CC BY
8УДК 512.6:519.61
О ^-ПЕРИОДИЧЕСКИХ БЕСКОНЕЧНЫХ СИСТЕМАХ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Ф, М. Федоров
Исходя из основной теоремы гауссовых систем [1], в [2] с общих позиций рассмотрена теория периодических бесконечных систем [3]. В данной статье применим подход работы [2] для изучения почти периодических бесконечных систем, хотя эти системы в достаточной мере рассмотрены в [3-5].
Пусть задана следующая однородная гауссова система:
Е^±£^+р = 0' j = 0,1,2,.... (1)
р= О З'З
В [1] получена основная теорема о необходимых и достаточных условиях существования нетривиального решения однородных бесконечных гауссовых систем (1).
Теорема. Необходимым и достаточным условием существования нетривиального решения однородной гауссовой системы (1) является выполнение следующих условий для каждого 3:
Е ^^ = 0, 3 = 0,1,2,..., (2)
р=0 о« П ЭД + к) к=0
-1
где для унификации обозначений принято П + к) = 1 для всех
к
© 2013 Федоров Ф. М.
При выполнении условий (2) решением системы (1) являются выражения вида
где хо — произвольное вещественное число, Я (к) удовлетворяют уравнениям (2) для каждого ].
Система уравнений (2) называется характеристикой, а числа Я(г) — характеристическими числами соответствующего решения (3) гауссовой системы (1) [1,3,4].
Напомним, что если коэффициенты первого уравнения системы (1) сохраняются для всех других уравнений системы, то такие системы называются периодическими, а если периодически повторяются коэффициенты более чем одного из первых уравнений для других уравнений системы, то такие системы называются почти периодическими.
Рассмотрим частный случай гауссовой системы, а именно почти периодическую систему, при этом полагаем, что периодически повторяются с периодом п коэффициенты первых п уравнений для других уравнений системы.
Итак, коэффициенты системы (1) (для простоты полагаем а^ = 1) имеют вид
При этом в выражении (4) в силу предположения о а^- должны выполняться равенства ао = Ь = • • • = до = 1В этом случае характеристика (2) каждого решения уравнения си-
(3)
ар, 3 = п1, Ьр, з = п/+1,
р >0, / = 0,1,2,.... (4)
- др, з =п/ + п - 1,
стемы (1) с коэффициентами (4) на основании теоремы 1 имеет вид
EPÍ71)Pap =о, з = ш,
р=0 П SU+k) k = 0
Е Pir1)Pbp = о, j = ni + i, р=0 П Sj+k
^ / i ip
E Д ] 9P = 0, J=nl + n- 1, p=0 П Sj+k)
p >0, 1 = 0,1,2,.... (5)
Сами уравнения в системе (5) являются бесконечными системами в з
j - 0 а0 -
ai
2а___2±-
s(l) ^ s(1)s(2) р-1
П ^k) fc=i
,
j = n a0 - ^ ( ai--
s(n+1) ^ p-i
П S(n+k)
fc=l
,
j = nl a0 - I n, - , . ^-
s(ní) i ai s(ní+1) + p-i
П S(nl+k)
,
(6)
где l = 0,1,2,.... Сравнивая каждое уравнение системы (6) друг с другом, можно считать, что
S(0) = S(n) = S(2n)= • • • = S(nl) = • • • = S(0) = const. (7)
Тогда появляется возможность циклического допущения выполнения соотношений:
S(l) = S(n+1) = S(2n + 1) = • • • = S(nl + 1) = • • • = S^ = const,... S(n - 1) = S{n + n -!) = ••• = S(nl + n - 1) = • • • = S(st.
(8)
Найдем решения системы (1) с коэффициентами (4), если они существуют, для которых выполнены условия (8). Пусть удовлетворяют-
ся условия (8). Тогда первая система в (5) с учетом (7) и (8) преобразуется в одно уравнение:
п — / 1 \пр+1„
ЕЕ 7-1 пр+'^р(п) = О, (9)
г=о р=О 5(к
к=0
где
"-В = М(П)- (10)
-1
Для унификации обозначений здесь и ниже считаем, что П Б^к = 1.
к
Аналогично расписывая, как и (6), вторую систему в (5), с учетом (7) и (8) также преобразуем ее в одно уравнение:
ЕЕ * Ьпр+1^(п) = о, (п)
г=о р=о ^ 5(к
к
Продолжая таким образом для остальных систем в (5), получим уравнения, аналогичные (9) и (11), которые в общем случае выглядят так:
то /_•.\пр+1 пг
ЕЕ "Р+Уи = о, / «и.....„ 1.
;=0р=0 ^ 5( к) (12) к=г
9пр+1 = апр+1, 9пр+1 = Ьпр+1,. .., 9пр+1 = 9пр+1. В частности, при £ = 0 и £ = 1 получим соответственно соотношения
(9) и (11) соответственно.
г+г—1 г-1
Поскольку П Б^к = Б^к+*\ выражение (12) окончательно
к=4 к=0
примет вид
п-1 те /_ 1\пр+1Л
ЕЕ ПР+1ИР(п) = 0, ¿ = 0,1,...,п-1. (13)
г=о р=о б(к+г)
к
Систему (13) можно называть характеристикой самой системы (1) с коэффициентами (4).
Необходимо подчеркнуть, что при раскрытии формулы (13) по £ нужно учитывать соотношения (7) и (8), вследствие чего имеют место
п
Я(о) _ яМ = Я2 П = . Я(1) = Я(п+1) = Я(2 "+1) = ..., (14)
и т. д.
Введем обозначение
£(-1) прдППр+1 мр( п) = т (15)
р
при этом допускаем, что степенные ряды в (15) имеют общий круг абсолютной сходимости с радиусом Е > 0. Тогда (13) перепишется так:
/¿(м,п) + £ = 0, 4 = 0,1,..., п — 1. (16)
г=1 жп ж к=1
Отсюда
= БМ (п) = ^ = о, t = О^Т, (17)
1=1 /о(П ж
к
при этом полагаем, что /¿(р, п) ф 0.
Первые три уравнения относительно Я0^ =
п
= Я(2\п) в (17) имеют следующий вид (аргументы п для функций /'(р,п) опущены):
Л° Й , 1 Г/з° , ^ (~1)'+1Л°
Я(о) = _
/00 /»ЯС1) Я(1)Я('
О 1 £ г-1
4 /о П я(к)
I
¿0
к
п
И , 1 у (-1У+1П й (18)
/ П Я(к)
к
Я(2)=^.(-1)г+1/г2 , ( 1)ПУп —1
'+1 „ пП
Ю
1=1 / П Я(к) /02^ п Я(к)
кк
В последнем уравнении учтено равенство Sn = которое следует из соотношений (14). Очевидно, что решение системы (18) сводится к решению одного квадратного уравнения, решив которое найдем
S n) = n, S^ (n), S^ (n),..., S^n ^ (n));
S^(n) = E(M, n, S^ (n), S^ (n),..., S(n—^ (n)); (19)
S<2>(n) = (n)).
При t = 3 соотношение (17) дает
n—3 ( iV+l f3 i_1\n4 f3 С — Лп/З
М3)(п) = V (~lj * +±-tl-+-1 lj J"-1-. (20)
v ' Z—/ i+2 n—1 n—1 v y
i=1 fo П S(k f3S(°) n S(fS^SW n S(fc)
fc=4 fc=4 fc=4
Подставляя значения SS из (19) в (20), получим алгебраи-
S
S n) = n, S^(n)> S^(n);..., S*-n В(n)). (21)
В свою очередь, подставляя (21) в (19), перепишем (19) в виде SW („) = Ё0(р, п, S№ (П), (п),..., S^-V (п)); S« (п) = (м, п, S« (п), (п),..., S^-V (п)); (22)
S<(2) (п) = Ё2 (м, n, S'(4) (n), S{5) (п),..., (п)). Продолжая этот процесс для t = 4 и далее, в конце концов получим S<"-2)(n) =I„_2(M,n,^"-1)(n)), (23)
следовательно,
(24)
При t = n — 1 соотношение (17) с учетом (23) и (24) дает уравне-
S n— n
S(n—В (и) и тем самым выразим все S ^ (n), г = 0,1,... ,n — 1, тер ез
= SW(n) = S^n—(n) = Fn— (25)
С учетом (25) соотношение (10) дает следующее характеристическое уравнение для определения параметра р:
1 - р^{р,п)^(р,п)... (р,п) = 0. (26)
Теорема. Если р является корнем уравнения (26), то выражение вида
_ ,, _ (-1Г+Ух0 _ (-1 Г+Ух0
хпг — V *■) Р х0, хпг+1 — ¿"(О) ' Я™+2 — 5(0)5(1) '
_ (~1)"»+("-ухо . _
• • • , хпг+(п-1) — £(0)5(1) 5(п-2) ' г — U, 1, ... , 00. (Zí J
является решением гауссовой системы (1) с коэффициентами (4).
Доказательство. В силу выполнения условий (8) для характеристических чисел S(i) и условий (14) для чисел Sхарактеристика (5) искомого решения преобразуется в конечную систему (16), как в этом убедились выше. Пусть ро является корнем уравнения (26). Это значение р подставляем в (25) и находим все S^(n), i = 0,1,... ,n —1. Очевидно, что при этих значениях (n), i = 0,1,.. .,n — 1, уравнение
(26) с учетом (10) превращается в тождество. Поскольку выражения
рр
Тогда с учетом соотношений (7), (8) и (14) и теоремы 1, т. е. формулы (3), легко убеждаемся, что выражение (27) является решением гауссовой системы (1) с коэффициентами (4). Действительно, формула (3) при 0 < i < n — 1 и формула (27) при i = 0 совпадают. Далее, сравнивая формулу (3) при 0 < i < 2n — 1 и формулу (27) при i = 1 и т. д., убеждаемся, что эти выражения полностью совпадают, тем самым теорема доказана.
Теорему 2 можно доказать и непосредственно, используя априори заданные выражения (27).
Не нарушая общности, доказательство теоремы проведем для пер-
n
индексов Имеем
те те те те
^ ^ архЯ+р — ^ ^ архп1+р — ^ ^ апрхпО+пр ""Ъ ^ ^ апр+1 хп!+пр+1 р р р р
тете
+ апр+2хп1+пр+2 + • • • + апр~(~п — 1 хпО~(~пр~|~п — 1. (28) рр
Подставляя соотношения (27) при м = мо в (28), получим
те те ^ 1\п(0+р) !+р те
^(-1Т(1+р)*пр^+рх0 - Е ^—Хо + Е(-1)п('+р) р р р
X
Е-
5(0)5(1) 5(°)5(1) 5( п—2)
р
= ( —1) п'М0 х0
¿=о р=о 5(к
к
С учетом уравнения (16) при ¿ = 0и обозначений (15) получим
(-1) ¿П (Мо,п)
(—)п Мохо
Е-
¿—1
¿=о П 5(к)
к
= 0,
что показывает удовлетворение уравнений системы (1) с коэффициентами (4) при ,7 = п/, / = 0,1, 2,.... Аналогично доказывается удовлетворение остальных уравнений системы (1) поочередно при , = п/ + 1, , = п/ + 2, ...,, = п/ + п — 1, / = 0,1, 2,.... Теорема доказана. □
Пусть задана последовательность чисел аЯ-Я- таких, что аЯя ф 0 для любого Составим го этих чисел и из коэффициентов ар, Ьр,..., др системы (1) систему коэффициентов аЯя+р следующим образом:
араЯ-+ря+р, , = п/, / = 0^1,..., р = ОД, . ..,
. Ьра^р^+р, ,= п/ + 1, / = ОД,..., р = ОД,..., аЯЯ+р = \ (29)
дра^р^^р, , = п/ + п — 1, / = 0,1,..., р = 0Д,....
Построим из коэффициентов (29), (13) гауссову однородную бесконечную систему, краткая запись которой имеет вид
р=0
оо
а3,+рх3+р ~ <
р
ьРа,-\-р,-\-рх^р — з — н1
р
Е драз+р,з+рХ-з+р = 0, 3 = н1 + н - 1,
р
(30)
где 1 = 0,1, 2,....
Без труда доказывается следующая
Теорема. Решения бесконечной системы с разностными индексами (1) с коэффициентами (4) и системы (30) с одним и тем же характеристическим уравнением (26) изоморфны.
Следствие. Выражения вида
(-1)"Ух0 _ (-1)ргх0
Хт+1 —
апг,пг ат+1,т+1
(31)
являются решениями бесконечной системы (30), где р — корни характеристического уравнения (26).
н
нн
одическими системами [3—5]. При н ^ то получим гауссову систему в общем виде.
Таким образом, гауссовым бесконечным системам вида (30) мож-
н
нн одическими системами.
нн
Эти случаи специально изучены ранее [3-5] и, как указано выше, соответствующие им бесконечные системы названы почти периодическими.
Более того, именно эти случаи в данной статье получили прямое обоб-
пп Тогда теорема 2, точнее, формула (27) дает ¿ — 1 Мх
Х2г — Ц Х0, Х2г+1 — '
где м определяется из характеристического уравнения (26), которое в данном случае с учетом обозначений (25) имеет вид
1 — ^о(М,2)^(М,2) = 1 — М5(0)(2)5«(2) = 0. Если привести обозначения в соответствие с 5
5', 5^(2) = 5'', то обозначение (10) дает
1 1
= М 2) = = М-
5№ (2)5(1) (2) ^ ; 5'5" Введем функции /¿, г = 1,2, согласно [5]. Тогда характеристическое уравнение перепишется следующим образом:
ЛЫЫМ) — МЛМЫМ) =
Тем самым результаты данного примера полностью совпадают с результатами работы [3]. п
а (-1)<+У*о (-1)Уж0 х3г = (-1) М хЗг+1 =-Е?пТ7оХ-' хЗг+2 =
5(°) (3) ' 5(°)(3)5(1)(3)'
Далее аналогично предыдущему примеру убеждаемся, что результаты
данного примера полностью совпадают с результатом работы [5].
ЛИТЕРАТУРА
1. Федоров Ф. М. К теории гауссовых бесконечных систем линейных алгебраических уравнений (БСЛАУ) // Мат. заметки ЯГУ. 2011. Т. 18, вып. 2. С. 209-217.
2. Федоров Ф. М. К теории периодических бесконечных систем линейных алгебраических уравнений // Мат. заметки ЯГУ. 2013. Т. 20, вып. 1. С. 141-152.
3. Федоров Ф. М. Периодические бесконечные системы линейных алгебраических уравнений. Новосибирск: Наука, 2009.
4. Федоров Ф. М. Бесконечные системы линейных алгебраических уравнений и их приложения. Новосибирск: Наука, 2011.
5. Федоров Ф. М. Об обобщениях почти периодических бесконечных систем линейных алгебраических уравнений // Мат. заметки ЯГУ. 2011. Т. 18, вып. 1. С. 147-154.
г. Якутск
28 июля 2013 г.
