О ламинарном отрыве от точки излома твердой поверхности Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том V 1974 М2

УДК 532.526.5

О ЛАМИНАРНОМ ОТРЫВЕ ОТ ТОЧКИ ИЗЛОМА ТВЕРДОЙ ПОВЕРХНОСТИ

А. И. Рубан

Исследуются причины отрыва ламинарного потока несжимаемой жидкости от угловой точки твердого тела при больших числах Рейнольдса. С этой целью рассматриваются соответствующие асимптотические решения уравнений Навье — Стокса в системе взаимно перекрывающихся областей. Ядром этой системы является окрестность угла, характерный размер которой имеет порядок Ие-7/9. В этой окрестности течение описывается полной системой уравнений Навье— Стокса с локальным числом Рейнольдса, равным единице.

Исследование явления отрыва от поверхности твердого тела, являющееся одной из наиболее интересных и важных проблем динамики жидкости, имеет уже семидесятилетнюю историю. Существенный прогресс в этой области был достигнут в течение последних нескольких лет и связан, главным образом, с работами [1—4]. Основной результат этих работ, основанных на изучении асимптотического поведения решений уравнений Навье—Стокса при больших числах Рейнольдса, состоит в том, что как в сверхзвуковом случае [1—3], так и в случае несжимаемой жидкости [4] ламинарный отрыв от гладкой поверхности твердого тела является само-индуцированным и происходит под действием большого локального положительного градиента давления. Этот результат, однако, не может быть распространен на случай ламинарного отрыва от угловой точки твердой поверхности, где пограничный слой находится под действием благоприятного градиента давления [5].

В работе [5] найдено асимптотическое поведение гидродинамических функций в пограничном слое при стремлении к угловой точке тела. Эти результаты будут кратко изложены в следующем разделе настоящей работы.

Прежде чем приступить к подробному исследованию математического аспекта рассматриваемого вопроса, полезно отметить, что форма тела в окрестности угловой точки контура не имеет характерного размера, т. е. единственным характерным размером течения в такой окрестности является вязкая длина. Поэтому около

угла должна существовать зона, в которой течение описывается полной системой уравнений Навье—Стокса.

В данной работе будет показано, что отход нулевой линии тока от поверхности тела происходит как раз в пределах этой зоны.

1. Постановка задачи. Рассматривается двумерное вязкое течение несжимаемой жидкости около твердого тела, имеющего угловую точку О (фиг. 1), причем поток не отрывается от поверхности тела до этой точки.

В работе используются две системы координат: декартова х, у и ортогональная система координат X, У, связанная с нулевой линией тока. Все размеры отнесены к характерной длине тела компоненты скорости —к значению ее невязкого предела на свободной линии тока иоо. Соответствующий предел для давления обозначим через р00. Приращение давления р — роо отнесем к р^0.

Здесь р — постоянная плотность жидкости.

Основным методом исследования в работе является асимптотический анализ при е2 = Яе-1 =

= »/Щ

00

0.

Асимптотическим пределом в —0 для зоны 1, где х~у—1, является невязкое, потенциальное течение со свободной линией

тока. Решение такой задачи (см. [6] или [5]) дает следующие выражения для давления на нулевой линии тока в окрестности точки О

р(Х) =

Роо + 2к{-Ху1* + 0(-Х) при^<0;

р00 + 0(—Х)», Р>1 при^>0

(1-1)

и формы нулевой линии тока

у — —1гх312 -)- О (х5/2).

(1.2)

Здесь & — положительное число, которое определяется глобальным решением задачи для зоны 1.

Уравнения пограничного слоя при *¥<0 (зона 2) запишем в форме Мизеса

г, дия

дХ

I (-*)

дЦг

,1/2

+ и,

и,

(?Л^2 ___ У 2

~~й~2

2 ¿Щ-

V,

дЪ’

дХ

(1-3)

где Ф = е¥ — безразмерная функция тока.

При X->—0 градиент давления становится бесконечно большим; это означает, что течение в основной части пограничного слоя является локально невязким. Используя этот факт, получим, что для Ч7 — 1 (зона 2а)

и2(Х, V) = Ц*,1/2+ (1.4>

Условие прилипания на стенке требует введения около поверхности тела вязкой подзоны 2в. Решение в этой области удобно искать в виде

¥ = (8^/4(_^)5/8/2(7])) (1.5)

/ к у/4 V ,

где 7—^8- ...

Тогда для функции /2(т|) имеет место задача

/2-^-ЛГ2 + -^(Л)2+1=0; /2(0) -/'(0) = 0.

(1.6)

Из условия сращивания с решением в зоне (2а) следует, что функция /2(г\) не должна содержать при ?)-> оо экспоненциально возрастающего члена. Это дополнительное требование делает решение задачи (1.6) единственным. Разложение искомой функции на бесконечности имеет вид

/2 = А°2гр13-\- A\n213 + ■ .. (1.7)

{численные значения для А° и А\ приведены в [5]).

Поэтому из условия сращивания решений в зонах (2а) и (2в) получим, что при ЧГ О

¿У20(¥) = Л2¥2/5+..., (1.8)

где Л2----1- [2 А2 (Л®)3]1/5. •

Приведенные выше результаты были получены в работе [5].

2. Слой смешения. Течение в застойной области. Из выражения (1.1) следует, что градиент давления при X ---------0 имеет осо-

бенность; это означает, что в окрестности угловой точки О должна возникнуть дополнительная зона, в которой решение, полученное

для зоны 2, не является справедливым. Эта зона будет подробно

рассмотрена в п. 3. Здесь же следует отметить, что основная часть пограничного слоя в такой зоне будет невязкой. Поэтому изменение скорости вдоль каждой линии тока, так же как и приращение давления, является величиной бесконечно малой при е-* 0.

Таким образом, начальный профиль скорости для зоны смешения 3 совпадает с пределом профиля скорости для области 2а при X -> — 0.

Система уравнений для слоя смешения 3, как обычно, имеет

вид

Здесь Г = гУ3; и= из\ У=вУл.

Поскольку начальный профиль скорости, используемый для интегрирования системы (2.1), не является гладким, то зона 3 распадается на две подзоны: За и Зв.

Исходя из формы начального профиля скорости и требования равенства порядков вязких и инерционных членов в уравнении импульсов, найдем, что решение в зоне Зв следует искать в виде ‘ ¥ = (8£)1/4*5/8/зЫ (2-2)

к У/4 у-і

где 1\ — | 2 I хЗ/8 ■

Подставляя (2.2) в (2.1) и используя условие сращивания с За, где из -> ^(Ч?) при X -* 4- 0, получим следующую задачу для функции /з(т)):

Последнее граничное условие следует из того, что течение в зоне 7 (см. фиг. 1) является по порядку величины более медленным, чем течение в слое смешения. Действительно, из сращивания нормального к нулевой линии тока компонента скорости для зон 3 и 7 получим, что в 7 А так как в этой зоне х—j/~l, то

из уравнения неразрывности и — Отсюда следует, что в этой

зоне р — />00~еа.

Таким образом, решение в зоне 7 необходимо искать в виде

После подстановки (2.4) в уравнения Навье — Стокса получим

Для уравнения (2.5) удобно использовать цилиндрические координаты г, <р, где 9 отсчитывается от касательной, которая проведена в точке О к поверхности тела, омываемой возвратным течением.

При г О

где с3=/3(—оо); а — угол поворота касательной к поверхности тела в точке О. Второе условие является следствием сращивания функций тока для зон 7 и 3.

Решение уравнения (2.5), удовлетворяющее условиям (2.6), имеет вид

Легко проверить, что это решение не удовлетворяет условию прилипания на поверхности тела, где должен образоваться пограничный слой.

Обычная процедура вывода уравнений пограничного слоя и использование решения (2.7) позволяют получить следующее выражение для функции тока в зоне 8:

где т) = | £)811/2 ТлТ/Тб- • л8

Здесь х8 отсчитывается от угла вдоль поверхности тела, ось у = е1/2_у8 направлена в сторону жидкости по нормали к телу и

/;+4-/з/з-4-с/з)2=°; 1

/з (0) = 0; /з (ті) А\ Ї]5'3 при Т) 4- оо; { /з(~ °о) = 0.

(2.3)

Ф = е1г7; p = pw + ^pi-

(2.4)

Д^7 = со(¥7).

(2.5)

¥7|¥=0 = 0; Ч^=а = (8^г5'8с3>

(2.6)

(2.7)

ф = -Єз/а|08

(2.8)

(2.9)

Отсюда следует, что решение для всех периферийных зон может быть найдено без рассмотрения зон, лежащих в окрестности угла.

Приведем теперь без вывода некоторые результаты решения задач для этих зон в следующем приближении по е. Давление вдоль зоны 2 имеет вид

Здесь В и N — постоянные, зависящие от к.

Заметим, если поток предполагается равномерным и невязким до угловой точки, то форма нулевой линии тока остается неопределенной во всех приближениях, кроме нулевого [7].

3. Область свободного взаимодействия. Рассмотрим теперь зону в окрестности угла, для которой АХ—80. Тогда, согласно выражению (1.1), Д/?~81''2. В этом соотношении содержится основное отличие приводимых здесь рассуждений от соответствующих оценок в работах [1] и [4].

Из уравнения импульсов для основной части пограничного слоя следует, что Ди — §1/2 и что поток здесь является невязким. Толщина вытеснения меняется на величину ДN—ей1/2.

Необходимо также рассмотреть более тонкий слой около нулевой линии тока, чтобы, во-первых, учесть нелинейность, которая должна проявиться там, где ы~Ди, во-вторых, для учета вязкости. Если учитывается вязкость, то Ь—1'2—е3гш—2. Здесь п — толщина вязкого слоя. Условие сращивания с зоной 2 приводит к соотношению и — (п/е)23. Поэтому п—ей3'8, и~81/4. Согласно продольному уравнению импульсов Дм — 81/4, т. е. вязкость и нелинейность в уравнениях учитываются одновременно. Нетрудно заметить, что изменение толщины вытеснения пограничного слоя в основном порядке определяется вязким подслоем, где Дя — п — е§3/8. Следовательно, возмущение давления, вызываемое пограничным слоем, р' — йп\йх ~ ей“5/8 .

Ясно, что решения, полученные в предыдущих пунктах, перестанут быть справедливыми, как только р' станет порядка Др, т. е. при й = е®/9 .

Таким образом, для основной части пограничного слоя (зона 4 на фиг. 2)

Р = \Роо + 2А(- ХУ'2 + 0(-Х)\ + 8 [В/(-Х)Ы* + (2.10)

Форма нулевой линии тока

у= -^-кх3'2 + 0(хъ>2) +е[А0с3/8+ . ..].

(2.11)

X = е8/9 ^4; ф = е¥4; N=e№4 + В4/3 N4 +

и=и°4 + ^и1 + ...; У=в^У,- р=р00 + е^р,+....

(3.1)

Подстановка (3.1) в уравнения Навье — Стокса, записанные в переменных Мизеса, и сращивание с решением в зоне 2а дают в результате

-ь ^=о-

и\ ’ дХ, и’

/»4=А(А-4); М = М(Л-4); и°4и\=-Рі.

(3.2)

Соответственно для вязкого подслоя (зона 5)

X = ев.® Хъ\ ф = г14/9¥5; N = г4/3 ЛГВ;

V = £2/9 и5\ I/ = ег/з I/-; = /?00 + г4/9/?г,-

Подставляя (3.3) в уравнения Навье — Стокса, получим

.диь йрь

■-и*4гіи.

дЫ,

V,

дХъ ' йХъ 5да5р<^/> дчг6 иъ ’ дХъ иь Из сращивания решений в зонах (4) и (5) следует, что Рь — Рі(X5); и5->А2фЦ5 при Ч^оо;

М=/

¿Я*.

(3.3)

¡ТуГ = 777 • (3-4)

(3.5)

Распределение давления вдоль зон 4 и 5 определяется внешним потенциальным потоком (зона 6). В этой зоне А/? ~ г4/® -*-0, т. е. справедлива линейная теория, согласно которой

Лръ

йХг,

і V. Р.] [/=”(*)

+ ■

¿$2

(3.6)

Используемое в (3.6) выражение для нулевой линии тока у = е413Г(Хь) следует из сращивания с (1.2).

Для получения краевых условий на нижней границе зоны 5 необходимо рассмотреть возвратное течение в области взаимодействия (зона 9 на фиг. 2). Движение жидкости в этой зоне аналогично течению в зоне 7, так что в 9 — е2/3, а р — р00 — е4/3.

Поэтому

ръ = 0 при Л'3>0; и5~* 0 при ¥5— оо. (3.7)

Для получения полной системы краевых условий, необходимых для интегрирования уравнений (3.4), осталось еще произвести сращивание решений в зоне 5 с решениями в зоне 2в и, кроме того, выполнить условия на стенке и на нулевой линии тока.

4—Ученые записки ЦАГИ № 2

49

Систему уравнений (3.4) и соответствующие ей краевые условия удобно записать в обычных координатах, связанных с нулевой линией тока:

где

«5 ^5

й--4-у.р. I

—со

п («) = Пт |У5

Го^-со I

щчг; = -?■ + 4- 'РГ;

с1в

Х.-Б

(3.8)

¥5 - А\уТ приТ5 - оо; Ф5 (Хъ, 0) =0;

%(ХЬ, 0) = 0 при *5<0; ¥5 (Х5, —оо) = 0 при Х5^> 0; Ф5(0, У6) = 0 при У5 < 0;

•(- Хъ)ъ>*/2(?1) при Хь^—оо (здесь г) = У5/(— ^5)3'8);

р = (- Хъу>2 + О (- Хъ)~ю при р(Хь) = 0 при ^>0.

оо;

(3.9)

В соотношениях (3.8), (3.9) штрихом обозначено дифференцирование по К5, а точкой — поХь\ величины с чертой введены по средством соотношений

= 21'3 к ^ Ч'5; X5 = 2-2/3 ¿-,0/9 Х-и\ Г5 = к~2'3 Г5; ръ = 22/3 £49 р; /г = А-а/3Р; N4 = А“2'3 я.

(3.10)

Предположим теперь, что градиент давления в зоне 5 имеет особенность при 0. Тогда, поскольку рб -* 0 при ^ -> — 0,

то

р6(Х6) = с(-Хбуь+..., (3.11)

где <*6(0, 1/2).

Из соотношения (3.4) следует, что аналогично решению в зоне 2 для ЧГ5 — 1

иь == и°5 (Т5) — (—Хъ)2« —^—

5 ЬЧ Ь) \ 1/0 (¥б)

и образуется вязкий подслой, для которого

+.

£Л = (-*в)‘гОч); ч-

а+1

(-Хь)~

(3.12)

(3.13)

Для получения асимптотического представления толщины вытеснения при Хь -» — 0 область интегрирования в выражении (3.5) разобьем на два интервала: [0, а(^Г5)] и [а (^5), оо], где о ->• 0, но

о(— Хь) 2 ->оопри Хъ -+ — 0. Тогда для первого интервала применимо выражение (3.13), а для второго— (3.12). В результате получаем

АТ\ =/0 + (-*В)ТЛ + {-ХьГ/* + • • • (3.14)

Давление в зоне 5 связано с толщиной вытеснения через интеграл тонкого профиля. Вводя в этом интеграле новую переменную интегрирования 5 = 5/|Л,5|, получим

Рь=-------г+т Л + Ь + ■■ ■ • (3.15)

{-хъ) 2 6

Однако выражения (3.11) и (3.15) не могут быть согласованы друг с другом.

Это означает, что градиент давления не имеет особенности при Х§ —>-—0. Кроме того, перепад давлений на интервале Х5в (—оо, 0) отрицательный. Поэтому есть основания полагать, что пограничный слой зоны 5 подходит к углу с конечным трением, т. е.

- \ЪА1У5 при У5>0; ]

¥5(+0, У,)= 5 ^ (3.16)

[ 0 при Кб< 0. )

Здесь Ав — положительная постоянная.

Таким образом, если при отрыве с гладкой поверхности область свободного взаимодействия объясняет механизм отрыва потока, то в данном случае роль этой области сводится к сглаживанию особенности в давлении, которая возникает в окрестности угловой точки.

Из соотношения (3.16) следует, что начальный профиль скорости для расчета пограничного слоя зоны 5 при положительных Х& не является гладким. Поэтому зона 5 аналогично зоне 3 распадается на две подзоны: 5а и 5в.

Решение для 5в представим в виде:

^ = хТ/ь (-4); -Ч = У,1ХГ. (3.17)

Тогда

/Г + 4-/в/^--г(/5)8 = 0:

/5(0)=/з(— оо) = 0; /5 приг]->оо.

После определения /в (у\) можно найти

(3.18)

и5 = Х113/5(-чУ, 'Й6 = -г^-(ч/б-2/6). (3.19)

15

Поэтому при

Из этого соотношения и условия равенства нулю давления при положительных Хъ получим выражение для нулевой линии тока

-В-0ХУ3 + ... при ^5^0. (3.21)

Поиск решения в зонах 9 и 10 аналогичен соответствующей процедуре для областей 7 и 8. В зоне 9

х = е8-'9 х9\ у = г8,э у9-,

27'9^27С5 2

sin (

2/3 I 2

Га sin 1-3

(3.22)

3

Здесь с5 — /5(—оо). Решение в зоне 10 ищется в виде:

Ф = — £,6/91 11/2 -*ló3/io (3.23)

где 4=|Dlor^.

л:

ю

Здесь л = е8/9х10 отсчитывается от угла вдоль стенки, а у — ею19у10—п0 нормали к ней:

2 2 У** с,

sin a

Функция /10(4) определяется следующей системой:

fio 3- /10 /ю з~ (/ю)2 + -3- = 0; | (3.24)

/io(0)=/ío(0) = 0; /ío(oo)=l. I

4. Область отрыва потока от поверхности тела. Заметим, что поскольку решение в зонах 5в, 9 и 10 имеет особенность при стремлении к углу, то возникает вопрос о пределе применимости этих решений. Рассмотрим для начала зону 5в. Из соотношений (3.19) следует, что если .Лг~8, то

и ~ 81/3 е—2/27- У _ о—1/3 s26/27. р—р00~ 8“2/3 В52'27 ;

У ~ §1/3 s28/27 . k _ е28/27 §5/3_ (4_ \ )

Рассматривая уравнения Навье — Стокса с использованием соотношений (4.1), легко обнаружить, что при 8^-е14/9 уравнения, описывающие течение, остаются неизменными, т. е. решение для зоны 5в является равномерно точным для всех Х^>е1419. Однако при 8 = в14/9 в уравнениях появляются дополнительные члены, вернее, все члены уравнений Навье — Стокса становятся одного порядка. Причем в этой новой зоне

^— _у-— е14/9; u.~v~ е4/9; р—р00— е8/9. (4.2)

Проводя аналогичные рассуждения для зон 9 и 10, мы получим, что здесь решение также является равномерно точным при всех х^>е14/9. И новая зона появляется при х — е14/9, где верны соотношения (4.2).

Заметим, наконец, что если двигаться к углу из области отрицательных Х5, то уравнения, описывающие здесь течение, перестанут быть верными лишь тогда, когда в них появится член с д*/дх2, т. е. когда течение начнет „чувствовать“ наличие угла. Это, очевидно, происходит при л:—у — е14/9.

х = е™дхп; у = в1і;дуп;

К=е4/9Мі1; *, = £4/9^. р=рм + е»І*ри. |

(4.3)

диг

дип

дУи

дуи . ¿і»,,

и и + з-11

11 дхп 1 11 дуп

дип

дхп

+ III д2 «и дх^ ихп 4- - д*ип дУп

дРп | дЗуа + д*уи

¿Ун 1 дх2 ихи дУІ

«Мі _ 0.

(4.4)

Из сращивания зоны 11 с зоной 5 следует, что при Хи-\-уи-*оо поток стремится к невозмущенному ип -- А3 уп; ъи =0 везде, кроме вязкого следа и возвратного течения.

Остальные краевые условия получаются из сращивания с зонами 5в, 9, 10.

Заметим, что решения в зонах 4,

5, 6, 9, 10 могут быть найдены единственным образом без рассмотрения зоны 11. В этом смысле ситуация аналогична хорошо известному течению около пластины, где решение для области передней кромки не влияет на распределение гидродинамических функций в остальной части потока.

5. Обсуждение результатов. Течение в зоне 11 описывается полными уравнениями Навье — Стокса. Поэтому, если в масштабах этой зоны рассмотреть малую окрестность угла, то в этой окрестности вязкие члены преобладают над инерционными. Это означает, что нулевая линия тока не может, по-видимому, отойти от поверхности тела в точке О, тем более, что импульс жидкости, приходящей в зону 11 слева, превосходит импульс жидкости, приходящей снизу. Т. е. текущая слева жидкость должна сначала обогнуть угол и только потом, столкнувшись с жидкостью, текущей снизу, отойти от тела.

Интересно в этой связи отметить, что асимптотическая форма нулевой линии тока, как это следует из сращивания с зоной 5в, имеет вид

Уи = —В5Х1п при хи ->оо.

/

Фиг. 3

Косвенным подтверждением этой концепции является работа [8], в которой найдены частные решения уравнения Стокса, описывающие обтекание угла. Эти решения показывают, что если краевые условия не являются симметричными относительно биссектрисы угла, то нулевая линия тока отходит от поверхности тела за угловой точкой.

Автор благодарит профессора В. В. Сычева за постановку задачи, за ценные советы и помощь в работе.

1. Нейланд В. Я. К теории отрыва ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1969, №4.

2. Stewartson К., Williams P. G. Self-induced separation. Ргос. Roy. Soc. A, vol. 312, 1969.

3. Н е й л а н д В. Я. Течение за точкой отрыва пограничного слоя в сверхзвуковом потоке. „Изв. АН СССР, МЖГ*, 1971, № 3.

4. Сычев В. В. О ламинарном отрыве. »Изв. АН СССР, МЖГ“, 1972, № 3.

5. Ackerberg R. С. Boundary-layer separation at a free streamline. Part 1. Two-dimensional flow. J. Fluid Mech., vol. 44, part 2, 1970.

6. Th waites B. Incompressible aerodynamics. Oxford, 1960.

7. Klemp J. B.( Acrivos A. High Reynolds number steady separated flow past a wedge of negative angle. J. Fluid Mech., vol. 56, part 3, 1972.

8. Weinbaum S. On the singular points in the laminar two-dimen-siona) near wake flow field. J. Fluid Mech., vol. 33, part 1, 1968.

Рукопись поступила 19jXI 1973