О конгруэнц-когерентных и близких к ним унарах с мальцевской операцией Текст научной статьи по специальности «Математика»

Для суммы особого ряда асимптотической формулы получены точные представления в виде произведений по простым числам, и показана ее положительность.

Доказательство проводится круговым методом с использованием оценки А. Вейля [1] для суммы Клоостермана.

Данная задача является обобщением задач получения асимптотических формул для сумм I(n, 1,1,1) и I(n, 1,1, h), рассмотренных в [2, 3].

Библиографический список

1. Estermann T. On Klostermann's sum // Mathematika. 1961. Vol. 8.

2. Куртова Л. Н. Об одной бинарной аддитивной задаче с квадратичными формами // Вест. Самар. гос. ун-та. Естественнонаучная серия. Математика. 2007. № 7 (57).

3. Куртова Л. Н. Об одном аналоге аддитивной проблемы делителей с квадратичными формами // Чебышевский сборник. 2014. Т. 15, вып. 2.

О КОНГРУЭНЦ-КОГЕРЕНТНЫХ И БЛИЗКИХ К НИМ УНАРАХ С МАЛЬЦЕВСКОЙ ОПЕРАЦИЕЙ А. Н. Лата (г. Волгоград) E-mail: [email protected]

Класс конгруэнции в, порожденный элементом x, будем обозначать через [х]в.

Универсальная алгебра A называется конгруэнц-когерентной [1], если любая подалгебра B алгебры A, содержащая некоторый класс конгруэнции в алгебры A, является объединением некоторых классов конгруэнции в.

Универсальная алгебра A, имеющая нульарную операцию 0, называется слабо когерентной [2], если для любой подалгебры B алгебры A и любой конгруэнции в алгебры A условие [0]в С B влечет [х]в С B для любого x Е B.

Универсальная алгебра A, имеющая нульарную операцию 0, называется локально когерентной [3], если для любой подалгебры B алгебры A и любой конгруэнции в алгебры A из того, что [х]в С B для некоторого x Е B следует [0]в С B.

Основные определения и обозначения, связанные с унарами, приведены в [4].

Унаром с мальцевской операцией [5] называется алгебра (A, d, f) с

унарной операцией f и тернарной операцией d, на которой истинны тождества d(x, y, y) = y, х) = х и f y, z)) = d(f (x),f (y), f (z)).

В [5] показано, что на любом унаре (A, f) можно так задать тернарную операцию p, что алгебра (A,p, f) становится унаром с мальцевской операцией. Эта операция определяется следующим образом.

Пусть (A, f) — произвольный унар и x,y £ A. Для любого элемента х унара (A, f) через fn(х) обозначим результат n-кратного применения операции f к элементу х; при этом f0(x) = х. Положим Mx,y = {n £ N U {0} | f п(х) = f n(y)}, а также k^,y) = min MXyy, если Mx,y = 0, и Ь(х,у) = то, если Mxyy = 0. Положим далее

Теорема 1. Пусть (Л,р,/, 0) — алгебра с унарной операцией /, маль-цевской операцией р(х,у,г) и нульарной операцией 0, для которой /(0) = 0. Алгебра (Л,р, /, 0) является слабо когерентной тогда и только тогда, когда унар (Л, /) является одним из следующих: 1) произвольный унар с инъективной операцией; 2) связный унар, который не содержит узловых элементов, за исключением, может быть, элемента 0;

3) сумма унара С\ ^ £ N и {то} и произвольного унара с инъективной операцией.

Теорема 2. Пусть (Л,р,/, 0) — алгебра с унарной операцией /, маль-цевской операцией р(х,у,г) и нульарной операцией 0, для которой /(0) =0. Алгебра (Л,р,/, 0) является локально когерентной тогда и только тогда, когда унар (Л,/) является одним из следующих: 1) произвольный унар с инъективной операцией; 2) унар, в котором для всех х £ Л выполняется /(х) = 0, где |Л| ^ 3; 3) унар С\£ N и {то};

4) связный унар конечной глубины ¿(Л), в котором существует единственный узловой элемент а = 0, глубина которого равна ¿(Л) — 1, и других узловых элементов нет.

Предложение 1. Пусть (Л,р,/, 0) — алгебра с унарной операцией /, мальцевской операцией р(х,у,г) и нульарной операцией 0, для которой /(0) = 0. Алгебра (Л,р,/, 0) является когерентной тогда и только тогда, когда унар (Л,/) является одним из следующих: 1) произвольный унар с инъективной операцией; 2) унар, в котором для всех х £ Л выполняется /(х) = 0, где |Л| ^ 3; 3) унар С\^ £ N и {то}.

z^ если Ь(х,у) ^ k(y,z) х, если k^,y) >k(y,z).

(1)

Библиографический список

1. Geiger D. Coherent algebras // Notices Amer. Math. Soc. i974. Vol. 2i.

2. Chajda I. Weak coherence of congruences // Czechoslovak Math. J. i99i. Vol. 4i, №. i.

3. Chajda I. Locally coherent algebras // Acta Univ. Palacki. Olomuc., Fac. rer. nat., Math. i999. Vol. ЗВ, №. i.

4. Усольцев В. Л. Простые и псевдопростые алгебры с операторами // Фунд. и прикл. мат. 200В. Т. i4, вып. 7.

б. Карташов В. К. Об унарах с мальцевской операцией // Универсальная алгебра и ее приложения : тез. сообщ. участ. междунар. семинара, посвящ. памяти проф. Моск. гос. ун-та Л. А. Скорнякова. Волгоград : Перемена, i999.

ВЕЙВЛЕТЫ НА ЛОКАЛЬНЫХ ПОЛЯХ

_ _ ___ «_» __ _ -,

ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ1 С. Ф. Лукомский (г. Саратов) E-mail: [email protected]

Введение

Локальное поле положительной характеристики K = F(s) состоит из бесконечных в обе стороны последовательностей [i]

a = (..., On-1, an, an+i,... ), a¿ G GF(ps),

в которых только конечное число компонент с отрицательными номерами отлично от нуля. Пусть gn = (..., 0n-1, (l, О,.., О)п, 0n+1,... ), базисные элементы в поле K, Kn-шары радиуса q_n = p_sn, образующие базу топологии,

Ho = {a-ig-i+a_2g_2+ ... +a-vg-v : a — G GF(ps), v G N

множество сдвигов в поле K. Пусть далее A : a = ^neZ angn i—> angn-1 оператор растяжения . Характеры в поле K можно записать в виде

k(0) k(1) k(s-1) X = ПkGZrl где rl = rb+0 • rks+1.....rkks+s_i функци РаДемахеPа,

ak = (akQ), ak1^,..., aks-1)) G GF(ps). Положим по определению

(rls)bs = rlsbs, ak, bk G GF(ps). Подробнее об этом см. в [2].

1Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 16-01-00152).