О квазисубполосных матрицах косинус-преобразования Текст научной статьи по специальности «Математика»

НАУЧНЫЙ РЕЗУЛЬТАТ

RESEARCH RE гГТПГ^ГИ

УДК 621.396.01

Черноморец А.А. Болгова Е.В. Черноморец Д.А.

Черноморец А.А., Болгова Е.В., Черноморец Д.А. О квазисубполосных матрицах косинус-преобразования // Научный результат. Информационные технологии. - Т.4, №3, 2019

DOI: 10.18413/2518-1092-2019-4-3-0-2

О КВАЗИСУБПОЛОСНЫХ МАТРИЦАХ КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Белгородский государственный национальный исследовательский университет, ул. Победы, д. 85,

г. Белгород, 308015, Россия

e-mail: chernomorets@bsu. edu.ru

Аннотация

В статье исследованы свойства квазисубполосных матрицах косинус-преобразования, используемых при субполосном анализе-синтезе сигналов и изображений. Показано, что их собственные числа могут иметь положительные и отрицательные значения; предложены оценки их количества; показано, что сумма квазисубполосных матриц, соответствующих разбиению области определения косинус преобразования, равна нулевой матрице; и др. Приведены примеры субполосных компонент изображений, выделяемых с помощью квазисубполосных матриц, приведены примеры построения базисных изображений, полученных на основании произведения собственных векторов исследуемых матриц. Ключевые слова: изображение; косинус преобразование; квазисубполосная матрица; подобласть пространственных частот; собственные числа и векторы

UDC 621.396.01

Chernomorets A.A. Bolgova E.V. Chernomorets D.A.

ON QUASI-SUBBAND MATRICES OF COSINE TRANSFORM

Belgorod State National Research University, 85 Pobedy St., Belgorod, 308015, Russia e-mail: [email protected]

Abstract

In the article we explore the properties of quasi-subband cosine transform matrices used in subband analysis and synthesis of signals and images. It is shown that their eigenvalues can have positive and negative values; the estimates of their quantity are proposed. It is shown that the sum of quasi-subband matrices corresponding to the partition of the domain of definition of the cosine transform is equal to the zero matrix. In the article we demonstrate the examples of images subband components extracted by using quasi-subband matrices; the examples of the basic images obtained by using the product of the eigenvectors of the analysed matrices under study are given.

Keywords:

image, cosine transform, quasi-subband matrix, subdomain of spatial frequency, eigenvalues and eigenvectors.

ВВЕДЕНИЕ

Отображение информации в виде цифровых изображений широко используется во всех сферах деятельности человека. Представляется важной разработка новых подходов цифровой обработки изображений, обеспечивающих адекватное решение существующих и новых задач в данной области. Одним из таких направлений является субполосный анализ-синтез изображений в рамках двумерного косинус преобразования, в основе которого лежит математический аппарат субполосных матриц [1, 2, 3] данного преобразования. Субполосный анализ-синтез в рамках косинус преобразования основан на анализе распределения частей энергии при косинус

RESEARCH RESULT!

преобразовании по подобластям пространственных частот, на которые разбивается область определения данного преобразования.

В рамках субполосного анализа рассматриваются изображения, представленные в виде матрицы Ф = (fik), i = 1,2,...,N, k = 1,2,...,N2, значений яркости его пикселей. Тогда, элементы

субполосных матриц Gh = (g^), i, k = 1,2,..., N1, и Gh = (g^), m, n = 1,2,..., N2, косинус преобразования, соответствующих подобластям V , r1 = 1,2,...,R1, r2 = 1,2,...,R2, пространственных частот, полученных при разбиении области определения преобразования на R х R2 равных подобластей, следующего вида:

VV2 = {(u,v)| uriA <u <Ur,2, v^ < v < v^,2>, i = 1,2,...,N1, k = 1,2,...,N2, (1)

^ ,1 = (Г1 " 1<1, Un,2 = Г1<1 , Vr2,1 = (Г2 " 1<2 , Vr2,2 = Г2<2 ,

<Х=Ж / R, <=ж/R , определяются на основании следующих соотношений:

gik = ak+^, (2)

где аП - значения элементов субполосной матрицы A экспоненциального преобразования Фурье [4]: 1

sin( u ,2 (i - k)) - sin( ur,! (i - k))

a.1 =<

, i ^ k,

^" k) (3)

Ц 9 Ц 1

-^, г = к,

ж

к"1 - значения элементов квазисубполосной матрицы Я косинус преобразования [3] (квази СМКП):

^ 5Ш( Ц",2 (/ + к -1)) - 5Ш( ип 1 (/ + к -1)) % = 1Л (4)

ж (г + к -1)

значения элементов g"и2и, вычисляются аналогично (2)-(4).

Свойства субполосных матриц экспоненциального преобразования Фурье (3) и субполосных матриц (2) косинус преобразования исследованы во многих работах [3, 5, 6].

Представляет интерес исследование свойств квазисубполосной матрицы Иг косинус преобразования с элементами вида (4). Далее для удобства изложения материала будем рассматривать изображения размерности N х N и разбиение области определения косинус преобразования осуществим на Я х Я подобластей.

Размерность квазисубполосной матрицы Иг косинус преобразования имеет значение N х N, данное свойство следует из определения (4).

Квазисубполосные матрицы косинус преобразования является симметричными, что следует из определения (4). Визуальное представление значений элементов восьми квази СМКП Иг, " = 1,2,...,Я, соответствующих различным подобластям пространственных частот вида (1), для случая N = 32, Я = 8 приведено на рисунке 1, на котором яркость пикселей изображений увеличивается с увеличением значений элементов данных матриц.

RESEARCH RESULT!

r=2

r=3

r=4

r=5

r=6

r=7

r=8

Рис. 1. Визуальное представление квазисубполосных матриц косинус преобразования при N = 32, R = 8 Fig. 1. Visualization of quasi-subband matrices of cosine transform for N = 32, R = 8

Квазисубполосная матрица Hr косинус преобразования также является вещественной, что следует из определения (4). Следовательно, она обладает полным набором собственных векторов qrk, к = 1,2,...,N, образующих ортонормированный базис, и набором соответствующих собственных

чисел Я-k, к = 1,2,..., N:

НА{=ХКq{, нд =хкгq;, (5)

11, к — к 2,

[0, в противном случае, к, к2 = 1,2,..., N.

Квази СМКП Hr можно представить, на основании приведенных ранее свойств, в виде произведения матриц Qr и Lk, где столбцы матрицы Qr образованы собственными векторами матрицы H, матрица Lr - диагональная матрица с собственными числами матрицы Hr, расположенными на диагонали:

H = QTrLrQr. (6)

Можно показать, что сумма квазисубполосных матриц Hr, k = 1,2,...,R, равна нулевой матрице Z:

, _ ,V1 ,V1 _ ,V1 [1, К

(q;,qrkl) = ^ g

!нг = Z.

(7)

r=1

Справедливость соотношения (7) следует из определений (1), (4).

Квази СМКП имеет неотрицательные и отрицательные собственные числа. Пример значений собственных чисел квази СМКП при N = 32, Я = 8 в виде диаграммы приведен на рисунке 2.

RESEARCH RESULT!

0.4 &

9 9 9 9 9 9

-0.1 -0.2 -0.3 -0.4

О 5

6 о

100 150 200 250

б

Fig. 2.

Рис. 2. Иллюстрация значений собственных чисел квази СМКП: а - значения собственных чисел 8 квази СМКП Hr, r = 1,2,...,8, б - значения собственных чисел матрицы H Visualization of the values of the eigenvalues of quasi-subband matrices of cosine transform: a - eigenvalues of 8 quasi-subband matrices of cosine transform Hr, r = 1,2,...,8, b - eigenvalues of single matrix Hx

На основании различных вычислительных экспериментов получено, что квази СМКП не имеют близких к единице собственных чисел.

Результаты оценивания количества положительных и отрицательных собственных чисел квази СМКП Нг, г = 1,2,...,Я, соответствующих различным частотным подобластям, в зависимости от размерности N при Я = 8 приведены в таблицах 1 и 2. При этом собственное число Я[ считается положительным, если выполняется условие:

4 , (8)

собственное число Я[ считается отрицательным, если выполняется условие:

^ >^о, (9)

где

е0 = 0.001.

Таблица 1

Результаты оценивания количества JPos положительных собственных чисел квази СМКП

при R = 8

Table 1

Results of estimating of the number JPos of positive eigenvalues of quasi-subband matrices

of cosine transform for R = 8

а

N r=1 r=2 r=3 r=4 r=5 r=6 r=7 r=8

32 3 5 4 4 4 4 4 3

64 4 6 6 6 6 6 6 3

128 4 7 7 7 7 7 6 4

256 5 7 8 8 8 8 8 4

512 5 9 9 9 9 9 8 5

НАУЧНЫЙ РЕЗУЛЬТАТ

RESEARCH RE

Черноморец А.А., Болгова Е.В., Черноморец Д.А. О квазисубполосных матрицах косинус-преобразования // Научный результат. Информационные технологии. - Т.4, №3, 2019

Таблица 2

Результаты оценивания количества JNeg отрицательных собственных чисел квази СМКП

при R = 8

Table 2

Results of estimating of the number JNeg of negative eigenvalues of quasi-subband matrices

of cosine transform for R = 8

N r=1 r=2 r=3 r=4 r=5 r=6 r=7 r=8

32 3 4 4 4 4 4 5 3

64 3 6 6 6 6 6 6 4

128 4 6 7 7 7 7 7 4

256 4 8 8 8 8 8 7 5

512 5 8 9 9 9 9 9 5

На основании проведенных различных вычислительных экспериментов (отдельные результаты которых приведены в таблицах 1 и 2) можно считать, что оценка количества положительных JPos и отрицательных ^ собственных чисел квази СМКП определяется

следующими соотношениями:

JPos ~ JNeg

1 N

;1og2 — + 3.

Известно [2, 4, 7], что при субполосном анализе в рамках заданного унитарного преобразования выделение (фильтрации) субполосных компонент У изображения Ф,

соответствующих заданной подобласти пространственных частот V вида (1), основано на следующем соотношении:

У, = Л Ф£,, (10)

для вычисления значений частей энергии изображения, соответствующих заданной подобласти пространственных частот V , используется следующее соотношение:

Е, = Щ ФЯ2 фг ), (11)

где Л и В - субполосные матрицы заданного унитарного преобразования, соответствующие подобласти V вида (1).

Можно показать, что если в выражении (10) использовать квазисубполосные матрицы (4), то сумма компонент изображений вида (10), соответствующих всем подобластям, на которые разбита область определения косинус преобразования, равна нулевому изображению Z, значения всех пикселей которого равны нулю:

(12)

к к

X = г,

Г1 =1 Г2 =1

при этом сумма величин вида (11), вычисленных для всех подобластей, при использовании квазисубполосных матриц (4), равна нулю:

к к

X X »(АлФЯ, ФГ ) = г . (13)

Г1 =1 Г2 =1

На рисунке 3 приведены примеры субполосных компонент (10) тестового изображения (рисунок 3 а), соответствующих низкочастотным, среднечастотным и высокочастотным подобластям пространственных частот, при применении квази СМКП в соотношении (10).

RESEARCH RESULT!

M

а б

Рис. 3. Пример выделения субполосных компонент изображения при применении квази СМКП

при R = 8 : а - исходное изображение; результаты квазифильтрации: б - в подобласти V11, в - в подобласти V44, г - в подобласти V77

Fig. 3. An example of the allocation of image subband components when applying quasi-subband

matrices of cosine transform for R = 8 : a - the original image; quasifiltration results: b - in the subdomain V11, c - in the subdomain V44, d - in the subdomain V77

Пример распределения по частотным подобластям значений величин вида (11) при применении квази СМКП для преобразований изображения, представленного на рисунке 3 а, и К=8 приведен на рисунке 4.

Рис. 4. Пример распределения по частотным подобластям значений величин вида (11)

при применении квази СМКП Fig. 4. An example of the distribution over frequency subdomains of values (11) when applying quasi-subband

matrices of cosine transform

Данные, отображенные на рисунке 4, показывают, что величины вида (11) при применении квази СМКП могут принимать отрицательные значения.

Интерес представляет разложение изображения Ф = (), I = 1,2,...,N, к = 1,2,...,И2, в базисе собственных векторов квази СМКП Н и Н , соответствующих заданной частотной подобласти V . Можно показать, что справедливы следующие соотношения:

г = дТ Фи, (14)

Ф = ЯГиТ, (15)

N N,

ф=Х X rj

i Uk

(16)

i=1 k=1

где Q и и - матрицы, столбцы которых составлены из собственных векторов }, I = 1,2,...,Ы1, и [йк }, к = 1,2,...,Ы2, матриц Н и Н соответственно,

RESEARCH RESULT!

ук, г = 1,2,...,N, к = 1,2,...,Ы2, - элементы матрицы Г, значения которых определяются следующим соотношением:

уЛ = яТФйк, г = 1,2,...,N, к = 1,2,...,N2. (17)

Таким образом, изображение Ф может быть синтезировано на основании следующего соотношения:

N N

ф=Х X rIkxIk.

(18)

=1 k=1

где X к - базисные изображения следующего вида:

Хк = яи, г = 1,2,..., N, к = 1,2,..., N2. (19)

В качестве примера для изображения, приведенного на рисунке 3 а, значения элементов матрицы Г (14), (17) для частотных подобластей V} и V32 при ^=8 представлены в виде диаграмме на рисунке 5.

Рис. 5. Пример значений элементов матрицы Г: а - для подобласти V11, б - для подобласти V32 Fig. 5. An example of the values of the matrix G elements:

a - for the subdomain V1, b - for the subdomain V

32

б

На рисунке 6 приведены примеры базисных изображений (19), полученных на основании собственных векторов квази СМКП при N = 32 , Я = 8 для подобласти V32.

RESEARCH RESULT!

22

П т ,т

<• *

т т

. № Ч

ш А

at- д ам

- _

- ^ JHil , ET яр «

Рис. 6. Примеры базисных изображений в базисе собственных векторов квази СМКП

при N = 32 , R = 8 для подобласти V32 Fig. 6. Examples of basic images in the basis of the eigenvectors of quasi-subband matrices of cosine transform

for N = 32 , R = 8 for the subdomain V32

Изображения, приведенные на рисунке 6, показывают, что базисные изображения, полученные на основании собственных векторов квази СМКП, имеют различные частотные составляющие для различных собственных векторов.

Таким образом, рассмотренные свойства квазисубполсных матриц косинус преобразования могут быть использованы при разработке методов анализа, синтеза и хранения цифровых изображений.

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 19-07-00657.

Список литературы

1. Черноморец А.А., Болгова Е.В. Об анализе данных на основе косинусного преобразования // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Экономика. Информатика. 2015. № 1 (198). С. 68-73.

2. Черноморец А.А., Болгова Е.В., Черноморец Д.А. Обобщенный субполосный анализ на основе унитарных преобразований // Научные ведомости БелГУ. Сер. Экономика. Информатика. - 2015. - № 7 (204). - Вып. 34/1. - С. 97-104.

3. Болгова Е.В. Свойства субинтервальных матриц двумерного косинусного преобразования // Информационные системы и технологии. 2017. № 6 (104). С. 19-28.

4. Жиляков Е.Г., Черноморец А.А., Белов А.С., Болгова Е.В. О субполосных свойствах изображений // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Экономика. Информатика. 2013. № 7 (150). С. 175-182.

5. Черноморец А.А., Прохоренко Е.И., Голощапова В.А. О свойствах собственных векторов субполосных матриц // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Экономика. Информатика. 2009. № 7 (62). С. 122-128.

6. Болгова Е.В. О собственных числах субинтервальных матриц косинусного преобразования // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Экономика. Информатика. 2017. № 2 (251). С. 92-101.

RESEARCH RESULT!

7. Жиляков Е.Г., Черноморец А.А. Об оптимальном выделении субполосных компонент изображений // Информационные системы и технологии. 2013. № 1 (75). С. 5-11.

References

1. Chernomorets A.A., Bolgova E.V. On the analysis of data based on the cosine transformation. // Belgorod State University Scientific Bulletin. Economics. Information technologies. 2015. No. 1(198). P. 68-73.

2. Chernomorets A.A., Bolgova E.V., Chernomorets D.A. Generalized subband analysis based on unitary transformations // Scientific reports of BelSU. Ser. Economy. Informatics. - 2015. - No. 7 (204). - Vol. 34/1. -P. 97-104.

3. Bolgova E.V. Properties of sub-interval matrices of two-dimensional cosine transform // Information systems and technologies. 2017. No. 6 (104). P. 19-28.

4. Zhilyakov E.G., Chernomorets A.A., Belov A.S., Bolgova E.V. About subband image properties // Scientific reports of Belgorod State University. Series: Economics. Informatics. 2013. No. 7 (150). P. 175-182.

5. Chernomorets A. A., Prokhorenko E. I., Goloshchapova V. A. About the properties of eigenvectors of subband matrices // Scientific statements of Belgorod State University. Series: Economics. Informatics. 2009. No. 7(62). P. 122-128

6. Bolgova E.V. On the eigenvalues of sub-interval matrices of cosine transform // Scientific reports of Belgorod State University. Series: Economics. Informatics. 2017. No. 2 (251). P. 92-101.

7. Zhilyakov EG, Chernomorets A.A. On the optimal allocation of subband image components // Information Systems and Technologies. 2013. No. 1 (75). P. 5-11.

Черноморец Андрей Алексеевич, доктор технических наук, доцент, профессор кафедры прикладной информатики и информационных технологий

Болгова Евгения Витальевна, старший преподаватель кафедры прикладной информатики и информационных технологий

Черноморец Дарья Андреевна, магистрант кафедры математического и программного обеспечения информационных систем

Chernomorets Andrey Alekseevich, Doctor of Technical Sciences, Professor of the Department of Applied Informatics and Information Technologies

Bolgova Evgeniya Vitalievna, Senior Lecturer, Department of Applied Informatics and Information Technologies Chernomorets Daria Andreevna, master student, Department of Mathematical and Software Information Systems