О колебаниях многочастотного гасителя вибрации с учётом гистерезиса энергорассеяния Текст научной статьи по специальности «Физика»

мат. лит., 1963. 879 с.

Лялин Виктор Михайлович, д-р техн. наук, проф., [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет

THE AUTOMATED DESIGN OF TECHNOLOGY OF COMPRESSION OF THIN-WALLED ANISOTROPIC CYLINDRICAL PREPARATIONS

V. M. Lyalin

In work the defining equations and ratios, and also algorithm of the software for calculation of optimum number of operations of compression of large-size thin-walled anisotropic preparations in conic matrixes are presented.

Key words: anisotropy, compression, algorithm.

Lyalin Viktor Mihaylovich, doctor of technical sciences, professor, te-vel71 @yandex. ru, Russia, Tula, Tula State University

УДК 534.1 (075.8)

О КОЛЕБАНИЯХ МНОГОЧАСТОТНОГО ГАСИТЕЛЯ ВИБРАЦИИ С УЧЁТОМ ГИСТЕРЕЗИСА ЭНЕРГОРАССЕЯНИЯ

К.С. Козлов, А.Н. Данилин

Моделируются пространственные колебания системы, состоящей из тросика и груза - твёрдого тела произвольной пространственной конфигурации. Задача решается в геометрически линейной постановке с учётом гистерезиса энергорассеяния на основе кинематического уравнения, идентификация параметров которого осуществляется по экспериментальных данных о гистерезисных петлях предельного цикла.

Ключевые слова: гаситель вибрации, частоты и формы колебаний, нестационарные колебания, гистерезис, кинематический подход.

Виброзащиту проводов, грозотросов, кабелей оптоволоконной связи в системах воздушных линий (ВЛ) электропередачи осуществляют различными методами. Основным из них является защита с помощью многочастотных гасителей вибрации, которые конструктивно подобны гасителю Стокбриджа [1-3]. Типовая конструкция гасителя представляет собой два груза, соединенные тросиками (гибкими элементами) с зажимом, который жестко скрепляется с проводом ВЛ при помощи плашки (рис. 1). Грузики

располагаются по разные стороны относительно вертикальной оси зажима, в общем случае, на различных расстояниях. Рассеяние энергии колебаний происходит вследствие взаимного трения проволочных спиралей, из которых изготовлен тросик.

Рис. 1. Гасители вибрации проводов ВЛ

Экспериментальные исследования энергорассеяния гасителей вибраций проводов ВЛ в настоящее время занимают ключевую роль в анализе их эффективности. Однако представляют не меньший интерес математические модели колебаний, позволяющие не только рассчитывать динамические характеристики гасителей, но и оптимизировать их конструктивные параметры с целью увеличения диссипации энергии колебаний в наиболее широкой частотной области.

Диссипация энергии происходит в тросике гасителя вследствие упругопластического взаимодействия проволочных спиралей при их взаимном трении. При этом, как показывают эксперименты, зависимости силовых факторов от соответствующих кинематических параметров имеют ярко выраженный гистерезисный характер.

В данной работе предлагается кинематическая модель описания гистерезиса [4-6], согласно которой изгибающие и крутящие моменты и соответствующие им кривизны связываются специальным дифференциальным уравнением первого порядка, коэффициенты которого определяются по экспериментальным значениям для петли предельного цикла. В этом случае одним уравнением удается описать бесконечное множество подобных траекторий, каждая из которых однозначно определяется положением начальной точки на диаграмме деформирования внутри предельного цикла. Подобие этих кривых определяется их асимптотическим приближением к кривой предельного цикла. Такая модель приводит к естественному определению «орбитали» гистерезисного цикла при внешнем нестационарном воздействии на гаситель.

1. Основные кинематические соотношения

Рассматриваются пространственные колебания системы, состоящей из тросика и груза - твёрдого тела произвольной пространственной конфигурации. Считается, что один конец тросика консольно заделан, а другой

жестко скреплён с грузом. Гравитационная нагрузка на систему не учитывается. В начальном состоянии ось тросика считается прямолинейной.

^ / / /

грузом связывается локальный триэдр осей О х у г , совершающий колебания вместе с грузом относительно неподвижной координатной системы Оху2 . Полюс О совмещается с точкой пересечения оси тросика с поверхностью груза в месте их жесткого скрепления.

Для тросика принимается стержневая модель, при условии, что его поперечные сечения смещаются в пространстве как жесткие недеформи-руемые диски.

Колебания считаются малыми, допускающими запись перемещений точек сечения тросика с координатой х в виде

и (х, у, I) = и0( х) + в2( х) г -в3( х) у, (1)

у(х,у,г) = у0(х) -0(х)г, w(х,у,г) = w0(х) + 0(х)у, ( )

где и0, у0 , w0 - перемещения полюса сечения; в1, в2, в3 - углы поворотов сечения относительно осей х, у, г соответственно.

Система «тросик - груз» и связанные с ней координатные оси показаны на рис. 2. Здесь же указаны положительные направления перемещений и углов поворотов произвольного сечения тросика, а также силы и моменты, действующие на тросик со стороны груза в точке их контакта.

Рис. 2. Координатные оси, кинематические и силовые параметры системы «тросик - груз»

г

2. Соотношения упругого деформирования

Формулы (1) позволяют получить выражения для деформаций:

ех = Эи/Эх = и0 + в'2(х)г - в'ъ(х)у,

£у = Эу/Эу = 0, е = Эw|Эг = 0,

7ху = Эи Эу + Эу/ Эх = -в3 + у0 - в[ г,

7x2 = Эи Эг + Н Эх = в2 + w0, + в[ у.

Здесь и далее штрихи обозначают производные величин по х, кроме обо-~ ^/ / / / значений для подвижной координатной системы О х у г .

Связь между напряжениями и деформациями принимается в форме закона Г ука с использованием некоторых приведенных модулей упругости Е и сдвига О .

Тогда продольное напряжение ах = Еех определяет продольную

силу

N = \охйЕ = Е (и0 - усвъ + гсв2) (2)

е

и изгибающие моменты

М2 = У&х^Р = Е (-Ус¥и0 + - ^2 ) ,

/ , (3)

Му = | 2°хЛР = Е ( 2СЕи0 - <1уЛ + <1у#2 ) ,

где ус, 1С - координаты центра масс сечения относительно его полюса.

Касательные напряжения т = О/ху , тх2 = Оух2 определяют поперечные силы

Оу = / = О¥у, [-в, + V - 2^)'],

0 ж

Fey

Qz = J *xzdF = GFCZ [q + (Wo + УжЗ)'],

Fez

(4)

а также крутящии момент

Mk = J *xyydF - J ?XzZdF =

Fey Fez (5)

= GJA + GFez Уж (q2 + W0 ) + GFey zж (q3 - V0 ) ,

где уж, 2ж - координаты центра жесткости сечения относительно его полюса; Fey, Fcz - эквивалентные площади поперечного сечения, работающие

на сдвиг в направлении поперечных сил Qy и Qz; Jk = J y2dF + J z2dF.

Fez Fey

В дальнейшем оси x, y, z считается для сечений тросика главными и центральными. Тогда (2)-(5) упрощаются:

N = EF и0,

Mz = Ejq My = EJyft,

Q, = GFy (-q3 + v0), Qz = GFez (q + W ), „ /

(6)

Мк = ОЗА .

Формулы (6) принимаются в качестве базовых физических соотношений, где жесткости на растяжение-сжатие ЕЕ , изгиб ЕЗг, EJy, сдвиг

ОЕсу, ОЕсг и кручение ОJk могут вычисляться аналитически по формулам,

учитывающим внутреннее строение тросика [7-9], или по формулам, полученным опытным путём [10].

3. Задача о собственных колебаниях системы Согласно принципу Даламбера-Лагранжа вариация полной энергии системы

83 = 5и-8Ар-8А = 0. (7)

Здесь 8и - вариация потенциальной энергии деформирования тросика;

8Ар, 8А1 - вариации работы внешних и инерционных сил:

8Ар = | р 8и йБ, 8А1 =-| pH 8и йУ,

5 У

где и - вектор перемещений точки тела; р - поверхностная нагрузка, действующая на поверхность 5; р, У - плотность и объем тела. В задачах о собственных колебаниях системы 8Ар = 0.

Из (7) следуют уравнения движения в форме уравнения Эйлера-Лагранжа в виде уравнений колебаний и естественные граничные условия.

В дальнейшем высокочастотные продольные колебания исключаются из рассмотрения, поскольку рассматриваемый гаситель предназначен для подавления низкочастотных поперечных колебаний. Для упрощения задачи сдвигами также будем пренебрегать, используя соотношения Ъ2 = - ™$, Ъ = у$. Считается также, что изгибные жесткости EJу = EJz = EJ, моменты инерции сечения I = 12 = I, полярный момент инерции 1х = I .

В этом случае уравнения колебаний при исключении из них поперечных сил записываются в виде

EJ у]0У -IV' + шу0 = 0, EJ 0У + + т#0 = 0, + 1рв1=о.

Граничные условия при х = / принимают форму

(8)

Оу (/) + М(' > О: (/) + М <' >

Ц1) + хСГ %(/) - гс %(/) ] = 0.

■»0(/) - хС %(/)+уС %(/) ]=0,

(г)& _ т(г_ Т(г)/

Мк(/) + М<'> [-2С>V 00(/) + уС->»0(/)] + 1<х'01 -1%% -1%в, = 0, (9)

Мг(/) -М<'>хС'1 #0(/) -1%% +1%% -1*% = 0,

М2 (/)+М('>хС'1 ад) - 4'% -1^ >02 +122’ 'в; = 0.

где М{г) - масса груза; х^, уСг), и I(г) (/, у = х, у) - координаты центра тяжести груза и его моменты инерции относительно триэдра подвижных

осей O x y z .

Решением (8) являются

v0 = sin cot (A1 sin ax + A2 cos ax + A3sh bx + A4ch bx),

w0 = sinot (B1 sin ax + B2cos ax + B3sh bx + B4ch bx), (10)

q = sin cot (D1 sin kx + D2 cos kx),

где А1 2 3 4 , В1 2 3 4 , о12 - константы интегрирования; щ=щ (г = 1,2,...) - собственная частота колебаний;

ни-

v0 = sin cot (A1 j + A2j2), w0 = sin cot (B1 j + B2j2), q = D sin cot sin kx, (11) где функции форм колебаний

Константы А12, В12 и О определяются из граничных условий (9)

при х = /. Подстановка (11) в (9) приводит к однородной системе 5 уравнений относительно искомых констант. Условием нетривиальности решения этой системы является равенство нулю её детерминанта

корнями которого являются частоты собственных колебаний системы Щ, г = 1,2,... .

Поиск корней трансцендентного уравнения (12) весьма сложной структуры можно вести пошаговым методом, изменяя частоту Щ с некоторым малым шагом Ащ от нуля до некоторого выбранного значения. При смене знака детерминанта используется какой-либо численный метод поиска корней, например, метод деления пополам.

4. Описание гистерезиса нестационарного процесса

Для описания гистерезиса в условиях нестационарных колебаний предлагается обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка [4-6] с правой частью вида

где к - кривизна изгиба тросика; М - изгибающий момент; коэффициенты Су определяются методами приближения, минимизируя невязку аналитического представления йМ/йк (16) экспериментальным данным, описывающим предельный цикл. Считается, что все возможные гистерезисные

j (x) = sh bx - b/a ■ sin ax, j2 (x) = ch bx - cos ax .

A(o) = 0,

(12)

dM

(13)

траектории - зависимости М (к), лежат внутри предельного цикла, т.е. области, ограниченной кривыми М(к), соответствующими максимальным диапазонам изменения кривизны и момента. Числа к и т подбираются в результате простых численных экспериментов. Значения этих параметров определяют характер (скорость) асимптотического приближения решения с начальной точкой (к0, М0) внутри области к кривым предельного цикла.

Величины 0^ могут быть вычислены, например, по методу наименьших квадратов.

Пример зависимостей М (к), полученных экспериментально в работе [11], дан на рис. 3. Жирные линии соответствуют предельному циклу, тонкие - возможным петлеобразным траекториям внутри области предельного цикла. Траектории, для которых с увеличением момента кривизна возрастает, соответствуют процессу «нагрузки». И наоборот, траектории, для которых с уменьшением момента кривизна уменьшается, соответствуют процессу «разгрузки». Начало процесса определяется некоторой точкой внутри области предельного цикла.

С учётом обозначений для кривизн ку = -'^'0, ку = у^, кк = в1 из (13) следует

^М у 1^ку = Ф у , ^М2№к = ф г, йМк1ё.кк =4, (14)

где

к т к т

фу = II (-1)'-10 (ОМУФ = I10 (ОМ-1>

г=1 ]=1 г=1 ] =1

кт

^ = 11.0] (%)-1 Мк-1.

1=1 ]=1

Из (14) следуют уравнения

Му =-< Фу, М2 = УЧ, М2 = $ V, (15)

которые необходимо интегрировать совместно с уравнениями вынужденных колебаний:

М1- 1у0 + тУ0 = /у; - МУ + /< + т^0 = /2; - М1 +1$ = /к. (16)

Здесь /у (?, х), /г (^, х) и /к ^, х) - заданная внешняя распределенная нагрузка.

Искомыми неизвестными системы (15), (16) являются у0, ^0, 01,

Му, М2, Мк .

Решение строится в виде разложений по собственным формам колебаний системы без демпфирования:

У0(1, Х) = Е а Уг (Х) ? ^0(1? х) = Е Д ^^ (Х) ’

2=0 г=0

,х) = Е у;(1 )0г(х),

2=0 г г (17)

му (1,х) = Е т(1 )^Г(х)?Мг (1 ?х)=ЕСп(1 Ж(х)

г=0 г=0

Мк (1 ? х) = Е Г2 ^)02 (х)?

г=0

где формы колебаний

V (х) = Д; Л- (х) + Л; 02; (х)? ^ (х) = А; 0 (х) + й2; 02; (хХ (1 8)

0; (х) = Д Бт кгх

определяются из решения задачи о собственных частотах и формах колебаний системы; индекс ; - номер собственной частоты колебаний; г - число учитываемых собственных форм колебаний; значение ; = 0 соответствует единичным формам, определяющим движение системы как твёрдого тела. Функции аг (1), Д (1), уг (1), т (1), П (1), гг (1) подлежат определению.

М [Н ■ м]

Рис. 3. Гистерезисные траектории. Процессы «нагрузки» отмечены стрелками вверх, «разгрузки» - стрелками вниз. Жирные кривые ограничивают область предельного цикла, тонкие определяют возможные траектории промежуточных состояний

Подстановка (17) с учётом (18) в (15), (16) приводит к системе уравнений

£ (дС+Д ф. Л') = о,

,=о

£ (пг;-а ф х )=о,

,=о

£ (л, ®;-у *®; )=о,

1=0

£ а (тх, - х )+п, хл- ]=/,

1=0

£[Д (т^ -)-дЖ“'] = /

,=0

£ (у 1Р ®, -л®; )=/ .

(19)

,=0

Последовательное умножение уравнений системы (19) на соответствующие формы колебаний Ут , Жт, 0т (т = 1,...,г) и интегрирование по длине тросика приводят к начальной задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений относительно аг (1), Д (1), у (1), Д (1), П (1), Л (1) • Эта система интегрируется численными методами.

Некоторые характерные гистерезисные траектории, полученные в результате решения нестационарных уравнений (19), показаны на рис. 4.

М [Н • м]

М [Н • м]

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

1

м о о о - о -1 1П

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

Рис. 4. Характерные гистерезисные петли при различных начальных условиях и внешнем возбуждении

о о о 1 о 7 1П

Заключение

В работе предложен подход к решению задач о нестационарных колебаниях многочастотных гасителей вибрации проводов ВЛ с учётом дис-

сипации энергии гистерезисного типа. Для учёта энергорассеяния предложен феноменологический метод, основанный на использовании кинематических уравнений, коэффициенты которых определяются из анализа экспериментальных данных для предельных циклов. Этот подход может быть распространен на задачи о нестационарных колебаниях иных механических объектов с гистерезисным характером рассеяния энергии.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ: код проекта 13-01-00471-а.

Список литературы

1. Stockbridge G.H. Vibration damper. U.S. Patent 1675391. Filling date: Nov 12, 1925. Issue date: Jul 3, 1928.

2. McCombe J., Haigh F.R. Overhead Line Practice (3rd ed.). Macdonald. 1966. P. 216-219.

3. Шкапцов В.А. Методические указания по типовой защите от вибрации и субколебаний проводов и грозозащитных тросов воздушных линий электропередачи напряжением 35-750 кВ. М.: СПО «ОРГРЕС». 1991. 68 с.

4. Danilin A.N., Vinogradov A.A., Lilien J.-L. A Kinematic Model for Hysteretic Dissipation of Vibration Energy for Torsional Damper and Detuner (TDD) // Proceedings of Seventh International Symposium on Cable Dynamics, Vienna (Austria), December 10-13, 2007. P. 247-253.

5. Данилин А.Н., Шалашилин В.И. Способ идентификации гистерезиса на примере гасителя «пляски проводов// Прикладная механика. 2010. Т.46. № 5. С.115-124.

6. Данилин А.Н., Козлов К.С. Моделирование колебаний многочастотного гасителя вибрации с учетом гистерезиса диссипации энергии // Труды IX Всероссийской научной конференции им. Ю.И. Неймарка «Нелинейные колебания механических систем». Нижний Новгород, 24-29 сентября 2012 г. С.320-329.

7. Модель провода воздушной линии электропередачи / В.И. Шалашилин [и др.] // Механика композиционных материалов и конструкций. 2005. Т.11. №4. С.564-572.

8. Shalashilin V.I., Danilin A.N., Volkov-Bogorodskiy D.B. Model of overhead line conductor with interaction of layers // Proceedings of Sixth International Symposium on Cable Dynamics. Charleston, South Carolina (U.S.A.). Sept 19-22, 2005. Pp.371-377.

9. Новая модель деформирования проволочных систем спиральной структуры / А.Н. Данилин [и др.] // Нелинейный мир. 2011. Т.9. №10. С.635-645.

10. Dubois H., Lilien J.L., Dal Maso F. A new theory for frequencies computation of overhead lines with bundle conductors// Revue AIM (Belgium).

1991. No 1. P.45-62.

11. Sauter D., Hagedom P. On the hysteresis of wire cables in stock-bridge dampers// Int. J. of Non-linear Mechanics. 2002. V.37. No 8. P.1453-1459.

Козлов Кирилл Сергеевич, асп., [email protected], Россия, Москва, Московский авиационный институт (государственный технический университет),

Данилин Александр Николаевич, д-р физ.-мат. наук, ведущий научный сотрудник, andanilin@yandex. ru, Россия, Москва, Институт прикладной механики Российской академии наук

ON THE VIBRATIONS OF MULTI FREQUENCY VIBRATION DAMPER BASED ON

HYSTERETIC ENERGY DISSIPA TION

K.S. Kozlov, A.N. Danilin

Spatial variations of the system consisting of the messenger wire and the weight are modeled. The weight - a solid body of arbitrary spatial configuration. The problem is solved in a geometrically linear formulation based on hysteretic energy dissipation described by a kinematic equation, its parameters identification being carried out by the experimental data on hysteresis loops of the limit cycle.

Key words: vibration damper, frequencies and mode shapes, transient oscillations, hysteresis, kinematic approach.

Kozlov Kirill Sergeevich, postgraduate, [email protected], Rassia, Moscow, Moscow Aviation Institute (State Technical University),

Danilin Alexander Nikolaevich, doctor of sciences, senior fellow, [email protected], Russia, Moscow, Institute Of Applied Mechanics