О мгновенном точечном источнике энергии в бесконечной среде Текст научной статьи по специальности «Математика»

АСТРОНОМИЯ

УДК 52-64

О МГНОВЕННОМ ТОЧЕЧНОМ ИСТОЧНИКЕ ЭНЕРГИИ В БЕСКОНЕЧНОЙ СРЕДЕ

A. К. Колесов1, Н. Ю. Кропачева2

1. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, +7(906)2717013

2. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, доцент, [email protected]

1. Введение. При интерпретации результатов астрофизических наблюдений небесных тел широко применяется теория переноса излучения. Эта теория детально разработана для случая стационарных полей излучения (см., например, [1, 2]). Однако в современной астрофизике значительное место занимает изучение различных типов нестационарных объектов (новых, сверхновых, вспыхивающих звезд и др.). При этом во многих случаях следует учитывать зависимость полей излучения от времени.

Основы теории нестационарного переноса излучения изложены в монографиях

B. В. Соболева [1] и И. Н. Минина [3], а обзоры работ по ее развитию даны Д. И. Нагир-нером [4] и В. П. Грининым [5]. В этих работах обычно принимается наиболее простая модель среды, а именно, одномерная модель.

В работах [6-8] изучался нестационарный перенос монохроматического излучения в одномерных однородных средах с источниками энергии, мощность которых зависит как от пространственной координаты, так и от времени. В частности, в работе [7] исследовано поле излучения в среде, освещенной мгновенным точечным источником энергии. Рассмотрены два предельных случая: когда кванты света находятся в основном в поглощенном состоянии (случай А) или когда они пребывают в пути между актами рассеяния (случай В). Для этих случаев в приближении Эддингтона были получены формулы для средней интенсивности, потока излучения и функции источников. В работе [8] даны аналитическое и численное решения задачи о нестационарном переносе излучения в случае В при произвольной зависимости мощности источника от времени.

Цель настоящей работы — распространение результатов работы [7] на случай трехмерной бесконечной однородной среды, поле излучения в которой обусловлено вспышкой мгновенного точечного источника в некоторый начальный момент времени.

© А. К. Колесов, Н. Ю. Кропачева, 2011

2. Основные уравнения. Рассмотрим нестационарный перенос излучения в бесконечной однородной среде, освещенной мгновенным точечным источником светимости Ь. Оптические свойства среды, в том числе коэффициент поглощения а, вероятность Л выживания кванта света при элементарном акте рассеяния, среднее время ^, затрачиваемое квантом непосредственно на акт рассеяния, среднее время 12, время пребывания кванта в пути между двумя последовательными рассеяниями будем считать независящими от координат точек среды и от времени. Вместо геометрического расстояния г точки среды от местоположения источника, принятого за начало координат, и времени Ь, отсчитываемого от момента вспышки, введем соответствующее оптическое расстояние т = а ■ г и безразмерное время

и =---------, (1)

а вместо параметров ^ и £2 —безразмерные параметры

/?1 = ^ , /?2 = ^ ■ (2)

*1+*2 *1+*2

Индикатрису рассеяния будем считать для простоты сферической, тогда функция источников В(т,и) не будет зависеть от направления. Через I(т,у,и) обозначим интенсивность диффузного излучения, распространяющегося в точке, находящейся на оптическом расстоянии т от источника, под углом агееов у к радиус-вектору этой точки в момент времени и.

Принимая во внимание сферическую симметрию среды, запишем уравнение переноса излучения в виде

д1(т, /х, и) 1 - у? д1(т,ц,и) д1{т,ц,и)

'■ эт + —-----------------—+ д а» (3)

Уравнение лучистого равновесия в рассматриваемом нестационарном случае будет иметь вид

Л . ри . . и —и' . \Т/(У^ _ и~^2'г

В(т,и) = ----- <1и' /(г, а ,и )е <1и -\-------=----Те“т----Я”, (4)

} 2/?! м Уо 16тг2/3п-2 ’ ^ '

где и > р2т. Второе слагаемое в правой части формулы (4) описывает вклад в функцию В(т,и) прямого излучения источника (см. [3]).

Начальное условие, описывающее отсутствие диффузного излучения в начальный момент времени и = 0, т. е. при вспышке точечного источника, представляется в виде

1 (т,И, 0)=0- (5)

Введем в рассмотрение среднюю интенсивность излучения

1 г1

3(т,и) = — 1(т,^,,и)(1^, (6)

2 У-1

Н(т,и)=2к ^ I(т,у,и)уё,у, (7)

и поток излучения

тогда из уравнений (3) и (4) в приближении Эддингтона получим следующие соотношения между В(т,и), J(т,и) и Н(т,и):

д^т,и) 3/32 дН(т, и) ,3

+ + з;я(т'") = 0' (8)

' + -Н{т.и) + I■' + 4^гJ(т,u) = 47гВ(т,и), (9)

ат г аи

В{т,и) + =Л7(г,ц). (10)

аи

Отметим, что путем интегрирования по времени уравнений (3) и (4) получается система уравнений переноса и лучистого равновесия для стационарного состояния поля излучения. Решая эту систему для случая точечного источника светимости Ь, находим формулы

В{т,и)<іи = ~^е-к\ (11)

/то 3Та2

(12)

С Та2

Н(т, и)<1и =------М + кт)е~кт, (13)

Зо 4пт

где к = у^3(1 — Л). Эти выражения можно использовать для проверки результатов вычислений функций В(т,и), J(г, и) и Н(г, и).

3. Соотношение между характеристиками полей излучения в моделях трехмерной и одномерной сред. Исключая из уравнений (8), (9), (10) функции J(т,и) и Н(т,и), получаем дифференциальное уравнение для функции В(т,и):

а д3В(т,и) | д2В(т,и) | 2/?і д2В(т,и) 0/Э о2д3В(т,и)

Р1 о 9 Л---------------1-Я~~2-1-Л~Т)----^РіР2 ^Г~я------

ат2аи ат2 т атаи аи3

- шл + - т + р - А)А]ав(т-и)

9и2 т 9т 9и

- 3(1 - Л)В(т,и)=0. (14)

Такое же уравнение получается и для средней интенсивности излучения J(т, и).

Рассмотрим вспомогательные функции Ь(га/3, и) и j{т ^3 , и), связанные с В(т, и) и J(т,и) соотношениями

В(т,и) = С1Ь^^, (15)

т

,7(т,и) = С23-^, (16)

т

где t = га/3, а С\ и 6*2 —постоянные, пропорциональные светимости источника Ь. Подставляя выражение (15) в уравнение (14), находим, что функция Ъ(Ь,и) удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению:

- /32(/32 + 2р1)дЧ^и) - [/?! + (2 - _ (1 _ Л)Ь(т,и) = 0. (17)

Такое же уравнение получается и для функции ](Ь,и).

Уравнение (17) и соответствующее уравнение для з(Ь,и) совпадают с уравнениями для функции источников и средней интенсивности излучения в модели одномерной среды [7]. Поэтому, используя формулы для указанных характеристик полей излучения, полученные в работе [7] для случая модели одномерной среды, по формулам (15) и (16) легко можно найти функции В(т,и) и .1 (т,и) для рассматриваемой трехмерной среды, а из соотношений (8) и (9) выводится формула для потока излучения Н(т,и).

4. Случаи А и В. В случае А, когда в = 1, в = 0, используя формулы для функций Ъ(Ь, и) и ](Ь, и), приведенные в работе [7], и принимая во внимание соотношения (15) и (16), получаем

1(т, и) = Г е-(1-ЗА/(з+*’))« “ ^ (19)

у ' 4п2т Уо 3 + х2 к 1

В(т,и) = —^— [ е_(1_ЗЛ/(3+ж2))“со зтх<1х, (18)

4\/3п2т ,/0

\/ЗЬ

' /о

Из соотношений (8) и (9) при в2 =0 находим

Я(Г,„) = -!£- Ге-С-ЗА/(3+.=))»£5!І?1±І£!!!!!£*, (20)

па/ 3т2 „/о 3 + х2

В случае В, когда ві =0, в2 = 1, таким же способом, как и в случае А, получаем

В(т, и) = ^(т, и) ХЬо2

8

Н(т, и

т

8тт Ьа2 3 Ат2

~3г2) + V,»-Зг^1 (^"2 ~3т2)] <21)

7о0,^-^)+^_^/і(^,^Р)]е-(--і)«, (22)

где /о(г) и 1\{г) — модифицированные функции Бесселя.

В формулах (21)-(22) и > та/3, а при и < та/3 все эти величины равны нулю.

5. Заключение. Таким образом, в настоящей работе получены простые соотношения (15) и (16) между характеристиками полей излучения в одномерной и трехмерной средах. Эти соотношения дали возможность из формул для функции источников и средней интенсивности излучения, выведенных в работе [7] для одномерной среды, освещенной мгновенным точечным источником, получить соответствующие приближенные выражения для этих величин в случае трехмерной среды. При помощи соотношений (8)—(10) между величинами, характеризующими поле излучения, найдены также приближенные формулы для потока излучения в однородной трехмерной среде.

1. Соболев В. В. Перенос лучистой энергии в атмосферах звезд и планет. М.: Гостехиздат. 1956. 391 с.

2. Соболев В. В. Рассеяние света в атмосферах планет. М.: Наука, 1972. 336 с.

3. Минин И. Н. Теория переноса излучения в атмосферах планет. М.: Наука, 1988. 264 с.

4. Нагирнер Д. И. Теория нестационарного переноса излучения // Астрофизика. 1974. Т. 10, №3. С. 445-469.

5. Гринин В. П. Теория нестационарного переноса излучения // Труды Астр. обс. СПбГУ. 1994. Т. 44. С. 236-249.

6. Колесов А. К., Соболев В. В. Нестационарный перенос излучения в звездных атмосферах // Астрон. журн. 1990. Т. 67, №2. С. 357-366.

7. Колесов А. К., Соболев В. В. О нестационарном переносе излучения // Труды Астр. обс. ЛГУ. 1991. Т. 43. С. 5-27.

8. Нагирнер Д. И., Кирушева С. Л. Нестационарное монохроматическое рассеяние излучения в одномерной среде: аналитическое и численное решения // Астрофизика. 2008. Т. 51, № 1. С. 109-123.

Статья поступила в редакцию 25 ноября 2010 г.