CC BY
16
DOI: 10.24143/2072-9502-2018-4-26-32 УДК 681.5:517.443
Д. Б. Федосенков, А. А. Симикова, С. М. Кулаков, Б. А. Федосенков
О МНОГОМЕРНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ СИГНАЛОВ АВТОМАТИЧЕСКИХ ДОЗИРУЮЩИХ УСТРОЙСТВ
Предметом исследования является разработка специфического подхода, основанного на применении многомерных вейвлет-распределений для реализации функций мониторингового управления процессами дозирования в составе смесеприготовительного агрегата. В качестве ключевого компонента этого подхода используется многомерное время-частотное распределение Вигнера - Вилле, входящее в состав распределений класса Коэна. Исследование фокусируется на сигналах, характеризующих процессы массопереноса в виде материалопотоковых измерительных сигналов расхода в соответствующих узлах агрегата. Показано, что распределение Вигнера - Вилле в терминах времени представляет собой преобразование Фурье произведений частей рассматриваемого сигнала для прошедшего и будущего моментов времени, а соответствующее распределение для частотного спектра - преобразование Фурье произведений частей сигнала для высокочастотного и низкочастотного фрагментов спектра. Отмечено, что при использовании комплексной модели сигнала дозирования дискретные отсчеты рассматриваются как его вещественные значения. Описание параметров сигнала (амплитуды, фазы, частоты) проведено с привлечением преобразования Гильберта. В распределения класса Коэна, которыми отображаются одномерные нестационарные сигналы расхода, введено понятие «мгновенной частоты». Представлено графическое пояснение преобразования технологического сигнала расхода из одномерной временной области во время-частотное 2^/3^-пространство. Подробно разобрана технология формирования многомерного отображения в виде распределения Вигнера для одномерных сигналов расхода дозаторов непрерывного действия спирального или шнекового типа. Рассмотрены свойства поддержки распределения Вигнера, позволяющие судить о наличии или отсутствии время-частотных элементов распределения на интервале регистрации сигнала. Продемонстрировано получение распределения Вигнера для сигнала дозирования непрерывно-прерывистого типа. Сделан вывод о том, что при определенном характере сигнала для нулевых фрагментов последнего на распределении возникают ненулевые, т. е. виртуальные (паразитные), время-частотные элементы. Помимо распределения Вигнера, рассмотрены два других распределения - Рихачека и Пейджа, -отображающие тот же сигнал и также содержащие виртуальные элементы, но в разных частях время-частотного пространства. Аналитически представлено обобщенное многомерное распределение многокомпонентного сигнала с наличием ядра распределения, в состав которого входит параметр коррекции, позволяющий управлять интенсивностью виртуальной энергии сигнала.
Ключевые слова: процесс автоматического дозирования, Ш-сигнал, 2^/3^-пространство, мгновенная частота, время-частотное отображение, многомерное распределение, мульти-компонентный сигнал.
Введение
Объектом предлагаемого исследования являются процессы автоматического дозирования сухих мелкодисперсных или зернистых материалов, которые востребованы в пищевой и пищеперерабатывающей промышленности, стройиндустрии, фармацевтической промышленности, в ряде секторов аграрно-промышленного комплекса. Предметная область исследования представляет собой разработку подхода, основанного на применении многомерных вейвлет-распределений для реализации семантически прозрачных функций мониторинга и синхронного автоматического управления режимами работы дозирующих устройств (дозаторов) в составе смесеприготовительных агрегатов.
В качестве основного компонента разрабатываемого подхода используется многомерное время-частотное распределение Вигнера - Вилле, относящееся к так называемому классу Коэна [1]. При этом внимание фокусируется на сигналах, характеризующих режимные процессы массопе-реноса в виде материалопотоковых измерительных сигналов расхода в соответствующих технологических точках (узлах) смесеприготовительного агрегата.
Время-частотное представление измерительного сигнала
Исходя из функционального структурного представления исследуемого сигнала, можно разработать некоторые простые эмпирические правила, чтобы выяснить характер распределения Вигнера [2-4], отображающего сигнал во время-частотном пространстве.
Распределения Вигнера - Вилле в терминах времени и частотного спектра соответственно выглядят следующим образом:
+да
W(t, œ) = (2п)-1 J S *(t -T/2)exp(-/œx)s(t + x/2)dt; ( 1 )
—да +да
W(t, œ) = (2n)-1 J S * (œ + 0/2)exp(-/t0)s(œ - 0/2)d0, (2)
—да
где интегралы представляют собой преобразования Фурье автокорреляционных функций сигнала, а в отсутствие экспонент интегралы являются свертками сигнала s(t) для прошедшего и будущего интервалов времени, а также для высокочастотного и низкочастотного диапазонов спектра сигнала относительно текущей мгновенной частоты; при этом первый интеграл - суть преобразование Фурье произведения частей сигнала s(t) для прошедшего и будущего моментов времени, а второй - то же для высокочастотной и низкочастотной частей спектра; символом * отмечена операция сопряжения комплексной сигнальной функции s(t); t, т - текущие моменты времени; œ, 0 - мгновенные угловые частоты в спектре сигнала.
При использовании комплексной (аналитической) модели сигнала
h(t) = x(t) + /Xt), / = (-1)0,5,
значения дискретных отсчетов сигнала x(t) рассматриваются как его вещественные части. Значения мнимой части y(t) аналитического сигнала однозначно определяются из x(t) с помощью преобразования Гильберта [5, 6].
Преобразование Гильберта функции fit) и его обратное преобразование определяются в виде
+да
FHl(t) = (1/п) J fr)dt/(T - t) = (-1/rc)m
—да +да
ft) = -(1/п) J FH,©/fê- t) = -(1/nt)*FHl.
—да
С использованием преобразования Гильберта аналитический сигнал, связанный с вещественной функцией ft), интерпретируется комплексной функцией
s(t) = ft) - /Fm(t).
Тогда мгновенные амплитуда, фаза и частота сигнала s(t) будут определяться следующим образом:
A(t) = f 2(t) + Fffi2(t)]0,5;
Ф(t) = arctg[-Fffi(t)#(t)]; œ, = 2nf = dФ[œ(t)]/dt = Im[dlns(t)/dt]= Im[(1/s)(ds(t)/dt)].
Понятие «мгновенной частоты» здесь основано на обобщенном представлении технологических сигналов в виде нестационарных по частоте процессов, т. е. на присутствии в составе сигнала в каждый текущий момент времени гармонической составляющей определенной варьируемой частоты.
Заметим, что в случае использования сигнала в виде вещественной функции вместо сопряженной берется собственно сигнальная функция.
Для идентификации мультикомпонентных нестационарных сигналов, к которым относятся сигналы расхода на выходе блока дозаторов, и состоящих из ряда Ш-нестационарных сигналов воспользуемся методом их анализа на время-частотной основе. Время-частотный анализ выполняется с использованием специфических время-частотных преобразований.
Рис. 1 поясняет способ представления сигнала во время-частотном пространстве.
Два представления сигнала
Рис. 1. Отображение Ш-сигнала на 2^-время-частотную область (при учете амплитудного фактора сигнала - на 3^-пространство)
Время-частотное отображение технологического сигнала представляет собой преобразование сигнала из одномерной (Ш-) временной области во время-частотную, двумерную/трехмерную (2D-/3D-). При этом преобразование производится в интегральной форме.
В частности, на рисунке условно показано преобразование одномерного импульсного сигнала, заданного во временной области (сигнал с теневым фоном), в 3D-отображение время-частотного типа с двумя компонентами разной частоты и амплитуды в трехкоординатной системе (с осями «время», «частота», «амплитуда»).
Особенности формирования 2.0/3.0-распределения Вигнера на примере сигналов дозирования
Из уравнения (1) видно, что в некоторый текущий момент времени складываются части, сформированные из произведений сигнала в прошедший момент, умноженные на сигнал в будущий момент, причем прошедший интервал времени будет равен интервалу времени в будущем. Поэтому, чтобы увидеть, является ли распределение Вигнера нулевым в какой-либо момент времени, следует мысленно свернуть часть сигнала слева от данного момента с правой частью и посмотреть, есть ли какое-либо перекрытие. Если это так, распределение Вигнера не будет равно нулю, в противном случае оно будет нулевым.
Рассмотрим ненулевой непрерывный сигнал конечной длительности (например, сигнал расхода дозатора непрерывного действия: спирального или шнекового) на интервале При
любых моментах времени, меньших (для которых сигнал отсутствует), свертка такого сигнала с сигналом в моменты времени, большие t1, будет равна нулю. Следовательно, для сигналов с конечной длительностью распределение Вигнера равно нулю вплоть до момента возникновения сигнала. Это позитивное свойство распределения, поскольку на карте Вигнера не должно отображаться никаких ненулевых время-частотных элементов распределения, если сигнал равен нулю. В любой точке справа от t1, но со значениями, меньшими свертка сигналов дает ненулевые значения. Аналогичные рассуждения справедливы для всех моментов времени, больших Поэтому для ограниченного по времени сигнала распределение Вигнера всегда равно нулю до начала сигнала и после окончания сигнала, т. е. W(t, ю) = 0 для t < t1 или t > если сигнал s(t) отличен от нуля только в диапазоне
Вследствие аналогичности структур уравнений (1) и (2) те же соображения относятся и к частотной области. Если анализируемый сигнал (например, сигнал материалопотока в той или иной технологической точке смесеприготовительного агрегата) имеет ограниченную полосу частотного спектра, распределение Вигнера будет нулевым для всех частот, которые не включены в эту полосу, т. е. W(t, ю) = 0 для ю < ю1 или ю > ю2, если частотный спектр сигнала s(ю) отличен от нуля только в диапазоне (ю1, ю2).
Эти аспекты - свойства поддержки распределения Вигнера. При этом диапазон поддержки равен интервалу регистрации сигнала материалопотока дозирования, на котором производится цифровая обработка с целью расчета соответствующего время-частотного распределения.
Сравнительное представление разных время-частотных отображений Ю-сигнала процесса дозирования
Далее рассмотрим сигнал расхода для дозирования непрерывно-прерывистого типа, соответствующий сигналу материалопотока на выходе дозатора непрерывного действия, работающего в импульсно-периодическом режиме, для которого, как в вышеприведенном случае, его значения - ненулевые в диапазоне (0, t1), а также при tз) (рис. 2).
а б в
Рис. 2. Распределения Вигнера (а), Рихачека (б), Пейджа (в)
В диапазоне же от t1 до t2 в сигнале возникает пауза, сигнал s(t) = 0. Рассмотрим интервал паузы и некоторую точку (момент времени) внутри этого интервала. Свертывая левую часть сигнала, лежащую слева от произвольной точки внутри интервала, с правой частью сигнала s(t) (здесь в обеих частях сигнала содержатся его ненулевые значения), получаем эффект перекрытия. Следовательно, распределение Вигнера для интервала паузы - ненулевое, несмотря на то, что сигнал здесь отсутствует.
Отсюда вывод: время-частотное распределение Вигнера не равно нулю, когда сигнал равен нулю; это обстоятельство вызывает значительные трудности при интерпретации время-частотных отображений, к которым относится и распределение Вигнера.
На рис. 2 помимо распределения Вигнера показаны для сравнения два других распределения (Рихачека и Пейджа [1, 7]), которым свойственны те же эффекты - возникновение виртуальных элементов для тех интервалов исследуемого сигнала, на которых соответствующее распределение должно быть равно нулю.
Здесь сигнал дозирования (в виде переменной составляющей расхода) на выходе спирального дозатора возникает в нулевой момент с частотой ю1 и блокируется в момент t1, затем процесс дозирования снова начинается в момент t2 уже с частотой ю2 > ю1 и прекращается при t = t3. Паразитные элементы распределений отображаются на разных распределениях по-разному: на распределении Вигнера - в диапазоне паузы на полусуммарной частоте [1] двух интервалов дозирования, на распределении Рихачека - в диапазонах работы дозатора, но проявляют себя на обратных частотах по отношению к реальным интервалам дозирования. На распределении Пейджа виртуальная энергия сигнала дозирования сосредоточена во временном диапазоне более высокочастотного процесса дозирования (с частотой ю2), однако проявляет себя в этом диапазоне на меньшей частоте ш1.
Коррекция распределения Вигнера
Подставив выражение для мультикомпонентного сигнала s(t) = ^ Sk (t), где k - номер
k=1, N
сигнальной компоненты, N - число компонент в составе сигнала, в запись обобщенного распределения [7, 8] класса квадратичных время-частотных распределений
да да да
E (t,ш) =—-Шехр[-y(0t + юх + Эм)]Ф(е,т)£*(и-т/2)£ (u-т/2)йийтйе, (3)
4п 0 0 0
где Ф(9, т) - ядро распределения, получим
Е(t,ш)=Х Ек^ш) + X Еи(иш), (4)
к=\,И к,1=\,И ,кф1
где Екк и Ек1 - соответственно автономные и перекрестные (интерференционные, паразитные)
члены, формирующие полную энергию сигнала.
В соответствии с [9] ядро распределения Вигнера, способное минимизировать паразитную энергию сигнала, имеет вид
Ф(е, т) = ехр (-е2т2/ а), (5)
где о - коэффициент коррекции, управляющий (способный минимизировать) интенсивностью виртуальной энергии сигнала.
Подставив запись ядра (5) в обобщенное выражение распределения и проинтегрировав по 0, получим в итоге:
E(t,ю) = —-3/2JJ I 2 exp {-[(u -12) / (4т2/ а)] - /ют} S * (u -т /2) S (u + т /2 ) dud т. (6)
Данное выражение представляет собой модифицированную форму корректирующего распределения Вигнера - Вилле (распределения Чуи - Уилльямса) с использованием коррекции в виде экспоненциального ядра (5).
Выводы
1. Таким образом, негативной особенностью время-частотного распределения Вигнера является возникновение в нем (при определенной структуре технологического сигнала) виртуального отображения несуществующих сигнальных компонент.
2. На практике, при выполнении расчетов распределений Вигнера - в рамках алгоритма оценки текущих режимов функционирования технологического оборудования (здесь - дозирующих устройств непрерывного или дискретного действия) - паразитные элементы распределения вырезаются непосредственно из формул (3) и (4) и в дальнейших расчетах не участвуют.
3. В качестве альтернативного способа получения отображений информационных сигналов в автоматизированных смесеприготовительных комплексах рекомендуется пользоваться время-частотным распределением Чуи - Уилльямса (6), варьируя при этом входящий в его состав коэффициент коррекции (позволяющий менять величину виртуальной энергии сигнала) в желаемом диапазоне.
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Cohen L. Time-Frequency Distributions - A Review // Proceedings of the IEEE. July 1989. Vol. 77. N. 7. P. 941-981.
2. Cohen L. On a fundamental property of the Wigner distribution // IEEE Trans. Acoust., Speech, Signal Processing. 1987. Vol. ASSP-35. P. 559-561.
3. Debnath L. Recent development in the Wigner-Ville distribution and time-frequency signal analysis // PINSA. January 2002. 68, A. N. 1. P. 35-56.
4. Федосенков Б. А. Научно-технические основы создания и моделирования автоматизированных систем управления непрерывными смесеприготовительными процессами: автореф. дис. ... д-ра техн. наук. М.: МГУПП, 2005. 55 с.
5. Huang N., Shen S. Hilbert-Huang transform and its applications. Singapore: World Scientific, 2005. 324 p.
6. Мартуганова Е. Р. Модель веб-сервиса по специализированной обработке данных на основе жадных алгоритмов. М.: МГУ им. М. В. Ломоносова, 2014. 86 с.
7. Малла С. Вейвлеты в обработке сигналов. М.: Мир, 2005. 673 с.
8. Debnath L. Wavelet transforms and their applications. Boston: Birkhauser, 2002. 565 p.
9. Swindlehurst A. L., Kailath T. Near-field source parameter estimation using a spatial Wigner distribution approach // In Advanced Algorithms and Architectures for Signal Processing III. 1989. Vol. 975. P. 86-92.
Статья поступила в редакцию 21.09.2018
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ
Федосенков Денис Борисович - Россия, 650000, Кемерово; Сибирская генерирующая компания; канд. техн. наук, доцент; начальник отдела управления активами; [email protected].
Симикова Анна Алексеевна - Россия, 650000, Кемерово; Кемеровский государственный университет; аспирант кафедры автоматизации производственных процессов и автоматизированных систем управления; [email protected].
Кулаков Станислав Матвеевич - Россия, 654006, Новокузнецк; Сибирский государственный индустриальный университет; д-р техн. наук, профессор; профессор кафедры автоматизации и информационных систем; [email protected].
Федосенков Борис Андреевич - Россия, 650000, Кемерово; Кемеровский государственный университет; д-р техн. наук, профессор; профессор кафедры автоматизации производственных процессов и автоматизированных систем управления; [email protected].
D. B. Fedosenkov, A. А. Simikova, S. M. Kulakov, B. А. Fedosenkov
MULTIDIMENSIONAL REPRESENTATION OF AUTOMATIC DOSING DEVICE SIGNALS
Abstract. The article describes the development of a special approach based on using multidimensional wavelet distributions principle to monitor and control the feed dozing processes in the mix preparation unit. As a key component, this approach uses the multidimensional time-frequency Wigner-Ville distribution, which is the part of Cohen's class distributions. The research focuses on signals characterizing mass transfer processes in the form of material flow measuring signals in relevant points of the unit. Wigner-Ville distribution has been shown in time terms as Fourier transform of products of multiplied parts of the signal under consideration for past and future time moments; corresponding distribution for the frequency spectrum is shown as Fourier transform of the products of signal parts for high-frequency and low-frequency fragments of the signal spectrum. It has been noted that when using a complex model of a dozing signal, discrete values (samples) of the latter are considered as its real values. The description of the signal parameters (amplitude, phase, frequency) has been carried out with the help of Hilbert transform. In Cohen's class distributions which represent one-dimensional non-stationary flow signals, the concept of 'instantaneous frequency' has been introduced. A graphical explanation for the transformation of a process flow signal from a one-dimensional time domain to a time-frequency 2D/3D-space is presented. The technology of developing a multidimensional image in the form of Wigner distribution for one-dimensional signals of continuous spiral or screw-type feeders has been examined in detail. There have been considered the features to support Wigner distribution, which allow to guess the presence or absence of time-frequency distribution elements in the interval of signal recording. There has been demonstrated how Wigner distribution can be obtained for a continuous-intermittent feeding signal. It has been concluded that for a certain types of the signal for zero fragments of the latter, non-zero time-frequency elements (i.e. virtual, anomalous ones) appear on the distribution. In addition to Wigner distribution, two other distributions - of Rihachek and Page - are considered. They display the same signal and also contain virtual elements, but in different domains of the time-frequency space. A generalized multidimensional compound signal distribution with a so-called distribution kernel available in it is presented, which includes a correction parameter that allows controlling the intensity of the virtual signal energy.
Key words: automatic feeding process, ID-signal, 2D/3D-space, instantaneous frequency, time-frequency representation, multidimensional distribution, multi-component signal.
REFERENSES
1. Cohen L. Time-Frequency Distributions - A Review. Proceedings of the IEEE, July 1989, vol. 77, no. 7, pp. 941-981.
2. Cohen L. On a fundamental property of the Wigner distribution. IEEE Trans. Acoust., Speech, Signal Processing, 1987, vol. ASSP-35, pp. 559-561.
3. Debnath L. Recent development in the Wigner-Ville distribution and time-frequency signal analysis. PINSA, January 2002, 68, A, no. 1, pp. 35-56.
4. Fedosenkov B. A. Nauchno-tekhnicheskie osnovy sozdaniia i modelirovaniia avtomatizirovannykh sistem upravleniia nepreryvnymi smeseprigotovitel'nymi protsessami: avtoreferat dis. d-ra tekhn. nauk [Scientific and technological grounds for developing and modelling systems of control over non-stop mix preparation processes: Diss.Abstr. Doc.Tech.Sci.]. Moscow, MGUPP, 2005. 55 p.
5. Huang N., Shen S. Hilbert-Huang transform and its applications. Singapore, World Scientific, 2005. 324 p.
6. Martuganova E. R. Model' veb-servisa po spetsializirovannoi obrabotke dannykh na osnove zhadnykh al-goritmov [Web-service model on special processing of data in terms of greedy algorithms]. Moscow, MGU im. M. V. Lomonosova, 2014. 86 p.
7. Malla S. Veivlety v obrabotke signalov [Wavelets in signal processing]. Moscow, Mir Publ., 2005. 673 p.
8. Debnath L. Wavelet transforms and their applications. Boston, Birkhauser, 2002. 565 p.
9. Swindlehurst A. L., Kailath T. Near-field source parameter estimation using a spatial Wigner distribution approach. In Advanced Algorithms and Architectures for Signal Processing III, 1989, vol. 975, pp. 86-92.
The article submitted to the editors 21.09.2018
INFORMATION ABOUT THE AUTHORS
Fedosenkov Denis Borisovich — Russia, 650000, Kemerovo; Siberian Generating Company; Candidate of Technical Sciences, Assistant Professor; Chief of the Department of Assets Administering; [email protected].
Simikova Anna Alekseevna — Russia, 650000, Kemerovo; Kemerovo State University; Postgraduate Student of the Department of Automation of Manufacturing Processes and Computer-aided Control Systems; [email protected].
Kulakov Stanislav Matveevich — Russia, 654006, Novokuznetsk; Siberian State Industrial University; Doctor of Technical Sciences, Professor; Professor of the Department of Automation and Information Systems; [email protected].
Fedosenkov Boris Andreevich - Russia, 650000, Kemerovo; Kemerovo State University; Doctor of Technical Sciences, Professor; Professor of the Department of Automation of Manufacturing Processes and Computer-aided Control Systems; [email protected].
