О методе вспомогательной окружности Текст научной статьи по специальности «Математика»

нимум свободы выбора вариантов ответов. Интервью, предполагает свободное высказывание множества мнений и суждений в оценке явлений, событий и фактов, их самостоятельную интерпретацию; - анкетирование, тестирование. По направленности тесты делятся на: тесты результатов, когда на основе результатов выполнения заданий судят об уровне овладения определенным материалом; тесты способностей, которые позволяют судить не только о результатах в освоении определенных знаний, умений, навыков, но и об общих предпосылках освоения определенного уровня развития.

На основе проведенного анализа методов социально-педагогического сопровождения дезадаптированных подростков в процессе их профессионального становления, можно сделать вывод, что для эффективной работы необходимо комплексное их применение в зависимости от целей и задач каждого этапа профессионального обучения.

Список литературы:

1. Педагогика: учеб. / Л.П. Крившенко; под ред. Л.П. Крившенко. - М.: ТК Велби, изд-во Проспект, 2005. - 432 с.

2. Психолого-педагогическое сопровождение профессиональной адаптации учащихся и студентов: монография / Г.В. Безюлева. - М.: НОУ ВПО Московский психолого-социальный институт, 2008. - 320 с.

О МЕТОДЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ ОКРУЖНОСТИ

© Игнатьева Н.К.*, Лоскутникова Е.Ф.

Лесосибирский педагогический институт - филиал Сибирского федерального университета, г. Лесосибирск

В статье рассмотрен метод вспомогательной окружности, используемый для решения наиболее сложных планиметрических задач. Авторами выделены наиболее типичные ситуации, в которых рекомендуется применять вспомогательную окружность, проиллюстрированные примерами решения задач.

Решение наиболее сложных геометрических задач связано с введением дополнительных построений, из которых самым эффектным по праву считается вспомогательная окружность. Суть метода вспомогательной окружности заключается в том, что на чертеж к задаче, на котором трудно заметить связь между данными и искомыми величинами, вводится окружность, возможная в данной конфигурации, после чего эти связи становятся более ощутимыми или даже очевидными.

* Старший преподаватель кафедры Высшей математики и информатики.

Анализ задач из различных учебно-методических пособий и статей, посвященных данному методу, дает возможность выделить наиболее типичные ситуации, в которых удобно применять вспомогательную окружность (на чертежах будем изображать ее пунктирной линей).

Ситуация I. Если на чертеже есть четырехугольник, у которого суммы противоположныхугловравны, то вокруг него можно описать окружность.

Задача 1 [3, с. 125]. В треугольнике ABC ZB = 60°, АА1 и СС1 - биссектрисы пересекающиеся в точке О (рис. 1). Докажите, что ОА1 = ОС1.

_ в

Рис. 1

Доказательство:

ZC1OA1 = ZAOC = 180° - (ZOAC + ZOCA) =

= 180° -1 (ZBAC + ZBCA) = 180° -1(180° -- ZABC) = 180° -1(180° - 60°) = 120°

Следовательно, ZC1BA1 + ZC1OAí = 180° и вокруг четырехугольника ОС1ВА1 можно описать окружность. Поскольку О - точка пересечения биссектрис треугольника, то ZC1BO = ZOBA1. Значит, дуги С10 и OA 1 равны, а равные дуги стягивают равные хорды, т.е. ОС1=ОА1.

Наиболее часто описывается окружность около четырехугольника, в котором противолежащие углы прямые.

Задача 2 [1, с. 125]. Из точки A, расположенной вне окружности, проведены касательные AB, AC и секущая MN. Пусть B и C - точки касания, а P - середина хорды MN. Доказать, что z. BPA = z. CPA.

■ JL

/ . ! 'У* \ ; Jo \

/ / )

Рис. 2

Доказательство:

Пусть O - центр данной окружности (рис. 2). Тогда OB 1AB, ОС 1 АС и в четырехугольнике ABOC Z.+ Z. ^СО = 180°, следовательно, существует описанная около него окружность с диаметром AO. Общая вершина z. BP4 и z. CPA лежит на этой окружности потому, что OP 1 MN (по условию P - середина хорды MN) и вершина прямого z. OPA, опирающегося на диаметр OA, принадлежит окружности. Далее отметим равенство отрезков касательных AB и AC, которое влечет равенство соответственных хорд и дуг. Следовательно, углы z. BPA и z. CPA равны как вписанные и опирающиеся на равные дуги.

Ситуация II. Если точки A и D расположены по одну сторону от прямой MN и при этом ZMAN = ZMDN (т.е. отрезокMN виден из точек A и D под равными углами), то можно сделать вывод, что точки A, D, М, N лежат на одной окружности.

в с

Рис. 3

Задача 3 [5, с. 39]. Из вершины A квадрата ABCD проведены лучи, образующие между собой угол 45°. Один из них пересекает диагональ BD в точке М, другой - сторону CD в точке N. Найти величину угла AMN (рис. 3).

Решение:

Заметим, что отрезок MN виден из точек A и D под углом 45°, значит, около четырехугольника ADMN можно описать окружность. Тогда по теореме о вписанном четырехугольнике Z AMN + Z ADN = Z AMN + 90° = = 180°. Следовательно, z AMN = 90°.

Ситуация III. Если на чертеже к задаче есть треугольник, в котором заданы замечательные линии, то около треугольника описывается окружность, и рассматриваются точки пересечения заданных замечательных линий с ней. Чаще всего этот прием применяется в случаях, когда заданы биссектриса, высота и медиана, проведенные к одной и той же стороне треугольника.

Задача 4 [2, с. 29]. Высота и медиана треугольника, проведенные из одной вершины внутри него, различны и образуют равные углы со сторонами, выходящими из той же вершины. Доказать, что треугольник прямоугольный.

с

т

А

i В

\

\

/

1)

Рис. 4

Решение:

Пусть высота СН и медиана СМ треугольника ABC образуют со сторонами АС и ВС равные углы (рис. 4). Опишем около треугольника ABC окружность и продолжим медиану СМ до пересечения с окружностью в точке D. Рассмотрим треугольники ACH и BCD: ZACH = ZBCM (по условию), ZCAB = ZCDB (как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу), следовательно, ZAHC = ZCBD = 90° и CD - диаметр окружности. Центр окружности лежит на диаметре CD и на серединном перпендикуляре m к стороне AB. Так как медиана СМ не является высотой, то прямые CD и m имеют только одну общую точку М, которая и является центром описанной окружности. Таким образом, AB - диаметр окружности и ZACB = 90°.

Ситуация IV. Введение вспомогательной окружности позволяет увеличить количество рассматриваемых отрезков, что дает возможность использовать теоремы об отрезках хорд, секущих и касательных.

Задача 5 [2, с. 29]. Доказать, что квадрат биссектрисы треугольника равен разности ме^цу произведением заключающих ее сторон и произведением отрезков третьей стороны, на которые она делится биссектрисой.

с

А

Рис. 5

Решение:

Около треугольника ABC опишем окружность и продолжим биссектрису CD треугольника до пересечения с окружностью в точке Е (рис. 5).

Пусть BC = a, AC = b, AD = m, BD = n, CD = l, DE = x. По условию ZACE = ZBCE, кроме того, ZAEC = ZABC, как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Следовательно, треугольники ACE и BCD подоб-

l + x a 2

ны и справедливо равенство-= —, откуда l = a ■ b -l ■ x. Хорды AB и СЕ

b l

пересекаются в точке D, поэтому выполняется равенство l ■ x = m ■ n. Следовательно, l2 = a ■ b - m ■ n .

Заметим, что в геометрических задачах далеко не всегда удается провести четкую классификацию задач, объединенных одной идеей. Например, идея решения предыдущей задачи основывалась не только на использовании теоремы о пропорциональности отрезков пересекающихся хорд окружности, но и на описании вспомогательной окружности около треугольника, в котором проведена биссектриса.

Ситуация V. Сопоставление данных (чаще всего числовых) приводит к выводу о возможности использования свойств вписанных и соответствующих им центральныхуглов некоторой вспомогательной окружности.

Задача 6 [4, с. 42]. В AABC : ZA = 70°, ZB = 50°. Точка М лежит внутри треугольника, причем ZMAC = ZMCA = 40°. Найдите ZBMC.

Рис. 6

Решение.

Изучив числовые данные, заметим, что отношение градусных мер углов ZABC и ZAMC равно 1:2. Рассмотрим описанную окружность треугольника ABC как вспомогательную (рис. 6). Так как АМ = МС (из равнобедренного треугольника АМС) и по свойству вписанных и соответствующих им центральных углов, точка М - центр окружности, описанной около AABC, следовательно, ZBMC = 2ZA = 140°.

Ситуация VI. Выше были рассмотрены задачи, при решении которых применялось свойство окружности: из любой точки окружности диаметр виден под прямымуглом. Однако, не менее замечательным, но незамеченным остается тот факт, что из любой точки, лежащей вне окружности, диаметр виден под острым углом; а излюбой точки, лежащей

внутри окружности, диаметр виден под тупым углом; что также может быть использовано прирешении ряда задач.

Задача 7 [3, с. 131]. В четырехугольнике три тупых угла. Доказать, что из двух его диагоналей больше та, которая проведена из вершины острого угла.

Рис. 7

Доказательство:

Построим на диагонали АС, проведенной из вершины острого угла, как на диаметре окружность (рис. 7). Тогда так как по условию углы ABC и ADC тупые, то вершины В и D будут лежать внутри окружности, и отрезок, их соединяющий, меньше диаметра.

В заключение рассмотрим задачу, при решении которой в качестве вспомогательной выступает одна из «именованных» окружностей - окружность Аполлония - геометрическое место точек плоскости, для которых отношение расстояний от двух заданных в этой плоскости точек А и В равно данному положительному числу А. Окружность Аполлония совпадает с окружностью, построенной на отрезке PQ как на диаметре, где P и Q - точки, которые делят отрезок AB в данном отношении (внутренним и внешним образом).

Задача 8 [6, с. 15] Две окружности с радиусами 1 и 2 имеют общий центр в точке О. Вершина А правильного треугольника ABC лежит на большей окружности, а середина стороны ВС на меньшей. Найти ZBOC.

Рис. 8

Решение:

AB AC AO „ Поскольку из условия задачи следует, что -= —— = —— = 2, то точ-

KB KC KO

ки B, O, C лежат иа окружности Аполлония для отрезка AK и Х = 2. Обозначим точку пересечения окружности Аполлония и АК через G (рис. 8).

AG

Тогда-= 2 и G - центр правильного треугольника ABC, ZBGC = 120°.

KG

По свойству вписанных углов, опирающихся на одну хорду, ZBOC = = ZBGC = 120° или ZBOC = 180° -ZBGC = 60°.

Метод вспомогательной окружности основывается на умении увидеть и сопоставить данные геометрические факты, поэтому приемы его применения приходят с опытом.

Список литературы:

1. Зеленяк О.П. Решение задач по планиметрии. Технология алгоритмического подхода на основе задач-теорем. Моделирование в среде Turbo Pascal. - К.; M., 2008. - 336 с.

2. Готман Э.Г. Вспомогательная окружность // Квант. - 1971. - №1. -С. 28-31.

3. Полонский В.Б. и др. Учимся решать задачи по геометрии / В.Б. Полонский, Е.М. Рябинович, М.С. Якир. - Киев,1996. - 253 с.

4. Изаак Д.Ф. Выручает описанная окружность // Квант. - 1987. - № 2. - С. 41-42.

5. Кушнир И. Метод вспомогательных точек // Квант. - 1996. - № 2. -С. 36-39.

6. Заславский А.А. и др. Геометрические олимпиады им. И.Ф. Шары-гина / А.А. Заславский, В.Ю. Протасов, Д.И. Шарыгин. - М., 2007. - 138 с.

О ПРОФЕССИОНАЛЬНЫХ ТРЕБОВАНИЯХ К МУЗЫКАНТУ-АНСАМБЛИСТУ

© Мартынова О.В.*

Московский городской педагогический университет, г. Москва

В статье рассматриваются профессиональные требования к музы-канту-ансамблисту, вытекающие из этической природы ансамблевого исполнительства и являющиеся важной составляющей ансамблевой этики. Соблюдение ансамблевой этики учащимися-инструменталистами

* Преподаватель кафедры Истории и теории музыки и музыкального образования, кандидат педагогических наук.