команды 8у ;

(//) среди команд р{, 1 < г < г, нет команды, выход которой совпадает с выходом команды рг-.

Будем говорить, что к-я команда остановки 8^ прекращает вычисления программы Рг на наборе х , если

ql(хх) =... = qk-1(хх) = 0, qk(хх) = 1.

Результат действия программы Pr на наборе X обозначим через Pr(X), его l-ю компоненту Pri (X) определим следующим образом:

Г. /~ч fZl(x;tk),еслиq^X) = ... = qk-1(x) = 0, Як(X) = 1,

Pri ( x) = <

{ Zl (x; L), если q^x) =... = qr (x) = 0,

т.е. Prl(X) равно значению l-й выходной переменной zi в момент остановки программы. Легко видеть, что

Prl (X) = Я1 (X)zi (X; t1) v Я1 (Xq (X)z{ (X; t2) v...

... vqi(X)q2(X)••• Як_1(Xq(X)zi(X; tk) v...

... v q (X)q2 (X) ••• Яг_1 (X)qr (X)zl (X ^) v... v q1(X)q2(X) ••• Яг (X)zl (X; L). (1)

Иногда формулу (1) удобнее использовать в преобразованном виде:

Prl (x) = q1 (X)zl (X t1) v q1 (X)(q2 (X)zi (х; t2) v ^)(...(qk_1 (^)zl (X; tk_1) v

vqk_1(^)(... v qr_1(X)(qr(X)zi(X; tr) v qr(X)zi(X; L))...))...)). (2)

Программа Pr вычисляет n-местную булеву функцию f, если Pr(X) = f (X) для любого X из {0,1}n .

Всюду далее будем считать, что операторы условной остановки абсолютно надежны, а все вычислительные операторы базиса B независимо друг от друга с вероятностью е (ее (0,1/2)) подвержены инверсным неисправностям на выходах. Поскольку оператор условной остановки абсолютно надежен, он срабатывает, когда на его вход поступает единица. Инверсные неисправности на выходах вычислительных операторов характеризуются тем, что в исправном состоянии вычислительный оператор реализует приписанную ему функцию ф, а в неисправном - функцию ф .

Программа Pr реализует булеву функцию f (xj, ., xn), если она реализует ее при отсутствии неисправностей.

Ненадежностью N (Pr) программы Pr назовем максимальную вероятность ошибки на выходе программы Pr при всевозможных входных наборах.

Обозначим ^ (f) = inf N (Pr), где инфимум берется по всем программам Pr, реализующим булеву функцию f (X).

Программа A, реализующая функцию f, называется асимптотически оптимальной по надежности, если N(A) ~ NJf при s ^ 0, т.е. lim ^(f) = 1.

е^0 N(A)

Чтобы использовать в данной работе известные результаты для схем из функциональных элементов, введем понятия ненадежности схемы и асимптотически оптимальной схемы.

Ненадежностью N(S) схемы S из функциональных элементов, подверженных инверсным неисправностям на выходах, назовем максимальную вероятность ошибки на выходе схемы S при всевозможных входных наборах схемы S. Обозначим ^ (f) = inf N(S), где инфимум берется по всем схемам S из ненадежных элементов, реализующим булеву функцию f .

Схема А из ненадежных элементов, реализующая функцию / называется асимптотически оптимальной по надежности, если N(А)~ Ne (/) при

е^0, т.е. ііш Ne(^) = 1. е^0 N(А)

Теорема 1 [2]. В произвольном полном конечном базисе В любую булеву функцию / можно реализовать схемой Б, ненадежность которой

Р(Б) < 5е + 182е2 при ее (0,1/960].

Константа 5 в оценке ненадежности из теоремы 1 в некоторых базисах, например, В = {*1 & Х2, Г[} и В = {х1 V Х2, Г[}, не может быть понижена [4].

О надежности неветвящихся программ в базисах, содержащих функцию *1 V *2

Пусть полный конечный базис В содержит *1 V *2 . Для неветвящихся программ с оператором условной остановки справедливы лемма 1 и теорема 2.

Лемма 1. Функцию голосования g(*1, *2, *3) = *1*2 V *2*3 V *1*3 можно реализовать неветвящейся программой Р^ (рис. 1), ненадежность которой N (Р^) = е.

Prg : 21 = *2 V *з

8ІОр( *1)

22 = *2 8ІОр( *з)

23 = *3

Рис. 1

Доказательство. По формуле (2) найдем функцию, которую вычисляет программа Р^ (рис. 1):

Р^(*1, *2, *3) = *1(*2 V *3) V *1(*3*2 V ХзХз) = *1*2 V *1*3 V *1*2*3 =

= *2(*1 V *1*3) V *1*3 = *2(*1 V *3) V *1*3 = *1*2 V *2*3 V *1*3.

Оценим вероятность ошибки программы Р^ на всевозможных входных наборах а = (0С1, а2, «3).

Отметим, что на наборах (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0) и (0, 1, 1) вероятность ошибки равна 0, так как 8Іор-оператор 8Іюр( *1) на этих наборах не срабатывает, а следовательно, ошибка функционального оператора 21 = *2 V *3 не влияет на результат работы программы Р^ .

Пусть входной набор а равен одному из наборов (1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 1). Обозначим Р0(Р^, 0) вероятность ошибки программы Р^ :

Р0(Р%, 0) = е.

Пусть входной набор а = (1,0,0). Обозначим -^(Р^, а) вероятность ошибки программы Рг^ :

Р^Р^, а) = е.

Таким образом, N(Рг^) = е .

Лемма 1 доказана.

Программу Рг8 (рис. 1) будем использовать для повышения надежности программ, реализующих произвольные функции.

Теорема 2. В полном конечном базисе В, содержащем х1 V х2, при любом п е N любую функцию / (х1,..., хп) можно реализовать такой про-

*

граммой Рг/, что при всех Ее (0,1/960] справедливо неравенство N (Рг*) <е + 81е2 .

Доказательство. Пусть полный конечный базис В содержит функцию х1 V х2 . Пусть /(х1,..., хп) - произвольная булева функция, п е N . По теореме 1 ее можно реализовать схемой Б, которая при Ее (0,1 /960] функционирует с ненадежностью Р(Б) < 5е + 182е . Используя схему Б, построим для / неветвящуюся программу с абсолютно надежными операторами условной

*

остановки Рг/ (рис. 2).

Р7 :

Рг

У1 = / [Б ]

У2 = / [Б]

У3 = / [ Б ] г1 = У2 V У3 8Иор( У1)

г2 = У2

э1ор( Уз)

гз = Уз

Рис. 2

*1

/

Рг

*11

/

Рг

*ш

/

Рг

*1

/

Программа Рг/ имеет один выход. Выделим в ней три подпрограммы,

*тт *ттт

Рг/ и Ргf (см. рис. 2). Если срабатывает первый 81ор-оператор

Ч

81;ор( У1), то выполнение программы прекращается и на выход программы идет значение выходной переменной ^1, если срабатывает второй 81юр-оператор 81юр(уз) - значение выходной переменной ^ . При этом результат

работы программы совпадает с результатом работ соответственно первой

*т *тт

Рг/ или второй Рг/ подпрограмм. Если же операторы условной остановки

не срабатывают, выполнение программы продолжается и на выход идет значение выходной переменной . В этом случае результат работы программы

*ТТТ

совпадает с результатом работы третьей подпрограммы Рг^ .

*

Вычислим и оценим вероятности ошибок на выходе программы Рг^.

Пусть входной набор а такой, что /(а) = 0. Обозначим Рі(£, а) вероятность ошибки схемы £ на наборе а . Тогда

Рі(Рг/, а) = (1 - Рі( £, а ))3 • о+р (£, а )(1 - р (£, а ))2 • є +

+(1 - Рі( £, а)) Рі (£, а )(1 - Рі( £, а)) • 0 + (1 - Рі (£, а ))2 Рі (£, а) • 0 +

+Рі2 (£, а)(1 - Рі (£, а)) • (1 - є) + Рі (£, а)(1 - Рі (£, а))Рі (£, а) • (1 - є) +

+ (1 -Р1(£,а))Р12(£,а)•і + Р13(£,а)• (1 - є) <Р(£)є + 3Р2(£).

Поскольку Р(£) < 5є + 182є и ее (0,1/960], получаем неравенство

Р1(Рг*, а) < 86е2 . (3)

Пусть набор а такой, что /(а) = 1. Обозначим Р0( £, а) вероятность ошибки схемы £ на наборе а . Тогда

Р0(Рг*-, а) = (і - Р)(£, а ))3 • є+Р)(£, а )(і - Р)(£, а ))2 • 0+

+(і - Р0( £, а)) Р0( £, а )(і - Р0 (£, а)) -є + (і - Р0( £, а ))2 Р0 (£, а) ^є+

+Р02 (£, а )(і - Р0 (£, а)) •і + Р0 (£, а )(і - Р0 (£, а)) Р0 (£, а) •і +

+(і - Р)( £, а)) Р02 (£, а) • (і - є)+Р03 (£, а) • і < є+зр 2 (£).

Поскольку Р(£) < 5є + 182є и єе (0,1/960], получаем неравенство

Р0(Рг*-, а) <є + 81є2 . (4)

*

Из неравенств (3) и (4) следует, что ненадежность программы N (Ргу)

* 2

удовлетворяет неравенству N (Ргу) <є + 81є .

Теорема 2 доказана.

О надежности неветвящихся программ в базисах, содержащих функцию Х V Х2

Пусть полный конечный базис В содержит функцию Х V Х2 . Для неветвящихся программ с оператором условной остановки справедливы лемма 2 и теорема 3.

Лемма 2. Функцию £і(Хі, Х2, Х3) = х^ V Х2Х3 V Х1Х3 можно реализовать неветвящейся программой Рг& (рис. 3), ненадежность которой

N (Рг^) = є.

Рга : г1 = Х1 V Х3 81ор( Х2)

г2 = Х2 8І0р( Хі)

г3 = Х3 Рис. 3

Доказательство. По формуле (2) найдем функцию, которую вычисляет программа Рг& (рис. 3):

Ргй (Хі, Х2, Х3) = Х2(Хі V Х3) V Х2(Х1Х2 VХ1Х3) = Хх V Х2Х3 V ХХХ3 =

= Х[(Х2 V Х2Х3) V Х2Х3 = Хі(Х2 V Х3) V Х2Х3 = Х1Х2 V Х2Х3 V Х1Х3.

Оценим вероятность ошибки программы Рг^ на всевозможных входных наборах а = (аі, а2, «3).

Отметим, что на наборах (0, 0, 0), (0, 0, 1), (1, 0, 0) и (1, 0, 1) вероятность ошибки равна 0, так как 8Іор-оператор 8Іор(Х2) на этих наборах не срабатывает, а следовательно, ошибка функционального оператора ^ = Хі V Х3 не влияет на результат работы программы Рг^ .

Пусть входной набор а равен одному из наборов (0, 1, 1), (0, 1, 0), (1, 1, 1). Обозначим Р0(Рг§1, а) вероятность ошибки программы Рг^ :

Р0(Рга, «) = є.

Пусть входной набор « = (1,1,0). Обозначим Р^Рг^,«) вероятность ошибки программы Рг^ :

Рі(Рга, а) = є.

Таким образом, N(Рг& ) = є .

Лемма 2 доказана.

Программу Ргй (рис. 3) будем использовать для повышения надежности программ, реализующих произвольные булевы функции.

Теорема 3. В полном конечном базисе В, содержащем Хі V Х2, при любом п е N любую функцию / (Хі,..., хп ) можно реализовать такой про**

граммой Рг/ , что при всех єе (0,1/960] справедливо неравенство

N (Рг**) <є + 81є2.

Доказательство. Пусть полный конечный базис В содержит функцию Хі V Х2. Пусть / (Хі,..., Хп) - произвольная булева функция, п е N. По теореме 1 функции / и / можно реализовать схемами £ и £2 соответственно, которые при єе (0,1/960] функционируют с ненадежностью, не больше

2

5е + 182е . Обозначим Р(£1) и Р(£2) ненадежности схем £1 и £2 соответст-

2

венно. Пусть Р = тах{Р(£1), Р(£2)}. Тогда Р < 5е + 182е . Используя схемы £1 и £2, построим для/неветвящуюся программу Рг^ (см. рис. 4).

рг/ _

У1 = / [ £1]

У2 = / [ £2]

У3 = / [£2] г1 = у1 V У3 8*0р( У2) г2 = У2

8<0р( Уі) г3 = У3 Рис. 4

**

Вычислим и оценим вероятности ошибок на выходе программы Рг/ . Пусть входной набор а такой, что /(а) = 0. Обозначим Р0(£1, а) и Рі(£2, а) вероятности ошибок схем £1 и £2 на входном наборе а . Ясно, что Р)(£1, а) < Р(£1), Рі(£2, а) < Р(£2). Тогда

Рі(Рг/-, а) = (і - Р0( £і, а ))(і - Рі( £2, а ))2 • 0+р^, а )(і - Рі( £2, а ))2 • 0+

+(і-Р0( £і, а ))Рі( £2, а )(1-Рі( £2, а)) • є+(і-Р0(£і, а ))(і-ж £2, а )р £2, а) • 0 +

+Р0(£1, а)Р1(£2, а)(1 -Р1(£2, а)) • (1 - є) + Р0(£1, а)(1 -Р1(£2, а))Р1(£2, а) •1 +

+(1 -Р0(£і, а))Рі2(£2, а) • (і - є)+Р0(£і, а)Рі2(£2, а) • (і - є) < Рє+3Р2.

Поскольку Р < 5є + 182є и єе (0,1/960], получаем неравенство

Р^Рг”, а) < 86є2 . (5)

Пусть входной набор а такой, что /(а) = 1. Обозначим Рі( £і, а) и Р0(£2, а) вероятности ошибок схем £ и £2 на входном наборе а . Ясно, что Рі(£і, а) < Р(£1), Р0(£2, а) < Р(£2). Тогда

Р0(Рг", а) = (і - Рі( £і, а ))(і - Р0( £2, а ))2 • є+Рі( £і, а )(і - Р0( £2, а ))2 • є+

(і - Рі(£і, а ))Р0(£2, а )(і - Р)( £2, а)) • 0 + (і - Рі(£і, а ))(і - Р0(£2, а)) х хР0(£2, а) ^є + Р1(£1, а)Р0(£2, а)(1 -Р0(£2, а)) •1 + Р1(£1, а)(1 -Р0(£2, а)) х хРз(£2, а) • (1 - є) + (1 -Рі(£і, а))Р0(£2, а) •і + Рі(£, а)Р)2(£2, а) •і < є + 3Р2.

2

Поскольку Р < 5є + 182є и єе (0,1/960], получаем неравенство

** Л

Р0(Рг/, а) <є + 81є2. (6)

Из неравенств (5) и (6) следует, что ненадежность программы N(Рг/ )

** 2

удовлетворяет неравенству N (Рг/ ) <є + 81є .

Теорема 3 доказана.

Замечание 1. Теорема 3 справедлива для полных конечных базисов, содержащих Хі V Х2, поскольку функция Хі V Х2 получается из функции Хі V Х2 переименованием переменных хі на Х2 и Х2 на хі.

О надежности неветвящихся программ в базисах, содержащих функцию хі V Х2

Пусть полный конечный базис В содержит хі V Х2 . Для неветвящихся программ с оператором условной остановкой справедливы лемма 3 и теорема 4.

Лемма 3. Функцию ^(Хі, Х2, Х3) = хх VХ2Х3 Vхх можно реализовать неветвящейся программой PГg2, приведенной на рис. 5, ненадежность

которой N(Рг&) = є.

Рг ГХ§2 •

21 = Х1 V Х3 8Юр( Х2)

г2 = Х2 8ІЮр( Хі)

23 = Х3 V Х3 Рис. 5

Доказательство. По формуле (2) найдем функцию, которую вычисляет программа Рг^ (рис. 5):

Р%2 (Хі, Х2, Х3) = (Хі V Х3)Х2 V Х2(Х2Хі V Хі(Х3 V Х3)) = Х1Х2 V Х2Х3 V хХХ3 =

= Хі(х2 V Х2Х3) V Х2Х3 = Хі(Х2 V Х3) V Х2Х3 = Х1Х2 V Х2Х3 V Х1Х3.

Отметим, что на наборах (1, 0, 0) и (1, 0, 1) вероятность ошибки равна 0, так как 8Іор-оператор 8Іор(Х2) на этих наборах не срабатывает, но срабатывает 8І;ор-оператор 8Іор(Хі), а следовательно, ошибка функциональных операторов ^і = Хі V Х3 и 23 = Х3 V Х3 не влияет на результат работы программы

Рг ГХ§2 •

Оценим вероятность ошибки программы Рг^ на всевозможных входных наборах а = (аі, а2, «3).

Пусть входной набор а = (0,0,0). Обозначим Р0(Рг^, а) вероятность ошибки программы Рг^ :

Р)(р%2, а) = £.

Пусть входной набор а равен одному из наборов (0, 1, 0), (0, 1, 1) или (1, 1, 0):

Р)(Р%2, а) = е.

Пусть входной набор а = (0,0,1). Обозначим Р^Рг^ а) вероятность ошибки программы Рг^ :

Р1(Р^2, а) = е.

Пусть входной набор а = (1,1,1):

Р1(Р^2, а) = е.

Таким образом, N (Р^2) = е .

Лемма 2 доказана.

Программу Рг& (рис. 5) будем использовать для повышения надежности программ, реализующих произвольные булевы функции.

Теорема 4. В полном конечном базисе В, содержащем Х V х2 , при любом п е N любую функцию /(Х1,..., хп) можно реализовать такой программой Рг^ , что при всех Ее (0,1/960] справедливо неравенство

*** Л

N (Рг*- ) <е + 81е2 .

Доказательство. Пусть полный конечный базис В содержит функцию Х1 V Х2 . Пусть /(Х1,..., хп) - произвольная булева функция, п е N . По теореме 1 функции / и / можно реализовать схемами 51 и £2 соответственно,

которые при Ее (0,1/960] функционируют с ненадежностью, не больше 2

5е + 182е . Обозначим Р(£1) и Р(£2) ненадежности схем £1 и £2 соответст-

2

венно. Пусть Р = тах{Р(£1), Р(£2)} . Тогда Р < 5е + 182е . Используя схемы

***

£1 и £2, построим для/неветвящуюся программу Рг^ (рис. 6).

***

Вычислим и оценим вероятности ошибок на выходе программы Рг^ . Пусть входной набор а такой, что /(а) = 0. Обозначим Рд(£1, а) и Р1(£2, а) вероятности ошибок схем £1 и £2 на входном наборе а .

Ясно, что Рд(£1, а) < Р(£1), Р1(£2, а) < Р(£2). Тогда

Р1(Рг"**", а) = (1 - Р0 (£1, а ))2 (1 - Р1( £2, а)) • 0+Р0 (£1, а )(1 - р (£2, а)) х

х(1 - Р0(£1, а)) • Е + (1 - Р0(£Ъ а))Р1 (£2, а)(1 - P0(£1, а)) • Е +

+(1 - р0( £1, а ))(1 - Р1( £2, а)) Рс( £1, а) • 0+р0( £1, а р £2, а) х

Х(1 -Р0(5Ь а)) • (1 -є) + Ро(5Ь а)(1 -р(£2, а))Р0(5Ь а)• (1 -є) + +(1 -Ро(5Ь а))Рі(52, а)Ро(5Ь а) • (1 - є) + Ро2(5Ь а)Рі(52, а) • (1 - є) <

< 2 Р( 5 )є+ 3Р 2( 5).

Рг*

Ч •

Уі = 7 [ 5і]

У2 = 7 [52]

У3 = 7 [ 51] г1 = у1 V у3 8Юр( У2) г2 = У2 8<0Р( Уі) г3 = у3 V У3

Рис. 6

2

Поскольку Р(5) < 5є + 182є и єє (0,1/960], получаем неравенство

Р^Рг***, а) < 90є2 . (7)

Пусть входной набор а такой, что 7(а) = 1. Обозначим Рі (51, а) и

Ро(52, а) вероятности ошибок схем 5і и 52 на входном наборе а . Ясно, что

Рі(5і, а) < Р(5і) , Ро(52, а) < Р(52). Тогда

Ро(Рг***, а) = (і - Рі( 5і, а ))2(1 - Ро( 52, а)) -є+Рі( 5і, а )(і - Ро( 52, а)) х

Х(1 - P1(51, а)) • є + (1 - Р1(5Ь а))Ро(52, а)(1 - Р1(51, а)) • є +

+(1 - Р1(51 а))(1 - Ро(52, а))Р1(51 а) • є + Р1(5Ь а)Ро(52, а)(1 - Р1(5Ь а)) •1 +

+Р1(5Ь а)(1 -Ро(52, а))Р1(51, а) • (1 - є) + (1 -Р1(51, а))Ро(52, а) Х хр1 (51, а) • (і - є)+р12 (51, а)Ро (52, а) • і < є+3Р2(5).

Поскольку Р(5) < 5є + 182є и єє (о, 1/9бо], получаем неравенство

Ро(Рг*Г, а) <є + 81є2 . (8)

Из неравенств (7) и (8) следует, что ненадежность программы N(Рг*- )

етворяет неравенству Теорема 4 доказана.

удовлетворяет неравенству N(Рг7 ) <є + 81є .

Заключение

Из теорем 2, 3 и 4, учитывая замечание 1, следует теорема 5.

Теорема 5. В полном конечном базисе В, содержащем функцию вида

х^1 V х^2, аі, а2 є {о, 1}, любую булеву функцию 7 можно реализовать такой программой Рг7, что при всех єє(о, 1/9бо] справедливо неравенство

N (Рг7) <є + 81є2.

Замечание 2. Утверждение теоремы 5 верно, если полный конечный базис содержит некоторую функцию вида х^1 V х^2 V... V х^ (к > 3,

а^ є {о, 1}, і є {1,...,к}), поскольку, отождествляя некоторые переменные, из

нее можно получить функцию вида хЬ V х^2, &і, ^2 є {о, 1} .

Из теоремы 5 следует, что в полном конечном базисе, содержащем некоторую функцию вида х^1 V х^2, аі, а2 є {о, 1}, любую булеву функцию 7 можно реализовать неветвящейся программой с ненадежностью, не больше є + 81є2 при єє (о, 1 / 9бо].

Сравним полученный результат с известными результатами [3] для схем из функциональных элементов.

Пусть В3 - множество всех булевых функций, зависящих от трех переменных х1, х2, х3, а полный базис В с В3 . Обозначим О = Gl и О2 и О3, где

Gl = {х^1 х2 2 V х^1 х3°3 V х2 2 х^3 | сг- є {о, 1}, і є {1, 2, 3}};

О2 = Со^г{хі01 х22 © х^3 | Сі є {о, 1}, і є {1, 2, 3}};

О3 = Со^г^С1 х|2 V х^2 х^3 | Сі є {о, 1}, і є {1,2, 3}}.

Известно [2], что если полный базис В содержит функцию фє О , в частности функцию голосования g (хі, х2, х3) = хіх2 V х2 х3 V хіх3 , то любую функцию в этом базисе можно реализовать асимптотически оптимальной по надежности схемой из функциональных элементов, ненадежность которой асимптотически равна є при є^ о. Если же полный базис В с В3 \ О, то для почти всех функций ненадежность асимптотически оптимальных по надежности схем асимптотически не меньше 2є при є^о [2].

Например, в базисе {х1(х2 V х3), хі V х2,1} почти для всех булевых функций можно построить асимптотически оптимальные по надежности схемы с ненадежностью, асимптотически равной 2є при є^о [3]. В базисе В = {хі & х2, хі V х2, хі} почти все булевы функции можно реализовать асимптотически оптимальными по надежности схемами, функционирующими с ненадежностью, асимптотически равной 3є при е^о [3]. В базисе В = { х V х2 , хі} почти все булевы функции можно реализовать асимптотически оптимальными по надежности схемами, функционирующими с ненадежностью, асимптотически равной 4є при є^о [3]. Например, в базисе

{хі V х2, хі} почти все булевы функции можно реализовать асимптотически оптимальными по надежности схемами, функционирующими с ненадежностью, асимптотически равной 5є при є^о [4].

Таким образом, в полном конечном базисе, содержащем некоторую

функцию вида х^1 V х^2, аі, а2 є {о, 1}, любую булеву функцию можно реализовать неветвящейся программой, функционирующей с ненадежностью не больше є + 81є при єє (о, 1/9бо] . В то время как асимптотически оптимальные по надежности схемы из функциональных элементов в различных полных базисах В с В3 \ О, содержащих функции вида х^1 V х^2, аі, а2 є {о, 1}, имеют ненадежность, асимптотически равную кВ • є при є^ о, константа кВ зависит от базиса В и кВ є {2, 3, 4, 5} .

Список литературы

1. Чашкин, А. В. О среднем времени вычисления значений булевых функций / А. В. Чашкин // Дискретный анализ и исследование операций. - 1997. - Январь-март. - Т. 4. - № 1. - С. бо-78.

2. Алехина, М. А. О надежности схем в базисах, содержащих функции не более чем трех переменных / М. А. Алехина, А. В. Васин // Ученые записки Казанского государственного университета. - 2оо9. - Т. 151. - Кн. 2. - С. 25-35. - (Физикоматематические науки).

3. Васин, А. В. Асимптотически оптимальные по надежности схемы в полных базисах из трехвходовых элементов : дис. ... канд. физико-математических наук / Васин А. В. - Пенза, 2оіо. - 1оо с.

4. Васин, А. В. Об асимптотически оптимальных схемах в базисе {х1 &х2, х1} / А. В. Васин // Дискретный анализ и исследование операций. - 2оо9. - Ноябрь-декабрь. - Т. 16. - № 6. - С. 12-22.

Грабовская Светлана Михайловна ассистент, кафедра дискретной математики, Пензенский государственный университет

Grabovskaya Svetlana Mikhaylovna Assistant, sub-department of discrete mathematics, Penza State University

E-mail: [email protected]

УДК 519.718 Грабовская, С. М.

О надежности неветвящихся программ в базисе, содержащем

функцию вида х^1 V х^2 / С. М. Грабовская // Известия высших учебных

заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2оіо. -№ 4 (16). - С. 26-38.