CC BY
12
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2017 Математика и механика № 46
УДК 515.12
Б01 10.17223/19988621/46/5
Е.С. Сухачева, Т.Е. Хмылева
О МОДИФИКАЦИЯХ ПРЯМОЙ ЗОРГЕНФРЕЯ
Рассматривается топологическое пространство £Л , которое является модификацией прямой Зоргенфрея S и определяется следующим образом: если точка х е Л с К , то базой окрестностей точки х является семейство полуинтервалов {[х,х + е), е > 0} ; если х е К \ Л , то базой окрестностей точки х является семейство полуинтервалов {(х-е,х],е >0}. Получен критерий гомеоморфности пространств и .
Ключевые слова: Прямая Зоргенфрея, гомеоморфизм, бэровское пространство, пространство второй категории.
В работе используются следующие обозначения: N - множество натуральных чисел; Я - пространство вещественных чисел, наделенное стандартной евклидовой топологией; символом £ обозначается прямая Зоргенфрея (или «стрелка»), представляющая собой множество вещественных чисел, топология в котором порождена базой {(а,Ь]: а,Ь е Я,а < Ь}. Если множество Л с Я, то символом обозначим топологическое пространство, в котором база окрестностей точки х определяется следующим образом:
{[х, х + е), е > 0}, если х е Л с Я;
{(х - е, х], е > 0}, если х е Я \ Л . В частности если Л = 0 , то £Л = £ . Для любого подмножества вещественных чисел X с Я через X обозначается замыкание множества X в пространстве Я . Известно [1, 2], что пространства £ и не гомеоморфны, а пространства £
гомеоморфно пространству , если множество Л с Я замкнуто или множество
Л счетно. В данной работе рассматривается следующий вопрос: для каких подмножеств Л с Я пространства £Л и гомеоморфны. Подобные проблемы рассматривались в работе У.Л. СИа1угко, У. НаИоп [3], где база окрестностей точки х е Л с £Л заменялась на базу окрестностей в евклидовой топологии.
Теорема 1. Пусть Л с Я счетное множество. Пространство £Л гомеоморфно пространству тогда и только тогда, когда подмножество Л с £Л всюду плотно в £ .
Доказательство. (^) Известно [4, 4.3Н], что существует гомеоморфизм Ф: Я ^ Я такой, что ф(Л) = О и условие а{ < а}- равносильно ф(аг-)<ф(а}-) для любых а^ и а}- из множества Л , т.е. отображение ф |Л является монотонно возрастающим. Поскольку подмножество Л всюду плотно на прямой, то
Ф: Я ——^ Я является монотонно возрастающей функцией. Следовательно, отображение ф: Бл ^ £д - гомеоморфизм.
(^ ) Покажем, что если подмножество Л не всюду плотно на прямой £, то пространство 8Л не гомеоморфно пространству £д . Пусть Л Ф £. Предположим,
что существует гомеоморфизм ф: ^ £д . Рассмотрим интервал (а, Ь)с \ Л
т
и положим 3 = (а,Ь)\ ф-1 (д). По лемме 4.4 [5] 3 = ^ Еп , где множества Еп
п=1
замкнуты в 3 и такие, что ф - возрастающая функция для каждого п е N. Поскольку интервал (а, Ь) гомеоморфен £ и, значит, является бэровским пространством, а множество 3 - всюду плотное и типа 05 в интервале (а, Ь), то 3 - бэ-ровское пространство [6, 8276]. Это означает, что для некоторого п е N множество ¥п содержит внутреннюю точку, т.е. существует интервал (с, ё), такой, что
3 п(с, ё)с Еп . Так как множество ф-1 (О) всюду плотно в Бл, то существует точка д0 е О, такая, что ф-1 (д0 )е(с, ё). Рассмотрим последовательность {хк }т=1 с 3 п (с, ё), сходящуюся к точке ф-1 (д0) в пространстве £л . Не нарушая общности, можно считать, что последовательность {хк является возрастающей. Так как ф |3п(сё) - возрастающее отображение, то {ф(хк )}= является возрастающей последовательностью. В силу непрерывности отображения ф эта последовательность сходится к точке д0 возрастая, что невозможно, так как монотонно возрастающие последовательности в £д могут сходиться только к точкам из множества £д \ д. □
Пусть подмножество л с £ счетно и не всюду плотно в £, но существует интервал I, такой, что л п I - всюду плотное подмножество в I. Тогда по теореме 1 пространство £л не гомеоморфно пространству £д . Но в этом случае
пространство £л не гомеоморфно и пространству £ (доказательство аналогично доказательству негомеоморфности пространств £ и £д [1]).
Теорема 2. Пусть л и его дополнение £ \ л - несчетные, всюду плотные подмножества в £ , а подмножество Б с £ - счетно. Тогда пространства и £Б не гомеоморфны.
Доказательство. Предположим, что существует гомеоморфизм ф: ^ . Поскольку подмножество £л \ ф-1 (Б) всюду плотное и типа 08 в £л, то оно является бэровским пространством [6, 8276]. Тогда одно из пространств л = л \ ф-1 (Б) или В = (£ \л)\ ф-1 (Б) является пространством второй категории. Для определенности, пусть л - пространство второй категории. Заметим,
т
что ф(л) с £ \ Б с £ . Тогда по лемме 4.4 [5] множество л = ^Еп , где Еп замк-
п=1
38
Е.С. Сухачева, Т.Е. Хмылева
нуты в Л и отображение ф является возрастающим для каждого п е N. Так
как пространство Л второй категории, то существует п е N, такое, что множество Еп содержит внутреннюю точку, т.е. существует интервал (а,Ь), такой, что
(а,Ь)пЛ с Еп . Рассмотрим последовательность {х^}=1 с (а,Ь)пЛ, сходящуюся к точке х0 е (а, Ь)п Л в пространстве £Л . Не нарушая общности, можно считать, что последовательность {х^ }^=1 является убывающей. Так как ф |^п(аЬ) - возрастающее отображение, то (ф(х^ )}=1 является убывающей последовательностью. В силу непрерывности отображения ф эта последовательность сходится к точке ф( х0) справа, что невозможно, так как монотонно убывающие последовательности в могут сходиться только к точкам из множества Б . □
Следствие 3. Пусть Л и £ \ Л - несчетные, всюду плотные подмножества в £ . Тогда БЛ не гомеоморфно £д .
Следствие 4. Пространство БЛ гомеоморфно пространству £д тогда и только тогда, когда подмножество Л с £Л счетно и всюду плотно в £ .
Проблема 5. Получить необходимые и достаточные условия для подмножеств Ли В из Я , при которых пространства £Л и £В гомеоморфны.
Заметим, что гомеоморфизм множеств Л и В не влечет гомеоморфизм пространств £Л и £в. Например, пространства £д и £дп(01) не гомеоморфны, хотя
множества д и д п(0,1) являются гомеоморфными. С другой стороны, пространства £(01) и £[01] гомеоморфны [2].
В работе [5] дан критерий гомеоморфности подмножеств £ всему пространству £ . В частности доказано, что если X с £ замкнутое, плотное в себе подмножество, то X гомеоморфно £. Очевидно, что подобное утверждение для пространства £д неверно, поскольку существуют замкнутые и плотные в себе подмножества X с £д, такие, что X с £д \ д и, значит, X гомеоморфно £ [2]. Нетрудно видеть, что необходимым условием гомеоморфности подмножества X и £д является условие X п д = X . Следующий пример показывает, что это условие не является достаточным.
Пример 6. Пусть С - ограниченное, совершенное, нигде не плотное подмножество на прямой Я , В = {Ьп }П= - правые концы смежных интервалов множества С и С п д = В. Тогда подмножество С с £д не гомеоморфно £д .
Действительно, предположим, что существует гомеоморфизм ф: £д ^ С. Рассмотрим множество 3 = £д \(диф-1 (В))с £ . Поскольку ф(3)с С\В с £, то
ад
по лемме 4.4. [5] 3 = ^ Еп , где множества Еп замкнуты в 3 и такие, что ф -
п=1
возрастающая функция для каждого п е N. Так как £д - бэровское пространство,
а J - всюду плотное подмножество типа Gs в ^q , то пространство J - бэров-ское [6]. Это означает, что для некоторого n е N множество Fn содержит внутреннюю точку, т.е. существует интервал (a, b), такой, что J n(a, b)с Fn . Рассмотрим точку r0 е(a, b )n Q и возрастающую последовательность {xk с J n(a,b), сходящуюся к точке r0 в пространстве R . Это означает, что в пространстве Sq последовательность {xk }k= не имеет предельных точек. Так как ф |F - монотонно возрастающее отображение, то последовательность
W(xk )}k= является возрастающей и ограниченной сверху числом ф(r0). Следовательно, последовательность {ф(xk)}= сходится к некоторой точке y0 <ф(r0) в евклидовой топологии прямой R . Нетрудно видеть, что y0 е C \ B и, значит, последовательность ^(xk )}= сходится к точке y0 в топологии пространства Sq . Полученное противоречие доказывает, что не существует гомеоморфизма между C и Sq . □
Проблема 7. Получить необходимое и достаточное условия при котором подмножество X с Sq гомеоморфно Sq .
Статья поступила 10.02.2017 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Хмылева Т.Е. О гомеоморфизме прямой Зоргефрея и ее модификации Sq //Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2016. № 1(39). C. 53-56.
2. Сухачева Е.С., Хмытева Т.Е. О некоторых линейно упорядоченных топологических пространствах, гомеоморфных прямой Зоргенфрея // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2014. № 5(31). C. 63-68.
3. Chatyrko V.A., Hattori Y. A poset of topologies on the set of real numbers // Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae. 2013. V. 54. No. 2. P. 189-196.
4. ЭнгелькингР. Общая топология. М.: Мир, 1986. C. 751.
5. Burke D.K., Moore J.T. Subspaces of the Sorgenfrey line // Topology and its Applications. 1998. V. 90. No. 1-3. P. 57-68.
6. Tkachuk V.V. A Cp-theory problems book. Topological and functions space. New York: Springer, 2011.
Sukhacheva E.S., Khmyleva T.E. (2017) ON MODIFICATION OF THE SORGENFREY LINE. Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 46. pp. 36-40
DOI 10.17223/19988621/46/5
In this paper, we consider a topological space SA that is a modification of the Sorgenfrey line S and is defined as follows: if a point x е A с R , then the base of neighborhoods of the point is {[x, x + e), Ve > 0} ; if a point x е R \ A , then the base of neighborhoods of the point is {(x -e, x], Ve > 0} . The following criterion for a homeomorphism of the spaces SA and Sq has been obtained: the spaces SA and Sq are homeomorphic if and only if a subset A с SA is countable and dense in S .
Keywords: Sorgenfrey line, homeomorphism, Baire space, the space of the second category.
40
E.C. Cyxanesa, T.E. XMbmesa
SUKHACHEVA Elena Sergevna (Tomsk State University, Russian Federation) E-mail: sirius9113@mail.ru
KHMYLEVA Tatiana Evgenievna (Candidate of Physics and Mathematics, Tomsk State University, Russian Federation) E-mail: TEX2150@yandex.ru
REFERENCES
1. Khmyleva T.E. (2016) O gomeomorfizme pryamoy Zorgenfreya i ee modifikatsii Sq [On the homeomorphism of the Sorgenfrey line and its modifications Sq]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 1(39). pp. 53-56. DOI 10.17223/19988621/39/6.
2. Sukhacheva E.S., Khmyleva T.E. (2014) O nekotorykh lineyno uporyadochennykh topologicheskikh prostranstvakh, gomeomorfnykh pryamoy Zorgenfreya [On some linearly ordered topological spaces homeomorphic to the Sorgenfrey line]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 5(31). pp. 63-68.
3. Chatyrko V.A., Hattori Y. (2013) A poset of topologies on the set of real numbers. Comment. Math. Univ. Carolin. 54(2). pp. 189-196.
4. Engel'king R. (1977) General Topology. Warsaw: PWN.
5. Burke D.K., Moore J.T. (1998) Subspaces of the Sorgenfrey line. Topology and its Applications. 90(1). pp. 57-68.
6. Tkachuk V.V. (2011) A Cp-Theory Problems Book. Topological and Functions Space. New York: Springer Verlag.
