О многообразии полугрупп отношений с операцией рефлексивной двойной цилиндрофикации Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 501.1

О МНОГООБРАЗИИ ПОЛУГРУПП ОТНОШЕНИЙ С ОПЕРАЦИЕЙ РЕФЛЕКСИВНОЙ ДВОЙНОЙ ЦИЛИНДРОФИКАЦИИ

Д. A. Бредихин1, А. В. Попович2

1 Доктор физико-математических наук, профессор кафедры математики и моделирования, Саратовский государственный технический университет им. Гагарина Ю. А., [email protected]

2Аспирант кафедры математики и моделирования, Саратовский государственный технический университет им. Гагарина Ю. А., [email protected]

В работе находится базис тождеств многообразия, порожденного классом полугрупп бинарных отношений с дополнительной операцией двойной рефлексивной цилиндрофикации.

Ключевые слова: алгебры отношений, многообразия, базис тождеств, операция двойной рефлексивной цилиндро-фикации.

ВВЕДЕНИЕ

Множество Яе1(и) всех бинарных отношений, заданных на и, относительно операции умножения отношений о образует полугруппу отношений и всякая полугруппа изоморфно вкладывается в полугруппу отношений (Яе1(и), о). Вместе с операцией умножения отношений на множестве Яе1(и) могут быть рассмотрены и другие операции, несущие дополнительную информацию об указанной полугруппе. Возникающие при этом алгебраические структуры могут быть рассмотрены в рамках теории алгебр отношений. В общем случае под алгеброй отношений над данным множеством мы понимаем пару (Ф,О), где О — некоторая совокупность операций над отношениями и Ф — множество отношений, замкнутое относительно операций из О. Обозначим Я{О} класс алгебр, изоморфных алгебрам отношений над всевозможными множествами с операциями из О.

Исследование операций над отношениями восходит к работам Де Моргана, Пирса, Фреге и Шредера. Тарским был предложен аксиоматический подход к изучению алгебр отношений [1]. Им был рассмотрен класс алгебр отношений, в число операций которых наряду с булевыми операциями входят операции умножения о и обращения -1 отношений. Имеется также ряд других операций над отношениями, играющих важную роль в приложениях теории алгебр отношений в различных областях алгебры и логики, в частности в теории полугрупп; рассмотрению различных классов алгебр отношений посвящен обзор [2].

Как правило, операции над отношениями задаются с помощью формул логики предикатов. Такие операции называются логическими. Всякая формула ф(г0,г1,т1 ,...,гт) логики предикатов первого порядка, содержащая т бинарных предикатных символов г1,... ,гт, две свободные индивидуальные переменные , г1 и какие-либо связанные индивидуальные переменные (при г > 2), определяет т-арную операцию ^ на Яе1(и):

. . . , рт) = {(и, V) е и X и : р(и, V, Р1рт)},

где р(и,..., рт) означает, что формула р выполняется, если , г1 интерпретируются как и, V и г1,... ,гт интерпретируются как отношения р1,..., рт из Яе1(и).

Логические операции могут быть классифицированы по виду задающих их формул. Важным классом операций над отношениями является класс диофантовых операций. Операция называется диофан-товой1 [3,4] (в другой терминологии — примитивно-позитивной [5]), если она может быть задана с помощью формулы, которая в своей предваренной нормальной форме содержит лишь операцию конъюнкции и кванторы существования. К числу диофантовых, в частности, относится упомянутые выше операции умножения и обращения отношений.

Диофантовы операции могут быть описаны с помощью графов [3-5]. Пусть N — множество всех натуральных чисел и [1, п] = {к е N : 1 < к < п}. Помеченным графом назовём пару (V, Е), где V — конечное множество, называемое множеством вершин, и Е с V х N х V — тернарное отношение.

1Термин «диофантова операция» был предложен первому из авторов Л. Н. Шевриным.

© Бредихин Д. А., Попович А. В., 2015

Тройку (u,k,v) e E будем называть ребром графа, идущим из вершины u в вершину v, помеченным

k

меткой k, и графически изображать следующим образом: u ^ •v. Мы также будем говорить, что вершины u и v инцидентны ребру (u,k,v).

Под двухполюсником мы понимаем помеченный граф с парой выделенных вершин, т. е. систему вида G = (V, E,in,out), где (V,E) — помеченный граф; in и out — две выделенные вершины, называемые входом и выходом двухполюсника соответственно.

Пусть F = F^ — диофантова операция, задаваемая формулой у. С этой операцией может быть ассоциирован двухполюсник G = G(y), определяемый следующим образом [5]: G = (V, E, in, out), где V — множество всех индексов индивидуальных переменных zi, входящих в формулу у; in = 0, out = 1; (i,k,j) e E тогда и только тогда, когда атомарная формула rk(zi,Zj) входит в у.

Обратно, всякий двухполюсник G = (V,E,in,out), где V = {v0,...,vn}, in = v0, out = vi, задаёт диофантову формулу y(G) с двумя свободными переменными z0 и zi, какими-либо связанными индивидуальными переменными zi (при i > 2) и бинарными предикатными символами ri,...,rm, определяемую следующим образом:

y(G) = (3Z2 ,...,Zm ) Д rk (Zi,Zj ).

(ui,k,v,j )£E

Диофантову операцию, задаваемую формулой y(G), обозначим FG. Так операции умножения отношений, задаваемой формулой

р о а = {(u,v) : (3 w)(u, w) e р Л (w, v) e р},

соответствует двухполюсник следующего вида:

1 . 2

in out

Назовём диофантову операцию атомарной, если она задаётся формулой, не содержащей операцию конъюнкции. Ясно, что такая формула может содержать лишь одну атомарную подформулу, и, следовательно, соответствующая операция над отношениями будет унарной. Далее при рассмотрении операций над бинарными отношениями предполагается, что это отношения на фиксированном множестве U, что в большинстве случаев явно не оговаривается. Существует девять различных атомарных диофантовых операций (отличных от тождественной F0(р) = р): Fi — операция обращения -i; F2 и F3 — операции цилиндрофикации [6]; F4 — операция двойной цилиндрофикации; F5 и F6 — домино операции [7, 8]; Fr и F8 — операции рефлексивной цилиндрофикации [8]; F9 — операция двойной рефлексивной цилиндрофикации. Ниже приводятся формулы и двухполюсники Gk (k = 1,..., 9), задающие соответствующие операции:

Fi(р) = { (u, v) : (v, u) e р}, Gi

F2(р) = { (u, v) : (3w)(u, w) e р}, G2 • in

F3(р) = { (u, v) : (3w)(w, v) e р}, G3 in

F4(р) = { (u, v) : (3w, z)(w, Z) e р}, G4 • in

FM = { (u, v) : (3w)(w, u) e р}, G5 in

F6(р) = { (u, v) : (3w)(v, w) e р}, G6 • in (

Fr(р) = { (u, v) : (u, u) e р}, Gr

Fs(р) = {(u,v) : (v,v) e р}, G8

F9(р) = {(u,v) : (3w)(w,w) e р}, G9

out —

out out out out out

out

out

out

Рассмотрение алгебр отношений в рамках аксиоматического подхода предполагает изучение их свойств, выразимых на языке логики предикатов первого порядка и, в частности, на языке тождеств. Это приводит к необходимости изучения многообразий Var{0}, порождённых различными классами R{0} алгебр отношений [9].

Базис тождеств многообразия Var{o, -1} найден в [10], а многообразий Var{o,F3} и Var{o,F4} в [11]. Целью этой работы является подробное доказательство результата, анонсированного в работе [12], в котором находится базис тождеств многообразия R{o,F9} алгебр отношений с операциями умножения отношений и двойной рефлексивной цилиндрофикации.

ФОРМУЛИРОВКА ОСНОВНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

Сосредоточим внимание на операции произведения отношений o и унарной операции рефлексивной двойной цилиндрофикации:

V(p) = F9 (р) = {(u, v) : (3 w)(w, w) G p}.

Заметим, что эту операцию можно рассматривать как операцию-индикатор существования неподвижных точек для бинарных отношений. Действительно, V(p) = U х U, если р содержит пару вида (w, w), и V(p) = 0 — в противном случае.

В следующей теореме находится базис тождеств для многообразия Var{o, V}.

Теорема 1. Алгебра (A, •, *) типа (2,1) принадлежит многообразию Var{o, V} тогда и только тогда, когда она удовлетворяет следующим тождествам:

1) (xy)z = x(yz), 2) (x*)2 = x*, 3) x*xx* = x*, 4) (x*y)2 = x*y, 5) (xy*)2 = xy*,

6) (xy)* = (yx)*, 7) x*yz* = z*yx*, 8) (xy*z)* = y*zxy*, 9) x*yx*zx* = x*zx*yx*,

10) x*(xp)* = x* для любого простого числа p.

Найденный в теореме 1 базис тождеств является бесконечным. Естественно возникает вопрос о конечной базируемости этого многообразия.

Теорема 2. Многообразие Var{o, V} не является конечно базируемым.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Разобъем доказательство теоремы 1 на ряд последовательных шагов.

Шаг 1. Доказательство базируется на результате работы [13], дающем описание эквациональных теорий алгебр отношений с диофантовыми операциями. Приведём ряд определений и обозначений, необходимых для формулировки этого результата и используемых в дальнейшем изложении.

Пусть G = (V, E, in, out) и Gk = (Vk ,Ek ,ink ,outk) (k = 1,...,m) — двухполюсники с попарно непересекающимися множествами вершин. Назовём композицией этих двухполюсников новый двухполюсник G(G1 ,...,Gm), который определяется следующим образом [5]: возьмём двухполюсник G и заменим каждое его ребро (u,k,v) G E на двухполюсник Gk, отождествляя при этом вершину ink с вершиной u и вершину outk с вершиной v.

Рассмотрим множество диофантовых операций над отношениями О = {F^,...,Fipn} и пусть A = (A, f1,..., fn) — универсальная алгебра соответствующего типа. Положим G1 = G(^1), ..., Gn = G('^n).

Для всякого терма p алгебры A определим следующим индуктивным образом двухполюсник Gp = (Vp ,Ep ,in(p),out(p)):

k

а) если p = xk, то G(p) представляет собой двухполюсник вида in- ^ •out;

б) если p = fk(p1,... ,pm), то G(p) есть композиция Gk(G(p1),..., G(pm)).

Обозначим через pr(E) множество всех рёбер, инцидентных некоторой вершине помеченного графа (V, E). Пусть даны два помеченных графа (V1,E1) и (V2,E2), отображение f : pr(E2) ^ pr(E1) называется гомоморфизмом из E2 в E1, если (f(u),k,f (v)) G E1 для всякого ребра (u,k,v) G E2.

Пусть G1 = (V1,E1 ,in1,out1) и G2 = (V2,E2,in2,out2) — двухполюсники. Отображение f : V2 ^ V1 называется гомоморфизмом G2 в G1, если f(in2) = in1, f(out2) = out1 и (f (u),k,f (v)) G E1 для всякого ребра (u,k,v) G E2.

Мы будем писать E1 ^ E2 (G1 ^ G2), если существует гомоморфизм E2 в E1 (G2 в G1), и E1 = E2 (G1 = G2), если E1 ^ E2 и E2 ^ E1 (G1 ^ G2 и G2 ^ G1).

Обозначим через Ед{Щ эквациональную теорию класса Теперь мы готовы сформулировать

основной результат работы [12].

Теорема 3. Тождество р = д принадлежит эквациональной теории Ед{Щ тогда и только тогда, когда С(р) = О(д).

Шаг 2. Докажем дополнительные тождества, необходимые нам в дальнейшем. Если при доказательстве используется тождество с номером к), то мы будем использовать символ =.

Лемма 1. Пусть алгебра (А, *) типа (2,1) удовлетворяет тождествам 1)-10). Тогда она также удовлетворяет тождествам:

11) х * у * = у *х *, 12) (х * уг * )* = х * уг *, 13) хуг * = хуг *хг *, 13') х *уг = х *гх *уг,

14) (ху)* = (ху)* х(ху) *, 15) х *уг * = г * х *уг *, 16) х * (хп )* = х *, где п е N.

Доказательство. Докажем тождество 11):

* * 2 ***7 * * * 2 ** х у = х х у = у х х = ух.

Покажем, что тождество 12) справедливо:

(х *уг * )* = (х * хх *уг * )* = ((х *х)х * (у г * ))* = х * (у г * )(х *х)х * = х *уг *х *хх * = х *уг *х * =

* **2 * * 7 * *

= г ух х = г ух = х у г .

Докажем тождество 13):

* 5 * * 4 ** * 9 * * * 5 ** хуг = хуг хуг = хуг хг хуг = хуг хуг хг = хуг хг .

Докажем тождество 13'):

* 4 * * 5 * ** 9 * * * 4**

х уг = х угх уг = х угх гх уг = х гх угх уг = х гх уг. Докажем теперь справедливость тождества 14):

(ху)* = (ху) * ху(ху)* = (ху) *ху(ху) *х(ху)* = (ху) * х(ху)*. Докажем тождество 15):

* * 7 * *2 ** * 7 ** *

х уг = г ух = г г ух = г х уг .

Тождество 10) справедливо для любого простого числа р. Покажем что оно справедливо и для любого натурального числа п. Число п можно представить в виде п = р^1 .. .рт, где р\. ,рт — простые числа. Отсюда:

х * = х * (хР1 )* = х * (хР1 )*((хР1 )Р1 )*= х * (хР1 )*(хр12 )* = ... = х * (хР1 )*(хр12 )*... (хР1 к1 )* = = х * (хР1 )*... (хР1к1 )*((хР1 к1 )Р2 )* = х * (хР1 )* ... (хР1к1 )*((хР1 к1 )Р2 )*((хР1 к1 Р2 )Р2 )* = = х * (хР1 )* . . . (хР1 к1 )*((хР1 к1 )Р2 )* . . . (хР1 к1 Р2к2 )* =0 ... =0 х * (хР1 )* . . . (хР1 к1 ■■■Рткт )* =0 ... =0

= х * (хР1к1 )*= х * (хп)* .

Мы доказали тождество 16). □

Шаг 3. Введём некоторые обозначения. Пусть £ — эквациональная теория алгебр, удовлетворяющих тождествам 1)-10). Для алгебры (А, ■, *) типа (2,1) обозначим через 5 множество всех термов указанной сигнатуры. Для любых двух термов е 5 мы пишем р = д, если тождество р = д принадлежит £. Пусть Л — множество слов над алфавитом {х1,... ,хп,...} и Л = Л и {©}, где 0 — пустое слово.

Если при установке эквивалентности термов используется тождество с номером (к), то мы будем

к

писать р 1 = р2. Ссылки на тождество ассоциативности 1) будут опускаться.

Слово в является подсловом слова а, если а = а 1ва2 для некоторых а 1,а2 е Л .В том случае, когда а1 = 0 (а2 = 0), назовём в начальным (конечным) подсловом слова а.

Лемма 2. Для любого терма р е 2 существуют такие а0,а1,... ,ап е А, в1,в2,... ,вп е Л (п ^ 0), что р = а0в *а1в2 а2 ... вПап■

Доказательство. Доказательство проводится индукцией, согласно определению терма р. Утверждение очевидно для р = хк. Далее предположим, что р = а0в*а1 в* а2 ... вПап. Тогда по тождеству 8) получаем:

(р) * = (аов{а1 в* а2 ... вПап) * = в*а1 в* а2 ... вП ап ао в*.

Пусть р = аов*а1 в* а2 ... впап и д = ао в* а1 в2 <^2 ... вт&т, тогда

pq = аов\0.\в2а2 ••• вп«п«ов*«iв*«2 • • • вт«т•

□

Лемма 3. Любой терм p = а0в *а1в2 а2 • • • вП ап, где ао,а1, • • • ,ап £ Л, в1,в2, • • • ,вп £ Л (п ^ 0), можно представить в виде

Р = «о(вП«iЮ* (вП«2вПГ • • • (вПап-1 вПГв* • ••вПап•

Доказательство. Имеем

15 2

p = аов *«1 • • • вп-1 «п-1 впап = «о в* «1 • • • вп вп-1 «п-1 впап =

пп

7

= «ов i «1 • • • вп вп-1 «п-1 вnвnаn = «о в* «1 • • • вп вnаn-lвn-1вn «п = • • • =

**** ** * * 2 *** ** * * * п = а0впвпа1 впвп . . . ап-2впвпап-1в1 . . . впап = а0впа1 впвп . . . ап-2впвпап-1в* . . . впвпап =

12

= аовпа1 впвп... ап-2впвпап-1впв*... впап = ао(впа1 вп)*... (впап-1вп)* в*... впап. □

Шаг 4■ Согласно определению граф £(р) = (¥р,ЕР,гп(гр),оиЬ(р)) для р может быть построен следующим образом.

Положим р = а = хг1 хг2 ...хгп (п ^ 1), тогда Vp = Va = ^0^1, ... ^п}, Ер = Еа = {(^-1, гк,гк) : к е [1,п]} и гп(р) = гп(а) = v0, оиЬ(р) = оиЬ(а) = г)п. Соответствующий данному терму граф будет иметь вид:

• ( \ '¿1 ¿2 'п \ ""

гп(а) = г0• —> • —> •... • —> ггп = оиЬ(а).

u4 /

Если p = а = 0, то положим по определению Vp = Va = {г>о}, Ep = Ea = 0, in(p) = гп(а) = out(p) = оп1(а) = ьо.

Пусть p = (в)*, где в = хл хз

тогда Vp = Vp* =

= {ио,и1,..., ит+1}, Ер = Ер* = {(ик,%к, и^+1) : к е [1,т - 1]} и и {(ит ,гт ,и1)}, гп(р) = гп(в *) = ио, ои^(р) = Ои£(в *) = ит+1. Соответствующий граф будет иметь вид как на рис. 1.

Пусть теперь р = а0в*а1 в2а2 ...впап и п > 1. Будем предполагать, что множества Уао, Vв*, Уа1,..., Ув*, Уап попарно не пересекаются. Тогда Vp = Vao и рг(Ев**) и Val и • • • и рг(Ев*) и Van, Ер = Еа0 и Ев* и • • • и Ев* и Еап, гп(р) = гп(ао), оиЬ(р) = оиЬ(ап). Схематично соответствующий граф изображен на рис. 2.

in

out

Рис. 1. Граф, соответствующий терму p = (в)*

in

Рис. 2. Граф, соответствующий терму p = аовГав*®2 .. .в*

out

Если п = 0, то граф будет связным. В общем случае число компонент связности данного графа будет п + к, где к — это число слов а', отличных от пустого слова.

Лемма 4. Если Еа ^ Ев, где а, в е Л , то найдутся такие в1,в2 е Л, что а = в1 вв2■

x

u

j

3

□

Доказательство. Пусть а = хг1 хг2 ••• хгп и в = xjí х^2 ••• х^т, Уа = {у0,...,уп}, У@ = {у0,..., у'т}. Очевидно, что п ^ т. Пусть / — гомоморфизм из Е@ в Еа, т. е. (/(и), к, /(у)) е Еа для всякого ребра (и, к, у) е Е@. Предположим, что /(у'о) = ук, тогда /(у'г) = уъ и xjr = х^, где I = к + г и г = 1,... ,т. Положим в1 = хг1х¿2 • • • х^ (в1 = ©, если к = 0); в2 = хгзхгз+1 • • • хгп (в2 = ©, если к + т = п), где в = к + т + 1. Тогда а = в1вв2 (рис. 3).

. у0 - - . ^-ЧшУ™

>' >..... >• ^'"^-аиг

ч ✓

ч ✓

ч /

ч п у

N /

Ч /

Ч^

Ш ¿1 ^ ¿к^^^ Ь ¿п . ОШ

V VI Ук-1 Ук ^-1 V Чп-1 Vп

Рис. 3. Гомоморфизм f из Ев в Еа

Из леммы 4 непосредственно вытекает следующая лемма.

Лемма 5. Если Еа = Ер, то а = в■

В дальнейшем |Х| обозначает число элементов множества X.

Лемма 6. Если Ер* ^ Е^* и / — гомоморфизм из Е^* в Ер*, где в, в е Л, то существуют такие А, д е Л, что в = Ад и в = (дА)к для некоторого натурального к ^ 1 и для каждой вершины у е грг(Ер*) выполняется условие |/-1(у)| = к■

Доказательство. Пусть в = хг1 хг2 ••• хгп, в = х31 Xj2 • • • Xjm, рг(Ер*) = {у1 .,уп}, рг(Е^*) = = {у1 ,... ,у'т}. Очевидно, что п ^ т. Предположим, что /(у1 ) = у],. Тогда /(у'2) = у]+1 и Xj1 = х^, /(у'п+1) = у,—1 и Xjn = хг-1. Если п = т, то в = Ад, в = М и |/-1 (у)| = 1, где А = хг1 ••• хг1_1, д = хг1 ••• хгп. Если т > п, то / (у'п+2) = у,+1 и Xjn+1 = хг1,...,/ (у'т) = у, и Xjm = хгг-1. Отсюда следует, что т = кп, |/—1 (у)| = к для некоторого натурального к, и в = Ад, в = (дА)к, где А хг1 • • • хгг_1, д хг1 • • • хгп. □

Лемма 7. Если Ер* ^ Еа, где а е Л и в е Л, то существуют такие А,де Л, что в = Ад, а7 = (дА)к+1 для некоторого натурального к ^ 0.

Доказательство. Пусть а = хп хг2 ••• хгп, в = хп Xj2 ••• Xjm, Уа = {уо ,у1 ,...,уп }, рг(Е@*) = = {у1 ,...,у'т} и / — гомоморфизм из Еа в Ер*. Предположим, что / (у0) = у]. Положим А = Xj1 • • • Xjl_1, д = Xjl • • • Xjm, тогда в = Ад. Пусть п = кт + г, где г < т. Тогда а является начальным подсловом слова (дА)к+1, т.е. существует такое 7, что а7 = (дА)к+1. □

Лемма 8. Если Ев* ^ Е^*, где в, в е Л, то в * = в * в * ■

Доказательство. Согласно лемме 6 имеем в = Ад и в = (дА)к для некоторого натурального

16 7*6 7 * ~

к ^ 1. Отсюда получаем в * = в * (вк )* = в * ((Ад)к) = в * ((дА)к) = в *в *. □

Лемма 9. Если Е@* ^ Еа, где а е Л и в е Л, то в * = в *ав * ■

Доказательство. По лемме 7 имеем в = Ад, а7 = (дА)к+1 для некоторого натурального к ^ 0. Отсюда получаем

в *ав * = в * (в к+1 )* ав * = в * ((Ад)к+1 )* ав * = в * ((дА)к+1 )* ав * = в * (а7 )* ав * =

= в *в *а(а1)* = в *в * (вк+1 )* а(а1 )* = (в * )2(а7)* а(а1 )* = в * ((а^)* а(а-у)*) = в * (а^)* =

7^*6 , , * , , П * 16 = в * ((дА)к+1) = в * ((Ад)к+1) = в * (вк+1) = в *. □

Лемма 10. Если р = а0в*а1 в*а2 ... вПап, Я = А и Ер ^ Еч, где А е к, то

р = аов* а1в2 а2 ... вПАвПап.

Доказательство. Так как при гомоморфизме компоненты связности графа переходят в компоненты связности, то возможны два случая: Еа._1 Е\ для некоторого г = 2,... ,п; Ев* Е\ для некоторого г = 1,... ,п.

Предположим, что Еа._1 ^ Е\. Тогда по лемме 4 имеем аг-1 = 71 . Отсюда для г = 2,...,п получаем:

р = аов*а1 в*а2 ... вг-1аг-1вг ... вп<п = аов*а1 в*а2 ... вг-171 А72в*... впап =

13

<о в*а1 в2 а2 ... вг-171 (^72 в*)... впап = ао в* а1в* а2 ... вг-171 А72 в* Ав* ... вп <п аов1а1 ... вг-1 аг-1в* Ав*агвг+1 ... вп<п.

Далее по лемме 3 получаем:

ао в* а1 ... вг-1 аг-1 в* Ав* аг вг+1 ... вп <п =

11

п 1 п п г- 1 п п п п п-1 п 1 п п

= ао(вп а1 вп) * ... (вп ап-1 вп) * (в*пАвп) * в * ... вп <п = ао впаl... в*пАвп <п .

= ао(в*а1в*Г ... (впаг-1в*)1(вг1 Ав1)1 ...(в*ап-1в*)* в* ... в*ап =

Для случая г = п + 1 получаем:

р = аов1 а1в2 а2 . . . в а =

13'

= ао в^ в2 а2 ... в*71 А72 = ао в*^ в* а2 ... в^в^ А72 = ао в* а1в2* а2 ... в^Ав*^.

Пусть теперь Евi ^ ЕЛ, тогда по лемме 9 имеем в* = в*Ав*. Отсюда получаем:

р = аов* а1 в* а2 ... в*-1аг-1вг ... в*а п = ао в* а1... вг^аг^в* Ав* аг вг+1 ... в*а п Далее, используя лемму 3, получаем:

ао в* а1 ... вг-1 аг-1 в* Ав* аг вг+1 ... в*а п =

11

-'па1Уп) . . . (Нп * аг-1 Нп) (НпАНп) . . . (Нпап-1Нп) Н1 . . . Нпап

ао(в*а1 в*)*... (в*ап-1 в*)*(в^в*)*в* ... в*ап = аовпаl ... в*пАв*пап. □

ао(вnа1вn)n ... (вп * аг-1в*Г^^Г . . . (в*ап-1в1)* в* . . . в*ап =

Лемма 11. Если р = аов*а1... в*ап, д = 7 1 и Ер ^ Еч, где 7 е Л, то

р = аов1а1 в*а2 ... вЪ 1 в*ап.

Доказательство. Так как при гомоморфизме компоненты связности графа переходят в компонен-

ь^*

ты связности, имеем Ев* ^ Е7* для некоторого г = 1,... ,п. Отсюда по лемме 8 получаем в1 = в1 11.

Таким образом,

2

р = ао в11а1... в* агвг+1... в*а п = ао в* а1 ... в* 11 аг вг+1 ... в*а п =

7 11

= аов1а1 . . . в* 11 аг вг+1вг+1 . . . в* ап = ао в* а1 . . . в* вг+1аг11 вг+1 ... в* ап =

7 2

= ао в1_а1 ... вг+1 в* агвг+11 *... в*а п = аовпаl ... вг+1 вг+1 аг в* 11... в*а п =

7

= ао в1а1 ... вг+1 аг в* 1 *... в*а п = ао впаl ... в* аг вг+Л *... в*а п = ... = ао в* а1 ... в*! *а п. □

Шаг 5■ Непосредственной проверкой убеждаемся, что операции о и V удовлетворяют тождествам 1)—10), т.е. £ С Ед{о,V}. Таким образом, для доказательства теоремы 1 достаточно показать, что Ед{о, V} С £.

Предположим, что тождество р = д принадлежит Ед{о, V}. Согласно сформулированной ранее теореме 3 из [12] имеем £(р) = £(д), т.е. £(р) ^ С(д) и £(д) ^ ^(р). Это означает, что существуют гомоморфизмы /1 из £(д) в О(р) и f2 из О(р) в О(д). Согласно лемме 1, не нарушая общности, можно предположить, что р = аов*а1 в*а2 ... вЩап и д = аов*а1 в*а2 ... вт®т.

Предположим, что а0 = 0. Тогда существует ребро в О(р), выходящее из вершины гп(гр). Отсюда следует, что существует ребро в О(я), выходящее из вершины /2(гп(гр)) = гп(я), значит, а0 = 0. Аналогично, а0 = 0 влечет а0 = 0.

Аналогично показываем, что ап = 0 влечет ат = 0 и ат = 0 влечет ап = 0.

Предположим, что а0 = 0 и а0 = 0. Так как /1 (оиЬ(я)) = /1 (оиЬ(а0)) = оиЬ(р) = оиЬ(а0) и /2(оиЬ(р)) = /2(оиЬ(ао)) = оиЬ(я) = оиЬ(ао), то /1 (У&0) С Уао и /2 (Уао) С УЙ0. Отсюда по лемме 5 получаем, что а0 = а0. Аналогично показываем, что ап = 0 и ат = 0 влечет ап = вт.

Таким образом, нами показано, что а0 = а0 и ап = ат.

Далее рассмотрим все возможные случаи значений т и п.

Пусть п = 0, т. е. р = а0. Тогда согласно структуре графа О(а0) существует путь в О(р) из гп(гр) в оиЬ(р). Следовательно, существует путь в О(я) из /2(гп(гр)) = гп(я) в /2(оиЬ(р)) = оиЬ(я) О(я), что возможно лишь в случае т = 0. Следовательно, п = 0 влечет т = 0. Аналогично, т = 0 влечёт п = 0.

Пусть т = п = 0, тогда р = а0 = а0 = я. Предположим теперь, что п,т > 0. Учитывая, что а0 = а0 и ап = ат, получаем:

р = аов*а1в*а2 ... ап—1 впат.

Так как О(р) О(я), имеем Ер Е&1. Отсюда по лемме 10 получаем:

р = аов*а1в*а2... ап—1 впа1 впат.

Проделывая это для всех ак (к = 1,... ,т — 1), мы получим:

р = аов *а1 в* а2... ап—1 вп а1 вп а2... вп ат—1 впат.

Аналогично, используя лемму 11, получаем:

р = аов*а1в2 а2 ... ап—1 впа1 вп а2 ... вп ат—1 вп 'в1(ат.

Проделывая эти действия для всех ¡3* (к = 1,... ,т), имеем

р = аов*а1в2 а2 ... ап—1 вп а 1 вп аа2 ... вп ат—1 вп в1 ... втвт.

По лемме 3 мы можем представить терм р в виде

р = а0 (впа1 вп )* . . . (впап — 1 вп )*( вп а1 вп)* . . . (вп ат— 1 вп )*в* . . . вп в1 . . . вт ат.

Аналогичным образом представляем терм я в следующем виде:

Я = а0вг а1 в2 а2 . . . ат —1 вта1 вта2 . . . втап — 1 втв1 . . . впат .

Отсюда, используя лемму 3, получаем:

~ - 2 Я = а0в 1 а1в* а2 . . . ат —1 вта1 вта2 . . . втап — 1 втв1 . . . впат = ~ - 11 = аов* а1в* <52 . . . ат— 1 вта1 вта2 . . . втап—1 втв1 . . . впвпат =

= <о в* в1 в2 а 2... ат—1 вт а1 вта2... втап—1 вп втв1... вп ат =

т—1 т 1 т 2 т п—1 п т

~ ~ 11

= а0(впа1 вп) . . . (впат— 1 вп) (впа1 вп) . . . (впап — 1 вп) впв* . . . втвтв* . . . впат =

...... 2

= а0(впа1 вп) . . . (впат — 1 вп) (впа1 вп) . . . (впап 1 вп) в1 ... втвтв1 . . . впвпат =

= <о(впв1 вп)*... (в вп)1( вп а1 вп)*...(вп ап—1 вп т... втв1...в

п ав т .

Таким образом, используя тождество 11), получаем р = я, следовательно, тождество р = я принадлежит эквациональной теории £, т.е. Ея{°, V} С £. Теорема 1 доказана.

Переходим к доказательству теоремы 2. Напомним, что двухполюсники = (У0,Е0,т0,оиЬ0) и Оу = (Уу,Еу,оиЬу), соответствующие операции умножения отношений о и операции V, задаются следующим образом: У0 = {у1 ,у2,уз}, Е0 = {(у1, 1,у2), (у2,2,у3)}, гп0 = у1,оиЬ0 = у3 и

Уу = {уо, у1 ,у2}, Еу = {(у1, 1, у1)}, ту = уо, оиЬу = у2.

Пусть В — множество всех двухполюсников О(р), где р = а0в*а1в2а2 ■ ■ ■ вп®п для некоторых «о,а1 £ Л (п ^ 0), в*, в*£ Л. Определим две операции на В арности 2 и 1 как

следующую композицию графов. Для заданных О^ £ В, положим О • Q = О0(О^) и О * = Оу(О), где О0 и Оу — двухполюсники, соответствующие операциям о и V над отношениями.

к

Будем писать О Q (к > 2), если существует гомоморфизм / из Q в О, удовлетворяю-

к

щий условию: для любой вершины у из О | /-1 (у) |< к. Далее, будем писать О Q, если

к к к к к

О = О1 ^ О2 ^ ■■■ ^ Оп = Q для некоторых О1 ,О2, ■ ■ ■ ,Оп £ В, и О = Q, если О < Q и

к к

Q О. Легко проверить, что отношение = является конгруэнтностью алгебры (В, •, *) и фактор-к

алгебра Ак = (В, •,*)/ = удовлетворяет тождествам 1)-9).

Обозначим через Рг множество всех простых чисел, Рг[1,п] = РЯ П [1,п] и Рг(п) — множество всех простых делителей п.

K

Лемма 12. Если G(p*) Д G((p1 )*), то Pr(l) с Pr[1,k].

K

Доказательство. Предположим, что G(e*) Д G((el)*), т.е.

G(e*) = Gi Д G2 Д ... Д Gn-i Д Gn = G((pl)*)

для некоторых О1,О2^■^Оп,^,Оп £ В, и / — соответствующий гомоморфизм из Оi в (I = 2,...,п).

Положим Оп-1 = /п (Оп), Оп-2 = /п-1(ООп-1), ■ ■■,<О1 = ¡2 (<О 2).

к ~ к ~ к к ~ к //7\\

Легко видеть, что О(в *) ^ О? 1 ^ О2 ^ ■ ■ ■ ^ Оп-1 ^ Оп = О((в1)*). Пусть / композиция гомоморфизмов /п, /п-1, ■ ■ ■, /2. Согласно лемме 6 имеем /-1 (у) = ki < к для всякой вершины у £ V(О^) такой, что у = ¿п(О^1.) = опЬ(О.1—1). Отсюда следует, что /-1 (у) = к2к3 ■■■кп для всякой вершины у £ V(О(в*)) такой, что у = ¿п(О(в*)) = опЬ(О(в*)). Таким образом, согласно лемме 6 имеем I = к2 к3 ■ ■ ■кп, следовательно, Рг(1) С Рг[1, к]. □

1 к

Пусть I — простое число такое, что I £ Рг[1,к]. Предположим, что О(в*) о О((в*) = О(в*), к

тогда О(в*) О((в*)), следовательно, по лемме 12 I £ Рг[1,к], что противоречит сделанному предположению. Таким образом, система тождеств 1)-10) не эквивалентна никакой своей подсистеме, следовательно, многообразие Var{о, V} не является конечно базируемым. Теорема 2 доказана.

Библиографический список

1. Tarski A. On the calculus of relations // J. Symbolic Logic. 1941. № 4. С. 73-89.

2. Schein B. M. Relation algebras and function semigroups // Semigroup Forum. 1970. Vol. 1, № 1. P. 1-62.

3. Бредихин Д. А. Об алгебрах отношений с диофанто-выми операциями // Докл. АН. 1998. Т. 360. С. 594595.

4. Бредихин Д. А. О квазитождествах алгебр отношений с диофантовыми операциями // Сиб. матем. журн. 1997. № 38. C. 29-41.

5. Boner P., Poschel F. R. Clones of operations on binary relations // Contributions to general algebras. 1991. Vol. 7. P. 50-70.

6. Henkin L., Monk J. D., Tarski A. Cylindric Algebras. Amsterdam, North-Holland, 1971.

7. Kuhn S. The domino relations : flattening a two-dimensional logic // J. Philosophical Logic. 1989. Vol. 18. P. 173-195.

8. Venema Y. Many-dimansional modal logic. Amsterdam, Universiteit van Amsterdam, 1989.

9. Jonsson B. Varieties of relation algebras // Algebra Univers. 1982. Vol. 54. P. 273-299.

10. Schein B. M. Representation of involuted semigroups by binary relations // Fundamenta Math. 1974. Vol. 82, № 2. P. 121-141.

11. Bredikhin D. A. On varieties of semigroups of relations with operations of cylindrification // Contributions to General Algebra. 2005. Vol. 16. P. 1-6.

12. Бредихин Д. А., Попович А. В. Тождества полугрупп отношений с операцией рефлексивной двойной цилиндрофикации // Изв. вузов. Матем. 2014. № 8. C. 90-95.

13. Бредихин Д. А. Эквациональная теория алгебр отношений с позитивными операциями // Изв. вузов. Ма-тем. 1993. № 3. C. 23-30.

On Variety of Semigroups of Reletions with Operation of Reflexive Double Cylindrification

D. A. Bredikhin, A. V. Popovich

Saratov State Technical University, 77, Politekhnicheskaja str., Saratov, 410054, Russia, [email protected], [email protected]

In the paper, the basis of identities for the variety generated by semigroups of relations with the operation of reflexive double cylindrification is found.

Key words: algebras of relations, varieties, basis of identities, operation of reflexive double cylindrification. References

1. Tarski A. On the calculus of relations. J. Symbolic Logic, 1941, iss. 4, pp. 73-89.

2. Schein B. M. Relation algebras and function semigroups. Semigroup Forum, 1970, vol. 1, iss. 1, pp. 1-62.

3. Bredikhin D. A. Relation algebras with diophantine operations. Doklady Math., 1998, vol. 57, no. 3, pp. 435436.

4. Bredikhin D. A. On quasi-identities of relation algebras with diophantine operations. Siberian Math. J., 1997, vol. 38, iss. 1, pp. 23-33. DOI: 10.1007/BF02674896.

5. Boner P., Poschel F. R. Clones of operations on binary relations. Contributions to general algebras, 1991, vol. 7, pp. 50-70.

6. Henkin L., Monk J. D., Tarski A. Cylindric Algebras. Amsterdam, North-Holland, 1971.

7. Kuhn S. The domino relations : flattening a two-dimensional logic. J. Philosophical Logic, 1989, vol. 18, pp. 173-195.

УДК 519.81

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДА ЭТАЛОНОВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДИСКРЕТНОЙ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

А. А. Будаева

Кандидат технических наук, доцент кафедры автоматизированной обработки информации, Северо-Кавказский горнометаллургический институт (государственный технологический университет), Владикавказ, [email protected]

Результаты исследований задач планирования и управления показывают, что в реальной постановке эти задачи являются многокритериальными. Для эффективного решения такой задачи необходимо в первую очередь построить многокритериальную математическую модель, которую затем нужно оптимизировать, предварительно выбрав наиболее подходящий для этого метод. Предлагается подход к решению задач дискретной многокритериальной оптимизации, в основе которого лежат понятия эталона и расстояния, и рассматривается многокритериальная задача дискретной оптимизации, которая решается с помощью этого метода.

Ключевые слова: многокритериальные задачи, дискретная оптимизация, эталон, расстояние, вектор идеального значения целевой функции, экспертные оценки.

ВВЕДЕНИЕ

Проблемы принятия оптимальных проектных решений, возникающие в различных областях науки и техники, часто могут быть сформулированы как задачи дискретной оптимизации. Отличительная особенность задач дискретной оптимизации состоит в наличии конечного множества допустимых решений, которые теоретически можно перебрать и выбрать наилучшее (дающее минимум или максимум целевой функции).

8. Venema Y. Many-dimansional modal logic. Amsterdam, Universiteit van Amsterdam, 1989.

9. Jonsson B. Varieties of relation algebras. Algebra Univers., 1982, vol. 54, pp. 273-299.

10. Schein B. M. Representation of involuted semigroups by binary relations. Fundamenta Math., 1974, vol. 82, iss. 2, pp. 121-141.

11. Bredikhin D. A. On varieties of semigroups of relations with operations of cylindrification. Contributions to General Algebra, 2005, vol. 16, pp. 1-6.

12. Bredikhin D. A. Popovich A. V. Identities of semigroups of relations with an operator of reflexive double cylindrification. Russian Math. [Izvestiya VUZ. Matematika], 2014, vol. 58, iss. 8. pp. 74-77. DOI: 10.3103/S1066369X14080106.

13. Bredikhin D. A. The equational theory of algebras of relations with positive operations. Russian Math. [Izvestiya VUZ. Matematika], 1993, vol. 37, iss. 3. pp. 21-28.