О колебаниях дислокационного сегмента Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 548.4

О КОЛЕБАНИЯХ ДИСЛОКАЦИОННОГО СЕГМЕНТА

© И.Л. Батаронов, В.В. Дежин

Ключевые слова: дислокационный сегмент; обобщенная восприимчивость; спектр колебаний.

Вычислены матричные элементы обобщенной восприимчивости дислокационных осцилляторов и получена их низкочастотная асимптотика. Исследована ориентационная и размерная зависимость колебательного спектра дислокационного сегмента.

В настоящее время известна роль дислокаций в формировании термодинамических, электрических, механических свойств кристаллов, в поведении их во внешних полях, других важных для практических приложений характеристик. Этим объясняется интерес к проблеме колебаний дислокационного кристалла.

Пренебрегая упругими полями дефектов, закрепляющих данную дислокацию, уравнение движения дислокации можно получить, наложив соответствующие граничные условия на £(/, Г) в точках закрепления, где £(/, Г) - смещение точек дислокационной линии, зависящее от координаты I вдоль линии дислокации и времени Г . В рассматриваемом случае закрепленной дислокации потребуем, чтобы £(/, Г) = 0 при I е (-ад; - Ь/2] и [Ь/2; <»), где Ь - длина дислокационного сегмента. При этих условиях уравнение (17) в [1] после преобразований, устраняющих расходимость функции О(г, а), будет иметь вид:

Ь/2

Г<Лг'О0 (г - г', а)^(г', а) = /(г, а), где /(г, а) - ве-

- Ь/2

личина внешней силы на единицу длины дислокации; г - координата вдоль линии дислокации; а - частота. Записывая выражения для ^(г, а) и /(г, а) в пред-

ставлении стоячих волн:

4(г, а) =£е„(а}рп(г),

п=1

ад

/(г , а) = ^^(а)рп (г), получим матричное уравне-

П=1

ние ^Втп(а>)2п(®) = Рп(®), ГДе В

матрица

обобщенных восприимчивостей дислокационных осцилляторов. С использованием результатов работы [1] найдено явное выражение для матричных элементов:

Втп =(-1)2 2 ^^ 3Ъ^Ьптп + 2у(ь2е —2Ь^)Ь]

і1

тп

і 2 2 г/0 » 2 2ті 0

-Ь д Ьтп — уЬе Ці Ьтп —

4Ь2 — Ь2

(2)

где функции ЦтП выражаются через интегральную показательную функцию Ет (г), Ьт1= ЬП - Ь™ + +г (), qa = аЬ/са ; Ь - вектор Бюргерса дислокации; Ь - длина дислокационного сегмента; Ье и -краевая и винтовая компоненты вектора Бюргерса; у = с2/с2 , сГ и с - скорости поперечного и продольного звука; ц - модуль сдвига.

Рассмотрена низкочастотная асимптотика матричных элементов. Для диагональных элементов получено

В„

4жЬ П

~МппЧл + >ГппЦ

где спп = (2УЬе? +(3-4У)Ь$ )[1п(квЬес)-С1п(qn)-

- 81 (^ )/^ ] q2 - коэффициенты эффективной жестко-

1 I 7

сти дислокационных осцилляторов; Мии = ~(Ь2 +

+гЧ2)[1п (кБЬеС)- С1п (qn)+8 (qn )Ьп ] - эффективные массы дислокационных осцилляторов;

9 4 1 -(-1)п 7 ( 2 */Л

Гпп = -qГ-----Ь2 I 1 + -у5/2 - коэффициенты

5 q« V 3 ;

затухания дислокационных осцилляторов, qn = лп . Для недиагональных матричных элементов получено аналогичное выражение, но здесь величины Стп и

Мтп не содержат слагаемых с 1п (квЬеС), где кв -

волновое число, определяющее радиус сферы Дебая, С »0,577 - постоянная Эйлера. Поэтому диагональные элементы по абсолютной величине значительно превосходят недиагональные элементы.

На основе полученных результатов по вычислению обобщенной восприимчивости дислокационных осцилляторов рассмотрен колебательный спектр дислокаци-

О

т

1566

онного сегмента. Были исследованы зависимости собственных частот колебаний дислокационного сегмента и коэффициентов затухания от угла р между линией дислокации и вектором Бюргерса при различных длинах сегмента дислокации. Значения нормированных собственных частот ап = ReЬ(ап - 1уп)/сГ = Lwn /с, и нормированных коэффициентов затухания

уп = -ImЬ(ап - 1уп)/сГ = Ьуп /сГ находились из решения секулярного уравнения det В (а - у ) = 0, где В -

матрица обратных обобщенных восприимчивостей дислокационных осцилляторов. При расчетах использовалось нормированное значение длины дислокационного сегмента Ь = 21п (Ьес/я), где Я - полуширина

дислокации.

При исследовании ориентационной зависимости замечено, что при некоторых значениях длины дислокационного сегмента наблюдаются резкие изменения значений частот (рис. 1). Это связано с трансформацией системы полюсов обобщенной восприимчивости дислокационных осцилляторов. Полюса, отвечающие определенным частотам колебаний, уходят, и этим частотам колебаний начинают соответствовать другие полюса. При смещении полюсов происходит резкий рост соответствующих коэффициентов затухания дислокационного сегмента (рис. 2). Авторы объясняют обнаруженный эффект с точки зрения минимума энергии соответствующей частоты колебаний.

Рис. 1. Зависимости собственных частот колебаний дислокационного сегмента от cos2 р для L »19,6

Авторами также проведено исследование зависимости нормированных частот колебательного спектра а>п и уп от длины дислокационного сегмента для различных типов дислокаций. Для винтовой дислокации замечены качественные отличия зависимостей по сравнению с краевой (90°) и смешанной (45°) дислокациями. На полученных рис. 3-4 наблюдается смещение полюсов обобщенной восприимчивости дислокационных осцилляторов, сопровождающееся резким ростом коэффициентов затухания. Это согласуется с результатами исследования ориентационной зависимости колебательного спектра. Предполагается, что эти отличия связаны с наличием квазилокальных ветвей колебаний у винтовой дислокации [2].

Рис. 3. Зависимость собственных частот колебаний сегмента винтовой дислокации от его длины в случае нечетных частот

Рис. 2. Зависимости коэффициентов затухания колебаний дислокационного сегмента от cos2 р для L ~ 19,6

Рис. 4. Зависимость коэффициентов затухания колебаний сегмента винтовой дислокации от его длины в случае нечетных частот

ЛИТЕРАТУРА

1. Батаронов И.Л., Дежин В.В., Рощупкин А.М. Влияние центров пиннинга и рельефа Пайерлса на обобщенную восприимчивость дислокаций в реальных кристаллах // Изв. РАН. Сер. Физическая. 1993. Т. 57. № 11. С. 97-105.

2. Батаронов И.Л., Дежин В.В. Анализ уравнения собственных колебаний дислокации // Физико-математическое моделирование систем: материалы 2 Междунар. семинара. Ч. 1. Воронеж: ВГТУ, 2005. С. 115-119.

Поступила в редакцию 10 апреля 2013 г.

Bataronov I.L., Dezhin V.V. ON VIBRATIONS OF DISLOCATION SEGMENT

The matrix elements of the generalized susceptibility dislocation oscillators are calculated and their low-frequency asymptotics are obtained. The orientation and size dependence of the vibration spectrum of dislocation segment is investigated.

Key words: dislocation segment; generalized susceptibility; vibration spectrum.

1567