CC BY
24
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 11 Выпуск 3 (2010)
0 МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫХ ГРУППАХ СВОБОДНЫХ И СВОБОДНЫХ КОММУТАТИВНЫХ КВАЗИГРУПП
М. М. Глухов (г. Москва)
Введение
Данная работа инспирирована статьями [5], [6], посвященными изучению односторонних, то есть левой и правой, мультипликативных групп свободной лупы Ш, обозначаемых соответственно в виде ЬМН(Ш) и ЯМИ(Ш), В [5] доказано, что левая (правая) мультипликативная группа свободной лупы Ш является свободной группой бесконечного ранга, а как группа подстановок на Ш — группой Фробениуса. В [6] показано, что для группы МИ(Ш) стабилизатор двух точек нетривиален и найдена система образующих стабилизатора МН(Ш)а,ь при любых различных а,Ь Е Ш. Доказано также, что группа МИ(Ш)а,ь,с тривиальна при любом с = а,Ь. Доказательства основаны на использовании введенных ранее Т. Ивенсом нормальных формах слов, [8].
В данной работе предлагается более простое доказательство указанных выше результатов о группах ЬМИ(Ш) и ЯМН(Ш), а также их распространение на ГруППу МИ(Ш) и на случай, когда Ш — абсолютно свободная квазигруппа, или свободная коммутативная квазигруппа, или свободная Т$-квазигруппа.
1 Основные понятия и обозначения
Под квазигруппой понимают любое непустое множество Q с бинарной операцией умножения (•), в котором для любых а,Ь Е Q однозначно разрешимо каждое из уравнений
ах = Ь, уа = Ь.
Квазигруппа с единицей называется лупой.
Множество всех так определенных квазигрупп (луп) не является многообразием алгебр, поскольку не замкнуто относительно подалгебр и гомоморфных образов. Поэтому при решении различных вопросов, связанных с многообразиями квазигрупп и луп, последние рассматривают как алгебры с тремя бинарными операциями (•), (/), (\), где операции (/), (\), называемые соответственно левым и правым делением, определяются условиями:
а/Ь = с сЬ = а, а\Ь = с ас = Ь.
Всюду далее квазигруппы рассматриваются как алгебры в сигнатуре П = {•, /, \}, а лупы — как алгебры в сигнатуре П = {•, /, \, в}, где в — символ 0-арной операции, играющий роль единицы.
Для квазигруппы Q правой (левой) трансляцией, соответствующей элементу а Е подстановка Яа (Ьа) множества Q такая, что пЯа = па (пЬа =
= ап) для любого элемента п Е Q. Множество всех правых (левых) трансляций квазигруппы ^ через Яд (Ьд>).
Напомним (см. [1]), что правой (левой) мультипликативной группой квазигруппы называют группу ЯМИ^) (ЬМЫ^)) подстановок множества Q, порожденную всеми правыми (левыми) трансляциями квазигруппы Q. Группу, порожденную всеми трансляциями квазигруппы Q, называют ее мультипликативной группой и обозначают в виде МН^). Таким образом,
ЯМ1ф) = <Яд >, ЬМ1ф) = <Ьд >, М1ф) =<Яяи Ьд > .
Группу подстановок С множества А называют группой Фробениуса, если она транзитивна па А, не регулярна (то есть имеет нетривиальный стабилизатор Са для любой точки а Е А) и имеет тривиадьный стабилизатор Са,ь для любых а, Ь Е А
Обозначим буквой X некоторое непустое множество символов, которые будем называть переменными, обозначая их буквами х, у, г (возможно с индексами), Обычным образом индуктивно определяются понятия П-слова в алфавите X и его длины, А именно:
1) любой символ из X есть П-слово длины 1 в алфавите X,
2) если А и В — П-слова в алфавите X и * — символ любой операции из П, то (А) * (В) есть П-слово в алфа вите X, его длина равна сумме длин слов А, В, которые называются его главными подсловами или главными компонентами,
3) Других слов в алфавите X нет.
При определении П 1-СЛОВ изменяется лишь пункт 1), в нем к словам длины
в
П П1 А = В
П-слов (Послов) в алфавите X. При этом слова А, В называются соответствен-
А=В
няетея в квазигруппе (лупе) Q, если при замене в нем переменных букв из X произвольными элементами из Q, при условии, что одинаковые буквы заменяются равными элементами, левая и правая части тождества принимают одинаковые значения из Q.
Многообразия всех квазигрупп и луп в указанных сигнатурах задаются соответственно системами тождеств
к = {хУ/У = x, (х/у)у = х, х(х\у) = у, х\хУ = у, х/(у\х) = у, (х/у)\х = у},
к = К0 |^|{хв = х, вх = х, х/х = в, х\х = в}.
П П1
руппой или лупой тогда и только тогда, когда в ней выполняется соответственно система тождеств Е0 или Ее.
Система тождеств называется тривиальной, если она выполняется только в одноэлементных квазигруппах. Системы тождеств называются эквивалентными, если они выполняются в одних и тех же квазигруппах. Многообразие всех квазигрупп, в которых выполняются все тождества некоторой системы Е, обозначим через Q(Е). Далее мы будем рассматривать лишь свободные квазигруппы многообразий Q(Е) при различных Е.
Е
ре П, содержащую Е0, и рассмотрим многообразие Q(Е).
М
ми из П. Его диаграмму, то есть множество всех соотношений вида, а * Ь = с, где а,Ь,с Е * — любая операция из П, обозначим через 5(М). В частности, Б(М) может быть и пустой. Далее соотношения вида, а * Ь = с будем называть
М
ММ частном случае, когда определены все слова, М будет квазигруппой, а Б(М) — ее таблицей Кэли,
М
деленными операциями из П и с диаграммой Б(М) выполняется тождество и = V, если при подстановке в него вместо переменных любых элементов из М П М
ММ них определено, а в другом не определена хотя бы одна из главных компонент, М
ЕЕ
ных Е-квазигрупп обозначим через Р(Е), При определении частичной лупы
в
Так как Е Э Е0, то наличие в Б(М) для М Е Р(Е) любого одного из соот-аЬ = с с/Ь = а а\с = Ь два из них будем называть тривиальными следствиями третьего.
Пусть М Е Р(Е), а,Ь Е М и в М не определено а * Ь. Добавим к М новый элемент с, и к Б(М) соотношение а * Ь = с, вместе со всеми следствиями системы Е У Б (М) У {а * Ь = с}. Для получения этих следствий мы должны производить
М { с} Е
некоторой подстановке в тождество и = V окажется, что слово в одной из частей тождества определено и имеет значение ,ш, а слово из другой части не определено и имеет вид А о В, где главные компоненты А, В определены и имеют соответственно значения п, V, то получаем в качестве следствия новое табличное соотношение п о V = ,ш. Если же окажется, что слова в обеих частях тождества определены и имеют разные значения п, V, то получаем следствие п = V, после чего заменяем в Б(М) элемент V на п и удаляем из М элемент
V. В итоге мы получим множество М1 с системой еоотношений Б(М1). Далее
М1
получим частичную Е-квазигруппу Т.
Полученная выше из М частичная квазигруппа Т называется простым сво-
М
Т = [М; а * Ь = с].
Частичная квазигруппа Т Е Р(Е) называется конечно свободным расширением частичной квазигруппы М Е Р(Е), если Т получена из М конечной последовательностью простых свободных расширений. Очевидно, что для любого слова Ш в алфавите М, те определенного в частичной квазигруппе М, можно построить конечно свободное расширение, в котором определено слово Ш. Ниже для сокращения речи простые и конечно свободные расширения иногда будем называть просто расширениями.
Е
условию Я, если любая частичная квазигруппа М Е Р(Е) изоморфно вложима в любое ее простое свободное расширение Т = [М; а * Ь = с], причем каждое Б(Т)\Б(М) а Ь с
Б(М)
тождеств Е и соотпошепия а * Ь = с. Понятие Я-многообразия квазигрупп вве-Я
Я
ТБ
Я
спстемы тождеств из работы [4].
ЯМ Р(Е) изоморфно вложима в квазигруппу из Q(Е), заданную системой образующих М и системой определяющих соотношений Б(М). Тогда по известной теоре-
Я
разрешима проблема тождества слов. Кроме того, по доказанному в [3], для
Я
алгоритмические проблемы изоморфизма и вхождения в подквазигруппу,
Я
но воспользоваться и для описания правых (левых) мультипликативных групп свободных квазигрупп и свободных коммутативных квазигрупп.
2 Описание левой и правой
мультипликативных групп свободной квазигруппы многообразия Q(E0)
Рассмотрим сначала вопрос о строении групп ЬМИ^), ЯМИ^) для свободной квазигруппы ^ ^ всех квазигрупп Q(Е0), В силу симметрии
достаточно рассмотреть группу С = ЯМИ^). Заметим, что в этом случае в простом свободном расширении Т = [М; а * Ь = с] соотношениям и из Б (Т )\Б (М)
а*Ь=с
Лемма 1. Пусть ^ ^ ^^^^группа, с базисом М многообразия
Q(Е0) и С = ЯМИ^). Тогда, любой элем,ент д Е С оставляет неподвижным не более одного элемента из Q.
Я Е = Е0
Q(Е) — многообразие всех квазигрупп, следствием любого табличного соотношения являются лишь его тривиальные следствия,
дС
д = Яа\ ■■■Яакк , аг Е Q, £г Е {1, —1} г = 1, . . . ,к,
я£+1 = Я^при г = 1,...,к - 1. (1)
д
(то есть произведение) ЯЦ...Яа*1 — несократимыми. Несократимым представлением единицы группы С (то есть тождественной подстановки) £ будем считать пустое слово. Всюду далее без оговорок будем использовать лишь несократимые преставления элементов из С. Заметим, что для трансляции Яа обратная подстановка определяется равенством пЯ_1 = п/а. Поэтому действие д па элемент п Е Q запишется в виде
пд =((... ((п 01 а1) 02 а2)...) ок_1 аи-\) ок ак,
где при любом г Е {1,к^ ^^^ация о^ есть - или / ,
Индукцией по к докажем, что для любых различных п^ Е Q система ра-
венств
((. . . ((п о1 а1) о2 а2)...) ок_1 ак_1) ок ак = п. (2)
((... ((V о1 а1) о2 а2)...) ок_1 ак_1) ок ак = V. (3)
не совместна в Q.
При к = 1 равенства (2), (3) имеют вил
п о1 а1 = п, V о1 а1 = V. (4)
Рассмотрим частичную квазигруппу М с пустой системой Б(М) и поетро-
М1
элементы п, V, а1 значениями слов в алфавите М), Так как Е0
хх = х Я М1
имеет место неравенство п = а1 и выполняются равенства (4), В силу уело-
М1
должен быть один из элементов п, V, а1. Однако из определения простого свободного расширения видно, что последним присоединенным элементом может
быть только ai, и присоединиться он может лишь с со отношением и * и = а\, а соотношения (4) будут его тривиальными следствиями. Отсюда видно, что и = v, вопреки условию.
Пусть паше утверждение верно для любых различных u,v G Q при к < и, докажем его для к = и.
к=и
и °1 ai = bi, bi °2 a2 = b2j • • • , bk-2 °k-i ak-i = bk-i, bk-i °k ak = u, v °i ai = ci, Ci °2 a2 = C2, ••• , Ck-2 °k-i ak-i = Ck-i, Ck-i °k ak = v• (5)
Сразу отметим, что неравенство и = v влечет неравенства bi = Ci, i = !,•••,к — 1.
Построим сначала минимальное конечно свободное расширение Mi частичной квазигруппы M, в котором определены элементы
и, ai,bj, i = !,•••, к, j = !,•••, к — L Рассмотрим ряд случаев
1) Последний присоединенный элемент есть и.
Тогда в силу условия R в Mi выполняются соотношения
и °i ai = bi,bk-i °k ak = и•
Так как и последний присоединенный элемент, то bk-i, ak = и, и первое соотношение является тривиальным следствием второго. Отсюда получаем:
а) если °k есть • , то °i есть /, причем ak = ai и bk-i = bi,
б) если °k есть / , то °i есть • , ^ртчем ak = ai ъ bk-i = bi.
В случае, когда к = 2, мы получаем противоречие с условием несократимости представления (1) для g поскольку в условиях а), б) это представление д будет иметь соответственно вид R-iRa 1, Ra 1 R-i
Если к > 2, то, подставляя данные из а), б) в равенства (2), (3), получим равенства
{• • • (ui °2 a2) • • •) °k-i ak-i = u1,
{• • • (vi °2 a2) • • •) °k-i ak-i = vi,
где ui = u/ai; vi = v/ai в случае а), и ui = u • a^ vi = v • ai в случае б), В обоих случаях ui = vi; и мы получаем противоречие с предположением индукции,
2) Последний присоединенный элемент есть bs, 1 ^ s ^ к — 1.
Mi
bs-i °s as - bs) bs °s+i as+i - bs+i• (6)
Из условия R следует, что bs-i,as = bs и в (6) второе соотношении есть тривиальное следствие первого. Далее возможны два варианта,
а) если °s есть •, то °s+i есть / причем as+i = as и bs+i = bs-i,
б) если ок есть /, то о1 есть -, причем а3+1 = а3 и Ь3+1 = Ь3_1.
В обоих случаях Яа+1 = Я_аа, что противоречит несократимости представления д
3) Последний присоединенный элемент есть а3, 1 ^ в ^ к.
Тогда при ^ > 1 в М^, а значит и в Q, выполняется соотношение
Ь3_1 о3 а3 = Ь3. (7)
Если при этом в М1 уже присутствуют эле менты с3_1, с3, то должно выполняться и соотношение с3_1 о3 а3 = с3, которое в силу условия Я должно быть тривиальным следствием соотношения (7), Однако это возможно лишь при их совпадении. Следовательно, с3_1 = Ь3_1, что противоречит условию п = V. Заметим, что при ^ = 1 рассуждения те же, только вместо Ь3_1, с3_1 будут выступать соответственно п И V,
Если же в М1 хотя бы один из элементов с3_1, с3 не определен, то построим
М2 М1
котором определены элементы V, сг, г = 1,... ,к — 1. Здесь также возможны два принципиально различных случая: последний присоединенный элемент либо есть V, либо сг при некотором Ь = 1,... ,к — 1.
Все дальнейшие рассуждения совпадают в первом случае с рассуждениями в случае 1), во втором — с рассуждениями в случае 2), с той лишь разницей, что вместо п и Ь3 будут использоваться V и с3. Во всех случаях придем к противоречию либо с условием, либо с предположением индукции, В итоге теорема доказана.
Напомним, что группа подстановок Ф на множестве А называется группой Фробениуса, если она 1) транзитивна, 2) не регулярна, то есть стабилизатор Фа любой точки а Е А нетривиален, и 3) стабилизатор Фа,ь любых двух различных аЬ
Теорема 1. Если ^ то группы С = ЯМИ^) и
Н = ЬМИ^) являяются свободными группами, с базисам,и, соответственно Б = {Яа : а Е Q} и Б1 = {Ьа : а Е Q}. Как группы подстановок на, Q обе эти группы являются, группами Фробениуса.
Доказательство. В силу симметрии достаточно доказать утверждения
С Н С
С транзитивна, так как для любых а,Ь Е Q: аЯа\ь = Ь; стабилизатор Са = {£}, так как пЯи\и = п для любого п Е Q, и Са,ь = {£} по доказанной теореме. С
С
С
несократимым произведением элементов из Б. Существование такого представ-
д
несократимых представления
д = ЯЦ ...Я‘ак, д = Я1 ...4:. (8)
Тогда
при любом u G Q. Отсюда согласно теореме 1 произведение ... R£ak R-fr...
... R-^1 не может быть несократимым. Так как представления (8) различны, то произведя все возможные сокращения на стыке слов R£01 ... Rakk и R--5r... R-^1, мы получим непустое несократимое слово в алфавите Б, Причем соответству-
Q
речит теореме 1, и, значит, наше допущение неверно. Теорема доказана,
3 Описание мультипликативной группы свободной квазигруппы
Рассмотрим теперь группу F = Mlt(Q). Из теоремы 1 следует, что F, как группа подстановок порождается двумя свободными группами G = RMlt(Q) и H = LMlt(Q). Естественно поставить вопрос: не является ли F свободным произведением групп G H Положительный ответ означал бы, что и группа F является свободной. Ниже приводится доказательство этого факта.
Каждый элемент g G F представляется в виде
где Рг Е Б и Б1, £г Е {1, —1} г = 1,...,и. Как и выше, представление (9) назовем несократимым, если Р.+1 = Р_£% г = 1,... ,и — 1. Сгруппируем в (9) сомножители, относя в одну группу все подряд идущие элементы, содержащиеся СН
где дг Е С, Ъ,г Е Н г = 1,..., к, и все эти подстановки, кроме, может быть д1, Нк, — не единичные. Обозначим через
несократимые представления соответственно элементов дг, кг , г = 1,... ,к. То-
д
Теорема 2. Если элемент д Е В имеет непустое несократимое пред-д=£
д
Докажем индукцией по и неравенство д = £. При и = 1, 2 оно устанавливается
(9)
g = gihig2h2... gkhk
g = SITI ...SkTk.
(10)
непосредственной проверкой. Предположим, что оно верно при всех и < т и докажем для и = т.
Допустим, что д = £, то есть для любого и Е Q выполняется неравенство
ид = и. (11)
Если д = д^и д = К1; то по лемме 1 равенство (11) может выполняться не
и
д
СН
случая:
д1 = £, Кк = £^ II- д1 = £, Кк — £.
Два остальных случая сводятся к ним путем перехода от элемента д к д-1.
3.1 Случай I
Введем еще обозначения
S — R£ ii R£isi-1 T — Г£ п Г £iti-1 i — 1 k
Si — Rai1 ■ ■ ■ Raisi-1, Ti — Lbi1 ■ ■ ■ Lbit.-1 , 1 — I, k,
q _ R£i2 p£ isi q _ p£ i2 r£isi-1
Si — Rai2 ■ ■ ■ Raisi , Si — Rai2 ■ ■ ■ Raisi-1 ■
Ввиду большой сложности полной подробной записи равенства (10), мы выпишем подробно лишь его часть, а именно, действие на и трансляций из Si, Ti, первой трансляции из S2 и последней транеляции из Tk:
bksk *ksk {■ ■ ■ {{bis1 {■ ■ ■ {bu *ii {■ ■ ■((u on an) oi2 ai2) ■ ■ ■) ◦it1 ait1 ))) 0210,21) ■ ■ ■) — u■
(12)
Заметим, что подстановка La i действует на x то формуле xLa i — a\x. Поэтому в (12) операции вида. oij совпадают с - или /, а операции *ij (как показано выше) — с - или \, Далее, как и в доказательстве леммы 1, мы для частичной квазигруппы M с пустой системой табличных соотношений S{M) будем строить конечно свободное расширение так, чтобы в полученной в итоге частичной квазигруппе слово из левой части равенства (12) было полностью определено
uu при расширении присоединялось последним и не удовлетворяло условию (12), Для доказательства существования такой последовательности простых свободных расширений нам понадобится
Лемма 2. Пусть в частичной квазигруппе Mi7 являющейся конечно свободным расширением, M, определены все элементы, a j, bij из (12) и для, некоторого элемента с выполняются условия:
a) cSi Ti S2T2 ■■■SiTi — 0i+i,i, i —!,■■■,k, ak+i,i — аХЛ,
b) cS'TiS2T2 ■ ■ ■ Si-iTi-iSi — bu, i — 2, ■ ■ ■ ,k,
и, кроме того, при t1 = 1 в Mi не определены с о—1 а11 и Ь11 *ц с, а при t1 > 1
не определены с о—1 а11 и с о12 а12 и выполняется неравенство cS1 = Ь11.
Тогда существует последовательность простых свободных расширений
M1, M2,...,Mn
та,кая, что в Mn определена, левая, часть равенства, (11) и
M,n = [Mn-1; с о- аи = и]. (13)
t1 > 1
в этом случае в M1 не определе ны с о—1 а11 и с о12 а12. Присоедини в к M1 новый элемент с12 с соотношением
с о12 а12 = с121 (14)
получим частичную квазигруппу M2. Покажем, что в ней при ^ > 2 не определено с12 о13 а13. Допустим, что в M3 выполняется равенство с12 о13 а13 = d. Тогда, учитывая, что оно является тривиальным следствием соотношения (14), получим: а12 = а13 и (о13) = (о-21^. Отсюда, видно, что представление S1 сократимо,
M2
с13 с12 о13 а13 = с13
M^, в которой те определено с13 о14 а14. Продолжая этот процесс, мы получим частичную квазигруппу Ms1 с последним присоединенным элементом
с1вг clsl—l о^1 a,1si■ (1^)
Заметим, что c1sl—1 = cS'i'. Далее, согласно равенству (12) мы должны вычислять элемент Ь11 *п c1s1. Покажем, что он не определен в Msi. Допустим, что в Msi выполняется равенство Ь11 *п c1s1 = d. Так как оно является тривиальным следствием соотношения (15), то Ь11 = c1s1—1; то есть cS1 = Ь11, что противоречит условию. Следовательно, Ь11 *п c1s1 те определено в Ms1, и мы можем
d11
Ьц *11 c1s1 = dn■ (16)
Как и выше, покажем, что в полученной частичной квазигруппе Ms1+1 не определено Ь12 *12 dn. Если выполнено соотношение Ь12 *12 d11 = d при некотором d
(16) совпадает с соотношением Ь12 *—2 d = d11, и потому Ь11 = Ь12, *п совпадает с *—2. Отсюда видно, что T1 сократимо, вопреки условию. Продолжая этот процесс, мы получим частичную квазигруппу Ms1+t1 с последним присоединенным элементом
d1t1 = b1t1 ои1 d1t1—1■ (17)
Заметим, что d1t1—1 = cS'i^. Далее, согласно равенству (12) мы должны вычислять элемент d1t1 о21 а21. Покажем, что он не опр еделен в Msi+tl. Допустим,
что в М31+11 выполняется равенетво о21 а21 = Так как оно является три-
виальным следствием соотношения (17), то е111-1 = а21.; то есть сБ1 Т1 = а21. Последнее равенство противоречит условию а) леммы 2 при I = 1, Следовательно, ¿1г1 о21 а21 те определен о в М31+ц, и мы можем присоединить новый с2 1
¿И1 о21 а21 = с21.
Продолжая этот процесс последовательного присоединения по одному новому элементу, мы в итоге получим частичную квазигруппу Мп—1.; где и — 1 = = ^ ^ + ... + вк + 1к, в которой определено слово из левой части равенства
(12), причем последним будет присоединен элемент ¿ык с соотношением
¿кгк = Ькгк *Ык ¿Ык-11 (18)
где
¿ык-1 = с£[Т1Б2Т2... БкТк, ¿Ык = сБ';Т1Б2Т2... БТ. (19)
По условию в М1 те было определено со—1 а11. Легко видеть, что эта ситуация сохранится и в Мп-1. Действительно, в ходе построения частичной квазигруппы Мп-1 мы па каждом шаге присоединяли новый элемент с соотношением, в которое входили вновь присоединяемый элемент и элемент, присоединенный на предыдущем шаге, В силу условия Я таким же свойством обладали и следствия этих соотношений. Следовательно, табличного соотношения с левой частью с о—1 а11 появиться те могло. Присоедини в теперь к Мп-1 новый элемент и с соотношением с о—1 а11 = и, мы и получим искомое расширение Мп.
В случае, когда Ь1 = 1 рассуждения аналогичны. Разница лишь в том, что здесь на первом шаге будет присоединен новый элемент ¿11 с соотношением Ъц *п с = ¿ц.
3.2 Случай II
Этот случай отличается от случая I лишь тем, что здесь в представлении (10) д Тк
последовательного расширения закончится раньше. Здесь и — 1 = ^ + Ь1 + ... + вк-1 + Ьк—1 + Эк, и Мп-1 будет получен присоединением элемента скак с соотношением
сквк сквк — 1 оквк аквк > (^0)
где
ск3к—1 = сБ';ТБТ2 ...Бк, скак = сБ"ТБТ2 ...Бк.
Доказательство, (продолжение доказателетва теоремы 2) Построим сначала минимальное конечно свободное расширение М' частичной квазигруппы М, в котором определены все элементы аЪ^ из (11), Если в М' найдется
элемент с, удовлетворяющий условиям леммы 2, то положим М1 = М', В противном случае будем расширять М' до тех пор, пока не присоединим элемент, удовлетворяющий условиям леммы 2, Так как условия леммы 2 накладывают на с
М1
с
с
Мп
М1
I, II.
Случай I. По допущению равенство (11) выполняется при любом и Е Q, а потому и при и = с о—11 а11 — последнем присоединенном элементе при построении Мп. Следовательно, в соотношении (15) = и, и оно является тривиальным
следствием соотношения и = с о-1 а11, Отсюда получаем: ¿к1к—1 = а11, что вместе с первым равенством из (16) противоречит условию а) леммы 2 при I = к. Следовательно, случай I в действительности невозможен.
Случай II. В этом случае из равенства (11) при и = с о—11 а11 следует, что
ск—1ак—1 и5
и равенство (20) есть тривиальное следствие равенства и = с о—11 а11. Отсюда получаем:
скак — 1 с5 (окак) (°11 ), акак а11.
Если о и есть • , то и • а11 = с, и мы из равенства (11) получаем
сБ^Т1Б2Т2 ...Бк = с. (21)
К такому же равенству приходим и в случае, когда оп есть /, то есть и/а11 = с.
с
виям леммы 2. Выше было отмечено, что таких элементов существует неогра-
д=£
ряют не более двух элементов. Следовательно,
Б1Т1Б2Т2 ...Бк = £, что противоречит предположению индукции. Теорема доказана.
4 Описание мультипликативной группы свободной коммутативной квазигруппы
Будем считать, что многообразие коммутативных квазигрупп задано системой тождеств, состоящей ИЗ системы Ео и тождества ху = ух.
Теорема 3. Если Q — свободная квазигруппа, в многообразии, всех коммутативных квазигрупп, то 1) группы МИ^), ЯМИ^), ЬМИ^) совпадают и
2) как абстрактные группы изоморфны свободной группе с базисом, Q.
Доказательство. Из условия коммутативности квазигруппы Q следует, что хЬа = хЯа для любых а,х Е есть Ьа = Яа для любого а Е Q. Отсю-
да и следует утверждение 1). Для доказательства утверждения 2) рассмотрим группу С = ЯМиИ^).
Лемма 3. Если, эл,ем,ент д группы С имеет непустое несократимое представление в системе образующих Я = {Яа : а Е Q}, то д = £.
Доказательство. Пусть (1) есть непустое несократимое представление элемента д. Допустим, что д = £, то есть равенство (2)
((... ((и о1 а1) о2 а2)...) ок—1 ак—1) ок ак = и
выполняется при любом и Е Q. Построим минимальное конечно свободное рае-
М1 М
а1 ак с1
с1о—1а1, с1 о2а2 — те определены в М17 с1 = а3.
М1 М2
соединив новый элемент ■и с соотношением V = с1о1— 1а1. Докажем, что с1о2а2 не определено в М2. Допустим, что с1о2а2 определен о в М2. По услов ию Я каждое следствие последнего соотношения должно содержать элемент V. А так как с1,а2 Е Мь а V / Мь то с1,а2 = V. Следовательно, с1о2а2 = V. Если (о—1) = (•), то соотношение с1о2а2 = V может совпадать лишь с соотношением а1о—1с1 = V. Если же (о—1) = (/), то с1о2а2 = V может совпадать лишь с соотношением с1о—1а1 = V. Во всех случаях получаем о2 = о—1 а а1 = а2, что свидетельствует о сократимости представления (1). Значит, с1 о2а2 те определено в М2, и можно построить расширение
Мз = [М2 : с1о2а2 = с2].
Покажем, что в М3 не определено с2о3а3. Допустим, что с2о3а3 = Тогда соотношение с2 = ¿о—1а3 является тривиальным следствием соотношения с2 = = с1о2а2
1) (о2) = (/), то есть с2 = с1/а2. Так как (о—1) = (\), то соотношение с2 = ¿о——1 а3 может совпадать лишь с соотношением с2 = с1/а2, что влечет сократимость представления (1).
2) (о2) = (•), то есть с2 = с1 • а2. Тогда ^тотношенпе с2 = ¿о—1а3 должно совпадать с одним из соотношений а) с2 = с1 • а2, б) с2 = а2 • с1. Совпадение с
аз = с1
каждом случае мы приходим к противоречию с условием.
с2озаз Мз
рение
М4 = [Мз : с2оз аз = сз].
Продолжая этот процесс, мы построим расширение
Мт = М : с,—^ аг = с], 3 ^ ^ к — 1.
Покажем, что в нем не определено сгог+1 аг+1. Допустив, что сгог+1 аг+1 = Ь, мы теми же рассуждениями, что и выше, в пунктах 1) — 2), придем либо к сократимости представления (1), что противоречит условию, либо к совпадению соотношения сг = ¿о—! аг+1 с соотпошением аг • сг—1 = сг. В последнем случае получаем равенство сг—1 = аг+1, которое невозможно в силу того, что аг+1 Е М17 сг—1 Ф- М1-
Отсюда при % = к— 1 получаем: в Мк те определено ск—1ок ак. Отсюда следует, что в Мк, а потому и в ^ ск—1ок ак = V. Следовательно, при и = V равенство
д=£
Доказательство теоремы 3 проводится точно так же, что и доказательство утверждения теоремы 1 о свободе группы ЯМИ^), разница лишь в том что вместо леммы 1 используется лемма 3,
Аналогичным образом доказывается также
Теорема 4. Если ^ ^ в многообразии всех ТБ-
квазигрупп, то: 1) группы МИ^), ЯМИ^), ЬМИ^) совпадают и 2) как абстрактные группы задаются системой образующих Яд и системой определяющих соотношений Б = {Яа : а Е Q}.
Замечание. Утверждения теорем 1 — 3 останутся в силе при замене квазигрупп на лупы. При этом в определении несократимого представления элемента и несократимого слова длины, большей 1, необходимо потребовать отсутствия сомножителей Яе.; Ье1 соответствующих единице е лупы, В связи с этим трансляции Яе, Ье, являющиеся тождественными подстановками, можно заменить пустым словом. Тогда, как и в случаях с квазигруппами, роль единицы в мультипликативных группах будет играть пустое слово,
В доказательствах же следует лишь учесть, что для любого простого свободного расширения Т = [М; а * Ь = с] частичной квазигруппы М в системе Б(Т)\Б(М) кроме соотношений, указанных и использованных в теоремах 1 — 3, появятся еще соотношения
с • е = с, е • с = с, с/е = с, е\с = с, с/с = е, с\с = е,
которые в доказательствах не будут играть существенной роли.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Белоусов В, Д, Основы теории квазигрупп и луп, М, Наука, 1967,
[2] Глухов М, М., Гварамия А, А, Решение основных алгоритмических проблем в некоторых классах квазигрупп с тождествами, Сиб, мат, ж,, 1969, 10, N2
2, 297-317.
[3] Глухов М. М. Свободные разложения и алгоритмические проблемы в R-многообразиях универсальных алгебр. Мат. сб. 1971, т. 85, JV2 3, 307-338.
[4] Глухов М. М. R-многообразия квазигрупп и луп. Вопросы теории квазигрупп и луп. Кишинев, 1971, 37-47.
[5] Drapal A. Multiplication groups of free loops, I. Czech. Math. J.,46, 1996, 121131.
[6] Drapal A. Multiplication groups of free loops, II. Czech. Math. J.,46, 1996, 201-221.
[7] Evans T. The wordproblem for abstract algebras. J. London. Math. Soe,, 1951, 28, № 1, 64-67.
[8] Evans T. On multiplicative systems defined by generators and relations, I. Normal form theorem. Proc. Cambridge Philos. Soe,, 1951, 47, 637-649,
[9] Wielandt H, Finite permutation groups, N.Y., plaeeCitvLondon, Acad.l press, 1964.
Академия криптографии РФ Поступило 10.11.10
