CC BY
12
УДК 519.716
К. В. Осипов1
О КВАЗИУНИВЕРСАЛЬНЫХ СЛОВАРНЫХ ФУНКЦИЯХ
Предлагается метод построения квазиуниверсальных функций "простого вида" в классах словарных функций. На основе этого метода строится явный базис по суперпозиции в классе функций, вычислимых за полиномиальное время.
Ключевые слова: квазиуниверсальная функция, словарные функции.
В 1953 г. А. Гжегорчик опубликовал работу [1], в которой построена широко известная ныне классификация {£п} множества примитивно-рекурсивных функций. Среди нескольких вопросов, сформулированных в [1] касательно классификации {£"}, был вопрос о существовании конечных базисов по суперпозиции в классах £п. При п ^ 3 положительный ответ на этот вопрос получен Д. Рёддингом [2]. В 1969 г. С. С. Марченков [3] предложил метод построения конечных базисов в классах £п, п ^ 2, который основан на так называемых квазиуниверсальных функциях (само понятие квазиуниверсальной функции появилось позже).
Суть метода состоит в следующем. В классе £ всюду определенных функций (не обязательно вычислимых), замкнутом относительно суперпозиции, определяется квазиуниверсальная функция Q(n, х, t), которая обладает следующим основным свойством. Если / — произвольная одноместная функция из £, то найдутся такие число п и одноместная функция д из £, что при всех t ^ д(х) будет выполняться равенство /(ж) = Q(n,x,t). В качестве функций д берутся функции из специально выбранного подмножества класса £, которое состоит из "простых" функций и очевидным образом имеет конечный базис по суперпозиции. Это позволяет в итоге строить конечный базис по суперпозиции в классе £, включающий, в частности, функцию Q.
Как выяснилось, метод квазиуниверсальных функций является наиболее общим по широте охвата различных классов рекурсивных функций. Вместе с тем самой сложной функцией в базисах, построенных по этому методу, оказывается как раз квазиуниверсальная функция. Возникла задача о построении "самых простых" квазиуниверсальных функций. Значительный шаг в этом направлении в 2006 г. сделал С. А. Волков [4]. Ему удалось с использованием хорошо известных арифметических функций однократным (и весьма компактным) применением ограниченной рекурсии определить в классе £2 квазиуниверсальную функцию, которая пока представляется наиболее простой из всех известных функций подобного типа.
Квазиуниверсальная функция из работы [4] — это числовая функция, которая строится на основе анализа вычислений, выполняемых на машинах Минского. Прием, найденный в [4], работает только в данных рамках. Однако вопрос о существовании конечных базисов по суперпозиции возникает и для различных классов словарных функций. Прямое перенесение конструкций из работы [4] здесь невозможно, поскольку сразу теряется вся специфика в определении и вычислении словарных функций. Поэтому задача построения "простых" квазиуниверсальных функций в классах словарных функций представляет самостоятельный интерес.
Целью настоящей работы является демонстрация возможности построения "простых" квазиуниверсальных функций для некоторых классов словарных функций, имеющих малый порядок роста.
В работе будет использоваться обобщенное понятие квазиуниверсальной функции. Если £ — некоторый класс функций, замкнутый относительно суперпозиции, и Ф — множество функций из £, то функцию Q(yi, ■ ■ ■ ,ут) из класса £ будем называть квазиуниверсальной в классе £ относительно множества функций Ф, если для любой функции f(x) из £ найдутся такие функции 9o(x),9i(x), ■ ■ ■ 1 9т(х) ИЗ Ф, что
f(x) = go(Q(gi(x),.. .,дт(х))).
Видно, что обобщенное понятие квазиуниверсальной функции отличается от классического: отсутствует в явном виде переменная п, с помощью которой нумеруются функции из £.
1 Факультет ВМК МГУ, асп., e-mail: d503Qacmer.me
При рассмотрении словарных функций мы по ряду причин ограничились словарными функциями в алфавите {1,2}. В качестве исходного вычислительного устройства можно взять, например, одноленточную машину Тьюринга, работающую в алфавите {1,2, о} (здесь о играет роль пустого символа). Таким образом, при вычислении (одноместной) функции на машине Тьюринга данного типа в начальный момент вычисления на ленте машины записывается исходное слово в алфавите {1, 2), вся остальная часть ленты заполнена символами о. В заключительный момент вычисления на ленте машины таким же способом представлен результат вычисления.
При построении квазиуниверсальной функции нам будет удобно воспользоваться другим вариантом машины Тьюринга — так называемым двуленточным магазинным автоматом (сокращенно 2-М А), 2-М А имеет две ленты (магазина) с одной головкой на каждой ленте и ленточный алфавит {>, 1, 2, о), где символ > указывает на левый край обеих лент (дно магазина). Этот символ не может быть стерт или записан в других клетках лент. В любой момент вычисления обе ленты 2-МА конечны, а 2-МА обозревает самые правые клетки лент (верхние символы магазинов). В зависимости от обозреваемых символов и состояния 2-МА может сдвигать головки вправо или влево на одну клетку (мы считаем, что в любой момент вычисления обе головки сдвигаются — это не влияет на общность получаемых результатов). При движении головки на одной из лент влево крайняя правая клетка ленты с записанным на нем символом исчезает. Если же головка движется вправо, то символ в предыдущей клетке ленты не меняется, а к ленте пристраивается справа новая клетка, в которую головка 2-МА записывает новый символ в соответствии с выполняемой командой.
Состояниями 2-МА служат числа из множества {0,1,..., г). Состояние 0 является начальным, состояние г — заключительным. Команды 2-МА имеют вид
где а,\,а,2 € {>,1,2, о), 61,62 € {1,2, о), д, д' € {0,1,..., г), д ф г и (¿1, (¿2 € {1,2}. Кроме того, при Щ = > ДОЛЖНО быть (¿г = 1, При = 2 ДОЛЖНО быть Ьг = Щ.
Смысл команды (1) следующий. Если в некоторый момент времени 2-МА находится в состоянии д, а его головки на лентах обозревают символы а1 и а2, то в следующий момент времени 2-МА перейдет в состояние д', при ^ = 1 к г-ш ленте будет пристроена справа клетка с символом а при ^ = 2 последняя клетка г-ш ленты с символом щ исчезнет.
Программа 2-МА состоит из набора команд вида (1), в котором имеется не более одной команды (1) с данной левой частью. Функционирование 2-МА заключается в последовательном выполнении команд (1), составляющих программу. При вычислении на 2-МА (одноместной) словарной функции /, заданной в алфавите {1,2}, в начальный момент времени на первой ленте автомата записывается слово а в алфавите {1,2} (оно может быть пустым, и тогда первая головка будет обозревать символ >), головка на второй ленте устанавливается на граничный символ > и автомат приводится в начальное состояние 0. Если значение /(а) определено, то через конечное число тактов автомат достигает заключительного состояния г, при этом на первой ленте автомата будет записано слово /(а). Если же значение /(а) не определено, то автомат работает бесконечно долго.
Стандартные рассуждения показывают, что вычисления на машинах Тьюринга, определенных выше, и вычисления на 2-МА могут быть легко взаимно промоделированы. При этом время вычисления на одном устройстве будет ограничено сверху квадратичной функцией от величины тах(|ж|,Т(|ж|)), где Т(\х\) — время вычисления на другом устройстве. В частности, если обозначить через ЕР класс всех (всюду определенных) функций в алфавите {1,2}, которые вычислимы на машинах Тьюринга за полиномиальное время, а через МР — аналогичный класс функций, вычислимых на 2-МА, то будет справедливо следующее
Утверждение 1. Классы ЕР и МР совпадают.
Под списком слов и)1, г«2, • • •, и)3 из {1, 2, о}* будем понимать слово >и)\ > Ш2 > • • • >
Для построения квазиуниверсальной словарной функции нам потребуется определить коды машин 2-МА. Зафиксируем некоторое равномерное (с одинаковыми длинами всех кодовых слов) кодирование и состояний 2-МА словами алфавита {1,2}. Рассмотрим далее произвольную команду (1). Будем отдельно кодировать левую и правую части команды (1), причем в каждом случае двумя кодами — основным и вспомогательным.
Пусть сначала команда (1) не содержит в левой части символ >. Тогда основной и вспомогательный коды левой части имеют соответственно вид
а1й2д ^ Мгд'еМг
(1)
к,1 = >2а\ > 2а2 > 2^(д), к[ = >1а\ > 1 а,2 > 1^(д)
(2)
основной и вспомогательный коды правой части имеют вид
кг = >а 1 > «2 > к'г = > о о > о о >2г/(д'), (3)
где щ = 1Ьг, если с^ = 1, и щ = 2щ, если с^ = 2.
Пусть команда (1) содержит в левой части символ >. Будем, например, считать, что а\ = >, о-2 Ф > (остальные случаи рассматриваются аналогично). Тогда основной и вспомогательный коды левой части имеют вид
К1 = > о о>2а2>2и(д), к', = >2 о >1аг > 1г^(д), (4)
а основной и вспомогательный коды правой части имеют вид
кг = >а 1 > «2 > к'г = >22 > о о >2и(д'), (5)
где «1 = 1Ь\, а «2 = 1Ьг, если ¿2 = 1, и «2 = 2аг, если ¿2 = 2.
Кодом конфигурации 2-М А будем называть слово >Нпв1 > Нпег > где Нпв1, Нпег — слова, записанные на первой и второй лентах машины 2-МА, исключая самый левый символ > ленты, и{д) — код состояния машины 2-МА.
Перейдем к определению основных словарных функций, используемых в дальнейших построениях, которые очевидным образом принадлежат классу ЕР.
1. Функции-константы Л, >, 1, 2, о, где Л — пустое слово (эти функции можно считать зависящими от одной переменной).
2. ж * у — конкатенация слов х\, жг, т.е. слово, полученное из слова х\ приписыванием справа слова х,2-
3 яиЫж х ) — если У — такое (единственное) слово, что у * Х2 = х 1, 2 в остальных случаях.
4. БтазЦж, у) = 11Ж1-М; где |ж| — длина слова ж, 1п — слово, состоящее из п символов 1, |Л| = О и 1° = Л.
5. Ьеас1(ж) — функция, которая выдает первый символ слова ж, если |ж| ^ 1, и Ьеас1(Л) = Л.
6. tail(ж) — функция, которая выдает слово, состоящее из |ж| — 1 последних символов слова ж, если |ж| ^ 1, и tail(Л) = Л.
7. ас1с1(ж,у) — функция типа {1,2,о}* х {1,2,о}* —> {1,2,о}*, которая определяется следующими соотношениями:
'ж * tail(y), если Ьеас1(у) = 1, яиЦж, tail(y)), если Ьеас1(у) = 2, ас1с1(ж, у) = \ ж, если Ьеас1(у) = о и ж Ф Л,
tail(y), если Ьеас1(у) = о и ж = Л,
2, если у = Л.
8. тар(ж, у) — функция типа {>, 1, 2, о}* х {>, 1, 2, о}* —> {>, 1, 2, о}*, которая по словам ж, у вида >а,1 > ...> а^ и >&1 > ... > соответственно, где щ, Ъ^ € {1, 2, о}* при 1 € {1, • • •, ] € {1,..., 1} выдает слово
>ааа(аь ) > ... > &й.й(ат-т(к^, Ьтт^г)).
Если же пара слов ж, у не имеет указанного вида, то значением функции тар является слово Л.
9. Ы(ж, у) — функция, которая выдает циклический сдвиг слова ж на |у| символов вправо. Пусть Ы(ж, у) = х при |ж| ^ 1, а если |ж| ^ 2 и а = апап-\ ... а^о, то
— ап+||/|ап-1+||/| • • • а1+МаМ' где суммирование в индексах проводится по модулю п + 1.
Лемма 1. Если слово /3 является кодом конфигурации машины 2-МА, то команда (1) применима тогда и только тогда, когда тар(тар(/3, к?), = Р- В случае применимости команды кодом непосредственно следующей конфигурации является слово тар(тар(/3, к'г), кг). Доказательство. Рассмотрим возможные конфигурации машины 2-МА. Пусть сначала головки машины не находятся на крайних левых клетках лент. И пусть Нпв1 = «101, Нпег = «гаг, где «г € {1,2, о}*, аг € {1,2, о}, и машина 2-МА находится в состоянии д. Кодом данной конфигурации будет слово >«101 >«202 >1у(д). Для того чтобы команда была
применима к конфигурации, ее левая часть должна иметь вид а^д. Тогда слова (2) являются основным и вспомогательным кодами левой части применимой команды.
Имеем
тар(/3, щ) = тар(>«1а1 > а^аг > г/(д), >2«1 > 2аг > 2г/(д)) =
= >ас1с1(а1а1, > ас1с1(а2а2, 2аг) > аё<1(г/(д), 2г/(д)) = = >8иЬ(«1а1, «1) > БиЦа^аг, аг) > зиЬ(^(д), ^(д)) = >«1 > «2 > Л.
Следовательно,
тар(тар(/3, «г), к^) = тар(>«1 > «2 > Л, >1а\ > 1 а,2 > 1^(9)) =
= >аё(1(а1,1«1) > аё(1(а2,1аг) > ас1с1(Л, 1^(д)) = >«101 > «гаг > Лг/(д) = /3.
Итак, в случае, когда обе головки не обозревают символ >, для применимой команды верно равенство тар(тар(/3, «г), к^) = /3.
Покажем, что для неприменимой команды в этой же конфигурации данное равенство не выполняется. Будем считать, что /11/129' — левая часть неприменимой команды. Тогда ф а\, либо /¿2 Ф 0,2-, либо д' ф д. Функция тар(тар(/3, «г), к[) припишет к первому (второму, третьему) слову списка тар(/3,кг) символ (символ /12, слово и{д')). Поэтому первые (вторые, третьи) слова списков тар(тар(/3, «г), к[) и /3 будут различными.
Теперь рассмотрим код непосредственно следующей конфигурации. Пусть правой частью применяемой команды является пятерка 6162?'¿¿1^2- Слова (3) являются основным и вспомогательным кодами правой части команды. Не ограничивая общности рассуждения, будем считать, что = 1, (¿2 = 2 (остальные случаи рассматриваются аналогично). Из определения команды следует, что = о,2- Обратим внимание на то, что кодом непосредственно следующей конфигурации является слово >«10161 > «2 > г^(д')- Имеем согласно определению функции тар
тар(/3, к'г) = тар(>«1а1 > «гаг > и(д), >«о>о<> >2г/(д')) = >«101 > «гаг > Л, тар(тар(а, к'г), кг) = тар(>«1а1 > «гаг > Л, >1Ь\ > 2Ь2 > 1^(д')) = >«10161 > «2 > г^(д')-
Рассмотрим случай, когда только головка первой ленты обозревает символ > (другие конфигурации рассматриваются аналогично). Пусть Нпв1 = Л, Нпег = 72С2, где 72 € {1,2, о}*, сг € {1,2, о) и код конфигурации есть слово (3 = >>7202 >1>(д). Левая часть применимой команды имеет вид >сгд. Слова (4) являются основным и вспомогательным кодами левой части команды. Получаем, что
тар(/3, щ) = тар(> > 72С2 > г^(д), > о о > 2с2 > 2г/(д)) = > о >7г>, тар(тар(/3, «г), к[) = тар(> о >7г>, >2 о >1сг > 1г^(д)) = > > 72С2 > и(д) = /3.
Значит, для применимой команды справедливо равенство тар(тар(/3, щ),^) = /3.
Покажем, что для неприменимой команды это равенство не выполняется. Пусть левой частью неприменимой команды является тройка /г^/г^д'- Если ф > (/12 ф сг, д' ф д), то тар(р,к[), где р = тар(/3, к?); "припишет" к первому (второму) слову списка р символ (/12); и первые (вторые) слова списков тар(р, к[) и /3 будут различными. Если д' ф д, то тар(р, к[) "припишет" к третьему слову списка р слово д', не равное д, поэтому тар(р, к[) ф /3. Значит, для неприменимой команды верно тар(тар(/3, «г), к[) ф ¡3.
Осталось показать, что кодом непосредственно следующей конфигурации является слово тар(тар(/3, к'г), кг). Пусть пятерка Ъ^д'й^а является правой частью применимой команды. По определению (¿1 = 1. Рассмотрим два случая.
1. Пусть (¿2 = 1. Слова (5) являются основным и вспомогательным кодами правой части команды, а кодом непосредственно следующей конфигурации является слово >61 > «гагЬг > ^(д'). Имеем
тар(/3, к'г) = тар(> > «2^2 > ^(д), >22 > о о >2г/(д')) = > > ага2>, тар(тар(а, к'г), кг) = тар(> > «2а2>, >1^1 > 1 Ьг > ^(д)) = > «гагЬг > ^(д').
2. Пусть (¿2 = 2. Тогда Ьг = «2 и >Ь1>«2>^(д') — код непосредственно следующей конфигурации. Имеем
тар(/3, к'г) = тар(> > «2^2 > ^(д), >22 > о о >2г/(д')) = > > «2а2>,
тар(тар(а, к'г), кг) = тар(> > а2а2>, >1Ь\ > 2Ь2 > = >Ь\ > «2 > г^(д');
и мы получаем код непосредственно следующей конфигурации. Лемма 1 доказана.
Положим тар 2(ж, у, г) = тар(тар(ж, у), г). Пусть машина 2-М А содержит п команд, а слова
К1,1' • • • ! • • • ! К1,П1 КГ,1-> /.1" • • • ! КГ,П> '>'/.!'• • • • ;
суть вспомогательные и основные коды левых и правых частей всех п команд. Пусть далее для любого г, 1 ^ г ^ п, функция /¿(ж) определяется соотношениями
, , , [таРг{х, «г,г' «г,г), если тар2(х,кц,к'и) =х, /г (ж) = <
I х в противном случае.
Из леммы 1 вытекает
Следствие 1. Если а является кодом незаключительной конфигурации машины 2-М А, то ЛС/гС- • • /п(«) • • •)) — К°Д непосредственно следующей конфигурации. Если а — код заключительной конфигурации, то /1</2(- • • /п(а) • • •)) = «•
Определим функцию (¿(х, уг, уг>, гц, уу, I) следующими соотношениями (г = 1,2): Я(х,Уг,Уг',У1,У1'Л) = х,
Я(х,Уг,Уг>,У1,У1',1), если п(гг „ „ „ „ тар2(д(ж,уг,уг,,уьур,г),К(уьг),11(ур,г)) ^
Уг''УиШ''~ < ф <?(*, уг, Уг>,У1,У1>, О,
тар2((3(ж, уг, уг',у1,у1/,г), Щуг>,г)Щуг, ¿)), иначе.
Легко видеть, что функция (¿(х,уг,уг>,у^у1>,1) принадлежит классу ЕР.
Обозначим через гт(т, п) остаток от деления т на п (т,п — натуральные числа). Пусть
/ Гу, если гт(ж, у) = О,
гт (ж, у) = <
1гт(ж, у), иначе.
Лемма2. Пусть для слов рг, рг>, р1, ру, I о и натурального числа то выполняются равенства: г0 = 1то-(1«м1+3) и
Р1' = к1,1 > 11 > А,2 > 11 • • • Н,п > И, VI = «г, 1 > 11 > «г,2 > и • • • щ,п > 11, IV = ! > 11 > к'г 2 > 11 • • • к'г п > 11, Рг = Кг,1 > 11 > «г,2 > 11 • • • Кг,п > И-
ж — список слов из {1,2, о}* длины 3, то
{ж, если то = О,
/гт'(то,п) + 1(- ' ' /гСЛС/гг(• • • ЛСЫ®)) •••)))•••)> МНОЧе. '-*--
тао
Доказательство. Проведем индукцию по то. Базис индукции: то = 0. Тогда д(х ,Рг,Рг',Р1,Р1'^о) = Я(х ,рг,рг>,р1,р1>,А) = х. Индуктивный переход. Предположим, что т < то и
Я{х,рг,рг,,р1, Ру, 1"*-(1««.1|+3)) = /гт,(ГО)П) + 1(. . . /2(/1(/„(. • • /2(Ш) . . .))) . . .) .
4-у-'
ТО
Докажем, что
Я{х,рг,рг>,р1,р1>, 1(т+1М|к«,1|+3)) = /гтЧт+1)П) + 1(/гтЧГО)П)+1(. . . /2(/1(/„(. • • /2(/1(®)) • • •))) • • •))
4-V-'
ТО-)- 1
Заметим, что тар2(ж, К(р1>, Iй), Ы(рг, Iй)) ф ж для любого числа и из множества {■т • (|кгд| + 3) + 1,... ,(т + 1) • (|кгд| + 3) — 1). Это следует из рассмотрения двух возможных случаев.
1. Первым символом слова Щру, Iй) не является > и тар2(ж, Щру, Iй), Щри Iй)) = Л, однако по условию х — непустое слово.
2. Первым символом слова Ы(рг'; Iй) является символ >. Тогда первым, вторым или третьим элементом списков К(р1>, Iй) и Щрг; Iй) будет слово 11. Значит первым, вторым или третим элементом списка тар2(ж, 1 и),Щрь Iй)) будет конкатенация первого, второго или третьего элемента списка х со словом 11.
Таким образом,
Я{х,рг,рг,,рир1,, 1("*+1М1«м1+з)) =
= 1(ТО+1)'(|К1'1|+3)-1)) =
= /rm'(m+l,n)(Q(œ,Pr,Pr',PJ,PJ', 1™'(1к< ДI+3) ) ).
Далее пользуемся предположением индукции. Лемма 2 доказана.
В нижеследующей теореме и следствии из нее все словарные функции (включая квазиуниверсальную функцию Q) рассматриваются в алфавите {1,2, о, >}. Формально такое расширение исходного алфавита {1,2} не согласуется с приведенным выше определением квазиуниверсальной функции. Однако мы поступили таким образом, руководствуясь следующими соображениями.
Введение дополнительных символов о, > позволяет в наиболее прозрачной форме выразить основные идеи, заложенные в построениях, и значительно упростить техническую сторону изложения. Переход от алфавита {1, 2, о, >} к алфавиту {1,2} можно выполнить стандартной процедурой, закодировав, например, символы 1,2, о, > соответственно словами 11, 22, 12, 21. К сожалению, при этом существенно усложняется как вид ключевых функций add и тар, так и доказательства лемм 1 и 2, связанных с данными функциями. Кроме того, возникает необходимость в использовании кодирующей и декодирующих функций. По этим причинам формальное следование исходным определениям мы решили принести в жертву более наглядному и простому построению квазиуниверсальной функции. Однако, разумеется, все основные результаты, связанные с квазиуниверсальной функцией, будут также справедливы после выполнения указанного "перекодирования" алфавита {1,2, о, >}.
Теорема. Функция Q(x,yr,yr>,yi,yi>,t) является квазиуниверсальной в классе полиномиально вычислимых функций в алфавите {1,2} относительно системы функций
{1, 2, о, >, х * у, tail(a;), smash(a;, у), тар(ж, у)}. (6)
Доказательство. Заметим, что все слова вида р(п), где р(п) — полином с натуральными коэффициентами, представимы суперпозициями функций из множества (6). Пусть /(ж) G FP. Тогда существуют машина 2-МА М. и полином t(x) с натуральными коэффициентами, такие, что машина 2-МА М. вычисляет функцию /(ж) за время Тм(х), не превосходящее t(x). Будем также предполагать, что t(x) ^ 1.
Если х' — код начальной конфигурации машины Л4, то в силу следствия 1
/«(-../2(/1 (/«(-../2(/l(®'))...)))•••) 4-V-'
n-t(x)
будет кодом заключительной конфигурации машины A4. Определим функции ж'(ж), рг(ж), рг>(ж), Pi(x), pi'(x) следующим образом: ж'(ж) = >ж>>г/(0) и
Pi' (х) = 1 > 11 > А,2 > 11 • • • «г,п > 11> рАх) = «г, 1 > 11 > «г,2 > И • • • «г,п > П, Рг> (ж) = к'г t > 11 > к'г 2 > 11 . . . к'г п > 11, Рг(х) = «г,1 > И > Кг,2 > 11 • • • Kr,n > И-
Заметим, что pr(x), pr'(x), pi(x), pv{x) суть слова в алфавите {1,2, о, >}. Из леммы 2 получаем, что
Q{x'{X),MX),PAX),Pi{X),MX), 1"-*(*М1«М1+3)) =
= /«(... /2(/l(/n(. • • f2(fl(x'(x))) . . .))) . . .) = >f(x) > Mr).
--V-'
n-t(x)
Следовательно,
Теорема доказана.
Следствие 2. Система функций
{1, 2, о, >, х * у, tail(a;), smash(a;, у), тар(ж, у), Q(x, yi, Va-, î)}
является базисом по суперпозиции в классе полиномиально вычислимых функций в алфавите {1,2}.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Grzegorezyk A. Some classes of recursive functions // Rozprawy Mathematyczne. 1953. 4. P. 1-46.
2. Rödding D. Über die Eliminierbarkeit von Definitionsschemata in der Theorie der rekursiven Funktionen / / Zeitschr. math. Logik. Grundlag. Math. 1964. 10. N 18. S. 315-330.
3. Марченков С. С. Устранение схем рекурсий в классе Е2 Гжегорчика // Математические заметки. 1969. 5. № 5. С. 561-568.
4. Волков С. А. Пример простой квазиуниверсальной функции в классе £2 иерархии Гжегорчика // Дискретная математика. 2006. 18. № 4. С. 31-44.
Поступила в редакцию 15.04.15
ON QUASI-UNIVERSAL DICTIONARY FUNCTIONS Osipov K. V.
We propose the method of constructing simple quasi-universal functions in classes of dictionary functions. The explicit superposition basis in the class of functions computable in polynomial time is based on this method.
Keywords: quasi-universal function, dictionary function.
