О мере заполненной части отрезка в задаче «Парковки» Текст научной статьи по специальности «Математика»

2013 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Сер. 1 Вып. 4

МАТЕМАТИКА

УДК 519.2

О МЕРЕ ЗАПОЛНЕННОЙ ЧАСТИ ОТРЕЗКА В ЗАДАЧЕ «ПАРКОВКИ»*

С. М. Ананьевский1, Е. А. Шульгина2

1. С.-Петербургский государственный университет, канд. физ.-мат. наук, доцент, [email protected]

2. С.-Петербургский государственный университет, студент, [email protected]

Пусть х — длина отрезка, на котором случайным образом размещаются интервалы длины /. Под / мы будем понимать положительную случайную величину. Процесс размещения интервалов следующий. Первый интервал длины / размещается на отрезке [0, х] таким образом, что его левый конец равномерно распределен на отрезке [0, х — /]. Пусть положение левого конца размещенного интервала это точка 4. Тогда наш отрезок [0, х] разбит на три части: две части (это отрезки [0,4], [4 + /,х]) не заполнены, а одна часть (интервал (4,4 + /)) заполнена. Далее, незаполненные части [0,4] и [4 + /, х] заполняются по такому же правилу и независимо друг от друга. Пусть носитель распределения случайной величины / отделен от нуля, т. е. существует положительное а такое, что Р(/ > а) = 1. В этом случае процесс заполнения отрезка [0, х] обязательно когда-нибудь закончится. Обозначим через Мх меру Лебега множества, занятого разместившимися интервалами. В настоящей работе изучаются асимптотические свойства распределения случайной величины Мх при безграничном увеличении длины отрезка [0, х]. Случай, когда величина / является неслучайной и / = 1, рассматривался в работах Реньи [1], Нея [2], Дворецкого и Роббинса [3]. В 1995 году в статье одного из авторов настоящей работы изучалась асимптотика математического ожидания числа разместившихся интервалов, когда / — случайная величина, принимающая два разных значения [4]. Далее мы будем рассматривать только случай, когда Р{1 = 1) = Р{1 = 2) =

* Работа выполнена при финансовой поддержке Совета по грантам Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (грант № НШ-1216.2012.1).

© С. М. Ананьевский, Е.А.Шульгина, 2013

Теорема. Существуют константы V и п такие, что

БМ^щ+^ + О^У^У (2)

где с — некоторая константа.

Доказательство теоремы. Докажем сначала утверждение (1). Введем следующее обозначение. Пусть [Их|£] означает меру Лебега множества, занятого разместившимися интервалами, при условии, что £ — левый конец первого разместившегося интервала. Тогда справедливы равенства

[ИХ+1Щ = Иг + Ых+1-г-1 + I, (3)

и соответственно

Е[МХ+1Щ = ^Е(Мг + Мх-г + 1) + ^Е(Мх + Мх+1+2). (4)

Пусть далее т(х) = ЕИХ. Отсюда следует

/ х х

1/1^,,, 1

ЕМХ+1 = т(х + 1) = ^ {~J + ~J т(х ~ ^ + 1 ] +

V 0 0 )

(х — 1 х — 1 \

! т(г)Л-\--™>{х-г- 1)Л + 2\ =

00

х х—1

1 { 1 { 3

= - т(г)Л-\--/ тШсИ -\—. (5)

х ] х — 1 ] 2

Если ввести новое обозначение ц(х) = т(х) + то (5) перепишется в следующем

виде:

х х—1

11

я(х + 1) = - + [ ч{ь)аь. (6)

х ] х — 1 J

х 7 х — 1

00

В работе [4] в теореме 2 показано, что существует такое положительное число V, что выполняется соотношение

д(х) = их + — V + О ) ^ (ж —> оо)

при некотором положительном с.

Если последнее записать в терминах функции т(х), то получаем утверждение (1) доказываемой теоремы:

3 3 (, т[х) = 1/х — — + —V + О I у I (х —> оо).

Замечание. Легко вычисляются начальные значения функции т(х): т(х) =0, 0 < х < 1,

1 < х < 2,

1

т(х) = —, К ) 2>

(х) = 2 -

2(х - 1)

. . 4х — 11 — 1п(х — 2) 4х — 9

т{х) = -—-—--\-

2(х - 1)

2(х - 2)

2 < х < 3,

3 < х < 4.

Из них можно получить грубые оценки V:

■ ( 4(х) ^ ^ 4(х)

1111 -о- < V < вир -о",

1<ж<3 Ж + | 1<х<ЗХ+ +

0, 5714 < V < 0, 8571. Доказательство утверждения (2). Введем в рассмотрение случайную вели-

чину

К (х) = vx + V/ — /

и отметим, что выполняется равенство

К (х) = К (4) + К (х — 4 — /) + /.

Если через [Мх |/,4] обозначить меру Лебега занятого места на отрезке [0, х] при условии, что длина первого разместившегося интервала равна / и его левый конец находится в точке 4, то будет иметь место равенство

Мх|/,4] = Мг + Мх-г-1 + /,

причем случайные величины Мг и Мх-г- независимы. Далее введем функции

Фк(х) = Е(Мх — К(х))к, к = 0,1, 2,

Тогда,

Фк (х) = Е (Мх — К (х))к = Е (Е [(Мх — К (х))к |/, 4]) =

= Е (Мг + Мх-г-1 — К (4) — К (х — 4 — /))к = = Е (Е [(Мг — К (4) + Мх-г-1 — К (х — 4 — /))к |/]) =

к х-1

1 к /■

т=0 0

Если случайная величина I распределена так, что Р(1 = 1) = Р(1 = 2) = то

к х

1к

+ 1) = — С™ / - *)<Й+

т=0 0

к х-1 1к

2(х 1) т=0

При к = 2 имеем

2 хх

+1) = ^ ]Г с? [фт(4)ф2_т(х -

т=0 0

2 х-1

+ о( - П ^ / =

(х ) т=0 0

х х х-1

- /Ф2(*)<й + - /Ф1(*)Ф1(я-*)сй+—/ х У х У х — 1,/

0 0 0

х-1

н—— [

х — 1 .]

0

Итак, получено соотношение

х У х У х — 1,/

0 0 0

х-1

+ —Ц- [ (7)

х — 1 7

0

Для решения соотношения (7) докажем следующую теорему. Теорема (А). Пусть

х х-1

/(х + 1) = - /"/(*)<& + —Ц- [ №<М+р(х + 1), (8)

х у х — 1 7

00

где /(х) —ограничена на [0, 1], р(х) —непрерывная функция и такая, что р(х) =

о((Г+а)-

Тогда существует такое положительное в, что

3 / / Г\ х+а+1\

/(х)=/Зх + -/? + ОЦ-) ^ (9)

Доказательство теоремы (А).

Пусть х > 1, у > 1, у > х. Тогда из (8) получаем

х-1 У

/(*/+!)= I + ± I №<и+р(у + 1)

0 у 1

и

(2у-1)х(х-1),, (2у-1)(х-1) Г

У(У~ 1)(2Х-1)ПХ + 1)= +1)+ у(у- 1)(2х-1) .1 тЛ~

х—1

х—1 У

2у — 1 1 / ,, (2у — 1)х(х — 1)

/ '»к*-; / + + +

у(у — ^ У у У у(у — 1)(2х — 1)

х—1 у —1

Таким образом,

хх

ПУ +1)= У(У-1)(2Х-1)ПХ + " у(у-1)(2х-1) .1 тЛ+

х—1

х—1 У

+ / '<«>*+; / '«** - ШZШZT>"I<"»

х—1 у—1

Заметим, что если р(х) = 0, то функция f(x) = х + | удовлетворяет равенству (10). Тогда

х у

3 (2у — 1 )х(х — 1) / 5\ 2у — 1 Г 3, , 1 Г, 3,

х—1 у—1

С*-1**-1) (11)

Возьмем х < у < х + 1 и положим

Тогда из (10) и (11) получим, что

у(у — 1)(2х — 1) У V 2

х1

з •

2

+ ^ЗТ) /(/(() - с +1' ■ +; / (/<" -(< + §>

х—1 у —1 хх

(2у — 1)(х — 1) Г , , , 3, , (2у — 1)х(х — 1) ,

х1

(2у — 1)х(х — 1) (( 5\ ,

у(у — 1)(2х — 1) ^ ; V 2

х—1

х

х

Введем еще одно обозначение:

px = sup |p(t)|, (x > 1).

x<t<x+1

Из определения Ix и px получаем неравенство

f(y + 1) - (у + 1 + ^ 1Х > 0 + 0 + 0 + 0 - рх+1 - Рх+1 = -2рх+1.

Отсюда последует неравенство

Iy > Ix - Ax (y > x > 1), (12)

где

Аналогично рассмотрим и получим

Из (12) получим, что

Ax = 2^

px+i

\ х + г + |'

i=i 2

fit)

SUP ГТ"з

x-1<t<xA*

x-l<t<x+l t + 2

Sy < Sx +Ax (y > x> 1). (13)

lim inf Iy > Ix — Ax.

y—

И пользуясь тем, что Ax = o(1), заключаем

lim inf Iy > lim sup Ix.

y—x—

Аналогичные рассуждения с Sx приводят к тому, что существуют ITO = lim Ix и

x—

STO = lim Sx и —то < ITO < STO < то.

x—

Учитывая эти неравенства и определения Ix и Sx, делаем заключение, что f (x) = O(x). Из (10) получаем

у-1

ft .n fC .п (у-х)(ж + у-2жу-1) (2у - 1)ж [

ЛУ + 1} " ЛЖ + у(у-1)(2х-1) ЛЖ + 1} + у(у-1)(2*-1) J fm+

x — 1

x y

(y — x)f.. 1/x/w (2y — 1)x(x — 1)

+ R^ghy I fm + LJmdt+P(y+1). +1,.

y—1

И, следовательно,

sup |f (y +1) - f (x +1)| = O(1)+2px.

x<y<x+1

Тогда условия теоремы и определения Ix и Sx позволяют сделать заключение, что Sx — Ix = o(1) и, кроме того, ITO = = ±то.

щ.

X—>СЮ Ж+,2

Из (12) и (13) следует, что Ix — Ax < в < Sx + Ax, (x > 1). Заметим, что для

Положим /3 = lim Ix = lim Sx = lim x+,

f(Xn)

Иначе получаем противоречие с определениями Ix и Sx. Тогда

любого x > 1 существует xn £ [n — 1, n +1] такое, что

< Ax.

3

f(xn) - /3(хп + -)

< (n + 2)An

Введем в рассмотрение функцию f*(x) = f(x) — [3{х + |) и заметим, что она удовлетворяет равенству (8) и, следовательно, равенству (10).

Положим x = xn — 1 (n — 2 < x < n) и пусть n — 1 < y < n; тогда справедливы неравенства

(2y-l)x(x-l) 2y-l

" + (-X + l)+y{y- 1)X

x( sup |f *(t)| + sup |f *(t)A +

\n-3< t<n-2 n- 2< t<n- 1 /

+ m n f SUP SUP SUP l/^WlV

y(y — 1)(2x — 1) \n—3<t<n—2 n —2<t<n—1 n—1<t<n /

+ "f sup |/*(i)| + sup If (t)|) - (2y " " + 1) + 1)

y Vn —2<t<n—1 n—1<t<n / y(y — 1)(2x — 1)

sup |/*(i)| < — ( sup |/*(t)|+ sup |/*(t)| + sup |/*(t)| +

n—2<t<n—1 n n—3<t<n—2 n—2<t<n—1 n—1<t<n

(2n — 1)n (2n — 1)n

+ (n-2)(2n-5)(n + 3)A"+1 + (п-2)(2п-5Л+Ь

где C1 — абсолютная константа.

Докажем, что существуют положительные константы с и сз такие, что

/ с \ x+a+1

irwi<c3(-) . (14)

Доказательство проведем по индукции. Пусть при x < n неравенство (14) верно; покажем его справедливость при x £ (n, n + 1]. Для этого заметим, что по условию существует положительное c2 такое, что

\ n+1+a

c

2рп + 1 < 2 с2

,n + 1

Тогда

Pn+i+1

(п + 3)Д„+1 = 2(п + 3) ]Г /"У1 з <

^Е —^ttttti— ^2с* Е

n+1+a+i

n+ 1+a+i

n+l + i+f \n+l + i

2 i=1 x

и

|/*(t)|< sup |/*(t)|<£ix

n<t<n+1 П

x( sup |f *(t)| + sup |f *(t)| + sup |f *(t)|) +

\n—3<t<n —2 n —2<t<n—1 n-1<t<n /

oo / \ n+1+a+i

+ 2c2^( , .) +2р„+1<

^ V n + 1 + г/

<-f sup |f(t)| + sup |f(t)|+ sup |f(i)f) +

n \n—3<t<n — 2 n —2<t<n—1 n—1<t<n /

n+ 1+a+i

+ 2c2 V ( ---'

Воспользовавшись индукционным предположением, получаем

/ ч n—3+а+1

|/*(х)|< sup \f*(t)\ < — ( —^Ц- ) +

n<t<n+1 n \n - 3)

/ ч n — 2+a+1 / ч n—1+a+1

+ +

oo / \ n+1+a+i / \ n—3+a+1 oo / \ n+1+a+i

+ 1 + ~ n \n — 3 J + i

i=0 4 ' 4 ' i=0 4

Необходимо показать, что

/ \ n—3+a+1 , , -> oo / \ n+1+a+i

С4С3 / С \ fn\n+a+1 ^ / С \

— U^J +2сЛ~) М^гггй; -C3'

4 y i=0

Рассмотрим каждое слагаемое отдельно. Преобразуем первое слагаемое:

n-3+a+l / ч (f-l)rt~g+"+1

С4С3 / с ^ ^ с4с3 1 V3 ; --1

пуп — 3/ пу ^ — 1

отметим, что

lim 1 + ----= е3.

V f-ly

Тогда

/ ч n—3+а+1

limC4C3/^_\ =0

n^TO n yn — 3/

Следовательно, при достаточно больших n будет выполнено неравенство

n—3+а+1 С4С3 I С \ с3

n V n — 3 / 2

Далее,

/П\n+a+1 ~ / c Xn+l+«+i ,nч n+a+1 ~ , c чп+а+1+i

2c2 (-) eutth) EÜ

i=0 v 7 i=0

/ П \ n+a+1 / c \ n+a+1 1

= 2 c2

. сУ 1 — - '

n 10

Таким образом, для больших n

n+ 1+a+i

Ч7

сз

. n+1 + г У ~ 2

о 4 у

Теорема (А) доказана.

Продолжим доказательство соотношения (2) из основной теоремы. Применим теорему (А) к функции Ф2(х), где

x ж— 1

р(х) = - ( i{t)4> i{x - t)dt А--— í -t - l)dt.

x J x - 1 J

о

Необходимо проверить, что так определенная функция p(x) удовлетворяет условиям теоремы (А).

Заметим, что для любой положительной константы с, начиная с некоторого места, существуют со и ci такие, что

< (-Y < (21V

xxx

Покажем, что

sup \*1(t)*1(x-t)\ = Ol'(-Y). (15)

0<t<x Wxy J

Из определения функции ^i(x) имеем

t / ^ x — t |*i(t)*i(x-t)| <c2 I C1

t / V x — t

Для доказательства (15) достаточно показать, что справедливо неравенство

с2 <fC3^

£ / у х ^ / V х /

или, что то же самое, справедливо неравенство

21п с + £ 1п С! — £ 1п £ + (х — £) 1п ех — (ж — £) 1п(х — £) < х 1п с3 — х 1п х.

Последнее неравенство равносильно следующему:

£ 1п£ + (х — £) 1п(х — £) > 21п с + х 1п сх — х 1п с3 + х 1п х.

Пользуясь выпуклостью функции х 1п х, получаем, что

хх

+ (ж -¿)1п(ж -¿) > 2 — 1п = х 1пх — ж 1п 2.

Если сз > 2с1, то

сз

ж 1п ж — ж 1п 2 > 1п с — ж 1п--1- ж 1п ж,

С1

начиная с некоторого места. Это заканчивает доказательство неравенства (15).

Отсюда делаем вывод, что функция p(x) удовлетворяет условиям теоремы (А). Так как DMx — ^2(x) = — (^(x))2, получаем, что существует константа п такая,

что

3 (г с\x—1\

DMx = E{Mx-m{x)f = щ +-г] + О U-j J,

что окончательно доказывает теорему. Литература

1. Renyi A. On a one-dimensional problem concerning space-filling // Publ. of the Math. Inst. of Hungarian Acad. of Sciences. Vol. 3. 1958. P. 109-127.

2. Ney P. E. A random interval filling problem // Annals of Math. Statist. Vol. 33. 1962. P. 702-718.

3. Dvoretzky A., Robbins H. On the "parking" problem // Publ. of the Math. Inst. of Hungarian Acad. Of Sciences. Vol. 9. 1964. P. 209-226.

4. Ananjevskii S. M. The "parking' problem for segments of different length // Journal of Mathematical Sciences. 1999. Vol. 93. P. 259-264.

Статья поступила в редакцию 27 июня 2013 г.