CC BY
8Вестник Сыктывкарского университета. Сер Л. Вып. 16.2012
УДК 513.88
О МОДУЛЯРАХ МАРЦИНКЕВИЧА
НА [0,1] И НА [0, оо) - II
А. А. Меклер
В работе продолжается изучение связи между свойствами мо-дуляры быть субмультипликативной; псевдостепенной; иметь регулярное изменение. Основными результатами являются Теорема 5 и Теорема 10, характеризующие р-выпуклость пространств Марцинкевича/Лоренца на [0,1]. Библиогр. 7 н азв
Ключевые С-У^ 6 $ • ПСбВДОСТбПб ННЫб • суб- (супер) мультипликативные эквивогнутые функции.
Используемые здесь терминология и обозначения даны в приводимых по ходу изложения ссылках и содержатся частично в [2], но главным образом - в статье [7], продолжением которой является настоящая работа, а также в более ранних статьях автора [4] — [6], опубликованных, как и [7], в предыдущих выпусках Вестника Сыктывкарского Университета.
Работа состоит из двух параграфов. Теорема 3 в первом из них уточняет критерий регулярного изменения симметрической эквивогнутой функции на [0, оо), который для функций на [0,1] сформулирован в терминах базы в Теореме 5 из [4]. Теорема 5, главный результат §1, усиливает теорему 5-9 из [7], показывая, что среди пяти её равносильных условий четвёртое и пятое содержат лишнее требование. Этот факт позволяет дать прозрачную интерпретацию в терминах баз свойству симметрических эквивогнутых функций, [5] - [6], быть ПССВ^ОСТбПбННЫ"™ ми, [7]. А именно, для выполнения этого свойства база функции должна быть уплотняющейся, см. Определение 2, §1.
Теорема 10, основной результат §2, устанавливает субмультипликативность слева всякой заданной на полуоси псевдостепенной эквиво-гутой функции, см. Определение 4, §2.
(с) Меклер А. А., 2012.
§1. Эквивогнутые функции: симметрические, регулярного изменения и псевдостепенные
Определение 1. Отображение, определённое на множестве всех нормирующих функций формулой (3.6), [7]:
Ш ■•= * € (0,оо),
мы называем симметрией.
В [7] отмечалось, что симметрия есть инволюция на подмножестве всех эквивогнутых функций на [0, оо).
Следующие утверждения дополняют Лемму 4.5, [7]. Лемма 1,
1). £|°(s) = £°(s), 0 < £ < оо, 2). ef(s) = 6%(s), 0 < s < оо. Доказательство.
1). £|°(s) ;= lim supi_>.00 ^ = limsup^ Щ = (w = при 0 < s < оо имеем : t —У оо -Ф^ w —У — lim supw_^0 i— Аналогично
2). ©|°(s) ;= supt>1> =supt>1> ç^fry =
sup / 0<*<oo.n
Теперь, поскольку (sa) = sa, 0 < s < оо, то отсюда и из Леммы 4 - 5 у |7j у вытбк&бх
Следствие 2» Для эквивогнутой на полуоси [0, оо) функции £, и для: любого a : 0 < a < 1, равносильны эквивалентности
Тп+га У h (i)
limsup £oC(s) - £oo ™ sa ^ £0 (P°)
n-^oc ТП
liminf^E^r+1 XbAj) a
---5— ~ a, m >0, 0 < 6- < oo,
m
откуда логарифмированием условий, лежащих в определении свойств
т
Р® и регулярности изменения в нуле (соответственно, на бесконечности, [4], [5]) для симметрической функции i, при т > О имеем:
п-\-т га+то
Ехь50') lim sup
1- ■ г i=n+i в _ / пП\ _ / ппо\ п—ЮО j=n+l а
limmf--(Р") ^ £ С (Р™) о----~ а.
n^oo т гп
(1)
□
Напомним, что симметрической называется ^инвариантная по отношению к симметрии эквивогнутая функция, т.е. такая что £(i)
t > 0, см. Определение 3.3, [7]. По Лемме 4.2 эквивогнутая функция ц симметрическая, тогда и только тогда, когда её правая и левая базы ^эквивалентны: Ъ™ Таким образом верна
Теорема 3. При любом а? 0 < а < 1, для симметрической эквиво-гнутой функции £ на [0, оо) с базой ft® — Ь|° := b^ следующие условия равносильны*
1). В нуле и на бесконечности £ имеет регулярное изменение с показа-
TOJTOJVt Ö у
2). Существует двойной предел lim^^ Ит,^^ > Равнь™
Hmiiifn^ooEJ'-ii+iXb.Ü) а л
3). -^-т > 0;
4) .-^-— ~ а, т > 0.
Схема доказательства.
2) : Теорема 5, [4];
2) =>- 3) : 2) -ФФ- (Р°), [4]; 1) 2) и первая равносильность в (1);
3) 4) : вторая и третья равносильности в (1);
4) 1) : прологарифмированное условие £ <G (P«), [3]. □
Замечание 4. 1. Любое из условий 1) — 4) влечёт наличие базы
7 а 7 ~ Hnin^oo Yllln+I Xb(j) т , rp
о для которой существует -- ~ а (ср. с 1еоремои
5, [3]).
2, Из определений двойственной функции, двойственной базы и п.2) сразу вытекает, что эквивогнутая функция \ имеет регулярное изменение с показателем а7 тогда и только тогда, когда двойственная функция X* имеет регулярное изменение с показателем 1 — а.
Далее мы используем понятие (двусторонней) суб-(супер) мультипликативности, [5]: нормирующая функция £ на [0, оо) называется суб-(супер)мультипликативной, если найдётся константа с > 0, такая что
для любых 3 у ^ ^ 0 справедливо
£(5 ' 0 < • • £(£), соответственно, > с - £(з) •£(£).
Перейдём к нашей главной цели. Следующее утверждение сформулировано в [7] как Теорема 5.9.
Пусть ( симметрическая функция, 0 < < < 1, и пусть Ь|°, Ь® обозначают её правую и, соответственно, левую базы; £ Щ . Следующие условия равносильны:
1). £ псевдостепенная;
2). 1<£<ос;
3). 0 < 5* < 1;
4). 6|°(я) ™ £|°(я) ™ 1 < 5 < оо;
5). 5ь|о(А;) £ Ьь^(к) & к • к > 1.
Теорема В последних двух условиях от вторых ™ и, соответственно, ~эквивалентиостей можно освободиться. Иными словами условия 4) и 5) можно заменить, соответственно, условиями
4') ; 62° (в) ~ £°°(в), 1 < ^ < оо, и 5') ; 56«(А;) ~ Ььг(к), к> 1,
каждое из которых равносильно тому, что симметрическая функция ц является псевдостепенной (ср. с Теоремой 2.5, [7]).
Доказательство. Поскольку между собой условия 4') и 5') равносильны (см. Следствие 2.3, [6]), то достаточно доказать справедливость импликации 4') 2); обратная импликация содержится в импликации 1) 4) Теоремы 5.9.
По Теореме 5, [4], Лемме 1.10, [6] и Лемме 4.6, [7], обе субмульти-
ПЛИК8/ТИБНЫ6 Нс1 ВС611 ПОЛЛ ОСИ
функции г^т и ^ £® имеют регулярное изменение на [0,1] и, тем самым, по сформулированной выше Теореме 3 - на [1, оо). То есть найдутся числа и ао«,, такие что
ЭКБИБЕЛСНТНОСТИ Х^роо 3 ^ 3 ^ у X ^ $ ^ ОО у ВЫПОЛНИ-
ются на всей полуоси. Ясно, что в силу ^эквивалентности ™ £|° справедливо равенство ск@ = а^х.
По Лемме 2.3, [5], эквивалентность бе, ™ в/ имеет место для субмультипликативной функции б с па [1, оо), значит по определению верх-
него индекса = Ит^^ —^^— = нт., ,.ч, = По той же
причине для субмультипликативной функции £?° в силу эквивалентно
то т log2®£°o(s)
стей ~ £|° ~ справедливы равенства = lim, ,.v —— =
lim^^ — откуда из формул (4.3) и (4.5), [7], и из Следствия
2.3, [6], следуют равенства
— — — — óg.
оо
Для субмультипликативных и ^эквивалентных функций 6 с и £| снова пользуясь Теоремой 5, [4], Леммой 1.10, [6] и Теоремой 3, получаем _ /Т^ £ £Щ(з), а е [1,оо). Отсюда по Лемме 2.3, [5],
вт ЙГ т бе
Таким образом в силу доказанной импликации 4)=>1) Теоремы 5.9,
[7], а также формул на стр. 79, [1], применённых к эквивогнутой функ-
1
ции £^00(5), заключаем, что функция (£© ^(з) — -2°° 1 (з) является
1
эквивогнутой и для субмультипликативной функции Сг(з) := (©|(в))^ выполняются соотношения
™ еа{з) ~ 5, * > 1; 6а = 1. (2)
1
Так как функция (б^)3? субмультипликативна, то по формулам (3.4), [7],
Отсюда и из (2) ©^(з) ™ (©^(й))^ ™ в*5«, 5 > 1, что и доказывает
выполнение импликации 4') >- 2) для □
Определение 2, Базу Ъ = (Ъп) назовём уплотняющейся, если существует натуральное й, для которого при любых натуральных т, п найдётся число п', п' = п'(т) > п, такое что
п+т п'+т+й?
Ех.< £ (5")
г=п+1 г=п'+1
Это понятие позволяет переформулировать условие 5') Теоремы 5
Теорему 6. Симметрическая функция ( является псевдостепеннои, тогда и только тогда, когда имеет уплотняющуюся базу />«.
§2. Аналлагматические эквивогнутые функции. Односторонне суб- и супермультипликативные эквивогнутые функции
В [5] бвшо рассмотрено отображение инверсии /4 :
Шй 0<£<оо,
являющееся инволюцией как на множестве нормирующих, так и на множестве эквивогнутых функций.
Определение 3. Эквивогнутая функция £ на (0, сю) называется
т
апаллагматическощ если она ^инвариантна относителоно инверсии: 4 ~ <;-
Из этого определения и из формул (4.1), [7], вытекает Лемма 7, Эквивогнутая функция ц является аналлагматической, тогда и только тогда, когда £ .
Из конструкции определения 4.2, [7], следуют те же выводы для аналлагматических функций, что и для симметрических:
1) Любая эквивогнутая функция £ взимно однозначно определяется парой аналлагматических, левая и правая базы которых суть, соответственно, и Эти две аналлогматические функции мы назыаем аналлагматинескими скобками £ (по аналогии с симметриче-скими скобками [7]).
2)Аналогично симметрическим двойственные эквивогнутые функции могут быть аналлагматическими лишь одновременно.
Определение 4, Нормирующую функцию £ на [0, оо) будем называть суб-(супер) мультипликативной слева, если найдётся константа с > 0,
т&к&я "что для любых, ~Ь СЕ 1] справедливо
' 0 £ с • £(з) • £(£), соответственно, • £) > с • £(з) •£(£).
Аналогично определяется суб-(супер)мультипликативная справа, (т.е. для / > 1) эквивогнутая функция. Очевидно, что эквивогнутая функция субмультипликативна слева или справа, тогда и только тогда, когда двойственная к ней функция супермультипликативна там же.
Легко видеть, что оба вида односторонней суб- (супер)мультипликативности, - слева и справа, - эквивогнутой функции £ равносильны суб- (супер)аддитивности
вв бэЗЫ? СООТВвтетВвННО у В Нуле - Ьс II Нс1
бесконечности - Лемма 3,5, [6]. Из предидущего очевидным образом вытекают
Лемма 8. Симметрическая функция ( су б- (супер) мультипликативна слева (справа), тогда и только тогда, когда она супер-(суб)мультипликативна справа (соответственно, слева), что в свою очередь равносильно тому, что двойственная функция супер-(суб)мультипликативна слева (соответственно, справа).
Лемма 9. Аналлагматическая функция ( лишь одновременно, - слева и справа, - может быть суб- или супермультипликативна. В этом и только в этом случае двойственная к ней функция является супер-или субмультипликативной также одновременно слева и справа.
Теорема 10. Заданная на полуоси псевдостепенная функция субмультипликативна слева.
Доказательство. Пусть для псевдостепенной функции ср функции ср° и (р°° суть её левая и правая симметрические скобки, и пусть для определённости шах 7)". ] = <>". По теореме 5.7 это означает, что симметрическая функция (р° - псевдостепенная. В силу условия 4) Теоремы 5.9, [7], <р° есть функция регулярного изменения. Поэтому имеющая
единичный верхний индекс эквивогнутая функция := {(р0)'
^у очевидно у 1с1 К>^ЖкО функция регулярного изменения. Из Теоремы 3.7.2), [6], теперь следует, что £ является субмультипликативной СЛСВН* 31СВИВ0 гнутой функцией. Очевидно, что тогда такой же будет и =
В этом рассуждении мы меняем ролями и ср°°, если тах^, — □
Замечание 11.1, Для пространств Марцинкевича на [0,1] из доказанной теоремы следует, что их р-вогнутость, [7], влечёт субмультипликативность задающей эквивогнутой функции.
2, Всякая односторонне суб- или супермультипликативная эквивогнутая функция ( на полуоси имеет регулярное изменение. Действительно, для субмультипликативной функции это следует из [6] и Теоремы 3. Отсюда же, а также из [5] и Замечания 4.2) этот вывод следует и для супер-мультипликативной эквивогнутой функции.
3. Покажем, что субмультипликативная и справа, и слева эквивогнутая функция не
обяЗсПНс!' быТЬ ДВуСТО]ЭОТТН6 субмультипликативной. Возьмём любую субмультипликативную слева эквивогнутую функцию £ (по предидущей теореме таковая найдётся), такую что ф <5° и построим эквивогнутую функцию <р по её базам := Щ, Ь^ := Щ^, как это опи-Сс1НО В
[7]. Тогда по лемме 8 аналлагматическая функция (р является и слева, и справа субмультипликативной, но двусторонне субмульти-
пликативной быть не может. Действительно, по Теореме 3.7.1), [6], чр должна иметь регулярное изменение и в нуле, и на бесконечности, но показатели при этом оказываются различными, что противоречит Теореме 3.
Литература
1. Крейн С. Г., Петунии Ю. И., Семёнов Е. М. Интерполяция линейных операторов. М., Наука, 1978. - 400 с.
2. Одинец В, П., Шлензак В, А, Основы выпуклого анализа. /Авторизованный перевод с польск. В.П.Одинца при участии М.Я.Якубсона/ Под ред. В.Н.Исакова. - М.-Ижевск: Ижевский институт компьютерных исследований. - 520 с.
3. Abakumov Е. V., Mekler A. A. Concave Regularly Varying Leader for Equiconcave Functions, J. Math. Anal. Appl., 187(1994)3, pp. 943-951.
4. Меклер А. А. О натуральных характеристиках регулярно меняющихся квазивогнутых .модуля]> // Вестн. Сыктъшкарск. ун-та. Сер. 1. Вып. 8. 2008. с. 27- 38.
5. Меклер А, А, Замечания о некоторых инвариантных свойствах пространств Марцинкевича и Орлича, I // Вестн. Сыктмвкарск. ун-та. Сер. 1. Вып. Ц. 2011. с. 32-46.
6. Меклер А» А. Замечания о некоторых инвариантных свойствах пространств Марцинкевича и Орлича, II // Вестн. Сыктывкарск. ун-т,а. Сер. 1. Вып. Ц- 2011. с. 47-61.
7. Меклер А» А. О модулярах пространства Марцинкевича на [0,1] и на [0, оо) // Вестн. Сыктывкарск. ун-та. Сер. 1. Вып. 15. 2012. с. 95-112.
Summary
IV^cklcr ^V»■ ♦ On Marcmkiewicz modulärs on [Ö? 1J ■and ^ oo^
Some theorems on equi-concave, sub-multiplicative and pseudo-power modulars improve and add the corresponding results of the previous paper. Keywords: equi-concave7 sub-multiplicative and pseudo-power of Marcinkie-wicz modulars. MSC-1991: 46E30
Бремепский Университет Поступила 18-09-2012
