CC BY
28
Вестник КемГУ № 3/1 2011 Геометрия трехмерных многообразий
Если (p + 1, q + 1) = 1,, то
G(p,q) — ( Zp(p-q) * Zq(p-q)} X Z-
\ Zp-q J
Если же (p+1, q +1) = 1, то надо взять такое число D, для которого (р + 1, (p — q)/D) = 1. Ясно, что в этом случае (q + 1, (p — q)/D) = 1, а потому
G(p, q) — I Zp(p-q)/D * Zq(p-q)/D ) X Z.
V Z(p-q)/D J
Теорема доказана.
Таким образом, мы получили частичный ответ на сформулированный выше вопрос. Вопрос о том, существует ли аналогичное разложение для произвольной группы G(m,n,p,q) остается открытым. Также сформулируем и такой
Вопрос. При каких наборах (m, n,p, q) группа G(m, n,p, q) тривиальна?
Отметим, что этот вопрос тесно связан с проблемой Уайтхеда об асферических комплексах из гомотопической топологии (см. [10]).
Литература
[1] Линдон, Р. Комбинаторная теория групп / Р. Линдон, П. Шупп. - М.: Мир, 1980.
[2] Фоменко, А. Т. Курс гомотопической топологии / А. Т. Фоменко, Д. Б. Фукс. - М.: Наука,
1989.
[3] Rapaport, E. S. On the defining relations of a free product / E. S. Rapaport // Pacific J. Math. -1964. - Vol. 14, no. 4. - P. 1389 - 1393.
[4] Wall, C. T. C. Finiteness conditions for CW-complexes / C. T. C. Wall // Ann. of Math. - 1965.
- Vol. 81, no. 1. - P. 56 - 69.
[5] Epstein, D. B. A. Finite presentations of groups and 3-manifolds / D. B. A. Epstein // Quart. J. Math. Oxford Ser. - 1961. - Vol. 12 - P. 205 - 212.
[6] M. Bestvina, M. Morse theory and finiteness conditions of groups / M. Bestvina and N. Brady // Invent. of Math. - 1997. - Vol. 129. - P. 445 - 470.
[7] Gruenberg, K. W. Generation gaps and abelianized defects of free products / K. W. Gruenberg, P. A. Linnell // J. Group Theory.
- 2008. - Vol. 11, no. 5. - P. 587 - 608.
[8] Hog, C. Presentation classes, 3-manifolds and free products / C. Hog, M. Lustig, W. Metzler// Geometry and topology.- Berlin, 1985.
[9] Bridson, M. Deficiency and abelianized deficiency of some virtually free groups / M. Bridson, M. Tweedale // Math. Proc. - Cambridge Philos. Soc., 2007. - Vol. 143, no. 2 - P. 257 - 264.
[10] Mikhailov, R. Lower central and dimension series of groups, Lecture Notes in Mathematics / R. Mikhailov, I. B. S. Passi. - Berlin, 2009.
[11] Jaco, W. Heegaard splittings and splitting homomorphisms / W. Jaco // Trans. Amer. Math. Soc. - 1969. - Vol. 144. - P. 365 - 379.
УДК 514.772.22
О МИНИМАЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ В ГРУППЕ ГЕЙЗЕНБЕРГА
Д. А. Бердинский
ON MINIMAL SURFACES IN HEISENBERG GROUP
D. A. Berdinsky
В работе предложен метод построения минимальных поверхностей в группе Гейзенберга, наделенной метрикой Терстона. Конструкция основана на представлении типа Вейерштрасса, и порождающие спиноры поверхности выражены в терминах функций Бейкера-Ахиезера.
It’s proposed the method for constructing minimal surfaces in Heisenberg group, endowed with Thurston’s metric. The construction is based on Weierstrass type representation, and generating spinors of surface are expressed in terms of Baker-Akhiezer functions.
Ключевые слова: группа Гейзенберга, минимальные поверхности, функции Бейкера-Ахиезера. Keywords: Heisenberg group, minimal surfaces, Baker-Akhiezer functions.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (№ 10-01-91056).
1. Введение зовании представлений типа Вейерштрасса мини-
мальных поверхностей в этой группе [1].
В данной работе изложен метод построения ми- Предложенный метод находится в русле рабо-нимальных поверхностей в группе Гейзенберга с ты Бобенко [3], где описываются торы постоянной терстоновской метрикой, основанный на исполь- средней кривизны в трехмерном евклидовом про-
Вестник КемГУ № 3/1 2011 Геометрия трехмерных многообразий
странстве.
Как и в евклидовом случае, здесь возникает эллиптическое уравнение типа 8Іпе-СоМоп:
V + 2втИ V = 0,
но записанное не для логарифма конформного фактора, а для логарифма потенциала оператора Дирака, возникающего из представления Вейер-штрасса [2]. В геометрических терминах этот потенциал также можно представить как еу = 4 пзеа
[1], где п3 — скалярное произведение вектора нормали к поверхности с выделенным направлением е3 в группе Гейзенберга, а е2а — это фактор метрики на поверхности по отношению к конформному параметру г.
Все это позволяет применить методы теории конечнозонного интегрирования [3],[4] к построению минимальных поверхностей в группе Гейзенберга. В данной работе мы не касаемся вопроса о замыкании поверхностей и вопроса об их особенностях.
Следует также отметить связь минимальных поверхностей в группе Гейзенберга с известным в физике уравнением электролитического типа:
В нашем случае удобно перейти к экспоненциаль-
1 2 3
ным координатам х ,х ,х , которые связаны с исходными следующим образом:
X = X1 y = X2 z = X3 + ІX1X2
В экспоненциальных координатах метрика имеет вид:
2 2 І І
ds2 = (dx1) + (dx2) + (-x2dx1 — - xldx2 + dx3)2.
3. Представление Вейерштрасса минимальных поверхностей в группе Гейзенберга
В этом разделе мы кратко напомним представление Вейерштрасса для минимальных поверхностей в группе Nil [1]. Всякую поверхность в группе Nil локально можно представить следующим образом:
x (z,z) = Zldz + Zldz,
zo
Да — sinh a = 0.
Действительно, поскольку ev чисто мнимое, то взяв Re[v], после соответствующей замены, получим в точности уравнение электролитического типа.
2. Группа Гейзенберга
Группа Гейзенберга Nil образована всеми матрицами вида:
І x z
О І y
О О І
x,y, z Є R,
с обычным матричным умножением и левоинвариантной метрикой вида:
йв2 = йх2 + йу2 + (йг — хйу)2.
Алгебра Ли образована элементами:
x (z,z)= Z2dz + Z2dz,
zo
х (г, I) = + Zзйг)+
■) Х0
1 — 1 ГХ —
+ — I х1 (Z2 йг + Z 2 йг) — — / х2 (Z\dz + Z \йх),
где г—конформный параметр, а Zl(г, |)^2(г, I) и Zз (г, I) выражаются через спинорные функции
ф1(г,г),ф2(г,г) следующим образом:
^ 1(ф + ф2), Z2 = 1(?2 — ф2), Zз = Ф1Ф2.
При этом сами спинорные функции ф1(г, г), ф2(г, г) удовлетворяют нелинейному уравнению Дирака:
Dmi
Ф1
Ф2
Є1
ОІО
ООО
ООО
в3=
Є2
О О І
ООО
ООО
ООО О О І ООО
которые удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям:
[в1,в2] = вз, [в1,вз] = [в2,вз] = О.
Фі
Ф2
(І)
Н 1
ими = Уыи = (|ф1|2 + |ф2 |2 ) + 4 ( |ф2 |2 — |фl|2),
где Н(г, I ) - средняя кривизна поверхности. Для минимальных поверхностей Н = 0, и потенциал ими = Уми = 4(|ф212 — |ф112) является чисто мни-
Z
Z
Z
О
Вестник КемГУ № 3/1 2011 Геометрия трехмерных многообразий
4. Деривационные уравнения поверхностей постоянной средней кривизны в терминах спинорных функций
На поверхности постоянной средней кривизны квадратичный дифференциал Айг2, заданный следующим выражением, является голоморфным [1]:
___ __ _ 2 Н г _ 2
А := Ф2дФ1 - Ф1дФ2 + 2ТТ + • Ф2Ф2 • (2)
2Н + г
Далее положим и^и = еу и, используя (1), получим следующее выражение для производной потенциала инц:
д и V
тгими = е = дг
= 4(2Н + г)ф2дф2 + 4(2Н-г)ф1дф1 - ф1ф2 1ф2 I2.
(3)
Объединяя (2), (3) и (1), мы получим уравнения Гаусса-Вейнгартена в терминах спинорных функций Ф1, Ф2:
дг
Фі
Ф2
Фі
Ф2
■>в
0
-Бв-
Фі
Ф2
Фі
Ф2
V*г + в2" -\Б\2в-2" =0.
(4)
vz г + в2" — в
-2у
0.
д
Фі
Ф2
-в
0
Фі
Ф2
дг
(6)
Ф1 \ = ( 0 еу \ I ф1
Ф2 ) V е- \ Ф2
так, чтобы еу являлась чисто мнимой функцией.
5. Решение уравнений Гаусса-Вейнгартена в терминах функций Бейкера—Ахиезера
Положим V = — и и ф 1 = гф1, Ф2 = е-уФ2. Сделав замену аргумента г = 1 т, можно убедиться, что в новых обозначениях ^(т,т) и ф2(т,т) система (6) принимает вид:
фі
ф2
2
д*
фі
ф2
0
фі
ф2
фі
ф2
(7)
Система (7) допускает возможность введения спектрального параметра следующим образом:
д*
фі
ф2
д*
фі
ф2
г \
2А 2
0 — тп- в
0
. (8)
Отметим, что (8) совпадает с (7) при Л = —1. Условие совместности (8) принимает вид:
(9)
где В = 1 (2Н + г)А. Поскольку мы считаем, что Н = 0, то В—голоморфная функция, и условие совместности уравнений Гаусса-Вейнгартена принимает вид:
Далее будем предполагать, что решение (1) периодическое по некоторой решетке и В = 0. С помощью замены координат можем считать, что В1 = 1. В этом случае, уравнение (4) примет вид:
(5)
Для того чтобы решение (5) отвечало некоторой минимальной поверхности, необходимо потребовать, чтобы функция еу являлась чисто мнимой. Необходимость этого условия очевидно следует из вида потенциала (1), достаточность см. [2].
Без ограничения общности будем считать, что В = —1. Теперь задачу можно сформулировать следующим образом — построить нетривиальные периодические решения Ф1(г,г), Ф2(г, г) следующей системы:
Пусть Г — риманова поверхность, для которой существует мероморфная функция Л, обладающая нулем второго порядка в точке Р1 € Г и полюсом второго порядка в точке Р2 € Г. Пусть к-1 и к-1 локальные параметры в окрестностях точек Р1 и Р2 соответственно, такие, что Л = к-2 в окрестности Р1 и Л = к2 в окрестности Р2. Пусть Б = 71 + • • • + 7д —дивизор степени д, где д—род Г.
Далее мы позволим себе пропустить элементы теории функций Бейкера-Ахиезера и ограничимся лишь необходимыми для нашего случая определениями.
Определение. Функцией Бейкера-Ахиезера, отвечающей спектральным данным
{Г,Рі ,Р2,к-і,к-і,
О},
будем называть функцию Ф(т, т) : Г ^ С заданную на Г и зависящую от т, т, такую, что:
1) Ф мероморфна на поверхности Г всюду, кроме точек Р1, Р2, и имеет на Г\{Р1, Р2} простые полюса лишь в точках 71, ••,1д дивизора Б.
2) в окрестностях точек Р1 и Р2 функция Ф имеет существенные особенности, такие, что произведения Фехр(2к1т) и Фехр(2к2т) являются аналитическими функциями в окрестностях точек Р1 и Р2 соответственно.
Функция Бейкера-Ахиезера с такими данными существует и единственна с точностью до умножения на константу. Тем самым функция
и
2
2
д
*
2
0
и
2 в
и
2 в
и
2
2
и
- 2 в
V
г
V
в
0
V
в
V*
V
г
V
в
Вестник КемГУ № 3/1 2011 Геометрия трехмерных многообразий
ф1(и,и), обладающая простыми полюсами в точках 71,,^д и асимптотикой в точке Р1, вида:
Ф1(и, и) =
( * 7 -А ( г ЗЛи, и)
= ехр I -2ми I 1с1(и,и)Н-----к--+о(к1 )
а в точке Р2 вида:
'ф1(и, и) = ехр {- 2^2"^ Г1+ ^1 ^и’^+^к-1) ) ,
существует и единственна.
Определим ф (и, ил) следующим образом:
•2 (и, ил) = 2^ф1ш - ф1 .
Асимптотика ф2(и,ик) в окрестности точки Р1 имеет вид:
ф2(и, ик) =
1 -7 - \ т -1 ( ~\ З,2(и,ик) 1 .
=ехр --Л1?л к1 \в2(и,ъи)+------- -----+о(к1 ) ,
и в точке Р2 вид:
■г / ч А * , \ { ^(и,ик)
ф2(и,ил)=ехр ( - 2 к2и) к^ 1+------к----+°(к2 )
Лемма 1. Полагая и = 1п ( —
2/1^
вектор-
ф1
функция ( ~ ) является решением системы (8).
Но, поскольку Кевр1 П + Яевр2 П = 0, то С1 - ] = 0, т. е. С1 вещественная функция. Тем самым лемма доказана.
Но из того факта, что С1 = Кеу и еу удовлетворяет (5), следует что еу либо чисто мнимая и либо вещественная функция и, следовательно, еи является вещественной функцией.
Примером, удовлетворяющим нашим требованиям, может послужить гиперэллиптическая кривая р2 = vП2= 1^ - V*). В качестве точек Р1 и Р2 следует рассматривать нулевую р = 0, V = 0 и бесконечно удаленную точку соответственно. В качестве мероморфной функции А следует рассматривать проекцию А : (р, V) ^ V. Антиголоморфная инволюция т будет иметь вид т : V ^ 4, при этом нужно потребовать, чтобы Vг,* = 1... 2д разбивались на пары таким образом, чтобы под действием т точки ветвления переходили в точки ветвления. Для более подробного рассмотрения случая гладкой спектральной кривой Г см. [3],[4].
В следующем разделе мы рассмотрим, пожалуй, самый простой случай, когда спектральная кривая Г является сферой со склеенными точками. В этом случае решение (9) выражается в элементарных функциях.
6. Простейший случай, отвечающий сингулярной спектральной кривой
Пусть Г — сфера СР1 с отождествленными д парами точек аг ~ -аг,* = 1,.., д. Тогда функция Бейкера-Ахиезера ф имеет вид:
Доказательство леммы почти сразу вытекает из вида существенных особенностей левых и правых частей равенств системе (8). Также легко заметить, что С1 = Ке2 2 и С2 = Ке 2 для некоторой константы К.
Поскольку для минимальных поверхностей еу чисто мнимая функция, то еи является вещественной и отрицательной функцией. Для того чтобы еи была вещественной функцией, необходимо наложить дополнительную редукцию. Такая редукция сформулирована в следующей лемме.
Лемма 2. Предположим, что т : Г ^ Г допускает антиголоморфную инволюцию, такую, что т переставляет местами точки Р1 и Р2, при этом т(к-1) = к-1 и т(к-1) = к-1. Предположим также, что существует мероморф-ная 1-форма П, обладающая нулями в точках ^1,...,7д,т^1,...,т^д и простыми полюсами в Р1,Р2. Тогда с1 является вещественной функцией.
Действительно, рассмотрим мероморфную 1-
форму П1 = ф1(Р)ф2(тР)П. Форма П1, очевидно, обладает простыми полюсами лишь в точках Р1 и Р2. Сумма вычетов П1 равна:
Кевр1 П1 + Яевр2 П2 = С1Кевр1 П + к1 Нея р2 П = 0.
ф 1(и, и], V) =
1 + П1(и,и) + + Пд(и,и)
V - 71 V - 7д
где V — параметр на сфере. Функцию А положим
2
равной V2, так, что она принимает одинаковые значения на отождествленных точках. Антиголо-морфную инволюцию т явно зададим отображением т : V 1—> 1.
V
Пусть П — мероморфная 1-форма вида:
П
V П (V - аг ) (V + аг) 1=1
-Зм.
Форма П имеет простые полюса в точках Р1 , Р2 и аг, -аг, * = 1. .. д, и нули в точках 7г, т^г, * = 1 .. . д. Для регулярности П на Г потребуем выполнения равенств
Кеяа€П + Кея-а€П = 0,* = 1... д.
(10)
Нетрудно проверить, что равенства (10) справедливы, если и только если аг,* = 1 ...д является корнем полинома Р(а) степени 2д:
Р(а) = (а-71)(а-~) . . . (а-7д)(а-~) +
71 7д
Вестник КемГУ № 3/1 2011 Геометрия трехмерных многообразий
+ (а + 71)(а + —) ... (а + 7д)(а + —) (11)
71 1д
Заметим, что если Р(а) = 0, то Р(—а) = 0 и Р(та) = 0. Тем самым в качестве а.^^ = 1... д следует выбрать корнями полинома Р(а) для некоторого набора 7^ = 1... д, и тогда условие леммы 2 будет удовлетворено автоматически.
Согласно лемме 1:
1
2i Viw + 1
i=1
Y2 Y
71 ■■■Ig
В простейшем случае g =1, полином (11) имеет вид a2 + Y, и полагая 7 = p(cos ф + i sin ф), получаем, что a = — sin ф + i cos ф. Пусть т(x, y) = sin ф x + cos ф у, где w = x + iy и тогда
(cos(t (x,y)) + р sin(T (x,y)))2
Коэффициенты щ(и),и)) однозначно находятся из решения системы линейных уравнений, заданных равенствами ф(а^ = г/? 1 (—аi), i = 1... д, возникающими из условия совпадения значений функций -01 в точках ai и —ai, i = 1... д. В качестве простой проверки знака еи можно вычислить его значение в точке и> = 0. Это значение, как
нетрудно проверить, равно вместо а,,^ = 1 ...д корни полинома (11), получаем 2 |2. Таким образом, еи отрицательно
для нечетных д. Во избежание громоздкости случая д ^ 3, приведем в явном виде лишь случай
д = 1.
^т(т(х,у)) — рео8(т(х,у)))2 '
Литература
[1] Бердинский, Д. А. Поверхности в трехмерных группах Ли / Д. А. Бердинский, И. А. Тай-манов // Сиб. мат. журн. - 2005. - Т. 46, № 6. -С. 1248 - 1264.
[2] Бердинский, Д. А. О поверхностях постоянной средней кривизны в группе Гейзенберга / Д. А. Бердинский // Математические труды. -2010. - Т. 13, № 2. - С. 1 - 7.
[3] Бобенко, А. И. Поверхности постоянной средней кривизны и интегрируемые уравнения / А. И. Бобенко // Успехи математических наук. -1991. - Т. 46, № 4. - С. 3-42.
[4] Тайманов, И. А. Гладкие вещественные конечнозонные решения уравнений типа вт-Согйоп / И. А. Тайманов // Математические заметки. -
1990. - Т. 47, № 1. - С. 147 - 156.
e
2
2
a
УДК 515.162.8
ИНВАРИАНТЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ГРАФОВ И ГРУППЫ КОКСЕТЕРА
А. Ю. Веснин
INVARIANTS OF SPATIAL GRAPHS AND COXETER GROUPS
A. Yu. Vesnin
В работе обсуждаются инварианты пространственных графов. Строится инвариант, имеющий структуру группы Коксетера. Приводятся примеры распознавания пространственных графов с помощью этого инварианта.
We discuss some invariants of spatial graphs. We construct an invariant which has a structure of a Coxeter group. We give examples to show that this invariant distinguishes some spatial graphs.
Ключевые слова: пространственный граф, инвариант, преобразования Рейдемейстера, группы Коксетера.
Keywords: spatial graph, invariant, Reidemeister moves, Coxeter groups.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 10-0100642, 10-01-91056-НЦНИ-а) и интеграционного проекта СО РАН и УрО РАН.
1. Пространственные графы, диа- меток на дугах диаграммы. В обоих случаях да-граммы и движения Рейдемейстера ются примеры вычисления инвариантов для пространственных вложений тэта-графа.
В работе обсуждаются инварианты простран- Пусть G = (V, E) - конечный граф с множественных графов, т. е. вложений графов в трех- ством вершин V и множеством ребер E, возможно, мерное пространство R3. В последние годы мно- имеющий петли и кратные ребра. Пусть G = f (G) гие методы построения и исследования инвариан- - его пространственное вложение (т. е. отображе-тов узлов переносятся на случай пространствен- ние f : G ^ R3 является вложением, которое ных графов. Мы приводим пример построения ин- мы всегда предполагаем конечно-звенным полиго-варианта, связанного с распутывающими соотно- нальным). Граф G = f (G), вложенный в R3, будем шениями и инварианта, связанного с расстановкой называть пространственным графом. В частности,
