CC BY
22
УДК 519.7
О ЛИНЕЙНОЙ СЛОЖНОСТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ УИТМЕНА ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА
О.В.Антонова, А.В.Павлова
Институт электронных и информационных систем НовГУ, [email protected]
Основные определения
Пусть p, q — нечетные простые числа. Обобщенные циклотомические классы Уитмена порядка d = НОД(p -1, q -1)по модулю N = pq определяются
как D. ={gsx11s = 0,(p-1)(q-1)/d-l}, i = 0,d-1, где
g — общий примитивный корень по модулям p и
q, а элемент x: x = g(mod p), x = 1(mod q). Положим
P={ p,2 p,...,(q-1) p} и Q = {q,2q,...,( p-1)q}, тогда
циклотомические классы Уитмена и множества P,Q
образуют разбиение Zpq [1]. Будем рассматривать
последовательности Уитмена порядка d, определенные следующим образом:
1, если i(mod pq) е D u P,
0 (1)
0 в ост. случаях.
В [2] был предложен общий метод вычисления линейной сложности обобщенных циклотомических последовательностей, основанных на классах степенных вычетов. В следующем разделе применим его к последовательностям Уитмена.
Метод вычисления линейной сложности последовательностей Уитмена
Пусть 9, g — первообразные корни по модулям p и q соответственно и Hk = {9k+td (mod p), t = 0,1,...,(p-1)/d-1}, Gk ={gk+td (mod q), t = 0,1,...,
(q -1)/ d -1}, k = 0,1,..., d -1 — циклотомические классы порядка d .
Кольцо классов вычетов Z q изоморфно прямому произведению Z ^ х Zq относительно изоморфизма f (a) = (a(mod p), a(mod p)| a є Z}. Пусть Fy = ҐН xGt), Fk,d = f-l(Hk х{0}), FdJ = f-1(i°}xGl) для k,I = 0,1,...,d-1 и Fdd ={0}, тогда справедливо d
разбиение Z .q - U FkJ '
k,1=0
Пусть S(t) = x0 + x1t+... + xN-1tN-1 — многочлен последовательности и a — примитивный корень сте-
пени N из единицы в поле разложения многочлена ^ -1 над GF(2). Тогда, как показано в [3], справедливо равенство
L = N -1 {у|5'(ау) = 0, V = 0,1,...,N -1}|. (2)
Положим в = аад и у = аЬр, где а, Ь: ад + Ьр = 1, тогда р и у — первообразные корни соответственно степени р ид в расширении поля GF (2). Введем
^ (0 = ^” и
вспомогательные многочлены
пєН
Te(t)=!tn.
пєGЛ
В [2] было показано, что если последовательность Y сформирована по правилу
UY (i) =
1 если i(modpq) є UFk,l u U j U U Fd
(kJ'^I
e W d, p
j-єК рєМ
0 в ост. случаях,
то для j = 0,1,..., pq -1 справедливо соотношение
^)= £^ ^)г (у^)+%ТвИ)+ £^(р^).
(к,/)е1 у'еК У&М
Здесь I, К,М — допустимые исходя из определения Fk¡ подмножества индексов.
Лемма 1. Если последовательность X сформирована по правилу (1), то
Я (а; )=Е^ <Р^ Ь (Т * )+Е^ (Т *)
k=1
k=1
для j = 0,1,..., pq-1.
Доказательство. Согласно [2], если
g=Ф-1(0х П), то D = F,0u F+1,1 ^...^ Fd-1-i,d-1,
і = 0, ё -1. Отсюда, воспользовавшись формулой (3), получаем утверждение леммы.
Метод вычисления значений многочленов Sd (/) и Те (/) на основе явных формул для циклотомических чисел порядка ё был предложен в [4]. Таким образом, лемма 1 и формула (2) определяют метод вычисления линейной сложности последовательностей Уитмена. В следующем разделе проиллюстрируем его на примере последовательностей четвертого порядка.
Вычисление линейной сложности последовательностей Уитмена четвертого порядка
Пусть X — последовательность Уитмена четвертого порядка, т. е. ё = 4 . По лемме 1 имеем
^а; )=Е И )т4 И )+Е Т4(1). (3)
к=1 к=1
Как и в [2], из формулы (3) получаем следующее утверждение.
Лемма 2. Если последовательность X определена по правилу (1) при ё = 4, тогда
S (а1 )=
0, если j = 0,
(p-1)/4 + 1,если j є P, (q -1)/4, если j єQ,
£ S4(p0k+‘)T4(ynk+‘)+ 1, если j є Di, i = 0,...3.
k=0
Следствие. Значение многочлена S(а1) последовательности Уитмена постоянно, когда 1 принадлежит обобщенным циклотомическим классам Уитмена, множествам Р^.
Пусть = £ (а1), когда 1 є Dj, і = 0,...,3 .
где 51 =
Из леммы 2 по формуле (2) получаем:
L = pq -1 - |{i \s\ = 0, i = 0,1,2,3}| x
x (p - 1)(q -1)/4 - (q -1)51 - ( p -1)§2, 1, если (p -1) / 4 - нечетное,
(4)
0, если (р -1) / 4 - четное,
|0,если (д -1)/4 - нечетное,
2 Ц, если (д -1)/4 - четное.
Прежде чем приступить к вычислению зі, введем следующие обозначения: £4(Р) =
^(РХ^..А^3)) и г4(у)=тедИ...^(ул3)). Определим матрицу Н четвертого порядка следующим образом: Н = ^4(Р)*Т4(у) (* — транспонирование матрицы).
Лемма 3. Если 1 є Di, і = 0,...,3, то
4
Sj ^^^( l'+k)(mod4),k(mod4) +1.
к=0
Данная формула следует непосредственно из леммы 2.
Таким образом, фактически для расчета линейной сложности циклотомических последовательностей Уитмена достаточно рассчитать матрицу Н.
Значения S4(P) = г^,-4
^(Р), S4^30 ^..Д^)) были
найдены
в [2], воспользовавшись ими и формулой (4), получаем следующею теорему.
Теорема. Пусть последовательность X задана правилом (1) для d = 4, тогда:
1) L = pq -1, если p = 1(mod8) и q = 5(mod8);
2) L = pq - p - q +1, если p = 5(mod8) и q = 1(mod 8) ;
3) при ind02 = indT|2(mod4) L = (p-1)(3q + 1)/4,
если pq = 1(mod16), L = (p -1)(q + 3)/4, если pq = 9(mod 16) ;
4) при ind02#ind^2(mod4) L = (p-1)(q + 1)/2, если pq = 1(mod 16), L = pq - q , если pq = 9(mod 16) .
Заключение
Предложен метод вычисления линейной сложности последовательностей Уитмена, найдена линейная сложность последовательностей четвертого порядка.
Bibliography (Transliterated)
1. Whiteman A.L. A family of difference sets // Illinois J. Math. 1962. V.6. P.107-121.
2. Edemskiy V., Antonova O. About Computation of the Linear Complexity of Generalized Cyclotomic Sequences with Period pq // Proc. of 2011 International Workshop on Signal Design and Its Applications in Communications (IWSDA’011). China, 2011. P.9-12.
3. Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. М.: Мир, 1988. 820 с.
4. Едемский В.А. О линейной сложности двоичных последовательностей на основе классов биквадратичных и шестеричных вычетов // Дискретная математика. 2010. Т.22. Вып. 1. С.74-82.
1. Whiteman A.L. A family of difference sets // Illinois J. Math. 1962. V.6. P.107-121.
2. Edemskiy V., Antonova O. About Computation of the Linear Complexity of Generalized Cyclotomic Sequences with Period pq // Proc. of 2011 International Workshop on Signal Design and Its Applications in Communications (IWSDA’011). China, 2011. P.9-12.
3. Lidl R., Niderrajjter G. Konechnye polja. M.: Mir, 1988. 820 s.
4. Edemskijj V.A. O linejjnojj slozhnosti dvoichnykh posle-dovatel'nostejj na osnove klassov bikvadratichnykh i shes-terichnykh vychetov // Diskretnaja matematika. 2010. T.22. Vyp.1. S.74-82.
