О модальных логиках с экзистенциальной модальностью Текст научной статьи по специальности «Математика»

Н.А. Алёшина*, Д.П. Шкатов**

О МОДАЛЬНЫХ ЛОГИКАХ С ЭКЗИСТЕНЦИАЛЬНОЙ МОДАЛЬНОСТЬЮ

Abstract. In this paper we present Hilbert-style axiomatization of polymodal logic K# with "existential" modality, that is modality that allows us to say that a formula is true in a world accessible by some accessibility relation, and prove its completeness. We also prove completeness for the extension of K# obtained by augmenting it the axiom of determinism.

1. Цель работы

В настоящей работе мы представляем аксиоматизацию гиль-бертовского типа полимодальной логики K# с экзистенциальной модальностью - модальностью, позволяющей записывать утверждения вида "формула ф истинна в мире, достижимом по какому-то отношению достижимости" - и доказываем ее полноту. Мы также доказываем полноту расширения K , получаемого за счет добавления к

K# "аксиомы детерминизма".

2. Постановка задачи

В настоящее время одним из наиболее популярных применений модальных логик является использование модальных языков для описания систем транзиций, представляющих собой непустое множество W и множество бинарных отношений на W. Важность таких систем обусловлена тем, что очень широкий круг феноменов, изучаемых в различных областях знания, может быть формально представлен в виде системы транзиций. В философии "возможные миры" и различного рода "достижимости" между ними (временная, эпистемическая, логическая) могут быть представлены как система транзиций. В теоретической компьютери-стике состояния вычислительного устройства и переходы из одного состояния в другое, интернет-сайты и ссылки между ними представимы как системы транзиций. (Примеры из других областей знания можно найти в [2].) Особый интерес представляют детерминистические системы, то есть системы в которых из каж-

*

Работа выполнена при поддержке ЕРБШС (Великобритания), грант № ОШ-

**М98050/01.

Работа выполнена при поддержке РГНФ, грант № 04-03-00266а.

дого элемента W по каждому из отношений системы можно попасть в не более чем один элемент W.

При описании системы транзиций T = (W, Ri е ь) при помощи модальных языков соответствующий язык, помимо стандартных пропозициональных связок, оснащается "элементарной" модальностью <i> для каждого бинарного отношения Ri, содержащегося в T. Формулы вида <i> ф, оцениваемые на элементах W, в дальнейшем называемых точками, понимаются так: <i> ф истинна в точке w, если в некоторой точке v, такой, что wRiv, истинна ф. Помимо этого модальный язык может содержать модальные операторы, например стандартные операторы PDL (пропозициональной динамической логики; детали см. в [2]). В системах транзиций с более чем одним бинарным отношением полезно иметь модальный оператор, позволяющий сказать, что формула ф истинна в точке, достижимой по какому-то отношению. Эта модальность, обозначенная <#>, была введена в [1] для описания систем транзиций, моделирующих системы частично структурированной информации, такие, как World-Wide-Web. Очевидно, что в контексте философской логики <#> может использоваться в рассуждениях о фактах, которые возможны в каком-то, не уточненном, отношении.

В работе [1] оператор <#> изучался семантически в контексте языка, являющегося расширением языка PDL. В настоящей работе мы рассматриваем <#> синтаксически, в более простом контексте. Во-первых, мы представляем полную аксиоматизацию гильбер-товского типа минимальной полимодальной логики, содержащей <#>; эту логику мы называем K#. Во-вторых, мы делаем то же самое для логики всех детерминистических систем транзиций; эту логику мы называем K#D.

3. Логики K# и K#D

Рассмотрим пропозициональный язык L#, содержащий (i) счетно-бесконечное множество пропозициональных параметров Par, произвольные члены которого мы будем обозначать при помощиp, q, r, ... , (ii) пропозициональные связки — (отрицание) и v (дизъюнкция), (iii) для каждого элемента i счетно-бесконечного множества I модальных индексов, унарную модальную связку <i> и (iv) унарную модальную связку <#>. Остальные связки, в том числе дуальные модальности [i] и [#], определяются обычным образом. Формулы L# определяются стандартно; они интерпретируются на £#-моделях.

Определение 1. £#-моделью назовем структуру M = (W, {R} i е i, R#, V), где (1) W - непустое множество, (2) каждое Ri - это

бинарное отношение на Ж, (3) Я# = и г ё! Я г, и (4) V - это функция (оценки) из Раг в 2Ж. Ь*-модель М = (Ж, (Я } г ё i, Я#, V) является детерминистической, если для каждого wË Ж и каждого г ё ! существует не более одного V ё Ж, такого что wRiV.

Формулы Ь* оцениваются в точках Ж стандартным образом (мы пишем М, ф, если ф истинна в точке w модели М):

М, w= р, е.т.е. (если и только если) ф ё V(p);

М, w= -ф, е.т.е. неверно, чтоМ, ф;

М, w= ф V щ, е.т.е.М, w |- ф илиМ, wf щ;

М, w= <г> ф, е.т.е. для некоторого VË Ж, wRiV и М, ^ ф;

М, w= <#> ф, е.т.е. для некоторого VË Ж, wR#v и М, ^ ф.

Легко заметить, что вводить оператор <#> имеет смысл только в языки, содержащие бесконечное число модальных индексов; в противном случае, <#> ф определима через конечную дизъюнкцию формул вида <Ь> ф.

Обозначим логику всех Ь -моделей К# и логику всех детерминистических Ь#-моделей K#D. Наша задача - формулировка полных аксиоматизаций К# и Поскольку <#> аналогичен квантору существования первопорядковой логики, разумно предположить, что аксиоматизация К# должна выглядеть следующим образом (п обозначает произвольный г ё I или #): Схемы аксиом

(PL) Все пропозициональные классические тавтологии. (к) [п] (ф ^ щ) ^ ([п] ф ^ [п] щ). (ER) <г> ф ^ <#> ф.

Правила вывода (МР) Из ф ^ щ и ф выводима щ. (N) Из ф выводима [п] ф.

(EL) Из <г> ф ^ щ выводима <#> ф ^ щ при условии, что г не входит в щ.

Также разумно предположить, что аксиоматизация K#D может быть получена добавлением к вышеприведенному списку схем аксиом следующей схемы, иногда называемой "аксиомой детерминизма":

ф) <г> ф ^ [г] ф.

Нетрудно проверить следующий факт.

Теорема 2. непротиворечива по отношению к классу всех Ь -моделей. К#в непротиворечива по отношению к классу всех детерминистических Ь* -моделей.

Также нетрудно заметить, что ни К# ни К#п не имеют строго полной аксиоматизации. Действительно, любое конечное подмножество множества {<#> р, —</> р: /е I } выполнимо, в то время как оно само невыполнимо. Следовательно, обе К и

К#

п некомпактны.

Поскольку некомпактные логики не имеют строго полной аксиоматизации, ни К# ни К#п не имеют строго полной аксиоматизации.

В последующих разделах мы доказываем слабую полноту К# и

К#

о, то есть показываем, что любая К -непротиворечивая и любая

К#

о-непротиворечивая формула имеет модель.

4. Полнота К#

Для доказательства полноты мы будем использовать технику доказательства полноты через построение конечных моделей (completeness-via-fínite-models), подробно описанную в [2].

Определим псевдо-отрицание ~ф формулы ф следующим образом: если ф имеет вид —у, то ~ф - это у; в противном случае, ~ф -это —у. Замыканием множества формул Е будем называть множество СЦ(Е), содержащее все подформулы формул из Е и их псевдоотрицания. Легко видеть, что замыкание конечного множества конечно. Конечная каноническая модель для формулы ф строится из {ф}-атомов, максимально К#-непротиворечивых подмножеств СЬ({ф}). (В общем, для произвольного множества формул Е, Е-атом - это максимально К#-непротиворечивое подмножество СЦЕ).)

Лемма 3. Пусть Е - конечное множество Ь*-формул и Г - непротиворечивое подмножество СЦЕ). Тогда Г может быть расширено до Е-атома.

Доказательство. Чтобы получить требуемый атом, надо представить формулы СЦ(Е) в виде списка и добавить к Г для каждой формулы из списка либо ее саму, либо ее псевдо-отрицание, так, чтобы множество формул, получаемое на каждом шаге, было непротиворечивым.

Нетрудно проверить, что каждый Е-атом А обладает следующими свойствами:

(1) Для всякой у е СЦ(Е) в точности одна из у и ~у принадлежит А .

(2) Для всякой ф V уе СЦ(Е), ф V уеА е.т.е. феА или уеА.

Определение 4. Пусть Е - конечное множество Ь#-формул и пусть а - модальный индекс, не встречающийся в Е. Конечная каноническая модель МЕ для К# относительно Е - это структура (А1(Е), (ЯЕ } е I, Vе), где

(/) АЦЕ) - множество всех Е-атомов.

(ii) AR iB е.т.е. (1) i встречается в L или i = a и (2) A л л <i> Bл непротиворечиво (A л обозначает конъюнкцию всех формул из A).

(iii) ARl# B е.т.е. A л л <#> B л непротиворечивй.

(iv) Для каждого p е Par, VL (p) = {A sAt(f) : p е A}. Стандартным образом (детали см. в [2]) может быть доказана

следующая лемма.

Лемма о существовании. Пусть L -конечное множество L#-формул, A -это L-атом и к - или модальный индекс, входящий в L, или #. Тогда, для каждой <п> ф е CL(L), существует L-атом такой, что ARLnB и фе B.

Из леммы о существовании и вышеперечисленных свойств атомов непосредственно следует следующая лемма. Истинностная лемма Пусть L - конечное множество Р#-формул, ML - конечная каноническая модель относительно L и ф е CL(L). Тогда для каждого A е At(L) имеет место, что M, A^ ф е.т.е. ф е A.

Остается только доказать, что конечные канонические модели

Т #

являются L -моделями.

Лемма 5. Каждая конечная каноническая модель ML = (At(L), {RL } i е i, RL#, Vl) для K#является L#-моделью.

Доказательство. Все, что требуется доказать, это что R # = U i е IRL i. Сначала докажем включение справа налево. Предположим, с целью получения противоречия, что для некоторого i е I имеет место A R i B, и что не имеет места A R # B. Тогда, согласно Определению 4, не имеет места A л л <i> B л | F, но имеет место A л л <#> Bл | F. Тогда <#> Bл | —A л и следовательно, в силу (ER), <i> Bл | —A л, что невозможно, поскольку A л л <i> Bлнепротиворечива.

Теперь докажем слева направо. Предположим, что A B. Если для некоторого i е I имеет место A R i B, то доказательство закончено. В противном случае мы можем показать, что имеет место A R a B. Действительно, в противном случае Aл л <a> Bл | F и, следовательно, <a> Bл | —Aл. Тогда, в силу (EL), которое может быть применено, поскольку a не входит в Е, <#> Bл | —A л, что невозможно, так как A R # B и, следовательно, A л л <#> B л непротиворечива.

Теорема 6. слабо полна относительно класса всех L -моделей.

Доказательство. Непосредственно следует из Леммы 3, Истинностной леммы и Леммы 5.

Замечание 7. Если бы при построении конечной канонической модели относительно Е для K# мы не добавили к модальным индексам Е "новый индекс" а, то мы не смогли бы доказать, что эта модель является £#-моделью. В качестве контрпримера рассмотрим Е = {<#> p л — <b> p}. В канонической модели относительно такого Е есть атом, а именно атом, содержащий <#> p л — <b> p, из которого по R# достижим атом, не достижимый ни по какому

5. Полнота K#D

Вышеприведенное доказательство не может быть легко переделано в доказательство полноты K#D. Если мы просто заменим в определении конечных канонических моделей K -непротиворечивость ^^непротиворечивостью, то мы не сможем доказать, что полученные модели являются детерминистическими. Тем не менее, мы можем перестроить конечную каноническую модель для K#D в детерминистическую £#-модель.

Для доказательства полноты K#D нам придется несколько изменить определение замыкания. Если у является подформулой ф, то модальной глубиной вхождения у в ф мы называем число модальных связок ф, в области действия которых находится данное вхождение у; обозначим это число посредством md^y). Детерминистическим замыканием множества L -формул Е будем называть множество DCL^), содержащее (1) все подформулы формул из Е, (2) их псевдо-отрицания и (3) для каждой ф е Е и у такой, что md^y) > 0, если индекс i встречается в Е, то <i> уе DCL^) и <i> ~у е DCL^). Легко увидеть, что если Е конечно, то DCL^) тоже конечно. Е-атомы теперь определяются как максимальные непротиворечивые подмножества DCL^).

Определение 8. Пусть Е - конечное множество L#-формул. Конечная каноническая модель M для K#D относительно Е - это структура (At(E), {R } г е i, R #, Vе), где

(i) At(E) - множество всех Е-атомов.

(ii) ARiB е.т.е. A л л <i> B л непротиворечива.

(iii) AR #B

е.т.е. A л л <#> B л непротиворечива.

(iv) Для каждого p е Par, Vе (p) = {A еAt(E) : p е A}.

Аналогично тому, как это было сделано в предыдущем разделе, могут быть доказаны следующие аналоги Истинностной леммы и Леммы 5.

Истинностная лемма для

D. Пусть - конечное множество L -формул, M - конечная каноническая модель относительно

для K#D и ф е DCL(E). Тогда для каждого A е At(E), имеет место, что M, A f ф е. т. е. ф е A.

Лемма 9. Каждая конечная каноническая модель ME = (At(E), {RE } i е i, R#, Vе) для K#D является L^-моделью.

Теперь нам нужно преобразовать ME в детерминистическую модель. Мы сделаем это в два этапа: сначала избавимся от недетерминизма в отношении модальных индексов, не встречающихся в Е, и затем избавимся от не-детерминизма в отношении модальных индексов, встречающихся в Е. Первый этап прост. Лемма 10. Пусть ME = (At(E), {RE } i е I, RE#, Vе) - конечная каноническая модель для K#D относительно Е. Тогда существует модель ME = (At(E), {RE} i е I, R #, Vе) такая, что (1) для каждого i, не имеющего вхождения в Е, и всяких A, B, B' е At(E), если ARE iB и AR'E iB', то B = B\ и (2) для всякой ф е DCL(E) и всякого X е At(E) имеет местоME, Xр ф е.т.е. ME, Xр ф.

Доказательство. Заметим, что в силу Определения 8, если AR #B, то AR iB имеет место для каждого i, не входящего в Е. Для каждой пары атомов оставим только одну "достижимость" по i, не входящему в Е, если они не связаны никаким j, входящем в Е, и ни одной "достижимости", если они связаны неким j, входящим в Е.

Второй этап менее тривиален. Нам потребуется нестандартное определение развертывания модели для получения моделей, которые мы называем строго древовидными.

Определение 11. L#-модель M = (W, {R} i е I, R#, V) является строго древовидной, если структура (W, R#) является иррефлек-сивным деревом и для каждой (w, v) е R# существует строго один i е I, такой, что (w, v) е Ri.

Лемма 12. Пусть M = (W, {R} i е I, R#, V) - L#-модель с корнем w (точкой, из которой может быть достигнута любая другая точка по R#). Тогда существует строго древовидная модель MT = (WT, {RT} i е I, RT#, VT), такая, что для каждой LL-формулы ф имеет место MT, w р ф е.т.е. M, w р ф.

Доказательство. Сначала построим модель M' = (W', {R'} i е ь R'#, V') такую, что

(1) W - это множество всевозможных последовательностей формы (w, w11, .... wn'"), где wi, .... wn>ое Wи ii, ..., inе I,

(2) (w, wi'1, .... wnin) R'j (w, wi'1, ..., wnin, wn+1in+1), если wnRjwn+i и j = in+i,

(3)) R'# = Ui е IR'i.,

(4) V'(p) = {(w, wi1, .... wnin): wn е V(p)}, для каждогоp е Par.

Затем возьмем подмодель М', порожденную w. Это и есть требуемая М . Легко убедиться, что М является строго древовидной (последний член последовательности, выступающей в качестве второго аргумента каждого Я' г имеет в точности один верхний индекс). Сохранение истинности гарантируется тем, что отношение Ъ ^ Ж х Жт, такое, что V Ъ w1'1, .... wn'") е.т.е. V = wn, является бисимуляцией.

Теперь докажем, что в древовидных моделях значение формулы ф в корне w модели не меняется, если мы заменим точку V, достижимую из w в к шагов, на точку V', согласующуюся с V на всех подформулах ф модальной глубины к. (В формулировке следующей леммы, wRk# V сокращает wR# и1 ... ик-1Я# V; в частности, wR0# V означает, что w = V.)

Лемма 13. Пусть ф - это Ь*-формула, М = (Ж, щ} г ё R#, V) -древовидная Ь*-модель, w ё Ж и V ё Ж такая, что wRk# V. Пусть М' получена из М заменой поддерева, порожденного V, поддеревом с корнем V', таким, что для каждой подформулы щ формулы ф с шйф(щ) = к имеет место М\ V р щ е.т.е. М, V р щ. ТогдаМ\ w р ф е.т.е. М, w р ф.

Доказательство. Индукцией по к.

Если к = 0, то w = V. Кроме того, V и V' согласуются на всех щ с = 0. Поскольку ш^(ф) = 0, w и V'согласуются на ф.

Предположим, что утверждение леммы верно для к = п. Докажем, что тогда оно верно и для к = п + 1. Предположим обратное. Тогда, V и V' согласуются на всех щ с = п + 1, М, w р ф, но

неверно, что М\ w р ф (другой случай симметричен). Поскольку мы не меняли w, то ф должна содержать подформулу <г> х с ш^(<7>%) = 0, такую, что для некоторой и, такой, что w Ri и и и лежит на ветке, ведущей от w к V, М, и р х, но не имеет места М\ и р X (другой случай симметричен). Теперь = mdф(<i>х) + 1 и

каждая подформула х является подформулой ф; следовательно, V и V1 согласуются на всех подформулах х модальной глубины п. Поскольку и^* V, применяя индуктивное предположение к дереву, порожденному и, получаем, что М, и р х е.т.е М\ и р х, что дает нам противоречие.

Лемма 14. Пусть М"рТ - строго древовидная модель, полученная из канонической модели относительно (ф}, Мф развертыванием (процедурой, описанной в доказательстве Леммы 12) подмодели М9, порожденной атомом, содержащем ф. Тогда для любых В, В' ё МфТ таких, что, для некоторого С, С Ri В и С Ri В', и любой щ с шйф(щ) > 0 имеет место МфТ, В р щ е.т.е. МфТ, В' р щ.

Доказательство. Предположим обратное. Тогда MpT, C р <>у иMT,C р <i> ~у. Тогда <>уе DCL(^}) и <i> ~у е DCL(^}) и, следовательно, в силу Истинностной леммы для

K#

d <>у е C и

<i> ~у е C, что невозможно, поскольку, в силу аксиомы (D), <i> у, <i> ~у f F.

Теперь мы можем доказать полноту. Теорема 15. K#D слабо полна по отношению к классу всех детерминистических L# -моделей.

Доказательство. Возьмем ^^непротиворечивую формулу ф. Сначала строим конечную каноническую модель M по отношению к {ф}. В M имеется атом Av, содержащий ф. Согласно Истинностной лемме для K#D, имеет место Mp, Av р ф. Удалим из M все "лишние" достижимости по таким Rh что i не входит в ф, получая модель M"p, как описано в доказательстве Леммы 10; в силу этой леммы Mv, A9 р ф. Теперь развернем Mff в строго древовидную модель M"pT, используя построение из доказательства Леммы 12; согласно этой лемме, M"pT, Av р ф. Далее, уровень за уровнем, для каждого атома C и индекса i на уровне n таких, что из C достижимы по Ri атомы B1, ... Bn, заменим все Bj на B1. Обозначим полученную модель MfpT'. Согласно Лемме 13, MfpT', Av р ф. Наконец, построим модель МфТ'', заменяя в M"pT' идентичные копии B1 одним-единственным B1. Очевидно, что M"pT' и M^7" бисимулярны; следовательно, M"pT", Av р ф. Очевидно, что MfpT" является детерминистической L#-моделью.

ЛИТЕРАТУРА

1. Alechina N., de Rijke M., Demri S. A modal perspective on path constrains // Journal of Logic and Computation. 2003.Vol. 13. P. 939-956.

2. Blackburn P., de Rijke M., Venema Y. Modal Logic. CUP, 2001.