О коэффициентных мультипликаторах в одном весовом пространстве аналитических в круге функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.53

О КОЭФФИЦИЕНТНЫХ МУЛЬТИПЛИКАТОРАХ В ОДНОМ ВЕСОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ В КРУГЕ ФУНКЦИЙ

Е.Г. Родикова

В работе на основе установленных автором точных оценок максимума модуля и коэффициентов тейлоровского разложения функций из весовых классов Sp получена характеризация коэффициентных мультипликаторов в этих классах. Ключевые слова: мультипликаторы, F-пространство, аналитические функции, характеристика Р. Неванлинны.

Пусть C - комплексная плоскость, D = \^: Щ < 1} - единичный круг на комплексной

плоскости, н (D) - множество всех аналитических в D функций. Рассмотрим класс ^, «>-1, (см. [1]) аналитических в D функций, таких что

|(1 - г)“ | Тр (г, f) dвdr <+да ’ (1)

і ,

где О < P < +да, Tіr, f) =_J ln + f іre’e^\dd - характеристика Р. Неванлинны функции

2ж -ж

f, ln + a = max і ln а,О) , a Є R+=^, + да) . При a = О, P = і класс Sp = S1 совпадает с классом Р. Неванлинны по площади.

Пусть X - некоторый класс аналитических в круге D функций.

Определение. Последовательность комплексных чисел Л = |^k } назовем мультипликатором из класса Sp в класс X, если для произвольной функции f Є sp f і z) = ^ cikZk , функция

Л( f)(г)=Е-якакгк єХ • к=0

Описанию мультипликаторов в различных классах голоморфных функций посвящены работы отечественных и зарубежных ученых (см. [2] - [5]). Основным результатом этой статьи является доказательство следующего утверждения:

Теорема. Пусть X совпадает с одним из следующих классов: Sjp (—1 <$<Ос) или Нр (0 < р < да) . Тогда для того чтобы последовательность Л = |^к ^ являлась мультипликатором из класса SPp в класс X , необходимо и достаточно, чтобы

а

f f a+p+і Л'л

exp

-с • k a+2 ^

с > О, k ^ +да. (2)

V V У У

Доказательство теоремы основывается на нескольких вспомогательных утверждениях: Теорема А. Если f Е Бр

( \

a то

ln+ M і r, f) = o

і

a+і ,

к(і-rF У

(З)

где M і r, f) - максимум модуля функции f, т.е. M (rf )=max If (z )l •

Теорема Б. Если f іZ) = anZn - ряд Тейлора функции f Є Sp, то

п=О

ж

1п + \а\ = о

п

о+2 р+1

(4)

V У

Теоремы А и Б установлены автором в работе [6]. Там же доказывается точность оценок (3), Для доказательства следующих лемм введем в классе БОр метрику по правилу

1 ( к

р(ля)=}(1—гТ 11п(1+|у(^)—g(геів)|)

ЛР

ив

V—к ( к

\О

Ыг при 0 < р < 1,

1 (к і \ Лр

|(1 — г )О І 1п (1 + f (ге1в) — g (геів)^) Ыв Ыг

V—к

при р > 1,

(5)

(6)

для любых f, g Є БО .

Лемма 1. Относительно введенной метрики БО образует F-пространство.

Доказательство данного утверждения эквивалентно установлению следующих свойств метрики р( У>g) (см- [7]):

а) р(у, g ) = р( у — g,0)- очевидно;

б) Если У,Уп Є БО и р(Уп,У) ^ 0, П ^ +да, то для любого (5 Є C

р(Руп)^ 0п ^+да;

в) Если (п, (є с и (п ^ ( то Vу Є БО р(Рпу )^ 0п ^+да;

г) БО - полное метрическое пространство.

Доказательство пунктов б) - г) проведем для случая 0 < р < 1. Случай р > 1 рассматривается аналогично.

Докажем сначала полноту пространства БО . Пусть | Уп | - произвольная фундаментальная

последовательность из класса

БО,

то есть

У£> 0 ЗN(^) > 0Уп,т > N^р(/п,/т) < £.

Покажем, что она сходится к некоторой функции / Е S0 .

Сначала докажем, что из фундаментальности последовательности |/ } в S0 следует ее равномерная сходимость внутри круга D . Пусть 0 < Г < R < 1. Ввиду субгармоничности функции

" ( 2 )= 1П (' + |/ ( 2 )- /т ( 2 )|) в D ИМееМ:

1п Р (1 + | / (Re'9)-/ (ReШ )|)<

<

О + 1

О+1

( 2*У(1 — Я)

О + 1 ( 2к)р (1 — Я )О+1 откуда

<

](1 — Г)О І ІП (1 + |Уп (ГЄ'в ) — Ут (ГЄ'в )|)Ыв Я V—к

•р(уп, ут ),

р

Ыг <

1

/^е")-/т(Яе1в)|^ 0, п,т ^+*>.

Используя принцип максимума модуля, получаем, что последовательность | /п } равномерно

сходится внутри круга D к некоторой функции / Е Н (D) . Докажем, что / Е S0 . Фиксируем число 0 < R < 1. Имеем:

Я Л

\а

Я I л

а

|(1 - г )а | Тр (г, /) dвdr <|(1 - г )а| 11п (1 + / (ге1в)) dв

-л 0 Ч-л

Я ( л , ,

|(1 - г)а| |1п I1 + |/ (ге'в)- /п (ге'в )|)М

dг <

0 Ч-л

Фиксируем номер N Е N . Для любого П > N справедливо

V Я (Л , >р

dг + +| (1 - г)а | 11п (1 +1/п (ге"

0 V-Л

dв

dг.

у

1 (Л

\а

р(/п,0 ) = |(1 - г)а| | 1п (1 + \/п (ге")|)

у

- г ]

0 ч-л

) dв

dr <

|(1- г)а ( |1п (1 +1/п (ге'в ) - ^+11)

лр

- г

0 1

ыв

dг +

р

+|(1 - г )а| | 1п (1 + | /И+1\) М ^ = р( /п, /И+1 ) + р( У^0 )<£ + % = с1.

0 Ч-л У

Поэтому

Я л

|(1 - г )а | ТР ( г, / ) вг <р( /п, / ) + р( /п,0 )<£ + С1 = С2 .

0 -л

В силу произвольности выбора числа Я получаем, что / Е S0 . Значит, ^ - полное пространство.

Докажем теперь справедливость свойства б).

Пусть /,/п Е S0 и р(/п,/) ^ 0, п ^ +да, ( Е С . При ( < 1 свойство сразу следует. Предположим, что ( > 1. Можно считать, что ( > 1 .Так как последовательность |/п } сходится, то она фундаментальная. Но из фундаментальности, как установлено выше, следует равномерная сходимость указанной последовательности внутри D.

Поскольку для любого ( > 1 и X > 0 справедлива оценка (1 + (X) < (1+ X )(, то

р((/п,(/ ) = |(1 - г )а| | 1п (1 + (/п ( ге’в)-/( ге'в)) ^ \ ^ <

1 (Л

<](1 - г )а | 1п (1 + | /п ( ге1в )- / ( гс"))^"

0 Ч-л

dг <

Лр

<(|(1 - г)а I 1п (1 + /п (ге'в)-/(ге1в))^в ^ = (-р(/п, /),

0 Ч-л У

откуда следует свойство б).

Докажем, что выполняется свойство в). Пусть (п, ( Е С и (п ^ (.

р((п/.(/Н(1 - г )а| I 1п (1 + (п/ (ге1в)-(/ (ге1в)|)

0

) dв

dг =

71

Л

Л

1 ( Л Л г> 1

= |(1 -г)а| 11п(1 + /(ге1в)\\(п-()dв dг = |... + |... = + Зг.

0

Лр г,

dг =

6

Выберем 0 < г < 1 так, чтобы Л2 < ^, где 6 > 0 - произвольное достаточно маленькое

число.

0 / I I

Л =|(1 - г)а 11п (1 + \/(ге1в р„-(

0 V-л

-() dв

dг <

<1

(2л)р 1пр 1 + (п -(ехР С(1 - г0 )

а+1--^^ 1 -(1 - г0)

+1

а+1

а +1

<

<^1..р (1+(-()<б, а +1 2

при п > N (б) . Таким образом, свойство в) установлено.

Итак, из а) - г) следует, что S|p образует F -пространство. Лемма 1 доказана.

Лемма 2. Пусть последовательность комплексных чисел {Л Г удовлетворяет следующему

условию:

Л = о

ехр

+р+1 ЛЛ

. к а+2 р+1

V V

к — +<х>,

(7)

//

для любой положительной последовательности {Ск } , Ск X 0, к — +да. Тогда найдется

положительное число С > 0, такое что для всех номеров к Е N будет выполняться условие (2).

Доказательство леммы 2 повторяет рассуждения, проведенные в работе [4], но с показателем

а + р +1

степени

а + 2 р +1

Лемма 3. Пусть g (2 ) = ехр—

С

а+1

(8)

(1 - 2) р

+1

+ГО

Е, ап ( С) 2П - ряд Тейлора функции g. Тогда справедлива оценка:

п=0

а„

с ) г ±

а+р+1

> ехр ( сп )а+2 р+1 .

(9)

Лемма 3 устанавливается на основе рассуждений, проведенных при доказательстве соответствующей леммы из [5].

Как показано выше, из сходимости р( /п, /) —■ 0, п — +^ следует равномерная сходи-

мость

последовательности функций /п ( ге*в ) к функции / ( ге*в ) в D . Следовательно,

+Ю +Х>

/п (2) = Е“"к2 и /(2) = Еак2 ,

если

к=0

к=0

то ак —— ак, п —— .

Пусть X - F -пространство, состоящее из комплексных последовательностей {Ьк}” , таких

Л

что сходимость последовательности (п = {Ь’п } — ( = {Ьк } предполагает покоординатную сходимость Ь'п — Ьк, п — +да, к = 0,1,2,...

Рассмотрим коэффициентный мультипликатор А = {Л } из класса SРp в класс

X = {нр (0 < р < да),(-1 < ( < а)}. (10)

А - замкнутый оператор, следовательно, по теореме о замкнутом графике (см. [7]) А - непрерывный оператор, и отображает ограниченные в классе S|p множества в ограниченные в классе

X множества.

Доказательство теоремы

проведем для случая 0 < р < 1, случай р > 1 рассматривается аналогично.

Необходимость. Согласно лемме 1, нам достаточно показать, что последовательность А удовлетворяет условию (7) для некоторой положительной бесконечно малой последовательности

{Ск }.

Последовательность {Ск } выберем таким образом, чтобы выполнялись следующие оценки:

ck — O

1

(g—p) p

k (g+2 p+1)( P+2 p+1)

, k —— +да, если X — Sp (—1 < P < g), (11)

1 1

да

1 g+p+1 ^ Ck ^ ^ ’ еСЛИ X — RP (0 < P-да) • (12)

k 2 g+2 p+1

Пусть последовательность } удовлетворяет следующим условиям:

Yk

1 — т- rk <1 — exP k

V ck J

'k

11, k —+да, (13)

где Yk ^ 0, k — +да, такая что Ck — О (Yk ) •

Рассмотрим в классе Sjp последовательность функций

C

fk(z)— g(rkz)— exP--------------------------------------------------k-g+r~, k —1,2,...5 (14)

(1 — rkz) p +1 удовлетворяющих условиям леммы 3 •

Поскольку из (13) следует, что

ck 1пт^ < Yk, k —Uv-1—rk

то функции последовательности | fk } принадлежат классу sg при всех натуральных k •

Покажем, что | fk } - ограниченная последовательность в классе sp , то есть докажем, что существует такое действительное 0 < X < 1, что при всех натуральных k выполняется неравенство p(hfk ,0 ) < ^, где TJ - фиксированное положительное число (см^ [7], с 31)

Рассмотрим случай 0 < p < 1 •

\р

р(Л/к,0) = |(1 - г)а 11п(1 + Л/к(ге'в))Ыв Ыг = |... + |... = Л + ^, (15)

0 Ч-л

где 0 < г^ < 1 выберем таким образом, чтобы

\р

( 2л)

а +

1 (1пр(1 + Л) + 6л 1пр2) + Гк <Л,

(16)

где 6л =(1 - гл )а+1.

Оценим отдельно каждый из интегралов /1 и /2 .

л <( 2л) р 1п р 1+Лехр ск (1 - гкгЛ)

а+1

+1

1 -(1 - гл) а +1

а+1

откуда

/1 <( 2л) р 1пр (1+ Л)-1 6

а +1

(17)

где 6Л = (1 - гЛ )

а+1

Оценим интеграл /2: 1

'2 • л

/2 = |(1 - г)° | 1п(1 + Л|Л (ге1в)|)

Ыв

Ч-л

Ыг <

Ч-л

1 ( Л Лр 1 ( Л

<|(1 - г)а 11п(1+ Л)Ыв Ыг + |(1 - г)а 11п(1 + /к (ге1в))Ыв

г) I 1п|

Ч-л

<

Но

1

(2л) 00+1 + Л) (1 - гл)°+1 + |(1 - г)° I (1п + /к (ге1в) + 1п2)Ыв

гЛ Ч-л

Ыг <

Ыг.

I (1 - г )° |(1п + /к ( ге1в)+ 1п2 ) Ыв Ыг <( ^ 2 (1 - гл)°+1

Л Ч-л У

+ п,

поэтому окончательно получаем:

(2л)р (1пр 2 + 1пр (1 + Л))

а +1

\а+1

6л+П -

(18)

где 6л = (1 - гх )С

Складывая неравенства (17) и (18), приходим к оценке (16). Значит, р(Л/,0)<^ при 0 < р <1 .

Итак, мы показали, что при всех натуральных к последовательность функций {/к } ограни-

чена в S0 , значит и мультипликатор

а( /к)

ограничен в классе

Пусть сначала X = Нр (0 < р < да) . Имеем:

II А(/к )||Нр < С , С = С°Ш .

Л

Если

a+1

+да

—х *"k) z" e sg,

n—0

/к (2 ) = ехр— _

(1 - гк2) р

+да

то А(/к )(2) = 'Е,Лп0п^2п Е X, а значит, (см. [2])

"—0

Лпа{пк}

Лпа{пк}

где Ср - некоторая константа, зависящая от параметра р .

< C • Cp • "p , если 0 < p < 1.

< C • Cp, если 1 < p < да.

Так как /к (2) = g (^2), то а^^ = ап (Ск ) г^ . Согласно лемме 3,

k)r " a" rk

a+p+1

> rk" exp ( ck" )a+2p+1

Учитывая неравенство (13), получим:

>

exp ( ckk )a+2 p+1

*(k)r k ak rk

V k J Из (20), (22) заключаем:

-—1 f a+p+1 ^

|Xk| < C • c’p • kp • exp —(ckk)a+2p+1

V

то есть

f f a+p+1 ЛЛ

|Xk| — O exP

JJ

—ckk a+2 p+1

V v

a+2 p+1 ~ a+p+1

где ck — ck

k — +да.

(21)

(22)

(23)

Аналогично из (21), (22) получим (23).

Рассмотрим теперь в качестве пространства X пространство S(p , где -1 < (5 <а .

+да +да

Если /к ( 2 ) =Е а(п] 2П е Б0, то а( /к)(2)=ЕЛпа(п] 2П е х , а значит, по теореме Б

"—0

"—0

f a+p+1 ^

X"a"k} — О exp "a+2 p+1 ," — +да, (24)

V

то есть

■ (k)

a+p+1

< sk exp "g+2 p+1," — +да,

К*

где Sk — o (1), k —— +да •

Так как /к (2) = g (^2), то ^ = ап (Ск ) г^ . Из оценок (22), (25), получаем:

1

f a+p+1 ^ f a+p+1 ^

— ( ckk )a+2 p+1 X exp Skk a+2 p+1

V J

lXkl < exp

a+p+1

—ckk a+2 p+1

X

1 —

(a—p) p

k (a+2 p+1)( P+2 p+1)

(26)

Но с учетом условия (11) имеем:

(a—p) p

— 0, k — +да^

c

k (a+2 p+1)( P+2 p+1)

k

Поэтому из (26) получаем:

f f a+p+1 ^

—ckk a+2 p+1

|X|—о

exp

V

V

k — +да •

/J

Достаточность. Пусть последовательность Л — Xk } удовлетворяет условию (2) теоремы

+да

и f Е Sjp, f ( z) — X ^ *kZ • Из теоремы Б следует

k—0

|ak I < C1 exp

a+p+1 ^ Sk • k

c

где С1 > 0 . Подбирая номер к„ так, чтобы 6к < ^ при всех к > к„, получим:

|Xk*k| < C2 exp

+да

Так как ^ exp

k=0

a+p+1 ^

c k a+2 p+1

2’

J

a+p+1 ^ c k “+2 p+1 Y

, k > k0, C2 > 0^

< +да , то Л( f)(z) Е X при любом указанном выборе

класса X • Теорема доказана^

Работа выполнена под научным руководством д^-м^, профессора ФА^ Шамояна^

In this paper, based on previously established by the author exact estimates of the maximum modulus and the Taylor coefficients of the functions from the weight classes Sj^ , we characterize coefficient multipliers in those classes^

The key words: multipliers, F-space, analytic functions, the Nevanlima characteristic.

Список литературы

L Шамоян ФА^ Параметрическое представление и описание корневых множеств весовых классов голоморфных в круге функций // Сиб^ матем^ журн^ 40 (6), 1999^ С 1422-1440^

2^ Евграфов МА^ Поведение степенного ряда для функций класса H g на границе круга

сходимости // Изв^ АН СССР^ Сер^ матем^ 16 (5), 1952^ С 481-492^

3^ Duren PL^ Theory of Hp spaces, Pure and AppL MatL, 38, Academic Press, NY, 1970^

4^ Yanagihara N Multipliers and linear functionals for the class N +, Transactions of the

AMS, 180, 1973^

5^ Шамоян ФА, Шубабко ЕН Об одном классе голоморфных в круге функций // Ис-

следования по линейным операторам и теории функций 29, Зап научн сем^ ПОМИ, 282, ПОМИ, СПб, 200LC 244-255^

6^ Родикова ЕГ^ Об оценках коэффициентов разложения некоторых классов аналитических в круге функций // Материалы VI Петрозаводской международной конференции «Комплексный анализ и приложения», Петрозаводск: Изд-во ПетрГУ, 2012^ С 64-69^

7^ Рудин У^ Функциональный анализ^ М^ Мир, 1975^ 443 с

Об авторе

Родикова Е^ Г- аспирантка 2 года обучения кафедры математического анализа БГУ, evhe-ny^yandex^ru^

ON COEFFICIENT MULTIPLIERS IN ONE WEIGHTED SPACE

OF ANALYTIC FUNCTIONS IN A DISC

E.G. Rodikova