CC BY
8
Теоретические основы прикладной дискретной математики
23
2. Парватов Н. Г. Совершенные схемы разделения секрета // Прикладная дискретная математика. 2008. №2(2). С. 50-57.
3. Блейкли Г. Р., Кабатянский Г. А. Обобщенные идеальные схемы, разделяющие секрет, и матроиды // Проблемы передачи информации. 1997. Т. 33. №3. С. 102-110.
4. Болотова Е. А., Коновалова С. С., Титов С. С. Свойства решеток разграничения доступа, совершенные шифры и схемы разделения секрета // Проблемы безопасности и противод. терроризму: материалы IV Междунар. науч. конф. М.: МЦНМО, 2009. Т. 2. С. 71-86.
5. Welsh D. J. A. Matroid Theory. Academic Press, 1976.
6. Marti-Farre J. and Padro C. Secret sharing schemes on sparse homogeneous access structures with rank three // Electronic J. Combinatorics. 2004. No. 1(1). Research Paper 72. 16p.
7. Singer J. A theorem in finite projective geometry and some applications to number theory // Trans. Amer. Math. 1938. No. 17. P. 356-372.
8. Холл М. Комбинаторика. М.: Мир, 1970.
9. Theory of Matroids. Encyclopedia of Mathematics and its Applications / ed. N. White. Cambrige University Press, 1986. V. 26.
УДК 519.7 DOI 10.17223/2226308X/10/8
О МАКСИМАЛЬНЫХ МЕТРИЧЕСКИ РЕГУЛЯРНЫХ
МНОЖЕСТВАХ1
А. К. Облаухов
Исследуются метрически регулярные подмножества булева куба. Доказано, что максимальные по мощности метрически регулярные множества имеют максимальное расстояние, равное единице, и являются дополнениями минимальных покрывающих кодов радиуса 1. Получена нижняя оценка суммы мощностей пары метрически регулярных множеств, являющихся метрическими дополнениями друг друга.
Ключевые слова: метрически регулярное множество, метрическое дополнение, минимальный покрывающий код.
Рассмотрим Fn — пространство двоичных векторов длины п. Расстояние Хэммин-га d(x,y) между двумя векторами x,y G Fn равно количеству координат, в которых эти векторы различаются.
Пусть X Ç Fn — произвольное множество, y G Fn — произвольный вектор. Расстояние от y до X определяется как d(y,X) = mind(y,x). Максимальным расстоянием
x€X
от множества X называется d(X) = max d(z,X). Этот параметр множества также
zGFîJ
известен в теории кодирования как радиус покрытия. Множество X называется покрывающим кодом радиуса d, если d(X) = d.
Рассмотрим множество Y = {y G Fn : d(y,X) = d(X)} векторов, находящихся на максимальном расстоянии от X. Это множество называется метрическим дополнением [1] множества X и обозначается X. Если X = X, то множество X называется метрически регулярным.
Задача исследования максимальных и минимальных (по мощности) метрически регулярных множеств возникает на пути изучения бент-функций, множество которых является метрически регулярным [2]. Бент-функции часто используются в криптографии из-за высокой нелинейности, обеспечивающей повышенную устойчивость шифров
1 Работа поддержана грантом РФФИ, проект № 17-41-543364.
24
Прикладная дискретная математика. Приложение
к криптографическим атакам, однако многие связанные с ними задачи остаются открытыми. Например, неизвестно точное количество бент-функций в общем случае, а существующие верхняя и нижняя оценки значительно разнятся по порядку.
В работе задача поиска максимального метрически регулярного множества сведена к задаче поиска минимального покрывающего кода радиуса 1, а также получены нижние оценки мощности метрически регулярных множеств с фиксированным расстоянием.
Теорема 1. Пусть А, В — пара метрически регулярных множеств, являющихся метрическими дополнениями друг друга. Тогда существует пара метрически регулярных множеств А!, В!, таких, что А содержится в А!, В содержится в Вх, а Ах и Вх являются метрическими дополнениями друг друга и расстояние между ними равно единице.
Следствие 1. Максимальное по мощности нетривиальное метрически регулярное множество удалено от своего метрического дополнения на расстояние 1 и совпадает с дополнением минимального по мощности покрывающего кода радиуса 1.
Таким образом, задача поиска максимального по мощности метрически регулярного множества эквивалентна задаче поиска наименьшего покрывающего кода радиуса 1. В общем случае это открытая проблема теории кодирования [3]. Однако большинство представляющих интерес для исследования множеств имеет максимальное расстояние, большее единицы, поэтому для последующих результатов зафиксируем расстояние между множествами.
Утверждение 1. Пусть А, В — пара метрически регулярных множеств в булевом кубе, являющихся метрическими дополнениями друг друга и отстоящих друг от друга на расстояние М, N — мощности этих множеств соответственно. Тогда
2п+!(п - 2) М + N ^ 1 ;
n(n - l)d-1 + n - 4' где n — размерность булева куба.
Выдвинута гипотеза о том, что всякий минимальный по мощности покрывающий код радиуса d является метрически регулярным множеством. При помощи компьютерных вычислений гипотеза проверена для минимальных покрывающих кодов с параметрами d = 2, n ^ 8 и d = 3, n ^ 10, конструкции которых можно найти в [4, 5].
ЛИТЕРАТУРА
1. Облаухов А. К. О метрическом дополнении подпространств булева куба // Дискретный анализ и исследование операций. 2016. Т. 23. №3. С. 93-106.
2. Tokareva N. Duality between bent functions and affine functions // Discr. Math. 2012. V. 312. No. 3. P. 666-670.
3. Cohen G. et al. Covering Codes. Elsevier, 1997. V. 54.
4. Graham R. L. and Sloane N. On the covering radius of codes // IEEE Trans. Inform. Theory. 1985. V.31. No. 3. P. 385-401.
5. Cohen G., Lobstein A, and Sloane N. Further results on the covering radius of codes // IEEE Trans. Inform. Theory. 1986. V.32. No. 5. P. 680-694.
