О количественных оценках топологических характеристик предфрактальных графов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Секция фундаментальной и прикладной математики (Черкесский филиал)

УДК 519.1:519.7

А.А. Кочкаров, С.И. Салпагаров, Р.А. Кочкаров О КОЛИЧЕСТВЕННЫХ ОЦЕНКАХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПРЕДФРАКТАЛЬНЫХ ГРАФОВ*

Граф [1] - это абстрактный объект, отражающий структуру той или иной системы. Обычно вершины графа соответствуют элементам системы, а ребра - связям между элементами этой системы. Структура любой системы по истечении времени претерпевает определенные изменения, вызываемые различными внешними об.

теоретико-графовыми операциями: стягивание ребра, удаление (добавление) ребра, удаление (добавление) вершины. Изменения структуры системы могут быть разовыми, а могут быть постоянными. Для второго случая, разумно, ввести понятие структурной динамики - изменение структуры системы с течением времени. Не, -.

Одним из наиболее распространенных сценариев структурной динамики является рост структуры. Рост структуры - это регулярное появление новых элементов и связей в структуре системы. Рост структуры происходит по строго сфор-, .

Настоягцая работа посвящена оценке топологических свойств фрактальных графов [2]. Фрактальные графы являются моделью структур растущих в дискретном времени по одним и тем же правилам из каждой своей вершины. Формальным отражением этих правил является операция замены вершины затравкой [2], она же и лежит в основе определения фрактальных графов.

Термином затравка условимся называть какой-либо связный граф Н = (Ж, Q) . Суть операции замены вершины затравкой (ЗВЗ) заключается в следующем. В данном графе G = (V, Е) у намеченной для замещения вершины

~ є V выделяется множество V = (V,} С V, ] = 1,2,...,

V

смежных ей вер-

шин. Далее из графа С удаляется вершина V и все инцидентные ей ребра. Затем

каждая вершина V, є V , , = 1,2,...

V

соединяется ребром с одной из вершин

затравки Н = (Ж, Q) . Вершины соединяются произвольно (случайным образом) или по определенному правилу, при необходимости.

Предфрактальный граф - конечный аналог фрактального графа будем обозначать через Оь = (Уь, ), где VL - множество вершин графа, а Еь - множе-

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 04-01-00510) 298

ь

I -м,

ство его ребер. Определим его рекуррентно, поэтапно, заменяя каждый раз в построенном на предыдущем этапе I = 1,2,..., Ь — 1 графе 0{ = (V, Е1) каждую его вершину затравкой Н = (Ж, Q). На этапе I = 1 предфрактальному графу соответствует затравка О1 = Н. Об описанном процессе говорят, что пред фрактальный граф ОЬ = (V, ЕЬ ) порожден затравкой Н = (Ж, Q) . Процесс порождения предфрактального графа ОЬ, по существу, есть процесс построения последовательности предфрактальных графов С1,О2,...,Ог,...,ОЬ, называемой траекторией. Фрактальный граф О = (V, Е), порожденный затравкой Н = (Ж, Q), определяется бесконечной траекторией. Предфрактальный граф ОЬ = (V-, ЕЬ) условимся называть (п, ц, Ь) — графом, если он порожден п -вершинной q -реберной связной затравкой Н = (Ж, Q) .

Для предфрактального графа О

,

Iе {1,2,...,Ь}, этапе порождения,

будем называть ребрами ранга I. Новыми ребрами предфрактального гра-

ОЬ Ь ,

остальные ребра назовем старыми.

На рис. 1 изображена траектория предфрактального графа О3 = ^3, Е3),

порожденного затравкой Н = (Ж, Q )

— полным 4-вершинным графом (см. рис. 1 Л). Самыми “жирными” линиями нарисованы ребра первого ранга.

“ ” -ваны ребра второго ранга. “Тонкими” линиями нарисованы новые ребра -ребра третьего ранга.

Следующие далее теоремы 1 и 2 приведены без доказательств, как примеры топологических свойств

. -ства теорем и множество других свойств предфрактальных графов можно найти в работах [3] и [4].

1. -фрактального (п, ц, Ь)-графа ОЬ = (¥Ь, ЕЬ ), порожденного затравкой Н = (Ж, Q) без точек сочленения [1], справедливы верхняя и нижняя оценки для

если смежность старых ребер

ь—1^т \ ^пЪ — п числа точек сочленения п < т(ОЬ ) ь-------------

п — 1

одного ранга не нарушается.

Теорема 2. Род у(ОЬ ) [1] предфрактального графа ОЬ = (¥Ь, ЕЬ ), порожденного затравкой Н = (Ж, Q) с сохранением смежности старых ребер, опреде-

пЬ —1

ляется равенством у(ОЬ ) = у( Н)-------------.

п — 1

( ) - ,

, . Поэтому представляется важным знать число всевозможных предфрактальных

( ).

3. Ь - ,

2цпЬ+1(1—п )—1

затравкой Н = (Ж, Q), |Ж| = п, = ц равно п (п—1) .

.

ОЬ = (УЬ, ЕЬ ) некоторой затравкой Н = (Ж, Q), |Ж| = п, Щ = ц. При -щении затравкой Н одного из концов ребра е е Е1—1 предфрактального графа О{—1 = (^—1,Е1—1) , I = 2,3,...,Ь, само ребро может стать инцидентным одной из п вершин затравки. Поэтому при переходе от графа О{—1 к графу О{ каждое старое ребро графа О1 может соединить затравки, заместившие его концы, п2 спосо-

Г~< I 7^ I — 1

бами. Число ребер графа О1—1 равно \Е1—^ = ц-----------------------, тогда переход от пред-

п — 1

п1—1— 1

2ц—

фрактального графа О1—1 к графу Ог может быть осуществлен одним из п вариантов. Это утверждение справедливо для любого I = 2,3,...,Ь . В таком слу-

О1 ОЬ

Ь 2 0^——- 2дп1 +Ь(1—п)—1

Пп 1 = пУ = п (п—')’ .

I=2

.

Динамические системы, имеющие конечный горизонт прогноза принято называть системами с хаотический поведением [5]. Траектории системы с хаотическим поведением с близкими начальными данными "р^бегаются" экспоненциаль-, .

Для анализа работоспособности системы с динамически меняющейся структурой необходимо прогнозирование поведение структуры этой системы. Для этого, , , и сравнить их количественные оценки. В нашем случае - фрактальные графы - динамически растущие структуры, причем рост структуры, т.е. увеличение числа вершин предфрактального графа, происходит очень быстро. Число всевозможных предфрактальных графов одного ранга, порожденного одной и той же затравкой, как свидетельствует теорема 3, зависит экспоненциально от числа вершин самого . , -темами с хаотическим поведением, назовем структурным хаосом. На первый взгляд такое свойство может привести к мысли о невозможности получения хоть

сколько-нибудь полезных, т.е. полиномиальных, количественных оценок для характеристик предфрактального графа. О том, что это не так, говорят все результаты, представленные в работах [3] и [4]. И действительно, количественные оценки, полученные в теоремах 1 и 2, ограничены сверху полиномами 0( N) от числа N

- ,

графов с N - вершинами ограничено сверху экспонентой 0(п^1) , где п - число вершин затравки (см. теорему 3).

Основной целью настоящей работы была попытка продемонстрировать возможность получения “хороших” диапазонов количественных оценок для несравнимо большого числа предфрактальных графов.

Считаем приятным долгом выразить свою признательность проф. Малинец-. . -.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Емел пчев В А., Мельников (ХМ., Сарванов В.И., Тышкевич Р.К Лекции по теории графов. — М.: Наука, 1990. — 383 с.

2. Кочкаров А.М. Распознавание фрактальных графов. Алгоритмический подход. — Нижний Архыз: РАН САО, 1998. — 170 с.

3. . ., . .

сложных структур. М., 2003 (Препринт/ ИПМ им. М.В. Келдыша РАН: №10).

4. . ., . . -

тальных графов. М., 2003 (Препринт/ ИПМ им. М.В. Келдыша РАН: №83).

5. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. - М.: Эдиториал УРСС, 2000. — 335 с.

519.1

. . , . .

ВЕКТОРНАЯ ЗАДАЧА ПОКРЫТИЯ ПРЕДФРАКТАЛЬНЫХ ГРАФОВ ЗВЕЗДАМИ РАНГОВЫХ ТИПОВ

С развитием науки и техники возникла необходимость моделирования задач , . , . задачи имеют большую размерность, то удобным средством моделирования являются предфрактальные и фрактальные графы [1].

Пусть задан взвешенный предфрактальный (п, Ь) -граф ОЬ ={УЬ, ЕЬ) по -

рожденный затравкой Н = (Ж,Q) [1,2]. Под звездой К\5 рангового типа понимается звезда типа 5, состоящая из ребер одного ранга /,(/ = 1,2,...,Ь). Остов-ный подграф X = (, ЕЬх) называется допустимым покрытием графа

ОЬ = (Ь, ЕЬ) звездами рангевых типов, если каждая его связная компонента представляет собой звезду рангового типа. Множество всевозможных допустимых покрытий X обозначим через X = {х}. На X определим критерии: ^(х) = IX