О квантовых корректирующих кодах

Думачев Владислав Николаевич; Колесников Сергей Борисович

В.Н. Думачев,

кандидат физикоматематических наук

С.Б. Колесников

О КВАНТОВЫХ КОРРЕКТИРУЮЩИХ КОДАХ

1. Введение

В работе рассматривается теория построения совершенных кодов на многообразиях Грассмана [1]. Многообразием Грассмана О( N, К) назовем многообразие всех К-

мерных подпространств К-мерного векторного пространства Vм . Тогда ассоциированный с данным грассманианом О(N, К) код [п, к] над конечным полем Галуа О¥(с) строится по правилу

^ N"

К

п

к =

С - IV' - с )..(<," - чК)

с - *к - ч )..(?к - /-1) ■

( N Л = N1

К ~ 7

К !•(N - К)!'

Рассмотрим несколько ассоциированного с О (N5 К) кодов над О¥ (2) (табл. 1).

Таблица 1

с

О( N, К) Код [п, к ] О (N, К) Код [п, к ]

(2,1) [3,2] (4,1) [15,4]

(3,1) [7,3] (4,2) [35,6]

(3,2) [7,3] (4,3) [15,4]

Для того чтобы код мог исправить одну ошибку, минимальное кодовое расстояние должно быть равно ё = 2• 1 +1 = 3. Код называется совершенным, если он может исправить в слове все одиночные ошибки и не может исправить ни одной двойной ошибки. Двоичный [п, к ] код называется кодом Хемминга, если существует такое число г, что

[п, к] = [2г -1,2г - г -1].

Это означает, что коды, ассоциированные с грассманианом О(Ы, К), являются дуальными к коду Хемминга:

[п, к] ® [п, п - к].

Далее всегда при исследовании ассоциированных с грассманианом О (Ы, К) кодов мы будем подразумевать исключительно дуальные коды. Тогда, для ассоциированных кодов Хемминга получим

О ( N, К )

Код [п, к]

(2,1) [3,1]

(3,1) и (3,2) [7,4]

(4,1) и (4,3) [15,11]

Для того чтобы код мог исправить т ошибок, минимальное кодовое расстояние должно быть равно ё = 2т +1. В таком случае, код будет совершенным, если сможет исправить все ошибки порядка т и не сможет исправить ни одной ошибки порядка больше т .

Для поиска совершенных кодов над полем Галуа О¥(2), исправляющих т ошибок, используют выражение

i=0

2n

=о V у

Данная формула позволяет построить несколько полезных и огромное множество практически бесполезных совершенных кодов. Анализ формулы дает основание утверждать, что всегда существует совершенный код длины n, способный исправить n ошибок. Это код [n,0], т.е. код, состоящий исключительно из проверочной части и не передающий никакой информации. Такой код можно использовать для проверки помехоустойчивости канала.

Следующим интересным кодом является совершенный код повторения Pm = [2m +1,1], способный исправить все ошибки до порядка m включительно. Особенностью данного кода является то, что он имеет единственный информационный символ и 2m проверочных.

Совершенные коды Хемминга Hr = [n, к] = [2r - 1,2r - r -1], исправляющие единичные ошибки, также могут быть получены из данной формулы.

Данная формула дает также:

совершенный код, исправляющий 2 ошибки [n, к ] = [90,78];

совершенный код, исправляющий 3 ошибки [n, к ] = [23,12] (код Голея).

2. Квантовые коды

Основные понятия, которыми оперирует квантовая механика: состояние, наблюдение, динамика и измерение. Всякая физическая система описывается с помощью своего состояния, которое содержит всю информацию о системе. Состояние квантовой системы изменяется только двумя путями: взаимодействием с другой системой и измерением. Узнать что-либо о квантовом состоянии можно только ее измерением.

Одним из примеров квантовой системы является поляризованный свет (фотон). Для его описания вводятся два базисных квантовых состояния: горизонтальная |о) и

вертикальная Ц поляризация фотона. Поляризованный свет легко реализуется на практике и является одним из основных претендентов на роль носителя квантовой информации — кубита |y) (qubit — quantum bit):

IУ = cos j 0 + sin j 1

или

i y=a о+b 1.

Математическое описание кубитов предполагает, что

a2 + b2 = 1 (условие нормировки).

По существу, мы описываем квантовое состояние системы с помощью комплексного вектора гильбертова пространства H с базисными векторами 10) и 11) и

скалярным произведением (j|y). Два вектора являются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю:

(jy> = y \j = 0.

Отсюда следуют соотношения для скалярного произведения базисных векторов:

(°1°>=<>11=1 <1|°)=(i|0=а

Измерение квантового состояния математически осуществляется использованием проекционного оператора

п = \х)(х\,

где \%) — вектор ориентации поляризационной пластины или квантовое состояние прибора-измерителя. При прохождении через проектор-поляризатор квантовое состояние кубита У) проецируется на квантовое состояние прибора-измерителя |с). На выходе из поляризатора мы получим уже измененный кубит, т. е. его проекцию на С.

|У> = ny) = |c)(cy>.

Поскольку скалярное произведение СУ) ------- число, то выходной кубит имеет

состояние, параллельное квантовому состоянию прибора-измерителя | С .

В квантовой механике постулируется, что само состояние |y) физического

смысла не имеет (т.е. не может быть непосредственно измерено). Физическим смыслом обладает его квадрат модуля:

р = yy) = l У2 — это вероятность обнаружить кубит в данном квантовом состоянии.

3. Зацепленные квантовые состояния

Двумерное квантовое состояние может быть получено суперпозицией одномерных квантовых состояний. В этом случае кубит

I y=a 00)+ь 01+ci 10+а 11

может быть факторизован:

iY=y^ ®y2>.

Пространство таких квантовых состояний называется сепарабельным. Однако гильбертово пространство H ® H допускает и несепарабельные подпространства, т. е квантовые двумерные состояния, которые не могут быть разделены. Такие состояния называются зацепленными (запутанными) квантовыми битами, или забитами (equbit — entangled bit). Основными запутанными состояниями являются [2]:

| Y = ( 00) +111)) — состояние типа шредингеровского кота, и состояние

V 2

| Y = ( 01) +11^) — Эйнштейна — Подольского — Розена пара.

V 2

Квантовый оператор, позволяющий запутать два кубита х) и у), называется оператором CNOT (Controlled NOT) и дается выражением [3]:

Р12| х,у) = | х,х ® У,

где х © у — логическая операция сложение по модулю 2. Таблица истинности для оператора €N07 есть

Вход Выход

х у) х х © У

0 0 0 0

0 1 0 1

1 0 1 1

1 1 1 0

Графически действие оператора представляет собой систему, преобразующую входные кубиты в некоторые выходные состояния. При этом выход кубита |у) контролируется

состоянием кубита |х), поэтому кубит |Х называется контролирующим, а кубит |у) — контролируемым.

У

х

Р12

Очевидно, что оператор может действовать и в обратном порядке:

Р21І х,у) = | х © у,у).

В этом случае кубит |у) называется контролирующим, а кубит |х) — контролируемым.

4. Квантовое плотное кодирование

Использование операции €N07 позволяет ввести новые протоколы передачи информации эффективно использующие квантовые запутанные состояния. Рассмотрим протокол квантового плотного кодирования [4].

Перед процессом кодирования получателю и отправителю информации передается по одной части запутанного кубита (состояние типа шредингеровского кота):

М = ^2[(0°)+111) •

Каждому значению передаваемой последовательности ставится в соответствие однокубитовый оператор

I = s0, X = ах, У = іау, Ъ = аг,

которым отправитель действует на первый кубит забита.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Затем получателю по квантовому каналу отправляется первая, преобразованная часть забита. Получатель применяет операцию €N07 к полученному забиту, применяет оператор Адамара к первому кубиту: Н = -^(&х + &г) и измерением снимает ин-

л/2

формацию.

х

5. Квантовый корректирующий повторный код QP1

Рассмотрим квантовые аналоги QPm классических корректирующих повторных кодов кодов Pm. При передаче информации по каналам связи она может искажаться. Алгоритм квантовой коррекции ошибок аналогичен классическому и требует введения дополнительных кубитов для обнаружения и коррекции ошибки.

Рассмотрим внешнюю градуированную алгебру Г рассмана

G(V3) = Л = Л0 ®Л1 ®Л2 ®Л3,

где

Л0 з є0

Л1 з (є1,є2,є3} .

Л2 = *Л1 з

£Г є2 а є3

E2 > = . є3 а є1

E3 є1 а є2

Л3 з (є1 а є2 а є3} .

Здесь * — оператор Ходжа.

На вход канала связи подается расширенный код с 2 дополнительными, проверочными битами. Рассмотрим коррекцию ошибки из множества

Е = {і ® I ® I, X ® I ® I, I ® X ® I, I ® I ® X}.

Оператор выделения ошибки строится по правилу

Б|z1,z2,z3,0,0,0 ®\z1,z2,z3,Z1,Z2,Z3),

где

^1 z2 © z3'

Л2 з • Z2 > =. 3 z © z2

Z3 z1 © z2

Проверочные символы Л2 з {2Z2, Z3} строятся как элементы базиса Л2 алгебры Грассмана G(V3) относительно операции композиции © — сложения по модулю 2. Коррекция ошибки строится по элементам сопряженного базиса Л1 = *Л2:

х1' 2 z © z3'

Л1 = *Л2 з- X 2 . = * z3 © z1

х3 z1 © z2

Процедура коррекции одиночной ошибки показана в табл. 2.

Таблица 2

>

Инвертированный бит Синдром ошибки Коррекция ошибки

- 000) I ® I ® I

1 011) X ® I ® I

2 101 I ® X ® I

3 110 I ® I ® X

В качестве примера рассмотрим протокол исправления одной ошибки в коде QP1, который строится следующим образом.

Рассмотрим тривиальный корректирующий код QP1, отображающий

IО ® I ООО)

1 ® I111)

С помощью этого расширения мы можем корректировать единичную ошибку E отдельного кубита [5]. Допустим, по квантовому каналу информации с оператором ошибки

E = X ® I ® I

необходимо передать кубит

\¥o) = ao + bl).

Перед отправлением на исходный кубит |yo) действует корректирующий код P12P13, поэтому на входе квантового канала информации мы имеем

I y)\ ОО) ® P12P13 (a ООО) + b 1ОО)) = a ООО) + b 111) = \wm).

Действие оператора ошибки на передаваемый кубит есть

E|y) = X ® I ® I(aooo) + bll1).

Поэтому на выходе из квантового канала информации будет зарегистрировано состояние

y0Ut) = e| У”) = а\Щ + лр\ О11.

Оператор выделения ошибки есть

S = P12P13, S x, У,z) ®lx,x ® У,x ® z).

В рассматриваемом случае

S|y0ut) = S(aloo + boll ) = a|l1l) + boll = I yo >| 11.

Измеряя три последние бита этого состояния, мы получим | ll) — синдром ошибки, который позволяет восстановить исходный кубит.

6. Квантовый корректирующий код QP2

Рассмотрим внешнюю градуированную алгебру Грассмана

G(V5) = Л = ЛО ®Л1 ®Л2 ®Л3 ®Л4 ®Л5,

где

О

Л3 = *Л2 з

з (є1 , Є2, є3, Є4, Є 5}, Л

H' Є А Є4 А Є5

H2 Є2 А Є4 А Є5

H3 Є2 А Є3 А Є5

H 4 Є2 А Є3 А Є4

H5 Є1 А Є4 А Є5

H6 > = < Є А Є3 А Є5

H7 Є1 А Є3 А Є4

ОО Є1 А Є2 А Є5

H9 Є А Є2 А Є4

H1О Є1 А Є2 А Є3

11 21 31 41 52 3

Є А Є, Є А Є, Є А Є, Є А Є, Є А Є,

І 2 42 53 43 54 5

Є А Є , Є А Є , Є А Є , Є А Є , Є А Є

Л4 = *Л1 з

F1 Є2 А Є3 А Є4 А Є5

F2 Є1 А Є3 А Є4 А Є5

F3 > = < Є1 А Є2 А Є4 А Є5

F4 Є1 А Є2 А Є3 А Є5

F5 Є1 А Є2 А Є3 А Є4

Л5 3 [в1 А в2 А в3 А в4 А в5 } .

На вход канала связи подается расширенный код с 4 дополнительными, проверочными битами:

О

2

E:

Ща) =

= (а1, Ъ\, Ъ2, ьз, Ь4).

Рассмотрим тривиальный корректирующий код QP2, отображающий

|0 ® |ооооо) Ц ® |11111 .

С помощью этого кода мы можем корректировать как единичные, так и двойные ошибки. Рассмотрим коррекцию единичной ошибки из множества

[I ® I ® I ® I ® I '

X ® I ® I ® I ® I I ® X ® I ® I ® I I ® I ® X ® I ® I>.

I ® I ® I ® X ® I I ® I ® I ® I ® X

Оператор выделения ошибки строится по правилу

в| Уи У 2, Уз, У 4,‘ У5,0,0,0,0,0) ®| Уи У2, Уз, У4, У5,^1,Y2,Y3,Y4,Y5>,

где

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

¥2 = У1 0 Уз 0 У4 0 У5 ,

¥3 = У1 0 У 2 0 У 4 0 У5 ,

¥4 = У1 0 У 2 0 Уз 0 У5 ,

^5 = У1 0 У2 0 Уз 0 У5.

Проверочные символы Л4 3 [У1,У2,Уз,У4,75} строятся как элементы сопряженного базиса Л1 3 [у1,у2,Уз,у4,у5} алгебры Грассмана G(V5) относительно операции композиции

0 — сложения по модулю 2.

Процедура коррекции одиночной ошибки сводится к использованию сопряженного базиса и показана в табл. з.

Таблица з

Инвертированный бит Синдром ошибки Коррекция ошибки

- 00000) I ® I ® I ® I ® I

1 01111) X ® I ® I ® I ® I

2 10111) I ® X ® I ® I ® I

3 11011 I ® I ® X ® I ® I

4 11101 I ® I ® I ® X ® I

5 11110 I ® I ® I ® I ® X

Рассмотрим коррекцию двойной ошибки из множества

I ® I ® I ® I ® I X ® X ® I ® I ® I X ® I ® X ® I ® I X ® I ® I ® X ® I X ® I ® I ® I ® X E = -Л®X®X®I®^ и Лз 3

I ® X ® I ® X ® I I ® X ® I ® I ® X I ® I ® X ® X ® I

I ® I ® X ® I ® X

I ® I ® I ® X ® X Оператор выделения ошибки строится по правилу

81 г1, г2, ^з, ^, 25,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0) ®

® | 21, г2, 2з, г4, г5, 21, 22, 2з, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 210

Проверочные символы Лз 3 [2',22,23,24,25,2б,27,28,29,210} строятся как элементы базиса Лз алгебры Г рассмана G(V5) относительно операции композиции 0 — сложения по модулю 2. Коррекция ошибки строится по элементам сопряженного базиса Л2 = *Лз:

71 г3 ® г4 ® z5

72 г2 ® г 4 ® г5

=• ^ •= >

Л2 = *Л3 з

> = < > = *.

Процедура коррекции двойной ошибки показана в табл.4.

Таблица 4

Инвертированные биты Синдром ошибки Коррекция ошибки

- 00000 00000) I ® I ® I ® I ® I

1-2 0111111000) X ® X ® I ® I ® I

1-3 10101 00111 X ® I ® X ® I ® I

1-4 11010 10101 X ® I ® I ® X ® I

1-5 11100 01011 X ® I ® I ® I ® X

2-3 11000 11110 I ® X ® X ® I ® I

2-4 10101 01101 I ® X ® I ® X ® I

2-5 10011 10011 I ® X ® I ® I ® X

3-4 0110110011 I ® I ® X ® X ® I

3-5 01011 01101 I ® I ® X ® I ® X

4-5 00110 11110 I ® I ® I ® X ® X

7. Выводы

В заключение отметим явную возможность обобщения полученных результатов на случай квантовых корректирующих кодов QPm . Форма построения Pm = [2m +1,1] выделяет только нечетномерные алгебры Грассмана, и поэтому для каждого подпространства размерности к < N = 2m +1 существует ему сопряженное. Это дает возможность, используя CkN дополнительных кубитов, обнаружить и исправить любые ошибки до к < m порядка включительно.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ryan C.T. The Minimum Weight of the Grassmann Codes G(k,n) / C.T. Ryan, K.M. Ryan // Discrette Appl.Math.— 1990.— V.28.— P.149—156.

2. Валиев К. А. Квантовые компьютеры: надежды и реальность / К. А. Валиев, А. А. Кокин.— М.: РХД, 2001.— 352 с.

3. Dumachev V.N. Elementary quantum cloning machines / V.N. Dumachev // Quantum computers and computing.— 2005.— V.5.— N1.— P. 14—18.

4. Rieffel E. Quantum computing / E. Rieffel, W. Polak // ACM Computing Surveys.— 2000.— V. 32.— N3.— P. 4—57.

5. Dumachev V. N. Cloning of Qubits of a Quantum Computer / V.N. Dumachev,

S.V. Orlov // JETP Letters.— 2002.— V.76 — Issue 7 —Р. 481—483.

О квантовых корректирующих кодах Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

Похожие темы научных работ по компьютерным и информационным наукам , автор научной работы — Думачев Владислав Николаевич, Колесников Сергей Борисович

Текст научной работы на тему «О квантовых корректирующих кодах»