CC BY
14
www.volsu.ru
001: https://doi.Org/10.15688/jvolsu1.2016.6.5
УДК 517.54 ББК 22.161.5
О ЛИНЕЙНОЙ СВЯЗНОСТИ РЕГУЛЯРНОЙ ЧАСТИ МНОЖЕСТВА ГАХОВА
Андрей Витальевич Казанцев
Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математической статистики,
Казанский (Приволжский) федеральный университет
ул. Кремлевская, 35, 400008 г. Казань, Российская Федерация
Аннотация. Пусть Н — класс функций, голоморфных в единичном круге В, — подкласс Н, состоящий из всех нормированных в нуле и локально однолистных в В функций, каждая из которых имеет единственную критическую точку конформного радиуса, являющуюся его максимумом. Показано, что класс <3\ представляет собой линейно связное подмножество класса Н, рассматриваемого как линейное топологическое пространство с топологией равномерной сходимости на компактах в В.
Ключевые слова: множество Гахова, класс Гахова, линейная связность, конформный радиус, гиперболическая производная, критические точки.
1. Классы Гахова
Исследование экстремумов конформных радиусов плоских областей было инициировано Д. Полиа и Г. Сеге в связи с изопериметрическими неравенствами [10; 12] и Ф.Д. Гаховым в целях построения классов корректности внешней обратной краевой задачи [4; 5]. Обе традиции были объединены в работах Л.А. Аксентьева и его учеников [1-4]. С этих же работ началось систематическое накопление условий единственности критической точки конформного радиуса (одно из недавних см. в [8]). Процесс тако-16го накопления привел к введению максимального класса единственности — множества § Гахова [9], определение которого сейчас напомним.
шг В классе Н всех функций, голоморфных в единичном круге В = (С € С : |С| < 1},
< выделим подкласс Н0, состоящий из локально однолистных в В функций f (то есть Ц /'(С) = 0 при С € В) с нормировками /(0) = /'(0) — 1 = 0. Обозначим через Mf | множество всех критических точек гиперболической производной
га
© к, (с) = (1 — |С|2 )|№)| (1)
функции / £ Я0. В классической постановке Полиа — Сеге — Хиги, когда функция / однолистна, величина (1) представляет собой выражение для внутреннего конформного радиуса области В = /(В) в точке » = /(С)-
Геометрия поверхности К = hf над элементами а £ Mf определяется значениями индекса у/(а) векторного поля УК/(С). Таких значений может быть только три: равенство у/(а) = +1 означает, что С = а — локальный максимум указанной поверхности, случай уf (а) = —1 соответствует наличию у нее седловой точки С = а, а возможность У/(а) = 0 отвечает ситуации, когда в точке С = а рассматриваемая поверхность имеет полуседло.
Пусть к/ обозначает число элементов множества Mf. Рассмотрим класс = {f £ £ Н0 : kf < 1} и его разложение в дизъюнктное объединение = И И подклассов & = {/ £ Н : к1 = 1,(М/) = +1}, & = {/ £ Н : = 1,У/(М/) = +1} и $0 = {/ £ Н0 : к/ = 0}. Класс будем называть классом, или множеством Гахова, а подкласс — его регулярной частью, или регулярным классом Гахова.
В свое время на Казанском семинаре по геометрической теории функций Ф.Г. Ав-хадиев поставил перед автором вопрос о линейной связности множества 01. В настоящей заметке дан вариант ответа на этот вопрос. А именно, справедлива следующая теорема-Теорема 1. Класс Я\ есть линейно связное подмножество класса Н в топологии равномерной сходимости на компактах в В.
2. Линейная связность класса Я\
Вначале докажем следующее утверждение. Теорема 2. Для любой функции / £01 существует семейство £01, Ь £ [0,1], такое, что осуществляет тождественное отображение, а /1 = ¡.
Доказательство. Фиксируем произвольную функцию f £ б1. Пусть С = а — единственный элемент множества Mf; без ограничения общности считаем, что а = 0. Требуемое семейство сконструируем из трех следующих частей.
1) Семейство
! (ГТЙ) — ¡(а,) аз
»•(О = ^— |а|2 • <" = 1-100(1—0' 0 < " < 1 (2)
соединяет функции $ = »0 и »1, причем »1(0) = 0, то есть МШ1 = {0}. Включение £ Я1 с МШе = {а(1 — в)}, 0 < 5 < 1, обеспечивается применением результатов, собранных в [9, с. 13].
2) Далее, семейство
Ур(С) = -^»1(г(р)С), г(р) = гс + (1 — гс)(1 — р), 0 < р < 1, (3)
г(р)
где гс = гс(»1) = вир {г £ [0,1] : »1 (г О/г £ 50}, соединяет функцию »1 = у0 с выпуклой функцией у1. Справедливость включения ур £ Я1 с Мь = {0}, 0 < р < 1, установлена в [7]. Напомним, что через 5ю традиционно обозначается класс выпуклых нормированных функций в единичном круге.
3) Наконец, семейство
иА(0 = АС +(1 — А)гл(£), 0 < Л < 1, (4)
соединяет функцию ь1 = и0 с тождественным отображением щ. Принадлежность данного семейства регулярному классу Гахова следует из утверждений, доказанных в [6].
Определим = и1-34 при 0 < Ь < 1/3, = ^2-34, когда 1/3 < Ь < 2/3, и ¡г = ^3-34, если 2/3 < Ь < 1. Тогда ^, £ € [0,1], — семейство с требуемыми свойствами, и теорема 2 доказана.
Далее докажем теорему 1.
Доказательство. Как известно (например, из [13]), задаваемая на Н топология равномерной сходимости на компактах в В метризуется с помощью метрики
¿(Ъд) = У т1 айв 1/- , 1,9 € Н, (5)
где (Хга}га>! — исчерпание В компактными множествами, то есть Кп С ^ > 1,
и и«>1 = В. Выберем Кп = (С € В : |£| < гга}, и = 1,2,..., где (гп}п> 1 — возрастающая последовательность положительных чисел, сходящаяся к 1.
Возьмем любую функцию f € и покажем, что построенное в теореме 2 семейство /¿, £ € [0,1], образует путь, то есть будет непрерывным как отображение отрезка [0,1] в множество 01 с метрикой (5).
Фиксируем произвольные а € [0,1] и е > 0. Требуется установить существование такого 6 > 0, что для всех Ь € [0,1], удовлетворяющих условию — а| < 6, имеет место неравенство ^(/¿,/а) < е.
Очевидно существование номера N, такого что м+1 2-га < е/2. Структура метрики (5) позволяет вывести отсюда, что для всех £ € [0,1] будет
V 1 8ЦР !/<(С) - /а(0| < е/2
Поэтому для требуемого заключения достаточно установить неравенство
Л 1 Щ) — /д(С)| е/2 (6)
^ йиР 1 —Г7Т\\ < е/2, (6)
2™ Секп 1 + (С) — /а(С)|
с которым должно быть связано существование 6 > 0, налагающее надлежащие ограничения на ¿. Так как Кп С К^ при п < N, то для выполнения (6) достаточно потребовать, чтобы
УС € Км |/4(С) — /а(С)| < е/2, (7)
при всех £ € [0,1] с условием \Ъ — а| < 6. Существование 6 > 0 с приведенными ограничениями на ¿, обеспечивающими выполнение условия (7), является следствием свойства равномерной непрерывности функции ^(С, ¿) = /¿(С) на компакте К^ х [0,1] (см. [11, с. 292]).
Последнее свойство следует из непрерывности функции ^(С, ¿) по совокупности переменных, которая устанавливается на объемлющих К^ х [0,1] множествах по отдельности для каждого из трех подсемейств из доказательства теоремы 2, составляющих /¿, £ € [0,1], а в случае семейства (3) — по отдельности для ситуаций, приводящих к (7) при а = 2/3 и при а € [1/3, 2/3). Семейство (2) непрерывно по совокупности переменных в В х (—1/|а|, 1/Н), семейство (4) — в В1/Гс х М. Что же касается семейства (3),
то его непрерывность основана на непрерывности по совокупности переменных (Z, г) семейства линий уровня fr (Z) = f(r Z)/r на Df х (—1/r, 1/г) с fe (r^, r^+i) (чтобы доказать (7) при а = 2/3) и на D1/f х (-г,г) с f e (rc, 1) (для получения (7) при a e [1/3, 2/3)). Здесь DR = {Z e C : |Z| < R] при R> 0.
Итак, обоснование неравенства (6) при t e [0,1] П (а — 6, а + 6) сведено к использованию конкретных форм построения ft, t e [0,1], которые позволяют установить существование 6 > 0, обеспечивающее содержательность всех отмеченных выше редукций, составляющих доказательство теоремы 1, которое, таким образом, завершено.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Аксентьев, Л. А. О единственности решения внешней обратной краевой задачи / Л. А. Аксентьев, А. В. Казанцев, А. В. Киселев // Изв. вузов. Математика. — 1984. — № 10. — C. 8-18.
2. Аксентьев, Л. А. О единственности решения внешней обратной краевой задачи / Л. А. Аксентьев, Ю. Е. Хохлов, Е. А. Широкова // Мат. заметки. — 1978. — Т. 24. — C. 319-333.
3. Аксентьев, Л. А. Разрешимость внешней обратной краевой задачи в случае многосвязной области / Л. А. Аксентьев, М. И. Киндер, С. Б. Сагитова // Труды семинара по краевым задачам. — Казань : Изд-во КГУ, 1983. — Вып. 20. — C. 22-34.
4. Аксентьев, Л. А. Связь внешней обратной краевой задачи с внутренним радиусом области / Л. А. Аксентьев // Изв. вузов. Математика. — 1984. — № 2. — C. 3-11.
5. Гахов, Ф. Д. Об обратных краевых задачах / Ф. Д. Гахов // Докл. АН СССР. — 1952. — Т. 86, № 4. — C. 649-652.
6. Жаркова, Т. В. Множество Гахова в теореме Меркеса о выпуклых комбинациях / Т. В. Жаркова, A. В. Казанцев // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. — 2014. — Т. 156, № 2. — C. 34-42.
7. Казанцев, A. В. Бифуркации и новые условия единственности критических точек гиперболических производных / A. В. Казанцев // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. — 2011. — Т. 153, № 1. — C. 180-194.
8. Казанцев, А. В. Неравенство Эпштейна как условие линейной выпуклости некоторой области Хартогса / А. В. Казанцев // Геометрический анализ и его приложения : материалы III Междунар. шк.-конф. — Волгоград : Изд-во ВолГУ, 2016. — C. 91-93.
9. Казанцев, A. В. Четыре этюда на тему Ф.Д. Гахова / A. В. Казанцев. — Йошкар-Ола : Изд-во МарГУ, 2012. — 64 с.
10. Полиа, Г. Задачи и теоремы из анализа / Г. Полиа, Г. Сеге. — М. : Наука, 1978. — Т. 2. — 432 с.
11. Шабат, Б. В. Введение в комплексный анализ / Б. В. Шабат. — М. : Наука, 1969. — 576 с.
12. Haegi, H. R. Extremalprobleme und Ungleichungen konformer Gebietsgrößen / H. R. Haegi // Compositio Math. — 1950. — Vol. 8, № 2. — P. 81-111.
13. Schober, G. Univalent functions — selected topics / G. Schober. — Berlin ; Heidelberg ; N. Y. : Springer-Verlag, 1975. — v+200 p.
REFERENCES
1. Aksent'ev L.A., Kazantsеv A.V., К^е^ A.V. O еdinstvеnnosti rеshеniya vnеshnеy obratnoy kraеvoy zadachi [Uniqueness of the Solution of an Exterior Inverse Boundary Value Problem]. Izv. vuzov. Matеmatika. [Soviet Mathematics], 1984, no. 10, pp. 8-18.
2. Aksent'ev L.A., Hohlov Yu.E., Shirokova E.A. O еdinstvеnnosti rеshеniya vnеshnеy obratnoy kraеvoy zadachi [Uniqueness of Solution of the Exterior Inverse Boundary-Value Problem]. Mat. zamеtki [Mathematical Notes], 1978, vol. 24, pp. 319-333.
3. Aksent'ev L.A., Kinder M.I., Sagitova S.B. Razreshimost vneshney obratnoy kraevoy zadachi v sluchae mnogosvyaznoy oblasti [Solvability of the Exterior Inverse Boundary Value Problem in the Case of a Multiply Connected Domain]. Trudy sеminara po kraеvym zadacham. Kazan, KGU Publ., 1983, iss. 20, pp. 22-34.
4. Aksent'ev L.A. Svyaz vneshney obratnoy kraevoy zadachi s vnutrennim radiusom oblasti [The Connection of the Exterior Inverse Boundary Value Problem with the Inner Radius of the Domain]. Izv. vuzov. Matеmatika. [Soviet Mathematics], 1984, no. 2, pp. 3-11.
5. Gakhov F.D. Ob obratnykh kraevykh zadachakh [On Inverse Boundary-Value Problems]. Dokl. AN SSSR [Doklady Mathematics], 1952, vol. 86, no. 4, pp. 649-652.
6. Zharkova T.V., Kazantsev A.V. Mnozhestvo Gakhova v teoreme Merkesa o vypuklykh kombinatsiyakh [Gakhov Set in the Merkes Theorem on Convex Combinations]. Uchеn. zap. Kazan. un-ta. Sеr.: Fiz.-mat. nauki, 2014, vol. 156, no. 2, pp. 34-42.
7. Kazantsev A.V. Bifurkatsii i novye usloviya edinstvennosti kriticheskikh tochek giperbolicheskikh proizvodnykh [Bifurcations and New Uniqueness Criteria for the Critical Points of Hyperbolic Derivatives]. U^n. zap. Kazan. un-ta. Sеr.: Fiz.-mat. nauki, 2011, vol. 153, no. 1, pp. 180-194.
8. Kazantsev A.V. Neravenstvo Epshteyna kak uslovie lineynoy vypuklosti nekotoroy oblasti Khartogsa [Convexity of Some Hartogs Domain Is Epsteinian]. Gеomеtrichеskiy analiz i еgo prilozhеniya: matеrialy III Mеzhdunar. shk.-konf. Volgograd, Izd-vo VolGU, 2016, pp. 91-93.
9. Kazantsev A.V. Chеtyrе etyuda na tеmu F.D. Gakhova [Four Etudes on a Theme of F.D. Gakhov]. Yoshkar-Ola, Izd-vo MarGU, 2012. 64 p.
10. Polya G., Szego G. Zadachi i tеorеmy iz analiza [Aufgaben und Lehrsatze aus der Analysis]. Moscow, Nauka Publ., 1978, vol. 2. 432 p.
11. Shabat B.V. Vvеdеniе v komphksnyy analiz [Introduction to Complex Analysis]. Moscow, Nauka Publ., 1969. 576 p.
12. Haegi H.R. Extremalprobleme und Ungleichungen Konformer Gebietsgroßen. Compositio Math., 1950, vol. 8, no. 2, pp. 81-111.
13. Schober G. Univalent functions — selected topics. Berlin; Heidelberg; N. Y., SpringerVerlag, 1975. v+200 p.
ON THE LINEAR CONNECTIVITY OF THE REGULAR PART OF GAKHOV SET
Andrei Vitalievich Kazantsev
Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Department of Mathematical Statistics, Kazan (Volga) Federal University [email protected]
Kremlevskaya St., 35, 400008 Kazan, Russian Federation
Abstract. The study of extrema of the inner mapping (conformal) radii of the plane domains has been initiated by G. Polya and G. Szego in connection with the isoperimetrical inequalities and by F.D. Gakhov in concern with construction of the correction classes for the exterior boundary value problems. Both traditions have been unified in the works of L.A. Aksent'ev and his successors. These works also were seminal for the systematic accumulation of the uniqueness criteria for the critical points of the conformal radii. The process of such an accumulation has led to the introduction of the Gakhov set.
Let H be the class of functions holomorphic in the unit disk D = {Z G G C : |Z| < 1}, and let H0 be the subclass of H consisting of functions / locally univalent in D (i.e. /'(Z) = 0 for all Z G D), normalized by the conditions
/(0) = 0 and /'(0) = 1. We denote by Mf the set of all critical points of the hyperbolic derivative (inner mapping radius) hf (Z) = (1 — |Z|2)|/'(Z)| of the function f e H0.
The geometry of the surface h = hf over the elements a e Mf is determined by the values of the index Yf (a) of the vector field Vhf (Z). It is well-known that if f e H0 and a e Mf, then Yf (a) e {+1,0, —1}; in particular, the equality Yf (a) = +1 means that Z = a is the local maximum point for the above mentioned surface.
Let kf be the number of points in Mf. The class Q = {/ e H0 : kf < 1} is said to be the Gakhov set, and the class Q\ = {/ e H0 : kf = 1, Yf (Mf) = +1} is called the regular part of the Gakhov set. The following question was the stimulus for our study in the present note.
F.G. Avkhadiev's question. Whether the class Q\ is a linear connected set or not?
Variant of an answer is contained in the following theorem.
Theorem 1. The regular part Q\ of the Gakhov set Q is a linear connected subset of the class H endowed with the topology of uniform convergence on compact sets in D.
Proof of the above assertion is the "cascade" of reductions to the following
Theorem 2. For any function f e Q\ there exists a family ft e Q\, t e [0,1], such that f0 carries out the identity mapping, and f\ = f.
The family {ft}o<t<\ is constructed on the base of three subfamilies. First subfamily is formed by the linear-invariant actions on f by Mobius automorphisms. This subfamily connects f and the function w with Mw = {0}. Second subfamily is produced by the level lines of the function w and connects the latter with convex function v. Third subfamily is convex combination of v and f0.
Key words: Gakhov set, Gakhov class, linear connectivity, inner mapping radius, hyperbolic derivative, critical points.
