О минимальных ω-расслоенных классах Фиттинга Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.542

О МИНИМАЛЬНЫХ О-РАССЛОЕННЫХ КЛАССАХ ФИТТИНГА

Д.Г. Коптюх, О. А. Хомякова

В данной статье получено описание минимальных О-расслоенных классов Фиттинга на отрезке от О-свободного до О-композиционного; описание минимальных О-канонических классов Фиттинга.

Ключевые слова: О--расслоенный класс Фитинга, спутник О--расслоенного класс Фитинга, направление О-расслоенного класс Фитинга.

Для удобства читателя приведем используемые определения и обозначения. Пусть О - класс всех конечных групп, I - класс всех простых конечных групп, О - непустой подкласс класса I. К(О) — класс всех простых групп, изоморфных композиционным факторам группы

О. Если К(О)с О, то О называется О-группой. Через ОО обозначают множество всех О-групп, полагают, что 1е ОО. Пусть Ае I. Тогда ОА = О (А), ОА = ОД(А). Главный фактор Н/К группы О называется главным А-фактором, если К(Н/К)=(А). Пусть ЭсА - класс всех тех конечных групп, у которых каждый главный А-фактор централен; ЭсА-радикал группы О обозначается через Рд(О). ОО(О) и ОО О(О) - соответственно ОО-корадикал и О° О° -корадикал группы О.

Все рассматриваемые функции принимают одинаковые значения на изоморфных группах из их области определения. Функция { : О и{О'}^-{классы Фиттинга групп} называется ОЯ-функцией; функция 8 : 1^ {непустые формации Фиттинга}, принимающая одинаковые значения на изоморфных группах из I, называется формационно-радикальной функцией, или коротко, БЯ-функцией. Если { - ОЯ-функция и 8 - БЯ-функция, то класс Фиттинга ОЩГ,8)=(О: 0О(0)е ДО') и О8(А)е ДА) для всех Ае О пК(О)) называется О-расслоенным классом Фиттинга. Класс Фиттинга Р=ОЩГ,8) называется О-свободным (О-каноническим [2], О-композиционным [9]), если 8(А)=ОА'(8(А)=ОАОА', 8(А)=ЭсА) для любого Ае I, и обозначается ОШО (ОКЕ.^, ОСЩГ)). Класс Фиттинга Р=ОЩГ,8) называется О-биканоническим [9], если 8(А)=ОА' для любой неабелевой группы Ае I и 8(А)= ОАОА' для любой абелевой группы Ае I, и обозначается ОБЩГ). Обозначим направления О-свободного, О-биканонического, О-канонического и О-композиционного классов Фиттин-га соответственно через 8о, 81, 82 и 83. На множестве К всех БЯ-функций определено [2] отношение частичного порядка £. Для любых а,Ье К полагают а<Р, если а(А)сЬ(А) для любого Ае I. Используемые обозначения и определения, не приведенные в работе, можно найти в книгах [3, 4, 6, 7, 8].

Определение 1. Неединичный класс Фиттинга Р=ОЩГ, 8) называется минимальным О-расслоенным классом Фиттинга с направлением 8, если он не содержит собственных О-расслоенных подклассов Фиттинга с направлением 8, кроме (1) и 0.

Лемма 1. Пусть В=ОЯ(Ь, 8), где Ь - минимальный ОЯ-спутник класса Фиттинга В, 8 -произвольное направление. Тогда и только тогда Ь(О ')=0, когда В =0.

Доказательство. Пусть В=0, тогда по лемме 10[2] класс Фиттинга В является О-расслоенным классом Фиттинга для некоторого непустого класса О с I. Тогда в силу строения класса Фиттинга В по теореме 10[2] Ь(О') =0.

Пусть теперь Ь(О ')=0. Допустим, что В^0, тогда 1е В и по теореме 10[2] 1@1/0О(1)е Ь(О'), значит, Ь(О ')^0. Противоречие. Таким образом, В=0. Лемма доказана.

Лемма 2. Если F=WR(A, d), где d0 £d и Ає 1^, то класс Фиттига Р является минимальным W-расслоенным классом Фиттинга с направлением d.

Доказательство. Пусть Р - класс Фиттинга из условия, Д - минимальный WR-спутник класса Фиттинга Р. Пусть Рі - максимальный W-расслоенный подкласс Фиттинга с направлением d класса Фиттинга Р и Д — минимальный WR-спутник класса Фиттинга Р1. По следствию 10.1 [2] По теореме 10[2] Дф')=йДОп (А)), ДБ)=йДА5(Б)) для всех BєWn^(А) и ДВ)=0 при ВєW\(А). Так как АïW, то ОР(А)=А. Следовательно, f(W')=ДгіА. Так как и

й(Б)=ДВ)=0 для всех Вє W, то й^')еД^'). Если f1(W')=0, то по лемме 1 Р1=0.

Пусть й^')=(1). Рассмотрим класс Фиттинга Н=(1). По лемме 10[2] Н является W-расслоенным классом Фиттинга для любого направления d. Обозначим через И минимальный WR-спутник класса Фиттинга Н. Тогда И(В)=0 VВєW и ')=іїі(1)=(1). В силу строения Д имеем, что й=Ь и Р1=Н=(1). Таким образом, мы получили, что (1) - максимальный W-расслоенный подкласс Фиттинга с направлением d класса Фиттинга Р. Это означает, что Р является минимальным W-расслоенным классом Фиттинга с направлением d, d0 £ d. Лемма доказана.

Лемма 3. Пусть F=WR(A, d), А - простая W-группа, d0 £ d £ dз, где d0 и dз - направления W-свободного и W-композиционного классов Фиттинга соответственно. Тогда Р является минимальным W-расслоенным классом Фиттинга с направлением d.

Доказательство. Пусть Р - класс Фиттинга из условия, і - минимальный WR-спутник класса Фиттинга Р. По теореме 10[2] ')=йДОп (А)), ДБ)=йДА5(Б)) для всех БєWn^(А) и

ДВ)=0, если Вє Р\(А).

Пусть Р1 - максимальный Р-расслоенный подкласс Фиттинга с направлением d класса Фиттинга Р и Д1 — минимальный WR-спутник класса Фиттинга Р1. По следствию 10.1 [2] й£й Так как А — Р-группа, то ОР (А)=1 и Д(Р ')=ЙД1)=(1). Кроме того, ДА)=йДА5(А))ейДА) и і( В) =0, если В є Р\(А). Если Д1(РГ)=0, то по лемме 1 Р1=0, что невозможно. Поэтому Д1(Р/)^0. Тогда по следствию 10.1[3] Д1(Р/)=Д( Р')=(1).

Пусть d=d0. Тогда ДА)=йДОА (А))=ДгіА и й(Б)=ДБ)=0 для любого ВєР\(А). Допустим, что й(А)=ДА). Тогда Ає ДА)=Д1(А)еР1 и Р=РЕА(А)сР1, что невозможно. Значит, й(А)еД А).

Если Д1(А)=(1), то найдется группа НєР1 такая, что Ає^(Н)пР. Так как Р1сР, то ^(Рі)с^(Р)=(А) и, значит, (А)оК’(Н)оК’(Р1)е(А) и ^(Н)=(А). Тогда А является нижним композиционным фактором группы Н и, следовательно, Ає 8П(Н). Это по определению класса Фиттинга означает, что Ає Р1. Противоречие. Поэтому Д1(А)=0. Если Д1(р/)=(1), то, как и при доказательстве леммы 2, можно показать, что Р1=(1).

Пусть d=d3. Если А - неабелева группа, то БА(А)=1 и ДА)=й1 А. Рассуждая, как и в случае d=d0, получим, что Д1(А)=0 и Р1=(1). Если А - абелева группа, тогда ДА)=йДА53(А))=йДЕА(А))=йД 1 )=( 1). Если Й(А)=ДА)=(1), то 1=БА(А)є Й(А) и Ає Р1 и F=WСR(A)íF1, что невозможно. Значит, й(А)еД А) и Д1(А)=0. Таким образом, Р1=(1).

Так как во всех случаях получили, что (1) - максимальный Р-расслоенный подкласс Фиттинга с направлением d класса Фиттинга Р, где d0 £ d £ d3, то Р является минимальным Р-расслоенным классом Фиттинга с направлением d. Лемма доказана.

Теорема 1. Пусть Р - непустой W-расслоенный класс Фиттинга с направлением d, где d0 £ d £ dз, где d0 и dз - направления W-свободного и W-композиционного классов Фитинга соответственно. Тогда и только тогда Р является минимальным Р-расслоенным классом Фиттинга с направлением d, когда F=WR (А, d), где А - простая группа.

Доказательство. Необходимость. Пусть Р - минимальный Р-расслоенный класс Фит-тинга из условия, Д - минимальный WR-спутник класса Фиттинга Р. По определению (1)^Р. Выберем группу А минимального порядка из Р\(1). Если у А есть собственная нормальная подгруппа К, то Кє Р и К|<|А|, следовательно, всилу выбора группы А, N=1. Это означает,

что А - простая группа. Значит, (1)сОЩА, 8)cF. Отсюда и из минимальности формации F, получаем F=QR^, 8), где 8о £ 8 < 83.

Достаточность. Пусть F = QR^, 8), для 80 < 8 < 83, А — простая группа. Если Аї Q, то F является минимальной Q-расслоенным классом Фиттинга с направлением 8 по лемме 2.

Если А - простая Q-группа, то по лемме 3 F является минимальным Q-расслоенным классом Фиттинга с направлением 8. Теорема доказана.

Лемма 4. Если F=QКR(А), где А - некоторая простая группа, то класс Фиттинга F является минимальным Q-каноническим классом Фиттинга.

Доказательство. Пусть F - класс Фиттинга из условия. Если А - простая Q-группа, то 0П(А)=1, Oa,a(A)=1. Пусть f - минимальный QК-спутник класса Фиттинга F, тогда по следствию 10.4[2] f(Q')=fit(0Q (А))=(1) и f(A)=fit(0A,A(A)=( 1).

Пусть F1 - максимальный Q-расслоенный подкласс Фиттинга с направлением 8 класса Фиттинга F и f1 — минимальный QR-спутник класса Фиттинга F1. По следствию 10.1 [2] f1<f. Если f1(Q/)=0, то по лемме 1 F1=0, что невозможно. Поэтому f1(Q/)^0. Тогда по следствию 10.1 [2] fi(Q/)=f(Q/)=(1). Рассуждая, как и при доказательстве леммы 3, получим ^(А)=0 и F1=(1).

Таким образом, (1) - единственная максимальный Q-канонический подкласс Фиттинга F, следовательно, F является минимальным Q-каноническим классом Фиттинга. Лемма доказана.

Теорема 2. Пусть F - непустой Q-канонический класс Фиттинга. Тогда и только тогда F является минимальным Q-каноническим классом Фиттинга, когда F=QКR(А), где А - простая группа.

Доказательство. Необходимость. Пусть F - класс Фиттинга из условия, f - минимальный QК-спутник класса Фиттинга F. По определению (1)cF. Выберем группу А минимального порядка из F\(1). Если у А есть собственная нормальная подгруппа N, то Ne F и |N|<|A|, следовательно, всилу выбора группы А, N=1. Это означает, что А - простая группа. Значит, (1)cQКR(А)cF. Отсюда и из минимальности класса Фиттинга F, получаем F=QКR(А).

Достаточность. Пусть F=QКR(А), А — простая группа. Если Аї Q, то F является минимальной Q-каноническим классом Фиттинга по лемме 2.

Если А - простая Q-группа, то по лемме 4 F является минимальным Q-каноническим классом Фиттинга. Теорема доказана.

The purpose of the present paper is to give a description of minimal Q-foliated Fitting classes on segment from Q-free till Q-composition; description of minimal Q-canonical Fitting classes.

The key words: Q-foliated Fitting class; satellite of W-foliated Fitting class; direction of W-foliated Fitting class.

Список литературы

1. Ведерников В. А., Сорокина М. М. w - веерные формации и классы Фиттинга ко-

нечных групп // Матем. заметки. 2002. Т. 71, 1. С.43- 60.

2. Ведерников В. А., Сорокина М. М. Q-расслоенные формации и классы Фиттинга конечных групп // Дискретная математика. 2001. Т.13, 3. С. 125-144.

3. Ведерников В.А., Коптюх Д.Г. Композиционные формации с-длины 3 // Дискретная математика. 2001. Т.13, вып.1. С. 119-131.

4. Скиба А. Н. Алгебра формаций. Мн.: Беларуская навука, 1997. 240 с.

5. Ведерников В.А., Коптюх Д.Г. Композиционные формации с-длины 3 // Дискретная математика. 2001. Т.13, вып.1. С.119-131.

6. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. М.: Наука, 1978. 267 с.

7. Шеметков Л.А., Скиба А.Н. Формации алгебраических систем. М.: Наука, 1989.

256 с.

8. DoerkK., Нawkes T. Finite soluble groups. Walter de Gruyter, Berlin - New York, 1992.

889 p.

9. Vedernikov V.A. Maximal satellites of W-foliated formations and Fitting classes // Proceed. of the Steklov Institute of Mathematics. Suppl. 2. 2001. P.217-233.

Об авторах

Д.Г. Коптюх - канд. физ-мат. наук, доц., Брянский государственный университет им. академика И.Г. Петровского, Diana [email protected].

О.А. Хомякова - Брянский государственный университет им. академика И.Г. Петровского, bryanskgu@ mail.ru.