О локальном изометрическом вложении римановых пространств друг в друга Текст научной статьи по специальности «Математика»

И. П. Иванченко

УДК 514.764

О ЛОКАЛЬНОМ ИЗОМЕТРИЧЕСКОМ ВЛОЖЕНИИ РИМАНОВЫХ ПРОСТРАНСТВ ДРУГ В ДРУГА

В статье получены некоторые необходимые условия для существования локальных изометрических вложений одного риманова пространства в другое

Пусть N - (л + р)-мерное риманово многообразие с тензором рима-новой кривизны Я', а М - «-мерное многообразие локально изометрически вложенное в N. Отображение вложения индуцирует риманову связность в М и вторую основную форму а.'.х(.М)*%{М)-*х(М)1~ Форма а симметрична и билинейна и в каждой точке хеМ индуцирует симметричное билинейное отображение ах :Т(М)хТ(М)—>7'(М) . Связь между тензорами кривизны на N и М задается так:

Я\1ЛГ,2,Х,У) = Я{^,2, Х,У)+ < а(Х,2),а(У,Ю >~< а(У,2),а(Х,Ю>,

где X, У, 2, IV - произвольные касательные к М векторы, а < , > -скалярное произведение, определяемое римановой метрикой на N. В частности, в двумерном направлении, определяемом векторами X,У , касательными к М,

Я(Х,Г,Х,У) - Я'(Х,У,Х,У) =< а(Х,Х),а (У,У) >-< а(Х,У),а(Х,У)> (О

Это уравнение будем называть уравнением Гаусса для подмногообразия Для дальнейших рассуждений применим алгебраический результат Оцуки

ТЕОРЕМА (Оцуки) [2]. Пусть а:/,х/,-»£' - билинейная симметричная форма на и-мерном линейном пространстве, Е - (л+р)-мерное евклидового линейное пространство со скалярным произведением < , >. Тогда, если р<п и для любых X,У б Ь выполняется условие

< а(Х,Х),а(У,У) >-< а(Аг,У),а(Л',П > < 0, (2)

то существует такой ненулевой вектор 2 е Ь, что а(2,2) = О

Из уравнения Гаусса (1) и теоремы Оцуки вытекает следующее утверждение, которое является нашей основной теоремой.

ТЕОРЕМА 1 Если в каждой точке п -мерного риманова пространства М значения кривизны в каждом двумерном направлении ограничены сверху постоянной С и в окрестности некоторой точки (п + р) -мерного риманова пространства N значения кривизны в каждом двумерном направлении больше С, то локальное изометрическое вложение М в N невозможно при условии р <п - 1.

58

Доказательство. Условие теоремы означает, что левые части уравнений Гаусса (2) принимают отрицательные значения для любой пары линейно независимых векторов X ,У касательных к М . Тогда для билинейной симметричной формы а выполняется условие теоремы Оцуки, и существует ненулевой касательный к М вектор 2 такой, что а(2,2) = О Допустим, что вложение М в N существует. Так как коразмерность равна р, мы можем локально выбрать р полей единичных нормальных векторов

!;!,.. которые ортогональны в каждой точке. Тогда можем выразить а

р

так: а(Х,У)=^В'(Х^)^!, и существует ненулевой вектор 2 такой, что

/=1

для любого ¿ = \,...,р В' (2,2)- 0.

Рассмотрим систему уравнений В'(2,(У) = 0. У этой системы в силу того, что р<п- 1, существует хотя бы одно ненулевое решение IV такое, что векторы 2 и V/ линейно не зависимы. Но тогда на паре этих векторов 7, IV правая часть уравнения (1) обратится в ноль. Это означает, что в двумерном направлении, задаваемом векторами 2, ¡V условие Гаусса не выполняется. Следовательно, локального изометрического вложения Л/ в N не существует.

Если в теореме 1 предположить, что пространства М и N являются римановыми пространствами постоянной кривизны к, и к2 соответственно, то легко получим известную теорему Картана [3] о невозможности изометрического вложения М в N при к{<к2 и р <п-\

Теперь предположим, что N есть (п + /;)-мерное пространство постоянной кривизны к. Тензор римановой кривизны этого пространства удовлетворяет условию

Я(Х,У,Х,У) = к(< Х,Х ><У,У>-<Х,У>2), (3)

где Х,У - произвольные касательные векторы к N. Если же рассматривать только те касательные векторы, которые являются единичными и попарно ортогональными, то значение тензора кривизны на таких векторах в каждой точке есть постоянная к. И пусть пространство Л/ является кэле-ровым пространством размерности п = 2т постоянной секционной голоморфной кривизны с. Напомним, что на М задано почти комплексная структура J и эрмитова метрика этого пространства удовлетворяет условию >=< Х,У > для любых Х,У из касательного пространства к М . Тензор римановой кривизны этого многообразия принимает постоянные значения с на двумерных направлениях, инвариантных относительно комплексной структуры: Я(Х,./Х,Х,./Х)=с дня любых единичных векторов в касательном пространстве к М Если же я - произвольная плоскость

в касательном пространстве к М , причем угол между я и ./(л) равен ф(л), тензор римановой кривизны принимает на единичных взаимно ортогональных векторах Л",У е л значения

Л(Аг,У,Х,)')=^(1 + Зсоь2ф('с)) (4)

Далее будем рассматривать кэлерово пространство М как риманово пространство, и под изометрическим вложением понимать вложение М в N как римановых многообразий.

ТЕОРЕМА 2. В (2т + р)-мерное пространство постоянной кривизны к нельзя локально изометрически вложить 2т -мерное пространство постоянной нулевой или положительной голоморфной секционной кривизны с при с<к и р <2т-\.

Доказательство, В этом случае уравнения Гаусса примут вид

^•(1 + Зсов2 а(р))~ к =< а(А',Аг),а(У,}') > - < а(Х,У),а(Х,У)>, (5)

где Х,У - попарно ортогональные единичные векторы. При с £ 0 из этого равенства следует, что

< а(Х,Х),а(У ,У) >-< а(Х ,У\а(Х ,У) >йс-к,

а значит, если с < к, выполняется условие теоремы Оцуки. Откуда следует справедливость нашего утверждения.

Доказательства следующих теорем аналогичны и вытекают из уравнений Гаусса в каждом из этих частных случаев.

ТЕОРЕМА 3. В (2т + р) -мерное пространство постоянной кривизны нельзя локально изометрически вложить 2т -мерное пространство постоянной отрицательной голоморфной секционной кривизны с при с <4к, р < 2т — 1.

ТЕОРЕМА 4. В 2т -мерное риманово пространство постоянной нулевой или положительной голоморфной секционной кривизны с нельзя вложить п -мерное риманово пространство постоянной кривизны к, если к<с и п> т .

ТЕОРЕМА 5. В 2т -мерное риманово пространство постоянной отрицательной голоморфной секционной кривизны с нельзя вложить

, , с

и-мерное риманово пространство постоянной кривизны к, если к<~ и

4

п> т

ТЕОРЕМА 6. Пусть М - риманово пространство постоянной голоморфной секционной кривизны с2 размерности 2п, N - риманово пространство постоянной голоморфной секционной кривизны с, размерности

60

2т, причем m<L2n-]. Тогда вложение M в N невозможно при:

с

1 ) С) > 0, с2 < 0 ; 2) С] < 0, с2 < 0 и с2 < 4с ; 3) с, > 0, с2 > 0 и с2 S -. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1 Кибаяси LU., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии: В 2 т. M Наука, 1981 Т.2

2 Ulsuki Т On the existence of solutions of a system of quadratic equations and its geometrical applications // Proc of Japan Acad 1953. Vol. 29 P 99-100

3 Cartan E. Sur les variétés de courbure conctante d'un espace euclidien ou non-euclidien//Bull Soc Math. France 1919 Vol 47 P 125- 160, 1920 Vol. 48. P 132-208

УДК 519 4

С. И. Ишииа

ОБ ОПРЕДЕЛЯЕМОСТИ УНИВЕРСАЛЬНЫХ ПРОЕКТИВНО-ПЛАНАРНЫХ АВТОМАТОВ ПОЛУГРУППАМИ ИХ ВХОДНЫХ СИГНАЛОВ'

В настоящей статье рассматривается задача об определяемое™ универсальных проективно-планарных автоматов (сокращенно Л-планарных автоматов) полугруппами их входных сигналов.

Под /'-планарным автоматом понимается полугрупповой автомат без выходных сигналов /¡^Х.Г.б) с множеством состояний X, наделенным структурой проективной плоскости, полугруппой входных сигналов Г и функцией переходов 5. Важным примером /'-планарных автоматов является так называемый универсальный [1] Р-планарный автомат, обозначаемый А1шП=(П, Епс1П, 5), где &(х,ф)=ф(л:) для хеХ, феЕпёП Таким автоматам в статье уделяется главное внимание, так как для всякого Р-планарного автомата Л=(П, Г, 5) существует, и притом, единственный гомоморфизм по входным сигналам этого автомата в автомат АНпП

Для описания на языке узкого исчисления предикатов (УИП) свойств Л-планарного автомата будем рассматривать такой автомат в виде трехсортной алгебраической системы А=((Х,Ь,е), Г, 5) с тремя основными множествами X, Ь, Г и сигнатурой П={е,5,х}, где Хи Ь - множества точек и прямых проективной плоскости, Г - множество входных сигналов автомата А, е - символ бинарного отношения принадлежности точек проективной плоскости её прямым, 5 - символ бинарной операции функции переходов автомата их- символ бинарной операции умножения полугруппы Г.

Работа выполнена при поддержке INTAS, грант № 99-1224

61