CC BY
14
УДК 656.021
К. К. Глухарев1'2, А. М. Валуев1'2, И. Н. Калинин1'2, Н. М. Улюков1'2
1 Московский физико-технический институт (государственный университет) 2Институт машиноведения имени A.A. Влагонравова РАН
О моделировании автомобильных потоков на магистральной сети
Рассматривается проблема построения комплексной теории автомобильных потоков на дорожной сети мегаполиса. Строится модель дискретного потока с безопасной дистанцией на однородном отрезке полосы, исследуются её свойства — динамика очередей и стационарные режимы. Исследуются свойства потока на замкнутых контурах. Перекрестки декомпозируются на атомарные элементы (однородные отрезки и особые точки), к ним применяется модель дискретного потока — ставятся совместные граничные и начальные условия, задаются параметры модели. Вводится понятие магистральной сети, исследуются типы топологий магистральной сети, свойства маршрутизации для некоторых типов топологий. Описывается вычислительная модель — имитатор транспортной сети, приводятся результаты численного моделирования некоторых дорожных ситуаций и некоторые качественные результаты.
Ключевые слова: транспортные потоки, микроскопическая модель транспортного потока, динамика очередей, магистральная сеть, топология сети, маршрутизация на транспортной сети, имитационное моделирование, численный эксперимент.
1. Об общей проблеме «пробки на дорожной сети мегаполиса». Теория дискретного потока. Сетевая навигация
Явление пробок связано с рядом факторов, в том числе с перенасыщенностью транспортных потоков и как следствие — их неустойчивостью, приводящей к полной остановке движения автомобилей. Стабилизация потоков и управление их насыщенностью требуют создания сетевых обратных связей, включающих космические средства наблюдения (системы типа «ГЛОНАС», GPS и др.). В результате конструктивное решение проблемы предполагает теоретико-модельную проработку нового объекта исследования — потоковой навигации на дорожной сети.
Следует заметить, что, с одной стороны, литература по моделированию транспортных потоков весьма обширна, развито несколько подходов к построению моделей [1]. С другой стороны, кроме моделей теории равновесия транспортных потоков, до сих пор не существовало моделей, которые охватывали бы движение по транспортной сети в целом. Сама же эта теория, рассматривающая предельное распределение потоков, не претендует на учет динамики загруженности сети — важнейшего фактора для городских транспортных систем.
Представленный ниже материал является расширенными тезисами доклада, сделанного 22 апреля 2010 г. на семинаре «Научно-практические задачи развития автомобильно-дорожного комплекса в России» (руководитель — вице-президент РАН академик В.В. Козлов). Содержание доклада составляет представление и разъяснение моделей трех типов:
• поток в однородном канале,
• поток на перекрестке,
• поток на магистральной сети.
Эти модели составляют основу для понимания эффектов и механизмов блокировки потоков и их наблюдаемости.
2. Поток в однородном канале
Нами развивается модель автомобильного потока, в которой автомобиль — точечная частица, а поток таких частиц, разделенных безопасными дистанциями, представлен в форме дифференциально-функциональных уравнений [2-4]. Первой моделью этого типа является модель движения автомобилей по однорядной полосе, на которой запрещены въезды и выезды автомобилей через боковые ограничивающие линии. Предметом рассмотрения является участок полосы в интервале [Б + где Б + и Б- — соответственно координаты сечений входа и выхода (рис. 1).
Рис. 1. Дискретный поток на однорядной полосе
Полоса наполнена движущимися друг за другом автомобилями, образующими то, что будем называть дискретным потоком. Относительно этого потока будем предполагать следующее:
• скорость каждого автомобиля в произвольный момент времени направлена по координатной оси или равна нулю;
• взаимодействие соседних частиц в потоке подчиняется закону безопасной дистанции
[5]:
51 = /(«1), «1 ^
тахУъ+1 (г), дт(г) > ф(ёI(г)),
¿г+1 &)={ 8г (I), дт (1)= <ф (ёг ($),
тт ъ+1 (г), Дг+1 (г) <Ф (ё г (г)),
(1)
^+1 № = {¿т(г-), ё1 (г)}, дт(г) = si(г) - 8+(г),
где (Ь) — координата частицы, /(в) — функция движения лидера, а ф(у) — функция безопасной дистанции.
Последнее означает, что при движении с постоянной скоростью между двумя соседними автомобилями устанавливается интервал, длина которого равна безопасной дистанции 'ф(г)7 где V — скорость лидера (рис. 2).
Рис. 2. Закон безопасной дистанции и фундаментальная диаграмма
Графики функций ф(у) и д(у)
соответствуют экспериментальным данным для
стационарных однородных потоков. Здесь введены следующие обозначения: А — дистанция между соседними частицами; V = А/А£ — скорость частиц в стационарном однородном потоке; д = 1/А£ — интенсивность потока, а г>* = 50 км/час — скорость частиц, соответствующая максимальной интенсивности д* = 2000 авт./час. Зависимость интенсивности от скорости принято называть фундаментальной диаграммой.
Динамика автомобиля со многими степенями свободы сложна и в детальном представлении непригодна для моделирования транспортных потоков. В связи с этим в модели используется сильно упрощенное ее представление, в котором допускается мгновенное изменение скорости автомобиля. Данное упрощение оправдывается тем, что при интенсивном дорожном движении в городе отсутствуют возможности изменения скоростей в широких пределах, а торможение и разгон происходят за время, много меньшее времени прохождения автомобилем участка дорожной сети между двумя перекрестками. Кроме того, упрощенное представление динамики позволяет выполнять на предложенной модели аналитическое исследование различных режимов движения.
Для исследования различных потоковых явлений дискретный поток определяется из решения задач смешанного типа, содержащих наряду с начальными условиями (положения и скорости автомобилей, в начальный момент времени находящиеся па полосе) краевые условия в концевых сечениях рассматриваемого участка дороги. Результаты аналитического исследования и вычислительных экспериментов могут быть представлены графически в виде совокупностей траекторий частиц дискретного потока.
О1 1
Рис. 3. Фронт волны смены скорости в однородном потоке
V
Рис. 4. Действие красного светофорного отрезка на стационарный однородный поток
Так, при условии свободного выхода частиц на правом конце рассматривается перестройка стационарного потока при изменении скорости лидера потока (рис. 3). Видно, что в этом случае фронт волны распространяется в направлении, противоположном направлению движения.
Светофорное регулирование выражается в краевом условии другого типа, означающем
запрет на выход из потока его лидера, достигшего правой границы, на красных интервалах светофора. Динамика очереди из стоящих перед светофором автомобилей зависит как от режима светофорного регулирования, так и от соотношения скоростей перед светофором и после него (рис. 4).
На графике динамика очереди представляется в виде треугольной области (клина), покрытой горизонтальными отрезками, обозначающими стояние в очереди отдельных автомобилей. Для высоты клина справедлива формула
Л = ^г^, ^ < 0,
где тге^ — продолжительность красного интервала, у1 — скорость фронта, разделяющего поток частиц, движущихся со скоростью у+ > 0 (перед светофором), от стоящих частиц, имеющих нулевую скорость; у2 — скорость фронта, разделяющего стоящие частицы от потока частиц, имеющих скорость V * (после светофора).
Установлены условия, при которых очередь стабилизируется (рис. 5) или растет (рис. 6). В последнем случае клин очереди распространяется до предыдущего перекрестка, вызывая затор! В обоих случаях, однако, возникает режим, при котором очередь из стоящих автомобилей распространяется от светофора в сторону, противоположную направлению движения.
Рис. 7. Динамика очереди. Периодический режим
Для периодического режима функция счета, выражающая количество прошедших через правую границу отрезка магистрали автомобилей, представляется в виде суммы линейной компоненты, выражающей осредненное по времени поведение потока, и периодической компоненты (рис. 7).
Кроме однородной полосы, изоморфной отрезку, рассматривается также кольцевая полоса. Исследование модели показывает деление потока на отдельные кластеры из частиц, движущихся с одинаковыми скоростями на безопасном расстоянии друг от друга. Между этими кластерами образуются пустые промежутки (рис. 8).
/
:
?
Рис. 8. Формирование кластеров на кольцевом носителе
Заметим, что если ограничиться магистральной сетью, которая и обеспечивает основной объем сетевого трафика, на ней все перекрестки либо снабжены мостами или туннелями, исключающими пересечение потоков, либо имеют светофорное регулирование, при котором потоки разного направления поочередно пересекают область перекрестка, и поэтому ни в какой момент времени пересечений не возникает. Таким образом, в пределах каждого такта светофорного цикла транспортная сеть полностью покрывается системой непересекающихся отрезков и контуров [14].
Исходные уравнения допускают решения с разрывами первого рода - скачками скорости (рис. 7). Такие решения не соответствуют физическому характеру движения частиц, но устраняются специальным расширением исходных уравнений путем введения т.н. желаемой скорости 5 г'.
к = /(51), 51 е 3,
( ШахУг+1 &), дт >ф (¿г (I)), 8г+1 (Ь) = I ¿г (Ь), Дг+1 ф = ф (¿г (1)), (2)
[ шт^+1 (I), Дг+1 (г) < ф(ёг(I)),
Уг+1 (I) = {¿г+1 (г-), ¿г(I)}, Д+ (г) = вг(г) - ^+1 (I).
Уравнения движения записываются в следующей форме:
_ (шт{±8г(г), '¿мах}, (1) > 0, |шах{-^¿г({), '¿мш}, (^ < 0,
¿гоо= -т/ ^
где ' мах , ¿м1и — соответственно максимальное ускорение и максимальное замедление частицы. Система (2) (3) представляет собой простой регулятор, приближающий скорость частицы к желаемой скорости в, определяемой аналогично мгновенной скорости в уравнениях (1). Предельным переходом ¿мах ^ ¿мш ^ уравнения (2) - (3) приводятся к уравнениям (1). На рис. 9 представлен поток, описываемый уравнениями (2) (3) в ситуации, аналогичной изображенной на рис. 4.
Рис. 9. Действие красного светофорного отрезка на однородный поток, описываемый уравнениями (2) (3)
3. Потоки в коммутаторе-перекрестке
Несмотря на то, что предыдущее исследование до некоторой степени предсказывает результат взаимодействия потоков на различных участках сети, поскольку светофорное регулирование обслуживает перекрестки, на которых как раз и стыкуются эти участки, оно недостаточно для этой цели, тем более что далеко не все перекрестки и иные транспортные развязки снабжены светофорами. В связи с этим нами предпринято детальное моделирование движения автомобилей через перекресток.
Площадь перекрестка покрывается совокупностью допустимых траекторий, образующих покрытие паутинного типа (рис. 10). На этой паутине обнаруживаются три типа точек: делители, сумматоры и узлы пересечения траекторий, являющихся особыми, точками, для этих траекторий. В случае отсутствия пересечения допустимых траекторий паутина допускает сведение к двудольному графу (в котором имеется доля делителей и доля сумматоров, см. рис. 11). Разработаны комбинаторные схемы сборки перекрестков из бинарных делителей и сумматоров [12].
Исследуется задача о максимальном потоке [15] через перекресток в следующих предположениях. Прежде всего, речь идет о выделении линейной компоненты потока, которая была введена выше. Для этой компоненты потока вводится матрица деления потоков \\kij||, связывающая интенсивности линейных компонент потоков на разных направлениях входа в перекресток (индекс г) и выхода го него (индекс так что выполняется уравнение
гю = \\kij\\' гю+,
Рис. 10. Паутина допустимых маршрутных ниток на перекрестке двух дорог
доля делителеи доля сумматоров
Рис. 11. Представление перекрестка двудольным графом
где у , у + — векторы интенсивностеи линеиных компонент исходящих и входящих потоков. Через эти и ранее введенные величины определены следующие условия существования максимального потока через перекресток, не содержащий узлов пересечения потоков:
• равенство числа однорядных полос на въезде и выезде из перекрестка,
• двоякостохастичность матрицы \\kij ||,
• > К^, где К^ - высота клина очереди, Iц - длина траектории,
условия целочисленности
13
'13
дг'
• коэффициенты кц — рациональные числа.
Под максимальным потоком здесь понимается совокупность потоков максимальной интенсивности на входящих и исходящих однорядных полосах.
4. Потоки на магистральной сети
В сложной и разветвленной дорожной сети мегаполиса выделяется система магистралей, несущая основную транспортную нагрузку. Интуитивное понятие магистралей является общеупотребительным, а сами магистрали выделяются на атласах для автомобилистов. По нашему определению, магистральная сеть включает перекрестки, связанные между собой отрезками магистралей, на которых запрещаются остановки, стоянки и парковки. Эта сеть отделяет друг от друга области, называемые Р-зонами, в которых может существовать собственное дорожное устройство, допускающее остановки, стоянки и парковки. На рис. 12 представлен пример схемы регулярной магистральной сети, иллюстрирующий введенное определение [11].
Рис. 12. Схема регулярной магистральной сети
Рис. 13. Распределение маршрутных ниток по магистралям
Схема сотового типа Рис. 14. Топологические типы сетей
Магистральная сеть покрывается маршрутными нитками, которые рассматриваются как допустимые траектории движения частиц между всеми парами Р-зон. Для некоторых типов магистральных сетей (регулярная прямоугольная сеть) кратчайшая маршрутная нить между любой парой Р-зон определяется однозначно. Однако для прямоугольной сети распределение плотности потоков по магистралям оказывается весьма неравномерным [13]. На рис. 13 показаны зависимости количества маршрутных ниток на отрезках
магистральной сети четырех возможных ориентации: в зависимости от их положения относительно границ сети. Видно, что оно быстро нарастает от периферии к центру.
В связи с наличием такого рода зависимостей, говорящих о неизбежности перегрузки центральных магистралей и недоиспользования периферийных при таком построении сети, изучается вопрос о рациональной топологии магистральной транспортной сети. Отметим, что решение этого вопроса вовсе необязательно требует строительства новых магистралей и дорогостоящих развязок, а частично сводится к изменению организации движения на отрезках магистрали (например, введение или, наоборот, отмена одностороннего движения) и на перекрестках - например, запрет левых поворотов (см. рис. 14).
Схема перекрестка с п=2 Схема перекрестка с п=3 Схема перекрестка с п=4
Рис. 15. Схемы перекрестков с равным число въездов и выездов
На микроуровне исследуется построение отдельного перекрестка и светофорного регулирования на нем. На основе введенных представлений охарактеризованы образцовые схемы построения перекрестков (см. рис. 15).
Построены и исследуются так называемые проектировочные уравнения, приводимые к следующему виду:
п = Мад \\kij || Мад п,
^ & = 1, 0 ^ & ^ 1,
ь
£ % = 1, г е «+ ,1 е 1,1,1 е I = £ | «+ |. 3 е«Г 1=1
В уравнениях введены следующие обозначения: п — вектор с целочисленными компонентами, характеризующий число полос на соответствующих магистральных отрезках, ^ — длительность г-го такта, отнесенного к светофорному периоду 7], I = 1,...,£, где Ь — число перекрестков, \\kij\\ — стохастическая матрица с коэффициентами деления потоков, i,j = 1,... ,7, где I — число магистральных отрезков, {г}~[ — множество индексов магистральных отрезков, соответствующих выходам из 1-го перекрестка, а {¿}++ — множество индексов магистральных отрезков, соответствующих входам.
Решается задача о выборе проектировочных параметров симметричного кольца с односторонним движением [10]; показывается, что проектировочные уравнения при £ = 1/2 приводятся к виду
п+ — п+п~ + п~ = 0,
где п+ — число полос въезда, п~ — число полос выезда. Уравнения имеют единственное решение п+ = п~ = 2.
Наряду с аналитическим исследованием магистральной сети выполняются исследования на основе имитационного моделирования прохождения потоков через сеть [8].
На рис. 16 приведены результаты моделирования дорожной ситуации на перекрестке четырехполосной и двухполосной дорог со светофорным регулированием. Видны возникновение и эволюция очередей на входе в перекресток (а, б, в) и механизм возникновения
Рис. 16. Возникновение блокировки на участке магистральной сети
Рис. 17. Время возникновения блокировки для нерегулируемого перекрестка
циклического затора (г, д, е). Подобные эксперименты позволяют исследовать отдельные участки дорожной сети и оптимизировать движение на них путем изменения статических правил регулирования и режимов работы светофоров.
Средства имитационного моделирования позволяют не только исследовать конкретные дорожные ситуации, но и получать интегральные характеристики элементов дорожной сети, такие как среднее время ожидания, удельная пропускная способность и пр., в зависимости от транспортной нагрузки.
На рис. 17 приведены результаты исследования нерегулируемого перекрестка двухрядных дорог - график зависимости времени возникновения блокировки на перекрестке от обратной интенсивности (среднего интервала между моментами входа частиц в перекресток) [16]. Различные кривые соответствуют различным коэффициентам деления потока / — отношениям числа частиц, поворачивающих налево, к числу частиц, проезжающих пря-
Рис. 18. К маршрутизации в границах Садового кольца
мо. Так, при Твхода < 4, 5 с блокировка возникает за постоянное время (порядка времени наполнения перекрестка), а при тВХода > 5, 5 с не возникает вовсе (кроме / — 1).
Кроме того, разрабатываются и исследуются методы выбора рациональных маршрутов отдельных автомобилей с учетом динамики транспортной среды [6, 7].
Средствами разработанных нами имитаторов исследуются различные схемы организации автомобильных потоков на примере их маршрутизации в границах Садового кольца (рис. 18).
5. Заключение
В связи с развитием моделей транспортных потоков обсуждается следующий набор вопросов.
• Управление спросом.
• Наблюдаемость и потоковая навигация.
• Сеть в условиях заторов.
• О трех уровнях управления.
• О практиках, следующих из теории, в т.ч.:
— механизм образования и распространения очередей;
— управление очередью;
— конфигурации простейших перекрестков;
— неустойчивость стационарного потока;
— обратные связи;
— управление выездом из Р-зон в магистральную сеть; принцип разделения потоков.
Также обсуждается схема переноса железнодорожных вокзалов за пределы МКАД [9] (рис. 19).
Такое решение мотивируется по крайней мере двумя обстоятельствами:
• возможностью разгрузки центра города,
• высвобождением городских площадей (при полной реализации до 15%).
Рис. 19. Схема переноса вокзалов за пределы МКАД
Литература
1. Введение в математическое моделирование транспортных потоков: учеб. пособие / под ред. A.B. Гасникова. - М.: МФТИ, 2010.
2. Глухарев К.К., Улюков Н.М. Модель однорядного потока автомобилей. Вывод уравнений и их интегрирование // Проблемы машиностроения и надежности машин (Машиноведение). — 2008. — № 4. — С. 29-38.
3. Глухарев К.К., Улюков Н.М. Модель однорядного потока автомобилей. Динамика очереди // Проблемы машиностроения и надежности машин (Машиноведение). — 2009. - № 1. - С. 83-93.
4. Глухарев К.К., Улюков Н.М. К теории автомобильных потоков // Труды МФТИ. — 2010.- Т. 2, № 2. - С. 58-66.
5. Иносе X., Хамада Т. Управление дорожным движением. — М.: Транспорт, 1983.
6. Валуев A.M. Оптимизационно-имитационный подход к решению задачи маршрутизации для индивидуальных транспортных средств в мегаполисе // Управление развитием крупномасштабных систем. Материалы Третьей международной конференции. — 2009. - Т. 2. - С. 43-45.
Т. Валуев A.M. Задача вычисления субоптимальных путей на сети и возможности ее применения для управления перевозками // Горный информационно-аналитический бюллетень. - 2010. - № ОВ5. - С. 44-51.
8. Glukharev К.К., Kalinin I.N. Simulation of traffic through developed network // Труды Третьей международной конференции «Математическое моделирование социальной и экономической динамики (MMSED-2010). — 2010. — С. 67-69.
9. Глухарев К.К., Вишнев И.П., Исаков A.B., Фролов К.В. Устройство транспортной системы и способ регулирования транспортно-пассажирским потоком мегаполиса: патент РФ № 2104363, приоритет от 24 мая 1995 г.
10. Орлов И.Г. О характеристиках симметричного кольца одностороннего движения автомобилей // Труды 49-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». — 2006. — Часть III. Аэрофизика и космические исследования. — С. 87-88.
11. Глухарев К.К. Маркин И.В. О представлении дорожной сети дольным графом // Труды 50-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». — 2007. — Часть III. Аэрофизика и космические исследования.
- Т. 2. - С. 130-134.
12. Калинин И.Н., Глухарев К.К. К концепции вычислительной модели перекрестка // Труды 51-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». — 2008. — Часть III. Аэрофизика и космические исследования.
- Т. 2. - С. 118-121.
13. Гинзбургский К.В., Глухарев К.К. К оценке распределения маршрутов в сети // Труды 52-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». — 2009. — Часть III. Аэрофизика и космические исследования. — Т. 2.
- С. 142-144.
14. Глухарев К.К., Калинин И.Н., Улюков Ü.M. О потоке частиц в замкнутом однородном канале // Труды 52-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». — 2009. — Часть III. Аэрофизика и космические исследования. — Т. 2. — С. 145-148.
15. Глухарев К.К., Калинин И.Н. К оптимизации потока на перекрестке // Труды 53-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». — 2010. — Часть III. Аэрофизика и космические исследования. — Т. 2. — С. 72-74.
16. Глухарев К.К., Калинин И.Н. Моделирование сетевых потоков на вычислительном имитаторе // Труды 53-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». — 2010. — Часть III. Аэрофизика и космические исследования. — Т. 2. — С. 82-84.
Поступим в редакцию 19.04-2011
