О минимальных вершинных 1-расширениях соединений графов специального вида Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

2011 Прикладная теория графов №4(14)

ПРИКЛАДНАЯ ТЕОРИЯ ГРАФОВ

УДК 519.17

О МИНИМАЛЬНЫХ ВЕРШИННЫХ 1-РАСШИРЕНИЯХ СОЕДИНЕНИЙ ГРАФОВ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА

М. Б. Абросимов

Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, г. Саратов, Россия

E-mail: mic@rambler.ru

В 2001 г. была высказана гипотеза, что минимальное вершинное 1-расширение графа вида G + G*, где G — произвольный граф, а G* — некоторое его минимальное вершинное 1-расширение, единственно с точностью до изоморфизма и имеет вид G* + G*. В работе строится два контрпримера к этой гипотезе, которые показывают, что в общем случае она неверна. Доказывается также, что для многих графов утверждение гипотезы справедливо.

Ключевые слова: граф, минимальное вершинное 1-расширение, точное вершинное 1-расширение, предполный граф, оптимальная отказоустойчивая реализация.

Введение

Графом (неориентированным) называется пара G = (V, а), где а — симметричное и антирефлексивное отношение на множестве вершин V. Отношение а называется отношением смежности. Степенью вершины v в графе G будем называть количество вершин в G, смежных с данной, и обозначать через d(v). Вектор, составленный из степеней вершин графа G в порядке убывания, будем называть вектором степеней. Здесь и далее определения даются по [1].

Подграфом графа G = (V, а) называется пара G' = (V', а'), где V' С V и а' = = (V' х V') П а. Подграф графа G называется максимальным, если он получается из G удалением одной вершины и всех связанных с нею ребер.

Вложением графа Gi = (Vi, аі) в граф G2 = (V2, а2) называется такое однозначное отображение ^ : V1 ^ V2, что для любых вершин u,v Є V1 выполняется следующее условие: (u,v) Є а1 ^ (^(u),^(v)) Є а2.

Назовем граф G* = (V*,а*) вершинным k-расширением графа G = (V,а), если граф G вкладывается в каждый подграф графа G*, получающийся удалением любых его k вершин и всех связанных с ними ребер.

Соединением двух графов G1 = (V1, а1) и G2 = (V2, а2), не имеющих общих вершин, называется граф G1 + G2 = (V1 U V2, а1 U а2 U V1 х V2 U V2 х V1).

Из определения видно, что соединение графов обладает свойствами коммутативности и ассоциативности.

Граф Gt = (^,а4) называется тривиальным k-расширением графа G = (V, а), если граф Gt получается из графа G добавлением k вершин, соединением их со всеми вершинами графа G и друг с другом, то есть граф Gt есть соединение графа G и

полного графа Kk = (Vk, Vk x Vk \ А):

G* = (V*, а*) = (V U Vfc, а U (Vfc x Vfc \ А) U V x Vfc U Vfc x V).

Очевидно, что тривиальное k-расширение графа является и его вершинным k-расширением, причем |V*| = |V| + k. В самом деле, любую вершину тривиального k-расширения можно заменить на одну из добавленных вершин.

Граф G* = (V*,а*) называется минимальным вершинным k-расширением (k натуральное) n-вершинного графа G = (V, а), если выполняются следующие условия:

1) G* является вершинным k-расширением G, то есть граф G вкладывается в каждый подграф графа G*, получающийся удалением любых его k вершин;

2) G* содержит n + k вершин, то есть |V*| = |V| + k;

3) а* имеет минимальную мощность при выполнении условий І и 2.

Понятие минимального вершинного k-расширения введено на основе понятия оптимальной k-отказоустойчивой реализации, которое предложено Дж. П. Хейзом в работе [2] при построении модели отказоустойчивости, основанной на графах. С вычислительной точки зрения задача является сложной: в работе [3] доказывается, что соответствующая задача распознавания является NP-полной. В общем случае граф может иметь много минимальных вершинных k-расширений. Введем частичную операцию получения минимального вершинного І-расширения графа, считая ее неопределенной для графов, которые имеют более одного минимального вершинного І-расширения.

Пусть G — некоторый граф, а G* — его минимальное вершинное І-расширение. Обозначим через (G)* результат операции получения минимального вершинного І-рас-ширения графа G. Тогда если граф G имеет единственное минимальное вершинное І-расширение, то (G)* = G*. В противном случае результат операции получения минимального вершинного І-расширения считается неопределенным для графа G.

Вершина называется полной, если она смежна со всеми остальными вершинами графа. Граф называется предполным, если у него есть хотя бы одна полная вершина. Граф, все вершины которого полные, называется полным и обозначается Kn. Граф с пустым отношением смежности называется вполне несвязным и обозначается On. Предполный граф можно записать в виде K1 + G или O1 + G. Класс предполных графов является достаточно большим: n-вершинных предполных графов столько же, сколько всего неизоморфных (n — 1)-вершинных графов. Интересны эти графы тем, что в работе [4] удалось найти полное аналитическое решение задачи описания всех минимальных вершинных k-расширений предполных графов. Приведем один из результатов этой работы для случая k =1.

Теорема 1. Относительно предполных графов справедливы следующие утверждения.

1. При четном n любой n-вершинный предполный граф K1 + G имеет единственное с точностью до изоморфизма минимальное вершинное І-расширение — тривиальное, то есть (K1 + G)* = K1 + (K1 + G) = ^ + G.

2. При нечетном n:

а) При n ^ 3 существует один и только один n-вершинный предполный граф Gnp1, для которого тривиальное расширение не является минимальным. Граф Gnp1 может быть представлен в виде O1 + Ог + ... + Ог. При этом граф Gnp1 имеет единственное с точностью до изоморфизма минимальное вершинное І-расширение, и оно содержит n — 1 дополнительных ребер: (O1 + Ог + ... + Ог)* = Ог + Ог + ... + Ог.

б) При n ^ 5 существует один и только один n-вершинный предполный граф Gnp^ имеющий два неизоморфных минимальных вершинных І-расширения: вида Ог + Ог +

+... + 02 и тривиальное 01 + Опр2. Граф Опр2 получается из графа Опр1 удалением любого ребра, соединяющего две вершины степени п — 2.

в) Любой п-вершинный предполный граф О, не изоморфный Опр1 и Опр2, имеет единственное с точностью до изоморфизма минимальное вершинное 1-расширение — тривиальное: (К1 + О)* = К1 + (К1 + О) = К2 + О.

Минимальный по числу вершин граф вида Опр1 при п = 3 представляет собой 3-вершинную цепь 0і + 02, а его минимальное вершинное 1-расширение — 4-вершинный цикл 02 + 02 (рис. 1). Минимальный по числу вершин граф вида Опр2 при п = 5 и два его минимальных вершинных 1-расширения изображены на рис. 2.

Рис. 1. Цепь Рз и ее единственное минимальное вершинное 1-расширение — цикл С4

С

Рис. 2. Граф С$р2 и два его минимальных вершинных 1-расширения

Этот результат можно переформулировать следующим образом: почти все графы вида Кг + О, где г Є N, а О — произвольный граф, имеют единственное с точностью до изоморфизма минимальное вершинное 1-расширение, которое имеет вид Кг+1 + О. Заметим, что Кг+1 является минимальным вершинным 1-расширением графа Кг. Таким образом, для графа, представляющего собой соединение полного графа с произвольным графом, можно указать все минимальные вершинные 1-расширения. Возможна ли подобная ситуация для соединений еще каких-либо графов? Сформулируем этот вопрос в виде задачи.

Задача. Даны два графа О1 и О2 и их минимальные вершинные к-расширения. Найти все минимальные вершинные к-расширения графа О1 + О2.

В общем случае решение задачи получить не удается, и результат для предполных графов пока является наилучшим. Рассмотрим еще несколько частных случаев, когда поставленная задача имеет решение.

Далее нас будут интересовать минимальные вершинные 1-расширения графов вида О + О* и О + О* +... + О* = О + (О*)т, где О* —минимальное вершинное 1-расширение графа О.

1. Соединение графа с его точным вершинным 1-расширением

Дополнением графа О = (V, а) называется граф О' = (V, а'), где а' = (V х V)/(а и иД). Будем говорить, что граф О обладает свойством дополнительности 1-расши-

рения, если дополнение хотя бы одного его минимального вершинного 1-расширения является минимальным вершинным 1-расширением дополнения графа О.

Граф Н называется точным вершинным к-расширением графа О, если любой граф, получающийся удалением произвольных к вершин графа Н, изоморфен графу О. Понятие точного вершинного к-расширения было введено Ф. Харари и Дж. П. Хейзом в работе [5]. В работе [6] доказывается, что минимальное вершинное 1-расширение графа тогда и только тогда является его точным вершинным 1-расширением, когда граф обладает свойством дополнительности 1-расширения. Более того, если число вершин графа больше 1, то точное вершинное 1-расширение является единственным минимальным вершинным 1-расширением. Там же доказывается, что среди однородных графов свойством дополнительности 1-расширения обладают только полные и вполне несвязные графы. Для остальных графов результат формулируется следующим образом.

Теорема 2. Для того чтобы граф О обладал свойством дополнительности 1-расширения, необходимо и достаточно, чтобы граф О имел степенное множество вида {6,6 — 1}, причем число вершин степени 6 — 1 в точности равнялось 6, а его минимальное вершинное 1-расширение было однородным графом порядка 6. При этом и граф О, и его дополнение имеют единственные с точностью до изоморфизма минимальные вершинные 1-расширения.

Теорема 3. Единственное минимальное вершинное 1-расширение графа Кп + + (Кп)* имеет вид (Кп)* + (Кп)*, причем

(Кп + (Кп)*)* = (Кп + Кп+1)* = (К2п+1)* = К2п+2 = Кп+1 + Кп+1 = (Кп)* + (Кп )*.

Доказательство. Граф Кп+1 является по теореме 1 единственным минимальным вершинным 1-расширением графа Кп и Кп + Кт = Кп+т, таким образом, все преобразования в формулировке теоремы корректны. ■

Теорема 4. Единственное минимальное вершинное 1-расширение графа 0п + + (0п)* имеет вид 0п + (0п)*, причем

(0п + (0п)*)* = (0п + 0п+1)* = (02п+1) * = 02п+2 = 0п+1 + 0п+1 = 0п + 0п.

Доказательство. Заметим, что граф 0п+1 является точным вершинным 1-расширением графа 0п, а следовательно, граф 0п+1 является единственным минимальным вершинным 1-расширением графа 0п. Таким образом, все преобразования в условии теоремы корректны. ■

Цепью Рп называется граф О = (V, а), где V = {гь г2,..., гп} и а = {(•»,•?) : |г — і| = 1}, а циклом Сп — граф О = (V, а), где V = {г1, г2,..., гп} и а = {(•»,•?) : |і — і| = 1} и {(г1,гп), (гп,г1)}. Легко убедиться (см. [2]), что цикл Сп+1 является минимальным вершинным 1-расширением цепи Рп.

Теорема 5. Единственное минимальное вершинное 1-расширение графа Рп + Р* имеет вид Р* + Р,*, причем (Рп + Р,*)* = (Рп + Сп+1 )* = Сп+1 + Сп+1 = Р* + Р,*.

Доказательство. Аналогично предыдущей теореме, цикл Сп+1 является точным вершинным 1-расширением цепи Рп, а следовательно, граф Сп+1 является единственным минимальным вершинным 1-расширением графа Р , и все преобразования в условии теоремы корректны. ■

Теоремы 3-5 подсказывают более общее утверждение.

Теорема 6. Пусть G — граф, обладающий свойством дополнительности 1-расширения, а G* — его точное вершинное 1-расширение. Тогда граф G+ = G + G* +... + G* = = G + (G*)m также обладает свойством дополнительности 1-расширения, причем его точное вершинное 1-расширение имеет вид G+ = G* + G* + ... + G* = (G*)m+1;

(G + G* + ... + G*)* = G* + G* + ... + G*.

Доказательство. Пусть n-вершинный граф G обладает свойством дополнительности 1-расширения, G* — его точное вершинное 1-расширение, а граф G+ получается соединением графа G и m графов G*.

Заметим, что максимальный подграф графа G+ = G* + G* + ... + G* есть граф G+ = G + G* + ... + G*, поэтому граф G+ является точным вершинным 1-расширением графа G+, а следовательно, и единственным его минимальным вершинным 1-расширением, что доказывает корректность формулы в условии теоремы. ■

Следующий результат, являющийся усилением предыдущей теоремы, связывает операции соединения и дополнения с конструкцией минимального вершинного 1-расширения.

Теорема 7. Граф G+ = G+G* +... + G* = G + (G*)m, где G — произвольный граф, а G* —его минимальное вершинное 1-расширение, тогда и только тогда обладает свойством дополнительности 1-расширения, когда граф G* является точным вершинным 1-расширением графа G. При этом граф G+ = G* + G* + ... + G* = (G*)m+1 является точным вершинным 1-расширением графа G+.

Доказательство. Необходимость. Пусть G — n-вершинный граф, G* —его минимальное вершинное 1-расширение, а граф G+ = G + G* + ... + G* = G + (G*)m обладает свойством дополнительности 1-расширения.

Введем обозначения: а = max d(v), b = min d(v);

(g) veV(G)

аналогично для графа G*: а* = max d(v), b* = min d(v).

v€V(G*) (G*)

Очевидно, что а ^ а* и b ^ b*.

Определим наибольшие и наименьшие степени вершин в графе G+.

Вершины, имеющие в графе G степени а и b, в графе G+ будут иметь степени а + m(n + 1) = а + mn + m и b + m(n + 1) = b + mn + m соответственно.

Вершины, имеющие в графе G* степени а* и b*, в графе G+ будут иметь степени а* + (m — 1)(n + 1) + n = а* + mn + m — 1 и b* + (m — 1)(n + 1) + n = b* + mn + m — 1.

По условию граф G+ обладает свойством дополнительности 1-расширения, тогда, как было указано выше, либо граф G+ является однородным и в этом случае он является вполне несвязным или полным и

min^ + mn + m, а* + mn + m — 1} = max{b + mn + m, b* + mn + m — 1}, то есть min^, а* — 1} = max{b, b* — 1}, либо он попадает под действие теоремы 2: min^ + mn + m, а* + mn + m — 1} = max{b + mn + m, b* + mn + m — 1} — 1,

или

min^, а* — 1} = max{b, b* — 1} — 1. (1)

Рассмотрим четыре случая.

1) а = а*, 6 = 6*. Тогда из соотношения (1) получаем а = а* = 6 = 6*, что возможно лишь тогда, когда О и О* являются вполне несвязными графами, то есть О* является точным вершинным 1-расширением графа О.

2) а = а*, 6 < 6*. Из соотношения (1) получаем а — 1 = 6* — 2 > 6 — 2, откуда а >6—1, что возможно лишь при а = 6. Поскольку а = а*, то граф О содержит изолированные вершины, значит, а = 6 = 0 и граф О является вполне несвязным. Однако минимальное вершинное 1-расширение вполне несвязного графа является также вполне несвязным графом, то есть а* = 6* = 0, что противоречит условию а = а*, 6 < 6*. Следовательно, случая 2 быть не может.

3) а < а*, 6 = 6*. Из (1) получаем, что а = 6 — 1. Далее а* > а = 6 — 1 = 6* — 1, но поскольку а* ^ 6*, то а* = 6*. Таким образом, а + 1 = 6 = а* = 6*.

Обозначим через п1,п2 число вершин степеней а, 6 графа О соответственно. Очевидно, что граф О+ имеет степенное множество {а + тп + т, 6 + тп + т}, причем число вершин степени а + тп + т равно п1 + (п + 1)т, а число вершин степени 6 + тп + т равно п2. По предположению граф О+ обладает свойством дополнительности 1-расширения, причем его степенное множество имеет вид {а+тп+т, 6+тп+т}, где а + тп + т = 6 + тп + т — 1 . По теореме 2 число вершин степени а + тп + т должно быть в точности равно 6 + тп + т, то есть п1 + (п + 1)т = 6 + тп + т, откуда п1 = 6.

Таким образом, граф О имеет степенное множество вида {6 — 1,6}, число вершин степени 6 — 1 в точности равно 6, и его минимальное вершинное 1-расширение — граф О* — является однородным графом порядка 6. По теореме 2 граф О обладает свойством дополнительности 1-расширения, а граф О* является его точным вершинным 1-расширением.

4) а < а*, 6 < 6*. Этот случай возможен лишь тогда, когда О и О* являются полными графами.

Таким образом, в каждом из возможных случаев 1, 3 и 4 граф О* является точным вершинным 1-расширением графа О, что доказывает необходимость. Достаточность следует из теоремы 6. ■

2. Соединение графа с его минимальным вершинным 1-расширением

На основании предыдущих рассуждений представляется разумным высказать предположение (см. [7]).

Гипотеза 1. Пусть О — произвольный граф, а О* — некоторое его минимальное вершинное 1-расширение. Тогда граф вида О + О* всегда имеет единственное минимальное вершинное 1-расширение, и оно может быть представлено в виде О* + О*, то есть

(О + О*)* = О* + О*.

Однако оказалось, что ситуация является более сложной, и удалось найти два контрпримера к этой гипотезе.

Обозначим однородный п-вершинный граф порядка р через Яп,р. В работе [4] доказывается, что при четном п существует единственный с точностью до изоморфизма однородный граф Яп,п-2, причем он имеет вид 02 + ... + 02, а его единственным минимальным вершинным 1-расширением является тривиальное 1-расширение.

Теорема 8. Пусть О — граф вида Яп,п-2, а О* —его минимальное вершинное 1-расширение. Тогда минимальное вершинное 1-расширение графа О + О* единственно с точностью до изоморфизма и имеет вид Я2п+2,2п.

Доказательство. Как было отмечено, граф Яп,п-2 имеет вид 02 + ... + 02, а его минимальное вершинное 1-расширение О* можно записать как О* = К1 + 02 +... + 02.

Таким образом, граф О + О* имеет вид

О + О* = (02 + ... + 02) + (К1 + 02 + ... + 02) = К1 + 02 + ... + 02 и является графом вида Опр1. По теореме 1 получаем требуемое утверждение. ■

Теорема 9. Пусть О — предполный граф вида Опр2, а О* —его минимальное вершинное 1-расширение вида 02 + ... + 02. Тогда граф О + О* имеет два неизоморфных минимальных вершинных 1-расширения, одно из которых имеет вид О* + О*, а второе— 02 + ... + 02.

Доказательство. По теореме 1 граф Опр2 имеет два неизоморфных минимальных вершинных 1-расширения: тривиальное 1-расширение и расширение вида 02 + ... + 02. Если рассматривать первое минимальное вершинное 1-расширение, то утверждение гипотезы, как несложно заметить, справедливо. Рассмотрим соединение графа Опр2 со вторым его минимальным вершинным 1-расширением 02 + ... + 02.

Легко увидеть, что это соединение снова является предполным графом вида О(2п+2)р2 и, следовательно, по теореме 1 имеет два неизоморфных минимальных вершинных 1-расширения. ■

Таким образом, в общем виде гипотеза 1 является ошибочной. Однако для большого числа графов ее утверждение является справедливым, что в дополнении к предыдущим теоремам показывает и следующая

Теорема 10. Пусть О — граф, неизоморфный графу вида Яп,п-2, а его тривиальное 1-расширение О* является и его минимальным вершинным 1-расширением. Тогда минимальное вершинное 1-расширение графа О + О* единственно с точностью до изоморфизма и имеет вид О* + О*, то есть (О + О*)* = О* + О*.

Доказательство. Так как О* является тривиальным 1-расширением графа О, то О* = К1 + О и в О* есть хотя бы одна полная вершина. Граф О + О* = = О + (К1 + О) = К1 + (О + О) также является предполным. По теореме 1 если граф О + О* не является графом вида Опр1 или Опр2, то он имеет единственное минимальное вершинное 1-расширение, которым является его тривиальное 1-расширение, то есть получаем утверждение теоремы. В самом деле, тривиальное 1-расширение графа О + О* можно записать так: К1 + (О + О*) = (К1 + О) + О* = О* + О*.

Вспомним, что граф вида Опр1 — это граф вида К1 + 02 + ... + 02, и поэтому нужно исключить графы О вида Яп,п-2.

Граф вида Опр2 — это граф вида К1 + (02 + ... + 02 — е), где е — некоторое ребро. В нашем случае граф О+ О* не может быть изоморфен графу Опр2, так как, исключив из рассмотрения полную вершину, нужно подобрать граф О таким образом, чтобы выполнялось О + О = 02 + ... + 02 — е, что невозможно. ■

Много ли графов попадает под действие этой теоремы? Как показывает следующее утверждение, это почти все предполные графы, но и кроме них многие графы имеют минимальное вершинное 1-расширение, которым является их тривиальное 1-расширение. Так, например, по материалам работы [8] из 1043 7-вершинных графов 405 имеют минимальным вершинным 1-расширением тривиальное 1-расширение. Для 6-вершинных — 65 из 155; для 5-вершинных — 10 из 33.

Следствие 1. Пусть О — произвольный предполный граф не вида Опр2, а О* — его минимальное вершинное 1-расширение. Тогда граф О + О* имеет единственное

минимальное вершинное 1-расширение, и оно может быть представлено в виде G* + G*, то есть (G + G*)* = G* + G*.

Доказательство. По теореме 1 все предполные графы, кроме графов вида Gnp1 и Gnp2, имеют минимальным вершинным 1-расширением тривиальное 1-расширение и, таким образом, попадают под условие теоремы 10. Остается рассмотреть предполные графы вида Gnp1. По теореме 1 минимальное вершинное 1-расширение графа вида Gnp1 является точным вершинным 1-расширением, и по теореме 6 получаем требуемое утверждение. ■

Заключение

Удалось показать, что гипотеза о том, что граф вида G + G*, где G — произвольный граф, а G* — некоторое его минимальное вершинное 1-расширение, имеет единственное с точностью до изоморфизма минимальное вершинное 1-расширение вида G* + G*, в целом является ложной: такой граф может иметь и более одного минимального вершинного 1-расширения или одно, но иного вида. Тем не менее доказывается, что для многих графов утверждение гипотезы является справедливым.

ЛИТЕРАТУРА

1. Богомолов А. М., Салий В. Н. Алгебраические основы теории дискретных систем. М.: Наука, 1997.

2. Hayes J. P. A graph model for fault-tolerant computing system // IEEE Trans. Comput. 1976. V.C.25. No. 9. P. 875-884.

3. Абросимов М. Б. О сложности некоторых задач, связанных с расширениями графов // Матем. заметки. 2010. №5(88). С. 643-650.

4. Абросимов М. Б. Минимальные k-расширения предполных графов // Изв. вузов. Математика. 2003. №6(493). С. 3-11.

5. Harary F. and Hayes J. P. Node fault tolerance in graphs // Networks. 1996. V. 27. P. 19-23.

6. Абросимов М. Б. Минимальные расширения дополнений графов // Теоретические задачи информатики и ее приложений. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2001. Вып. 4. С. 11-19.

7. Абросимов М. Б. Минимальные расширения графов: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. Саратов: СГУ, 2001. 16 с.

8. Абросимов М. Б. Минимальные вершинные расширения 4-, 5-, 6- и 7-вершинных графов. Саратов: СГУ, 2000. 26 с. Деп. в ВИНИТИ 06.09.2000, №2352 В00.