О моделировании с использованием дифференциально-алгебраических уравнений в частных производных Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.518

О МОДЕЛИРОВАНИИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

Нгуен Хак Диеп, В. Ф. Чистяков

Рассматриваются эволюционные системы дифференциальных уравнений в частных производных, зависящие от одной пространственной переменной. Предполагается, что матрицы перед производными искомой вектор-функции вырожденные во всей области определения. Такие системы принято называть дифференциальноалгебраическими уравнениями (ДАУ) в частных производных. Свойства ДАУ существенно отличаются от свойств невырожденных систем. В частности, невозможно судить о типе систем по виду корней характеристических уравнений. В работе вводится понятие расщепляемых систем. Под такими уравнениями понимаются системы, допускающие существование невырожденных преобразований, расщепляющих исходный объект на подсистемы с единственным решением, функциональным произволом от одной из переменных и собственно невырожденную подсистему уравнений в частных производных. Этот прием позволяет исследовать структуру общих решений ДАУ и в ряде случаев установить разрешимость начально краевых задач.

Ключевые слова: частные производные, дифференциально-алгебраические уравнения, гиперболические, вырожденные системы, индекс, каноническая форма, моделирование.

Введение

Рассмотрим систему уравнений в частных производных

А(01,0х)и := + ВБхи + Си = /(и,х,Ь), (х,Ь) € И2, (1)

где Л = Л(и, х, Ь), В = В(и,х,Ь), С = С (и, х, £) —(их и)-матрицы, (х,Ь) € и = X хТ, и С V,

X = [хо,х1], Т = [£о,£1], V—открытая область в И2, /(и,х,Ь), и = и(х,Ь) соответственно

заданная и искомая и-мерные вектор-функции 1, Б = д/дЬ, Бх = д/дх.

Предполагается, что входные данные обладают достаточной гладкостью в V (по крайней мере дифференцируемы), и допускаются следующие виды вырождения:

det Л = 0, det В = 0, ёе^АА + В) = 0 У(х, Ь) € И, Уи € И™, У А, (2)

где А - скалярный (в общем случае комплексный) параметр.

Под решением системы (1) ниже понимается любая вектор-функция и* = и*(х,Ь) € С^И) 2 : А(Ог,Ох)и* = /(и*,х,Ь), (х,Ь) € И.

В работе также рассматриваются постановки начально-краевых задач для системы (1) с условиями вида

и(х0,Ь) = ф(Ь), и(х,Ь0) = ф(х), (х,Ь) € И, (3)

1Для упрощения записи указание зависимости от х и Ь может отсутствовать, если это не вызывает путаницы.

2Здесь и ниже С (И) - пространства функций (векторно или матрично-значных, смотря по контексту) I раз непрерывно дифференцируемых в И по х и по Ь. В работе принято соглашение: С0(И) = С(И).

где заданные вектор-функции ф(Ь), ф(х) обладают достаточной гладкостью.

Системы вида (1), удовлетворяющие условиям (2), называют вырожденными, системами не типа Копти-Ковалевской. В зарубежной математической литературе используется термин: «дифференциально-алгебраические уравнения в частных производных> [1]. Частным случаем систем вида (1) являются системы взаимосвязанных уравнений в частных производных, обыкновенных дифференциальных и алгебраических (конечных) уравнений. Во второй половине XX века, начиная с работ Л.С. Соболева [2], эта тематика занимает важное место в теории дифференциальных уравнений, поэтому такие системы часто называют уравнениями соболевского типа [3]. Вырожденные системы уравнений в частных уравнений встречаются в различных областях приложений: гидродинамике (уравнения Навье-Стокса), теплотехнике, электротехнике и т.д. (см., например, [2-6]).

Популярный подход к изучению систем (1) базируется па сведении их к уравнениям в банаховых или топологических пространствах вида

где А, В—некоторые операторы, отображающие банахово пространство В1 в банахово пространство В2, ' = й/йЬ, кег А = 0, {(Ь), х = х(Ь) — соответственно заданная и искомая

В1 В2

ки, в рамках которых исследуются системы (4), весьма различны, по в конечном случае приводят к выводу, что все решения системы (1) описывается формулой

где V(Ь) - некоторая однопараметрическая полугруппа и Cj, К(Ь, в) — операторы, определенные на соответствующих пространствах, Хо произвольный элемент из Вь В конечномерном случае основной посылкой является требование регулярности пучка матриц, задающих систему: ёе^АА + В) = 0 а число I принято называть индексом системы. В ряде работ получены важные результаты, основанные па приметши функционального анализа и интегральных преобразований, в частности, преобразований Фурье [4, 9].

В последнее десятилетие стал популярным и получил развитие подход, основанный тта применении методов, разработанных в теории систем обыкновенных дифференциальных уравнений с вырожденной матрицей при старших производных искомой вектор-футткции, называемых дифференциально-алгебраическими уравнениями (ДАУ) [10-13].

1. Расщепляемые дифференциально-алгебраические уравнения в частных производных

Ниже ттам потребуются следующие понятия и утверждения. Рассмотрим систему

АХ + Вх = ((Ь), Ь € Т =[Ьо,Ь1],

(4)

Л1х := А(х, Ь)Вьи + В(х, Ь)и = /(х, Ь), (х, Ь) € И,

(5)

где А(х,Ь), В(х,Ь) — (п х п)-матрпцы, переменная х понимается как параметр.

к

Определение 1. Оператор Лк := ^ Lj(х,Ь)Б1 со свойством

j=о

Лк о [А(х, Ь)Б1 + В(х, Ь)] и = Би + Лк [В(х, Ь)]и У и € Ск+1(И),

где Lj(х,Ь) — (п х п)-матрицы из С(И), называется левым регуляризирующим опера,т,ром (ЛРО) для системы (5). Минимально возможное число к называется индексом системы (5).

Лемма 1. Если для, системы (5) определен индекс к, то справедлива альтернатива:

det А(х, Ь) = 0 У(х, Ь) € И при к = 0 и det А(х, Ь) = 0, (х, Ь) € И при к > 0.

Доказательство. Действительно, если к = 0, то LоA = Еп У(х,Ь) € И гДе Еп - единичная матрица размерности п. Если же к > 0, то из определения индекса следует, что LkА =

0 У(х, Ь) € И Для непрерывных матриц Lk и А это возможно тогда и только тогда, когда det Lk = det А = 0 У(х, Ь) € И. □

Теорема 1. Пуст,ь: 1) в системе (5) А(х,Ь), В(х,Ь) € С2п+1(И), / € Ск(И); 2) для,

системы (5) существует ЛРО.

Тогда система разрешима при любой /(х,Ь), и ее общее решение можно записать в виде соотношения

и =

у к-i

V(x,t)c(x) + Wf(x,t), Wf(x,t) = K(x,t,s)f(x,s)ds + Cj(x,t)Djf, (6)

to j=0

где V(x,t) — (n x d(x))-матрица, K(x,t,s), Cj(x,t) — (n x n) - матрицы, j = 0,k — 1, гладкие no t, rank V(x, t) = d(x) Ш € T, c(x) - произвольная вектор-функция.

Теорема является следствием утверждения, доказанного в [14] для случая, когда A(x, t) = A(t), B(x, t) = B(t), f(x, t) = f (t).

Введем класс (n x n) - матриц Z(x, t, Dt, Dx) € Z, элементы которых являются дифференциальными операторами вида Е zi3 (x,t)DVDp, i, j = 1, n. Будем предполагать, что

v+p<mtj

для каждой матрицы из Z существует единственная операторная матрица Z(x,t, Dt,Dx) € ,

Z(x,t,Dt,Dx)((x,t) = £(x,t), Z(x,t,Dt,Dx)£(x,t) = ((x,t) У((x,t) € C~(U).

Если коэффициенты операторов Wij постоянны, то класс Z образуют унимодулярные матрицы Z(Dt,Dx), определяющим свойством которых является условие det Z(Dt,Dx) = wo = const. Здесь Z(Dt, Dx) = Z-l(Dt,Dx).

Опишем класс систем, называемых авторами расщепляелгъши. Пусть система (1) является линейной: A(u, x, t) = A(x, t), B(u, x, t) = B(x, t), C(u, x, t) = C(x, t), f (u, x, t) = f (x, t). Предположим, что существуют матрицы P(x, t, Dt, Dx), Q(x, t, Dt, Dx) €Z со свойством

P (ADt[Qz] + BDt[Qz] + CQz) =

( Aii(Dt,Dx) Ai2(Dt,Dx) Ai3(Dt,Dx) Au(Dt,Dx) \

0 A22(Dt,Dx) A23(Dt ,Dx) Л24(Dt ,Dx)

0 0 A33(Dt ,Dx) A34(Dt ,Dx)

V 0 0 0 A44(Dt,Dx) J

z=

fi f2 fa

f4

(7)

где u = Qz, P = P (x, t, Dt, Dx),Q = Q(x,t,Dt,Dx), f f_ fj f!)T = Pf(x,t),

Aij (Dt,Dx) = Aij (x,t,Dt,Dx) — Aij Dt + Bij Dx + Cij, i,j --- 11 4, Aij = Aij (x,t)i Bij =

Bij(x,t), Cij = Cij(x, t), причем диагональные блоки квадратные, размерности ni,n2,na,n4 соответственно, ni + n2 + na + n4 = n.

Допустим, что для системы (7) выполнены условия:

Л44^^х) €2; ()

- для операторов

Л33 := ЛззОг + С33, Л22 '■= В220х + С22, (9)

определены ЛРО в смысле определения 1 соответственно по ^ и Ох:

- существует гладкая в области И неособенная матрица К = К(х, Ь) со свойством

ЩЛ-^В^К-1 =diag{Al (х,Ь),\2(х,Ь), ■■■ ,Ат1 (х,Ь)}, Xj (х,Ь) € И,, (10)

Согласно (8) имеем = Л44(В1,Вх)/4. Далее, рассмотрим подсистему

Лзз(Dt ,Ох)гз = Ь, (11)

где /3 = /3 — Лз4(01, Ох)х4. Преобразуем систему (11) к виду

(ЛззВь + С33)^3 = V3 = !з — BззDxZз, (12)

и в силу существования ЛРО для операторов (9) решение системы (11) согласно (6) удовле-

творяет соотношению

кз-1

Кз(х, Ь, в)рз(Ь, в)йв +^2 Сз^в3г<рз(х,Ь), (13)

j=o

где V(х, Ь) — (пз х йз)-матрица, сз(х) - произвольная вектор-функция, Кз(х, Ь, в), Сз,j — некоторые (пз х пз)-матрицы из теоремы 1. Используя (13), выпишем итерационный процесс

zз,j+l = ^зл + Фз^з,о = Фз, ^з = —WзBззDxZз, Фз = / з + V(х,Ь)сз(х), (14)

и будем предполагать, что оператор Оз нпльпотентный: начиная с некоторого из < пз

выполняется соотношение О333 = 0.

Zз = V(х,Ь)сз(х) + Пз^(х,Ь)сз(х)} + ... + Щ3-1^(х,Ь)сз(х)} + /з + Оз/з + ... + &з3-1/. (15)

Для подсистемы

Л22(^^х)^ = /2, (16)

где /2 = /2 — Л2з^1 ,Dx)zз — Л24^^х)г4, можно провести аналогичные рассуждения. А

именно, запишем (15) в виде

(B22Dx + С22)^ = V2 = }2 — Л22DtZ2,

и построим соответствующий оператор &2- Затем организуем итерационный процесс, который оборвется па конечном птаге.

Общее решение будет иметь вид суммы

Z2 = У(х,Ь)с2(Ь) + П2[У(х,Ь)с2(Ь)} + ... + Щ2-1[У(х,Ь)с2 (Ь)] + /2 + О.2 /2 + ... + Щ2-1 /2, (17)

где V2 < п2. Подсистема

Л11(^ ^х)^ = Л, (18)

где /1 = /1 — Л12^,Dx)Z2 — Ли^^х^з — Ли^^х)Л-4^^х)и, ПО условию (10)

И

t

Zз = V(х, Ь)сз(х) + WзVз,WзVз = [

Итак, при сделанных нами предположениях в области и определено семейство решений системы (1), зависящее от п11 произвольных функций от (х,і), от п22 произвольных функций от і и от п33 произвольных функц ий от х.

В частности, условие (8) выполнено, и операторы &2, О3 нильпотентны, если подматрицы матрицы ( і ) имеют вид

Л44(Оі, Их) = N1 Иі + N2Ох + N3.

Лзз(Оі, Их) = N^1 + N5Dx + N6, Л22(Иі, Их) = ЩИі + ЩИх + N9, (19)

где Nj, і = 1, 2,..., 9—верхнетреугольные матрицы, причем N1.N2.N5 ,N7 имеют пулевую диагональ, det N3 = 0, det N4 = 0, det N6 = 0, det N8 = 0, det N9 = 0 У(х, і) Є И.

В упрощенном варианте (19) хорошо видно, что оператор

і

&3%3 = — ! @(х,і)<д-1(х, в)ЩИхг3(х, в)с!в, N5 = N-1 N5 (20)

І0

является нильпотентным. Здесь @(х, і)—матрпцант системы Иіу = — [^— 1^]у, который является верхнетреугольной матрицей. Матрица 0(х,і)0-1(х, в)N5 верхнетреугольная с нулевой диагональю, так как произведение верхттетреуголытых матриц, одна різ которых имеет пулевую диагональ, является верхнетреуголытой матрицей с пулевой диагональю. Произведение верхттетреуголытых матриц, начиная с ттекоторого их количества (тте превышающего их размерности) является пулевой матрицей.

Аналогичная ситуация имеет место для оператора П3. Справедливо также соотношение

+ ... + 1 f4, V4 < п4, °4 = —Nз 1[^° + ^Их].

2. Системы с постоянными матрицами коэффициентов

Пусть в системе (1) матрицы А, В, С - постоянные.

Определение 2. Выражение ХА+цВ+С, где X, ц - скалярные параметры (в общем случае комплексные), А, В, С - квадратные матрицы, будем называть пучком матриц. Пучок матриц регулярен, если существуют комплексные числа Х0,ц0 со свойств ом: det(XoA +

цо в + С)=0.

Ниже ттам потребуются такие утверждения.

Лемма 2. [16] Если в системе (5) матрицы не зависят от і: А(х,і) = А(х), В(х,і) = В(х), то для существования ЛРО при фиксированном х Є X необходимо и достаточно выполнения соотношения det[X0A(x) + В(х)] = 0 Ух Є X для некоторого Х0.

Более того, в формуле (6) (1(х) = deg det[XA(x) + В(х)\, где &є^—символ, степени многочлена,

к(х) = шіп{і : т&пкС:і(х) = г&пкС:і+1(х), і = 1, 2, ■ ■ ■ ,п}, С(х) = [Х0А(х) + В(х)]-1А(х).

Лемма 3. Пусть пучок матриц ХА + цВ + С, задающий систему (1), регулярен и f (х, і) = еХоі+^охЪ(х, і), где Ф(х, і)является произвольным векторным многочленом от х, і. Тогда система (1) имеет в области И решение в виде и(х,і) = вХоі+^охФ1(х,і) где Ф1(х,і), векторный многочлен той же степени.

С

1 т

f (х, і) = ао,0 + ^ (І1л і х1-:і + ... + ^ йт^ і хт-:і, йг^ Є Я™, і = 0,1,■ ■ ■ ,т. j=0 j=0

Здесь Х0 = 0,Ц0 = 0. Будем искать решение уравнения (1) также в виде многочлена с

1т

неопределенными коэффициентами и(х,і) = С0, 0 + Е с1 л £ х1-Л + ... + Е Ст^ £ хт-:>. Под-

j=o л=0

ставляя выражения для f (х,і) и и(х,і)в уравнение (1), и сравнивая члены с одинаковыми

m

степенями, получим равенство С ^ ст^Рхт-3 = ^ ат^Рхт-3,ст^ = С-1ат^. Далее, в

Л=о л=о

выражении для /(х,Ь) пересчитываем коэффициенты

m l m l

]Т am-ljtjxm-l-j = J2 am-1 jtjxm-l-j - (ADt + BDx)£C-lam,3tjxm-j]

Л=о Л=о л=о

и вычисляем ст-1 ^ = С-1ат-1 ^, ] = 0,т — 1. Действуя аналогично, мы вычислим все коэффициенты ст-и л, ] = 0,т — V, V = 2,т.

Если det С = 0, то произведем замену и(х,Ь) = еХо1:+^ох^(х,Ь). Получим

eXot+^xЛDtz + eXot+^xBDxz + еХ°^°х[АоЛ + цоВ + С^ = /(х, Ь)еХ°^°х. (21)

Сокращая на множитель еХо1:+^ох в равенстве (21), мы получаем случай с неособенной матрицей С. □

Вычислим определитель операторной матрицы det Л(Dt,Dx) = det(ЛDt + BDx + С) и матрицу ее алгебраических дополнений: М(Dt,Dx) = \\qij^х^^)\\Пл=1, где дгл^х^^ -некоторые многочлены от операторов Dx,Dt. Предположим, что в системе (1) /(х,Ь) = еХо1:+^охФ(х,Ь). Тогда система разрешима, и справедливо равенство

М (Dt,Dx)(ADt + BDx + С )и = detЛ(Dt,Dx)Enu = М х)/. (22)

П

Система (22) является набором n скалярных уравнений det Л(В1,Ох)щ = ^ qij(DX,Dt)fi.

j=i

i = 1, 2, ...,n, где (U\,U2, ...,un)T = u, (fi, f2,..., fn)T = f, T - символ транспонирования. Разберем случаи:

а) пусть det Л(Dt, Dx) = ао = const = 0 . Тогда решение системы (22) единственно:

1n

ui - ^ ' qij (DX 1 Dt) fi, i - 1, >2, ...,П;

ао

j=i

б) пусть (1еЛ Л^1:^х) = aiDlt + ai-iDlt-i + ... + а0, 1 < l < n. Тогда решение системы (22) запишется в виде:

t

ui = Cl,i(x)ql(t) + C2,i(x)q2(t) + ... + Cl,i(x)ql(t) + j K(t, s)

to

qij (Dx, Dt)fi

j=l

(x,s)ds, (23)

где с1,г(х),с2г(х),...,с\,г(х) - произвольные гладкие в области определения функции д1(Ь), д2(Ь), ..., д\(Ь) - некоторые квазиполиномы с показателями экспонент, равными корням полинома а1А1 + а-1 А1-1 + ... + ао, К(Ь,в) -ядро интегрального оператора Вольтерра с пулевыми па диагонали Ь = в производными по Ь, включительно до порядка I — 1 [18];

m

m

n

в) пусть de^(Dt, Dx) = bkDX + bk-iDX 1 + ... + b0,1 < k < n. Тогда решение системы ЗсШИШеТСЯ В ВИДе!

где ci,i(t),C2,i(t),...,cx,i(t) - произвольные гладкие в области определения функции qi(x). q2(x), ...,qx(x) - некоторые квазиполиномы с показателями экспонент, равными корням полинома bxXх + bx-i\X-i + ... + bo, K(t, s) - ядро интегрального оператора Вольтерра с пулевыми па диагонали x = s производными по х, включительно до порядка k — 1;

in

г) пусть detЛ(Dt,Dx) = оо + Е oi,jDXDi-j + ... + &n,jDXD?-1,оПуо = 0,On,n = 0 и

j=o j=o

корпи многочлена det(AA + B) вещественны и различны. Тогда система является гиперболической [15]. Действительно, в нашем случае det A = oo,n, det B = on,n и все корни многочлена отличны от пуля.

К сожалению, множества решений систем (1) с постоянными матрицами коэффициентов и (22) не совпадают.

Пример 1. Пусть задана система diag{1, 0}Dtu + u = 0. Множество решений системы (1) имеет вид u = (c(x)e-t 0)т, а множество решений системы (22) описывается формулой u = (c(x)e-t ci(x)e-t)T, где c(x), ci(x) - произвольные гладкие функции.

Ввиду этого обстоятельства для полного описания множества решений системы (1) с постоянными матрицами коэффициентов нам потребуется наложить дополнительные условия па входные данные. Для этого нам потребуется такое понятие.

Предположим, что пучок матриц AA + цВ + C регулярен, и существуют унимодулярные матрицы P(Dt, Dx), Q(Dt, Dx), приводящие систему (1) с постоянными матрицами коэффициентов к виду (/). где

de^44(Dt, Dx) = а0 = const, (25)

detЛ33(Dt,Dx) = aiDlt + a—Df1 + ... + ao, 1 < l < n3, (26)

detЛ22(Dt, Dx) = bx Dx + bx-iDx-1 + ... + bo, 1 < k < щ, (27)

1 ni

det Лn(Dt,Dx) = оо + ^2 oi,j Dx D\-3 + ... + Oni,j Dx D^-3 ,Onifl = 0,Onbni = 0, (28)

j=o j=o

и корпи многочлена det(AAii + Вц) вещественны и различны.

При наших предположениях пучки матриц ААц + цВц + Cu,i = 1, 2, 3, 4, регулярны.

Cii

тельство леммы 3).

Решение подсистемы Л44(Dt, Dx)Z4 = f4 системы (7) при выполнении условия (25) единственно и имеет вид

z4 = Л-4(Dt, Dx)f4 = f4 + ^4 f4 + ... + 1 f4, v4 < n4, (29)

где Q4 = C—l\A44Dt + B44Dx\.

Рассмотрим подсистему Лзз(Dt,DX)zз = f;3 из (7). Преобразуем ее к виду (12) и, в силу

AA33 + C33,

(13). Итерационный процесс (14) оборвется, так как согласно формулам (23), (26) поря-

x f(x, t), n

Следователыто, мы получим представление решения подсистемы в виде выражения (15).

Для подсистемы \22iDt, Бх)г2 = /2, с использованием формул (24), (27) можно провести аналогичные рассуждения.

Если существует преобразование подобия приводящее одновременно матрицы В =

имеет вид + ЬПхш + сш = д(х, где Ь, с—элементы матриц системы, ш, д(х, ^ — последние компоненты вектор-функций V, Z/\(х,1). Справедлива формула

где р(х, ^— произвольная функция. Подставляя (26) в (25), мы понизим размерность системы на единицу. Действуя аналогично, мы за ] < п\ шагов построим общее решение системы (30), а следовательно, и системы Ац(Пь,Пх)г\ = /\.

Другой подход к вопросу о разрешимости подсистемы АцП1г1 + ВцПхг\ + С\\Х\ = /\ основан на предположении, что корпи многочлена ёе^ААц + Вц) вещественные и простые [15]. Тогда система преобразованием подобия приводима к виду

Возникает вопрос об условиях приводимости системы (1) к виду (7).

Лемма 4. Для приводимости системы (1) с постоянными матрицами коэффициентов к виду (7) необходимо, чтобы характеристический многочлен системы (1) допускал представление

Простейшим достаточным условием является равенство С = 0. В этом случае существуют постоянные матрицы Р, Q со свойством

где п = и\ + п2 + п3. Этот случай рассмотрен в работе [12].

Покажем на примере, что матрицы Р, Q не всегда можно выбрать постоянными.

Пример 2. Пусть задана система и замена

А—^Вц, С = А—^Сц к верхнетреугольной форме, то семейство решений подсистемы К\\(П1,Пх)г1 = /\ можно выписать явно при достаточно гладкой /\.

Действительно, после преобразования подобия последнее уравнение системы

АV + (2Б2-і)Бх^ + (2С2—і )у = 2/і(х, і), гі = 2-1ь

(30)

і

т(х,і) = е сі^(х — Ьі, 0)+ е с(і ^д(х — Ь(і — 8),8)й8

(31)

о

+ СV = 2 /і(х,і), V = diag{Al, А2,- • • , АП1 }.

ёе^АА + цБ + С) — йо(щXі + а—іХ 1 + аіХ... + ао)(Ьи + Ьк-і^х 1 + ... + Ьо) х

1

П1

х(ао + ^ ' &і^А3/и} 3 + ... + £ 7П1,3

А^ 1 3), <7пі,о = 0,7пі,пі = °-

3=о

3=о

Р(АА + іхБ)Я = А(^{ЕП1, N5, Епз} + ^idiag{J, Ет, N7}, НЩ2 =0, НЩ =0,

Имеем diag{Dі + 2БХ + 1, 1}г = /.Постоянных матриц Р ж Q здесь не существует.

Существует гипотеза: для любого регулярного пучка матриц ЛA + fiB + C со свойством det(AA + iB) = О VЛ, i найдутся унимодулярные матрицы P(A,i), Q(A,i) такие, что

D/\ \f\ Л і о і г<\ґЛ{\ \ IAA11 + lBll + C11 ЛA12 + lBl2 + C12\

P(Л,l)(AA +lB + C)Q(A ^ = ( 0 aa22 + B + C22) '

где det(AA22 + jiB22 + C22) = const VA, i, det(AAll + iBll) = 0. Но в целом вопрос остается

открытым.

3. Условия разрешимости начально-краевых задач

Вопрос о разрешимости задачи (1), (3) рассмотрим для систем с постоянными матрицами

Q

лось понять, как преобразуются начальные и краевые условия при замене u = Q(Dt, Dx)z в общем случае. Если предположение о постоянстве выполнено, то можно записать

z(xo,t) = Q-l^(t) = ф фT фі ф1)Т,

z(x,to) = Q-1 ф^) = ф фT фіі фT)T . (32).

С учетом формул (29), (15), (17) сформулируем условия разрешимости.

Теорема 2. Пусть:

1) пучок матриц с постоянными матрицами коэффициентов AA + /iB + C регулярен, и существуют унимодулярная матрица P(Dt,Dx) и неособенная, постоянная матрица Q, приводящие систему (1) к егіду (7);

2) f (x,t) Є C2n+e+l(U), ф(t) Є C2n+1(T), ф(x) Є C2n+1(X) где q—максимальная степень оператора, дифференцирования в матрице P(Dt,Dx);

3) найдутся вектор-функции c2(t), c3(x) такие, что для начальных и краевых условий из формулы (32) выполнены условия:

фз(x) = {V (t)C3(x) + ^3[V (t)C3(x)] + ... + ttU33-l[V (t)C3(x) + f3 + Пз/з + ... + Щ3-1 f:i}\t=to,

ф2(І) = {V(x)c2(t) + Q2[V(t)c2(t)] + ... + Q^3 l[V(t)c2(t)] + f2 + &2f3 + ... + ft22 1 f3}\x=x0;

4) выполнены соотношения

фз(t) = {V (t)c3(x) + &3[V (t)c3 (x)] + ... + nU33-l[V (t)c3 (x)] + fз + Пзїз + ... + -lh}\x=xo,

ф2 (x) = {V(x)C2 (t) + ft2[V(t)C2(t)] + ... + ftV23-l[V(t)C2(t)] + f + &2 + ... + Щ^Ы^о і

ф4(= {f4 + &4f4 + ... + 1 f4, < n4}\t=t0,

ф4(x) = {f4 + ftifi + ... + ftT-lU, V4 < n4}\x=xo,

5) вектор-функции ф1(Ь), ф^) согласованы в точке (x0,t0) [17], в частности, ф-\_^0) = ф1^0) и все корни многочлена det(AAll + Bll) простые и действительные, причем в формуле (9) все Aj < 0.

U

Для того, чтобы сформулировать условия единственности решения, нам потребуется определенным образом усилить требования па входные данные.

Лемма 5. Пусть выполнены условия теоремы 1, и подматрицы в правой части равенства (7) имеют вид (19).

U

Доказательство. Умножением на матрицу Р и заменой и = Qz преобразуем систему (1) к виду (7). Находим решение уравнения ^4^1, П)х = /4 по формуле (29) и подставляем его в первые три уравнения системы. Далее, покажем, что вектор-функции 02(1), сз(х) в условиях леммы по заданным начальным функциям (32) находятся единственным образом. С учетом того, что в формуле (20) матрицант является матричной экспонентой и имеет верхнетреугольный вид, а матрица N5 верхнетреугольная с нулевой диагональю, то из формулы (15) получаем систему для нахождения сз(х) = (сз,\(х),сз,2(х), ...,сз,пз(х))т. А именно

фз(х) =

( Сз,і(х) \

с3,пз—2 (х) с3,пз — і(х)

V Сз,п3 (х) }

(в[ез,2(х),Сз,з(х), • • • ,вз,п3 (х)]\

+

V

в[ез,п3-і(х),ез ,п3

(х)]

6[сз,пз (х)\

0

+ С(х);

(33)

/

где в[• • • ] - линейные комбинации производных компонент вектор-функции Сз(х), ((х)— известная функция (см. условие 4 теоремы 2). Итак, находим сз,пз (х), подставляем во второе (снизу) уравнение системы (33) и вычисляем 0з,п3-\(х) и так далее. Аналогичные рассуждения ПРОВОДИМ И ДЛЯ 02(Ь) ■ ТаКИМ образом, ВЫЧИСЛЯеМ КОМПОНеНТЫ Z2, Zз.

Подставляем Z2, zз в первое уравнение системы (7) и попадаем в условия теоремы существования начально-краевой задачи системы гиперболических уравнений [17]. □

Свойства систем с постоянными и переменными матрицами коэффициентов сильно различаются.

Пример 3. Пусть задана система

Ліі(Бі , Бх 0

Лі2(Бі, Пх)

Л22(Бі, Бх)

'1 0 0^

= | 0 0 0 І Бій +

,0 0 0,

’ аі 0 0^

0 еХі 1 І БХи +

0 0 0,

,т

а2

0

0

аз

і(х,і)

Хі

а4

0

б

/і

и = І /2 /з

(34)

где и = (иі и2 из) , V = (и2 изу , 5, аі, і = 1,4, - числовые параметры, ч(х,і) —

некоторая функция. Выпишем характеристический многочлен

&(А, ц) = det[AA(x, і) + цБ(х, і) + С(х, і)] = (А + цаі + а2)[^еХі(5 — 1) + 5^(х, і)].

В классической теории, когда матрицы А(х,і), Б(х,і) невырожденные, корни многочлена <д(А, ц) несут информацию о типе системы и структуре множества решений (см. например.

[17])-

Здесь это не так. Пусть 7(х,і) = 0, 5 = 1. Тогда &(А,у) = 0 У(х,і) Є и У А, у. Пусть 7 — іеХі = 0 У(х, і) Є И. Методом исключения неизвестных из второго и третьего уравнения

НеІХОДИМІ

и2 = (/2 — Бх/з)/(ч — іеХі), из = —еХіи2 + /з.

Иначе говоря, здесь Л22(Бі, БХ) Є Подставим эти компоненты в первое уравнение системы (34). Получим

Пи + а\Пхи\ + а2и\ = Ф(х, Ь), и\ = ф(х — а\Ь) + ехр(а28)Ф(х — а\(Ь — 8),8)йз,

Jo

где Ф(х,Ь) = /1 — ази2 — а±из, ф - произвольная гладкая функция. Таким образом, система (5) разрешима при любой / € С2(и).

і

Если y = text, б = 1, то 0(Л, i) = 0. В отличие от систем с постоянными коэффици-

f

мо, чтобы f2 = Dx/з. В качестве U3 можно взять произвольную функцию, и однородная (f = 0, ф = 0, ф = 0) начально-краевая задача (34), (3) имеет бесконечное число ненулевых решений.

4. Математическая модель конвективного теплообменника

В работе [19] описана модель комплекса энергетических установок. Теплообметтные процессы описываются в этой модели обыкновенными дифференциальными уравнениями. Расчеты показали, что ряд режимов функционирования комплекса такая модель описывает неудовлетворительно, и эти недостатки порождает принятый способ моделирования теплообмена. Но требование функционирования модели в режиме реального времени pi возможности тогдашней вычислительной техники заставляли делать такой выбор. В настоящее время стало возможным использовать при моделировании системы уравнений в частных производных вида. (1).

Приведем для примера модель, описывающую конвективный теплообменник (одну из структурных единиц комплекса). Горячие газы нагревают воду, протекающую по трубе. Из законов сохранения получаются следующие уравнения

alDtUl + u^DxUl + g(ui, U2, U5) = 0, a2DtU2 — g(ul, U2, U5) + h(u2,U3) = 0, (35)

a3DtU3 + a4U^DxU3 + h(u2,u) = 0, Ф1 (ul,u4,u5) = 0, Ф2(ul,u5) = 0, (36)

где g(ul,u2,u5) = a^[T(ul,u5) — U2], h(u2,U3) = a^[u2 — U3/cg], U1 — энтальпия воды, U2 — температура стенки, U3-----энтальпия газа, U4 - расход воды, U5 - давления в узлах гид-

равлической сети, al = pbfb ~ произведение плотности воды на площадь сечения трубы, a2 = cmGm - произведение теплоемкости металла на его массу, a3 = pg fg - произведение плотности газа па площадь сечения трубы по газу, a4 - расход газа, a5 = аьНь - произведение площади теплообмена воды с металлом па коэффициент теплоотдачи, a6 = agHg

- произведение площади теплообмена газа с металлом на коэффициент теплоотдачи, cg -теплоемкость газа, Фі(...) = 0 - уравнения гидравлической сети и состояния, i = 1, 2, т(...)

- температура воды.

Расчеты показали существенное улучшение качества моделирования с применением распределенных систем вида (35), (36).

Заключение

В данной работе получены условия разрешимости линейных начально-краевых задач вида (1), (3). Эти результаты являются первым птагом па пути исследования квазилинейных систем вида (1) pi построетшя эффектртпых чріслетіпьіх методов рептетшя задач (1), (3).

Литература

1. Wade, S.M. A differentiation index for partial differential-algebraic equations ./' S.M. Wade,

I.B. Paul И SIAM J. Sci. Comp. - 2000. - V. 21, .№ 6. - P. 2295-2316.

2. Соболев, С.Л. Об одной новой задаче математріческой Фрізрікрі / С.Л. Соболев /7 Изв.

АН СССР. Сер. мат. - 1954. - Т. 18. - С. 3-50.

3. Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev type equations and degenerate semigroups of operators j

G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov. - Utrecht; Boston; Koln: VSP, 2003.

4. Демидеттко, Г.В. Уравнения рі срістємьі не разрешенные относрітєльно старшей прортзвод-тіорі / Г.В. Демрідетіко, С.В. Успєнскрій. - Новосрібрірск: Науч. кн., 1998.

о. Таиров, Э.А. Интегральная модель нелршейной дрітіамрікрі парогетіеррірутощего канала на основе аналрітріческріх реїттенрій / Э.А. Таиров, В.В. Запов // ВАНТ. Сер. Фрізріка ядерных реакторов. - 1991. - Вып. 3. - С. 14-20.

6. Gunther, М. PDAE-Net.zwerkmodelle in der elektrischen schaltungssimulation ./' M. Gunther, P. Rentrop. - Preprint 99/3. - Karlsruhe: IWRMMM, 1999.

7. Свріррідток Г.А. К общей теоррірі полугрупп операторов / Г.А. Свріррідток // Успєхрі мат. паук. - 1994. - Т. 49, № 4. - С.47-74.

8. Срідоров, Н.А. Обобщенные реїттепрія дртфферетщртальттых уравпетгай с фредгольмовым оператором пррі прорізводтіой / Н.А. Срідоров , М.В. Фалалеев // Дріфферетщ. уравпетгая.

- 1987. - Т. 23, .№ 4. - С. 726-728.

9. Паламодов, В.П. Лріпєйпьіє дріфферетщріальпьіе операторы с постояппьімрі коэффрщрт-етітамрі / В.П. Паламодов. - М.: Наука, 1967.

10. Campbell, S.L. The Index of Infinite Dimensional Implicit System / S.L. Campbell , W. Marzalek /'/ Mathematical and Computer Modelling of System. - 1999. - V. 5, № 1. -P. 18-42.

11. Бояррітщев, Ю.Е. Пррімепепріе обобщенных обратных матррщ к рептепрпо рі ртсследова-пріїо срістєм дріфферетщріальпьіх уравпепрій с часттіьімрі прорізводтіьімрі первого порядка / Ю.Е. Бояррітщев // Методы оптрімріззцрірі рі РісследоватіРіе операцрій. - Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1984. - С. 123-141.

12. Бормотова, О.В. О методах чріслєппого рептетшя рі ртсследоватгая срістєм не тріпа Коіттрі-Ковалевской / О.В. Бормотова, В.Ф. Чрістяков // Жури, вьічріслріт. математрікрі рі мат. физики. - 2004. - Т. 44, .№ 8. - С. 1380-1387.

13. Гайдомак, С.В. О срістемах не тріпа Копш-Ковалевской Рітїдекса (l,k) / С.В. Гайдомак,

B.Ф. Чрістяков // Вьічрісл. тєхпологрірі. - 2005. - Т. 10, № 2. - С. 45-59.

14. Бояррітщев, Ю.Е. Алгебро-дріфферетщріальтіьіе срістємьі. Методы чріслєтітіого реїттетшя pi Рісследоватшя / Ю.Е. Бояррітщев, В.Ф. Чрістяков. - Новосрібрірск: Наука. Срі6. предпррі-ятріє РАН, 1998.

15. Петровскрій, И.Г. Лєкцрірі об уравпетгаях с частттымрт прорізводтіьімрі / И.Г. Петровскрій.

- М.; Л.: Гос. різд-во техті.-теор. лріт., 1950.

16. Чрістяков, В.Ф. О непрерывной заврісрімострі рептетгай лрітієйтіьіх срістєм дріфферетщріальтіо-алгебраріческріх уравпепрій от параметра / В.Ф. Чрістяков, М. Пєіттртч j j Дріфферетщ. уравттеттрія. - 2009. - Т. 45, № 3. - С. 363-372.

17. Годунов, С.К. УравпетіРія математріческой Фрізрікрі / С.К. Годунов. - М.: Наука, 1971.

18. Петровскрій, И.Г. Лєкцрірі по теоррга обыкновенных дріфферетщріальттьіх уравпепрій / И.Г. Петровскрій. - М.: Наука, 1964.

19. Логріттов, А.А. Алгебро-дріфферетщріальтіая срістема математріческой модєлрі энергобло-

ка ТЭС / А.А. Логріттов, Э.А. Таиров, В.Ф.Чрістяков // Труды XI междуттар. Байкал, шк.-семинара и их приложения> (Иркутск, Байкал, 5-12 июля

1998 г.). Т. 4. Чртслеттттый атталртз, обратные pi некорректные задачрт. - Иркутск, 1998. -

C. 119-122.

Нгуеті Хак Дрієп, аспртраттт, научный сотрудтіРік, Нап,Ріопальный ртсследовательскртй Ир-кутскрій государственный тєхтірічєскрій утгаверсрттет (г. Иркутск, Россрійская Федератщя), [email protected].

Виктор Филимонович Чрістяков, доктор фртзртко-математртческртх ттаук, главный научный сотрудттртк, Ипстрттут дртттамрткрт срістєм рі теоррірі управлепрія СО РАН (г. Иркутск, Рос-сршская Федератщя), [email protected].

Bulletin of the South Ural State University. Series «Mathematical Modelling, Programming & Computer Software:»,

2013, vol. 6, no. 1, pp. 98-111.

MSC 35L81

Using Partial Differential Algebraic Equations in Modelling

Nguyen Khac Diep, National Research Irkutsk State Technical University,

Irkutsk, Russian Federation, [email protected]

V.F. Chistyakov, Institute for System Dynamics and Control Theory of Siberian Branch

of Russian Academy of Sciences, Irkutsk, Russian Federation, [email protected]

We consider evolutionary systems of partial differential equations depending on a single space variable. It is assumed that the matrices multiplying the derivatives of the desired vector-function are singular in the domain. Such systems are commonly called partial differential algebraic equations (PDAEs). Properties of PDEAs are essentially different to the properties of non-singular systems. In particular, it is impossible to define a type of a system judging by roots of characteristic polynomials. In this paper, we introduce a notion of splittable systems by which we mean systems allowing existence of non-singular transformations that lead to splitting of the original system to the subsystem with a unique solution and the non-singular subsystem of partial differential equations. Such an approach makes it possible to investigate the structure of general solutions to differential algebraic equations and, in some cases, to establish solvability of initial-boundary value problems.

Keywords: partial derivative, differential-algebraic equations, hyperbolic, singular systems, index, canonical form, modelling.

References

1. Wade S.M., Paul I.B. A Differentiation Index for Partial Differential-Algebraic Equations. SIAM J. Set. Comp., 2000, vol. 21, no. 6, pp. 2295-2316.

2. Sobolev S.L. On a New Problem of Mathematical Physics [Ob odnoy novoy zadache inatematicheskoy fizikij. Izv. AN SSSR. Ser. mat. [Math. L'SSR. Ser. Mat.h.J, 1954, vol. 18, pp. 3-50.

3. Sviridyuk G.A., Fedorov V.E. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators. Utrecht, Boston, Kohl, VSP, 2003.

4. Demidenko G.V., L'spenskiy S.V. Uravneniya i sistemy ne razreshennye otnositel'no starshey proizvodnoy [Equations and Systems not Solved for the Highest Derivative]. Novosibirsk, Nauchnaya kniga, 1998.

5. Tairov E.A., Zapov V.V. Integrated Model of the Nonlinear Dynamics of the Steam-Generating Channel Based on Analytical Solutions [ Integral’naya model’ nelineynoy dinamiki parogeneriruyushchego kanala na osnove analiticheskikh resheniyj. Voprosy atomnoy nauki i tekhniki. Seriya «Fizika yadernykh reaktorov» [Of Nuclear Science and Technology Series «Physics of Nuclear Reactors»], 1991, issue 3, pp. 14-20.

6. Gunther M., Rentrop P. PDAE-Netzwerkmodelle in Der Elektrischen Schaltungssirnulation. Preprint 99/3. Karlsruhe: IWRMMM, 1999.

7. Sviridyuk G.A. On the General Theory of Operator Semigroups. Russian Mathematical Surveys, 1994, vol. 49, no. 4, pp. 45-74.

8. Sidorov N.A., Falaleev M.V. Generalized Solutions of Differential Equations with the Fredholm Operator in the Derivative [Obobshchennye resheniya differentsiarnykh uravneniy s fredgol’movym operat.orom pri proizvodnoyj. Differentsial'nye uravneniy a [Differential Equations], 1987, vol. 23, no. 4, pp. 726-728.

9. Palamodov, V.P. Lineynye differentsial'nye operatory s postoyannyrni koeffitsientami [Linear Differential Operators with Constant Coefficients]. Moscow, Nauka, 1967.

10. Campbell S.L. The Index of Infinite Dimensional Implicit System. Mathematical and Computer Modelling of System, 1999, vol. 5, no. 1, pp. 18-42.

11. Boyarintsev Yu.E. Application of Generalized Inverse Matrix Solutions and Research Systems of Partial Differential Equations of First Order [Primenenie obobshchennykh obratnykh matrits к resheniyu i issledovaniyu sist.em differentsiarnykh uravneniy s chastnyini proizvodnyini pervogo poryadkaj. Metody optimizatsii i issledovanie operatsiy [Methods of Optimization and Operations Research], Irkutsk: SEI SO AN L'SSR, 1984. pp. 123-141.

12. Bormotova O.V., Chistyakov V.F. О inetodakh chislennogo resheniya i issledovaniya sist.em ne tipa Koshi-Kovalevskoy [Methods of Numerical Solutions and Research Systems Are not Cauchy - Kovalevskaya]. Zhurn. vychislit. matematiki i mat. fiziki [Computational Mathematics and Mathematical Physics], 2004, vol. 44, no. 8, pp. 1380-1387.

13. Gaidomak, S.V., Chistyakov V.F. On Systems not of Cauchy-Kovalevskaya Index (1, k) [0 sistemakh ne tipa Koshi-Kovalevskoy indeksa (l,k)J. Vychislitel'nye tekhnologii [Computer Applications], 2005, vol. 10, no. 2, pp. 45-59.

14. Boyarintsev Y.E., Chistyakov V.F. Algebro-differentsial'nye sistemy. Metody chislennogo resheniya i issledovaniya [Differential Algebraic Equations. Methods of Numerical Solutions and Research]. Novosibirsk: Nauka, 1998.

15. Petrovskiy I.G. Lektsii ob uravneniyakh s chastnyrni proizvodnymi [Lectures on Partial Differential Equations]. Moscow, Leningrad, 1950.

16. Chistyakov V.F., Pjescic M.R. On the Continuous Dependence of Solutions of Linear Systems of Differential-Algebraic Equations. Differential Equations, 2009, vol. 45, no. 3, pp. 374-384.

17. Godunov S.K. Uravneniy a matematicheskoy fiziki [Equations of Mathematical Physics]. Moscow, Nauka, 1971.

18. Petrovskiy I.G. Lektsii po teorii obyknovennykh differentsial'nykh uravneniy [Lectures on the Theory of Ordinary Differential Equations]. Moscow, Nauka, 1964.

19. Loginov A.A., Tairov E.A., Chistyakov V.F. Algebraic-Differential Mathematical Model of the System Power Units [Algebro-differentsial’naya sistema matematicheskoy inodeli energobloka TES]. Trudy XI mezhdunar. Baykal, shk.-seminara «Metody optimizatsii i ikh prilozheniya» (Irkutsk, Baykal, 5-12 iyulya 1998 д.). T. 4■ Chislennyy analiz, obratnye i nekorrektnye zadachi [Proceedings of the XI Intern. Baikal, sch-seminar «Optimization Methods and

»

and Ill-Posed Problems]. Irkutsk, 1998, pp. 119-122.

Поступила в редакцию 10 октября 2012 г.