CC BY
66
XaK 614.8:621.39
В.Н. Кононенко, Л.М. Склярова (ФГУВНИИГОЧС (ФЦ)) о классификации методов расчета показателей структурной надежности систем связи и управления национального центра управления в кризисных ситуациях
V.N. Kononenko, L.M. Sklyarova (FGUVNIIGOChS) classification of indicators of structural reliability of communication systems and management calculation methods of national management center in crisis situations
В статье рассмотрены методы расчета показателей структурной надежности систем связи и управления Национального ЦУКС и приведены соответствующие примеры расчета.
In article there are viewed methods of estimation of structural reliability of communication systems and management calculation methods of National management center in crisis situations.
В.Н. Кононенко
Л.М. Склярова
Национальный центр управления в кризисных ситуациях (НЦУКС) — орган повседневного управления единой государственной системы предупреждения и ликвидации чрезвычайных ситуаций (РСЧС), предназначенный для обеспечения деятельности МЧС России по управлению в области гражданской обороны (ГО), защиты населения и территорий от ЧС, обеспечения пожарной безопасности, безопасности людей на водных объектах, а также управления в установленном порядке деятельностью федеральных органов исполнительной власти в рамках РСЧС.
Национальный ЦУКС РСЧС и ГО должен соединить в единую вертикаль все структуры, связанные с предупреждением, прогнозированием и ликвидацией ЧС не только на федеральном, но и на региональном уровне. Начальникам Северо-Западного, Южного и Сибирского региональных центров поставлена задача [1] — организовать работы по строительству и техническому оснащению региональных ЦУКС как элементов Национального ЦУКС — это обуславливает актуальность разработки методик расчета показателей надежности систем связи и управления НЦУКС.
Одним из направлений деятельности НЦУКС является непосредственное управление предупреждением и ликвидацией ЧС: подготовка решений, доведение приказов, анализ хода выполнения мероприятий. Система связи НЦУКС, развертываемая для обеспечения повседневного управления, должна отвечать следующим основным требованиям: быть в постоянной готовности к выполнению задач по предназначению, устойчивой, обладать высокой мобильностью, необходимой пропускной способностью, обеспечивать требуемую достоверность, скрытность и безопасность всех видов информации, циркулирующих в системе. Устойчивость же является функцией трёх аргументов: живучести, помехоустойчивости и надежности.
Система связи НЦУКС относится к классу структурно-сложных систем. Под надежностью системы (сети) связи следует понимать ее объективное свойство в процессе функционирования — быть работоспособной с качеством, не хуже заданного проектом. Сеть связи НЦУКС представляет собой организационно-техническое объединение узлов, центров и линий связи, развернутых в соответствии с общим замыслом ее построения для предоставления телекоммуникационных услуг, то основной мерой оценки надежности сети является связность ее элементов.
В силу конечной надежности элементов сети связи и в условиях дестабилизирующего воздействия внешней среды с течением времени некоторые из них могут выходить из строя. При наличии системы восстановления неработоспособные элементы могут быть переведены в работоспособное состояние, обеспечивающее их нормальное функ-
о
ю «
р
го «
р
к
с е
т
и н
х
£ I
о н
т
«
I
ционирование в сети связи. Такой альтернирующий случайный процесс характерен для любых технических систем с сетевой структурой.
В проблеме анализа надежности сетей связи условно выделяют ее элементный и структурный аспекты. Для решения задач анализа надежности сети связи каждого из этих аспектов существуют соответствующие методы их решения. Взаимосвязь этих аспектов в достаточно общем виде выражается в том, что результаты решения задач первого из них являются исходными данными для решения задач второго аспекта.
Следует иметь в виду, что в общем случае задачи второго аспекта относятся к классу ИР трудных задач [2]. Это означает, что с ростом размерности анализируемых сетей связи трудоемкость вычислений растет существенно нелинейно. В силу этого в общей теории надежности различают точные и приближенные методы решения задач подобного класса. Среди приближенных наиболее эффективными являются так называемые методы расчета двусторонних оценок. При использовании последних существенным достоинством таких методов является возможность количественно оценивать достигаемую погрешность вычислений по окончанию выполнения некоторых итерационных шагов.
При исследовании надежности таких систем связи (рис. 1) в качестве математической модели целесообразно использовать случайный граф (СГ) [2],
на котором следует выделять так называемые двухполюсные сети (ДС).
В общем случае таких ДС на СГ может быть некоторое множество. В каждой ДС различают вершину-исток ^ и вершину-сток t и может быть задан алгоритм их взаимодействия в виде каких-то ограничений, требований и т.п. Например, ограничение на число транзитных вершин в путях их взаимодействия, требование на пропускную способность этих путей и т.п.
Взаимодействие вершин-полюсов ДС определяется связностью ^ и t по элементам СГ, которая и составляет основу оценки их надежности. Иногда для подчеркивания (как минимум) двухаспектности проблемы анализа надежности говорят об оценке структурной надежности ДС. При этом в качестве показателя структурной надежности ДС оперируют вероятностью связности (ВС) Д( вершин-полюсов я и t, под которой понимают вероятность события Е' 1 застать в произвольный момент времени Т0 в исправном состоянии хотя бы один путь связи. Эту вероятность Р, и рассматривают в качестве коэффициента готовности (КГ) ДС.
В общем случае все методы расчета показателей структурной надежности случайных двухполюсных сетей (ДС) делятся на статистические и аналитические, а аналитические методы расчета показателей структурной надежности (АМРПСН) в свою очередь делятся на точные и приближенные (рис. 2)
(2 ) Санкт - Петербург ЦУКС СЗРЦ
(14)_Смоленск
(3) Вологда
( 13) Брянск
0
ю
а р
го
а р
е и к
с е
т
и н
х
хет
1
о н
т
у
а
I
( 12) Курск
( 11) Воронеж'
ЦУКС ЮРЦ
Ижевск
(7) Челябинск
ЦУКС
СРЦ, ДВРЦ
Рис. 1. Фрагмент сети связи НЦУКС
А Н А Л И Т И Ч Е С К И Е М Е Т О Д Ы РАСЧЕТА ПОКАЗАТЕЛЕЙ СТРУКТУРНОЙ НАДЕЖНОСТИ
Т О Ч Н Ы Е
П Р И Б Л И Ж Е Н Н Ы Е
Неконсервативные
Консервативные
МППСЭГ
МПППЦ
МРБФ
МОПЦ
МДГ
Г
Л,
А
1 -
О
МППСЭГ
МПППЦ
МРБФ
МОПЦ
МДГ
P
s ,t
PH ^ P t ^ Pt
s,t s,t s,t
А
л
P
s ,t
1>
ОЭП
МЭО
ММЭО
MPK
it PH < P < pB \
1
s,t s,t s ,t
А
с
-----------P
s,t
n,,
Рис. 2. Аналитические методы расчета показателей структурной надежности
В теории графов путь рассматривается как простая цепь (ПЦ), обозначаемая символом М- , где Им— число ПЦ, множество которых Мм={Ц„} формируется в анализируемой ДС [2]. Понятно, что ВС ДС является важнейшим показателем, в основном определяющим численные значения любых стохастических структурно-сетевых характеристик анализируемых ДС. Например, таких как своевременность, достоверность, пропускная способность, оперативная готовность и т.д. и т.п. Соответственно, здесь Р^ всегда есть точное значение (ТЗ) ВС, а в качестве двухсторонних оценок (ДСО) ВС ДС выступают нижняя оценка (НО) Р^^ и верхняя оценка (ВО) Р^^ ВС ДС.
Видно, что при пошаговом итерационном вычислении ДСО ВС ДС на каждом п шаге (т.е. по мере включения п элементарных конструкций (ЭК) в общий «конвейер» вычислительных процедур) в силу использования аналитических аддитивных процедур (методов) всегда наблюдается Р" ^ Р, ^ Р-В (хе. Р" — Р , Р^ ) так, что для некоторых неконсервативных подходов может даже наступать и Р" = Р н = Р* . Поскольку это так, то на любом шаге всегда справедливо выполнение следующего:
P .In
PB + P
А s • tn
p B - P
P t - P. | < А , , (1)
s,I s,I„ s,I„ ' V /
где P7,tn — приближенная оценка (ПО) ВС ДС на n шаге, Д,п — верхняя оценка достигнутой к n шагу погрешности вычислений ПО ВС ДС, априори гарантирующая Ъ Sttn< Дs,tn, где bstn — апостериори наблюдаемая абсолютная погрешность вычислений (т.е. реальное отстояние PS~:tn от PS:t ). Понятно, что вычисление bS:tn на n шаге возможно, если до начала вычисления (т.е. при n = О) ДСО ВС ДС будет известно (т.е. вычислено) ТЗ ВС ДС Ps,t.
Продолжая наши рассуждения о точном и приближенном вычислении ВС ДС, можно предложить следующую трактовку этих понятий; необходимо иметь в виду, что говоря о вычислении ТЗ ВС ДС, мы предполагаем, что проблема точности вычисления PS:t лежит за пределами обоснования точности подготовки исходных данных по надежности элементов анализируемой ДС.
Из рис. 2 видно, что, в свою очередь, приближенные АМРПСН делятся на неконсервативные и консервативные [3]. Под неконсервативными АМ-РПСН понимаются такие методы, для которых при выполнении n итерационных шагов по вычислению НО и ВО (т.е. ДСО) ВС ДС в принципе достижимо P" ^ P | ^ PB . Иными словами говоря, для неконсервативных АМРПСН справедливо выполнение требования Дм ^ 0. Основу реализации приведенного
0
VO ^
т
а ср
и
X ^
и си
X X
1
X ?
0
л
X
ш
1
технологии гражданской безопасности
99
2
2
0
Ю
а р
го
а р
е и к
с е
т
и н
х
хет
1
о н
т
у
а
I
выше составляет использование принципа дуальности [4]. Для консервативных АМРПСН в принципе не достижимо реализация требования Д^ ^ 0, поскольку эти методы в своих вычислительных процедурах реализуют не Р% ^ Р, <г- р , а Р* < Р. < РВ .
Вместе с тем следует заметить, что все точные методы NP— сложны [5]. Это означает, что с линейным ростом размерности анализируемой сети (системы) связи трудоемкость вычисления ТЗ ВС ДС растет экспоненциально. Естественно, что такого рода ограничение определяет существенно узкие рамки практического использования точных АМРПСН, поскольку как бы высоко не выросла производительность как современных, так и перспективных ЭВМ, всегда можно будет найти такую структуру случайной ДС, время на расчет ВС в которой устремится в бесконечность.
Понятно, что если к неконсервативным АМРПСН требование Д, к точности расчета ужесточить до ^ 0 (в общем случае возможно и = 0, что приводит к РН = Р,, = Р,в, ), то, поскольку они реализуют РН ^ Р, , Р/, эти методы будут также — трудны, как и точные. Однако существенным достоинством неконсервативных АМРПСН является то обстоятельство, что при выполнении п итерационных шагов в условиях дефицита времени на расчет всегда можно будет прекратить вычислительную процедуру и, воспользовавшись (1), вычислить как ПО ВС ДС, так и достигнутую к п шагу погрешность Д, . Вполне очевидно, что это предоставляет проектировщику свободу в выборе пути: а) то ли удовлетворится полученной ПО ВС ДС, оценивая качество вычислений по достигнутой б) то ли продолжить вычислительный процесс, стремясь к достижению Д ^ - Д , где Д.,Ар — требуемая погрешность вычислений.
На этапе поиска эскизно-предварительных структурно-сетевых решений удовлетворяются первым «быстрым» (т.е. по пути «а)») завершением задачи. Когда искомое структурно-сетевое решение становится более или менее ясным, то в этом случае можно пойти и по второму пути (т.е. по «б)»). Если вычислительные возможности ЭВМ позволяют и проектировщик не очень стеснен временными рамками и где — то интуитивно понятно, что расчет не займет слишком много времени, то иногда идут и по пути вычисления ТЗ ВС ДС. Особенно это удобно тогда, когда у проектировщика есть возможность визуально наблюдать на экране монитора процесс сближения накапливаемых ДСО ВС ДС друг к другу. Что касается консервативных АМРПСН, то этот инструментарий всегда относился к «очень быстрым» (правда, есть и исключение; об этом исключении будет изложено ниже) методам расчета ПО ВС ДС, но в части вычисления погрешности вычислений реализующим только лишь Р", < Р, , < Р^ . Можно утверждать, что применительно к консервативным АМРПСН реализация требования - Д^ невозможна. Это приводит к тезису следующего вида: «Какая ПО ВС ДС получилась, такой оценкой и ее погрешностью и удовлетворяйся!». Конечно же, чисто случайно для
некоторых структур ДС может получится, что полученная при этом погрешность вполне удовлетворяет - Д^тг . Но целевым образом ставить себе задачу добиться удовлетворения неравенства Д^, - Д.,Ар при использовании консервативных АМРПСН проектировщик не может.
Краткое описание АМРПСН
Краткость изложения будет заключатся в том, что будет полно раскрыто наименование излагаемых методов, их математическая основа и будет приведена ссылка на соответствующую литературу. Порядок описания методов ориентирован на их представление в иллюстрации, показанной на рис. 2, из которых для описания примеров расчета выберем два метода: из точных выберем МОПЦ, к которому применим принцип дуальности и покажем, что он может быть и неконсервативным (приближенным): а из приближенных консервативных — выберем МЭО.
На рис. 3а представлена структура «мостика» в виде случайного перенумерованного графа
о = [2].
Здесь использованы следующие условные обозначения:
V = {у^ } — множество вершин графа, число которых равно \У| = К (в нашем примере К = 4); запись i = 1, К означает, что индекс i принимает численные значения от 1 с шагом 1 до К;
Ь = { jу = 1,,^)л(/ < у)л(/' Ф у )} - множество ребер графа, число которых равно \L \ = и (в нашем примере и = 5); (,, у) — номера вершин граничной пары (ВГП) ребра, \ — символ «при условии», л — символ логического «И»; коль скоро граф, представленный на рис. 3а перенумерован, то нумерация его элементов произведена способом вычеркивания дуг [3] так, что к = = 1,2,3,...,К}, а
L = {/?|С = К +1, К + 2, К + 3,..., К + и};
5 ■
б)
Рис. 3. Мостиковая схема
Ф( I. ) = и. & и — отображение инцидентности и смежности элементов графа; если вершины и. и и соединены ребром I.. , то говорят, что они смежны друг другу по ребру I,., но если ребро I,. соединяет вершины и . и и между собой, то говорят, что ребро I, инцидентно вершинам и . и и.; в этом смысле, например, ребро 1^=5 (рис. 3а) как элемент перенумерованного графа в терминах ВГП имеет обозначение I, . При рассмотрении примеров расчета с целью сокращения вычислений примем непринципиальное допущение: пусть надежность вершин графа будет абсолютная, а ребра
I
г
5
графа будут ненадежны и будут выходить из строя независимо друг от друга. Это допущение на рис. 3б представлено так, что вершины графа изображены жирными большими точками без номеров. Заметим, что при необходимости учесть в расчетах ненадежность и вершин, и ребер графа не будет представлять особых затруднений, что мы и покажем ниже.
Для производства соответствующих расчетов нам потребуется множества двух типов элементарных конструкций (ЭК): ПЦ и простых разрезов (ПР). Под ПР понимается [1] минимальная по включению совокупность элементов графа ДС, исключение которых из последнего приводит к разбиению исходного графа на две несвязные компоненты графа D1 и D2 такие, что 5 е D1 , t е D2 и D1 I D2 = 0, приводящее, естественно, к М = 0, где е , I и 0 — соответственно символы «принадлежит», «пересечения» и «пустого множества». Минимальность по включению элементов графа в ПР формально описывается следующим образом:
3/сег„[/слм^=0]=
• гп ■= \ \\ , (2)
где: и / ^ — неисправное и исправное состояния ^-го ребра; ^ — символ «следования» из формальной логики или логическое высказывание «Если..., то...»; 3 — символ формальной логики (предикат) «квантор существования», читаемый как «Хотя бы для одного элемента множества . справедливо высказывание ...»; := — символ «присваивания» или «переприсваивания»; \ — символ «за исключением».
Приведенное выше соотношение в целом читается так: «Если простой разрез сформирован и все его ребра неисправны, то если для какого-либо его ребра справедливо высказывание о том, что при переводе его в исправное состояние между полюсами 5 и t невозможно сформировать ни одной простой цепи, то это ребро избыточно по включению и его надо из простого разреза исключить». Применительно к графу, представленному на рис. 3б, множество ПЦ имеет следующий вид:
М „ ={м= {Ц :=! ={5,8}, Ц :=2 ={6,9}}, Ц „=3 {5,7,9},
Д „
= {6,7,8}} ,
(3)
К = к, - к°=1 - = {8,9}},г^з = {5,7,9},
г^ = {6, 7 ,8}\ , (4)
где \?°( = \г°} — максимально возможное подмножество взаимно непересекающихся простых разрезов (МВПВНПР) [2], а N — число ПР в анализируемой ДС.
На рис. 5 представлены структуры ПР множества (3). Можно видеть, что между ПЦ и ПР существует взаимно однозначное соответствие, выражаемое следующим образом:
Рис. 5 Структуры простых разрезов
Уд „ е М , , „ I
* 0 ]
(5)
где V — символ формальной логики (предикат) «квантор общности», читаемый как «Для любого элемента множества . справедливо высказывание ...»; например, соотношение (5) в целом читается так: «Для любой простой цепи из всего их множества справедливо высказывание о том, что ее пересечение с любым простым разрезом всегда не пусто». Наблюдая ЭК, представленные на рис. 4 и 5, можно видеть, что формальное высказывание (4) действительно справедливо вплоть до ц3 I г3 = ц3 или ц3 I г3 = г3 и Ц4 I г4 = Ц4 или ц4 I г4 = г4.
Для простоты положим, что вероятности исправного и неисправного состояния у всех ненадежных ребер одинаковы и равны Рс=5\ = q \=у\ = 0 , 5 (так сказать, «сииметричны»). Такие исходные данные выбраны для расчета «мостиковой схемы» потому, что, во-первых, упрощают процедуру вычислений, а, во-вторых, при таких исходных именно у «мостика» результат для частного случая описа-
ния
Е^,, при р(у.-\) = 1 и р(1 -) = 0 ,5
тоже имеет, так
где М0, = {ц°п} — максимально возможное подмножество взаимно непересекающихся ПЦ (МВПВНПЦ) [11], а Жм - число ПЦ в анализируемой ДС.
На рис. 4 представлены структуры ПЦ множества (3).
л
Рис. 4. Структуры простых цепей
Соответственно, множество ПР в графе этой же ДС будет иметь следующий вид:
сказать, «симметричный» вид, поскольку ТЗ ВС ДС в этом случае равен Р^, = 0,5, а для общего случая Е™ при р(V,^ ) = 0,5 И р(1С - ) = 0 , 5 ТЗ ВС ДС - «полусимметричный» вид, поскольку Р\*\ = 0, 2 5 .
Точные методы
1. МППСЭГ — метод полного перебора состояний элементов графа [7]. Основу МППСЭГ составляют положения так называемой полной группы событий (ПГС) [8].
2. МПППЦ - метод прямого перебора простых цепей [9]. Основу МПППЦ составляют положения теоремы сложения событий (ТСС) [8].
3. МРБФ — метод разложения булевой функции [7]. Основу МРБФ составляют положения формулы полной вероятности (ФПВ) [8].
4. МОПЦ — метод объединения простых цепей с учетом эффекта поглощения [9, 10, 12]. Основу МОПЦ составляют положения ФПВ [7].
5. МДГ — метод двудольных графов [14]. Основу МДГ составляют положения ФПВ [8] и свойства стянутых двудольных графов (СДГ) [2, 14].
о
ю
а р
го
а р
к
с е
т
и н
х
£ I
о н
т
у
а
i
л
Г
п=1.Ы
R
М
Проиллюстрируем из представленных выше методов только лишь МОПЦ примером вычисления ТЗ ВС ДС, случайный граф которой представлен на рис. 2б. При изложении примеров будем использовать следующие символы:
1. С целью упрощения (как рекомендовано, например, в [13] и использовано в работе [11] вместо булевой переменной ребра ^ будем использовать номер £ этого ребра, называя их в дальнейшем логическими операндами, или просто операндами.
2. Неисправное состояние ^-го ребра будем обозначать как £ , а исправное — как ¡¡(т.е. не неисправен); коль скоро последнее означает двойное отрицание, то чаще всего вместо ¡¡(чтобы избежать излишнего нагромождения в излагаемом) будем использовать просто сам символ фактически полагая £ = понятно, что £ + £ = I, где I — символ ПГС.
3. Вероятность неисправного состояния ^-го ребра обозначим как qi., а исправного — как р?; поскольку С + С = I, то qz + рс = 1.
4. С той же целью упрощения излагаемого вместо символов логических операций V (логическое сложение «ИЛИ») и л (логическое умножение «И») будем использовать соответственно символы «+» и (•) или (*), а в общем случае — символ X; символ (•) используется между независимыми операндами (например, а • Ь, поскольку а П Ь = 0), а символ (*) — между зависимыми операндами (например, (а • Ь) * а • с, поскольку (а,Ь) П (а,с) = а), используя в общем случае символ П.
Согласно (2) и формальным правилам МОПЦ с учетом эффекта поглощения, изложенным в [10], полное событие Е^ связности будет иметь следующий вид:
Е^ = 5 • 8И=1 + 6 • 9 • 5*8 п=2 + 5 • 7 • 9 • 8 • 6п=з + 6 • 7 • 8 • 5 • 9 п=^=4, (6)
Здесь в (6) каждое логическое слагаемое сопровождено п номером ПЦ из (1), тем самым подчеркивается поступательное выполнение п итерационных шагов аддитивной процедуры МОПЦ.
Заменим в (6) логические операнды на арифметические по правилам: а на ра , а • Ь на ра х рь , а на q, а • Ь на 1 — рхр и т.п. (в общем случае символ (х) в арифметических выражениях можно и не ставить). В ре-
зультате такой замены получим формулу, позволяющую вычислять ТЗ ВС ДС (т.е. Р^), граф которой представ-
лен на рис. 3б, а событие Е^ ее связности — в соотношении (6), для любых исходных данных по вероятностям исправного состояния элементов графа (как одинаковым по численным значениям, так и разным):
К = Р5 РК=Х + РбР9 (1 - Р5Р8 ) п=2 + Р5 РпР948Чбп=3 + РбРпР8Ч5 Ч9 п=,м =4 , (7)
При принятых выше исходных данных имеем = qi. = 0,5 по всем ребрам анализируемого графа ДС. Для быстрого производства соответствующих расчетов проектировщику (применительно к данному случаю Р(. = qi. = 0,5) полезно иметь на «вооружении» таблицу (табл. 1), в которой бы имелись численные значения выражения 0,5' =123...
Таблица 1
Исходные данные по ребрам анализируемого графа ДС
о
ю
а р
го
а р
е и к
с е
т
и н
х
е
о н
т
у
а
I
• 1 0,5 * 1 - 0,5 1
1 0,5 0,5
2 0,25 0,75
3 0,125 0,875
4 0,0625 0,9375
5 0,03125 0,96875
6 0,015625 0,984375
7 0,0078125 0,9921875
8 0,00390625 0,99609375
9 0,001953125 0,998046875
10 0,0009765625 0,9990234375
Поскольку р^ = qi. = 0,5, то, зная наизусть значения 0,5' и их дополнения до 1 хотя бы до 10-й степени, можно, практически не прибегая даже к бытовому калькулятору, чуть ли «не в уме» достаточно быстро производить расчеты. Действительно, понятно, что, например, третье слагаемое из (7) вида АР = р5р7р9р8р6п_ъ есть нечто иное, как АР = 0,5' =5, равное (табл. 1) АР = 0,03125.
Итак, согласно формуле (7) ТЗ ВС анализируемой ДС (рис. 3б) равно:
PLt = 0,25 , + 0,1875 2 + 0,03125 3 + 0,03125 ^ 4 = 0,5,
5 ,t ' n=1 ' n=2 ' n=3 ' n=NM=4 '
Покажем процесс «накопительства» ТЗ ВС ДС в n-м пошаговом виде:
f + + + + н л ос .. г>н л тс ч пЯ
р" = рн = 0,25^РЯ _ = 0,4375^PH _ = 0,46875^ P t = PLt = 0, 5
S.l.__л S.l.__i J S.l . _ J s.t . - J s ,t . . s,t J
' n=1,Nm=4
(8)
, (9)
v • • .-..-т-. у
+
В формуле (9) символом ^ условно показано, что идет «положительное накопительство» (т.е. нарастающим итогом), обеспечивая реализацию р\\ _ ^ р\, .
На рис. 6 представлен график п пошагового «накопления» ТЗ ВС анализируемой ДС. Из (8), (9) и рис. 6 можно видеть, что МОПЦ является действительно аддитивной процедурой.
Неконсервативные приближенные методы
Из рис. 2 можно видеть, что наименование этих методов точно такое же, как и у точных. Что касается их сути, то коротко можно сказать так: «Если к точным методам приложить принцип дуальности, то они становятся неконсервативными приближенными методами». В общем случае под дуальностью точных методов понимается их принципиальное свойство на одних и тех же п итерационных шагах, используя одни и те же ЭК, одновременно описывать как событие Е,, связности, так и событие Е— несвязности анализируемой ДС, априори обеспечивая реализацию Р" Р,, <г- Р^. Здесь под ЭК понимается либо ПЦ, либо ПР, либо СДГ и т.п. Понятие принципа дуальности применительно к ТКН впервые было строго обосновано в работе [10].
PH ^ P
L
s ,tn А 1,0 -0,9 -0,8 -0,7 -0,6 -0,5 0,4 0,3 0,2 ОД 0,0
s ,t
Точное значение ВС ДС
р;, = 0,5
0 12 3
Рис. 6. График п пошагового «накопления» ТЗ ВС анализируемой ДС
> n
Из ТКН в общем случае известно, что E + E— = I, откуда следует, что р(e ) + PÍE— ) = P + P— = 1 .
Если число ЭК равно N, то при выполнении (n=N)-x итерационных и аддитивных шагов получаемые события
Esj и E— становятся полными, а вычисленные при этом Psj и р являются ТЗ ВС ДС. При n<N соответствен' sJ H '
но получаем неполные события Es t связности и E— несвязности анализируемой ДС, при этом вычисляются
' s,t
НО ВС Ps t и НО pJí вероятности несвязности (ВНС) этой ДС.
Поскольку происходит «недобор» (n < N)-x итерационных шагов, то вполне естественно, что E H + Ен < I и PH + PH < 1 , откуда непосредственно вытекает, что, во-первых, PH ^ PsJ всегда есть НО ВС ДС, а, во-вторых, pB = 1 - рИ всегда есть ВО ВС ДС [11]. Отсюда же четко видно, что при n < N всегда и
о
VO re CP
го «
CP
и cu т X I
X £
I
0
1 т
i
4
е
т
н х
априори выполняется Р^,, < Р^, < Р^,, . При устремлении п ^ N наблюдаем Р^,, ^ Р^, ^ Рв,, так, что при п = N имеет место быть Р^,, = Р5,,= Р^,, . Из этого следует, что на любом п итерационном шаге всегда есть возможность, воспользовавшись (2), вычислить ПО ВС ДС и при удовлетворительной погрешности, например, прекратить дальнейшие расчеты. Это и является главным и основным достоинством неконсервативных АМРПСН.
Проиллюстрируем изложенное выше на примере случайной ДС, изображенной на рис. 3б, приложив принцип дуальности к МОПЦ с учетом эффекта поглощения. Получение НО ВС ДС на п итерационных шагах достаточно подробно было рассмотрено в (6) — (9) и представлено в графическом виде на рис. 6.
Формальные правила описания события несвязности Е— ДС на тех же итерационных шагах, что и
я,
при описании события Е„ связности той же ДС, используя одно и то же множество ПЦ, доказательно и подробно изложены в работе [11]. Здесь мы эти формальные правила только лишь проиллюстрируем.
Используя МВПВНПЦ из (3) вида, м = {Д °„=1 = {5 ,8} Д °=2 = К 9 }} , а также обоюдосторонние пре-
N N _ М = N _ N = (-1 _ _ _ _ _____
образования вида Па.-= Па» иПа< = IX П°« из [12] (например, а • Ь = а + а • Ь или а • Ь = а + а • Ь), пред-
1=1 1=1 у=1 1=1 1=1 у=1
варительно получим суммы ^ _ и S2 _ следующего вида:
• ¡»=2 = 5• 8• 6• 9 = (5 + 5• 8)•(б + 6• 9) = 5• 6 + 5• 6• 9 + 5• 8• 6 + +5• 8• 6• 9 = (& _ = 5• 6+5• 8• 6• 9)+к _ = 5 • 6 • 9+5 • 8 • 6 ) (10)
\ »=1,2 ' ^ и=1,2 '
Поскольку слагаемые ^ _ содержат ПР, ребра которых неисправны ( (5 • 6 ) и (8 • 9 ) в (10)), то при выполнении (п = 1,2 ) итерационных шагов получим неполное событие ЕН несвязности следующего вида:
Ен =(5• 6 + 5• 8• 6• 9) п + . . . (11)
Затем при логическом умножении |1 „=3 = 5 • 7 • 9 на (^ _ = 5 • 6 • 9 + 5 • 8 • 6) получим следующее:
Ен _ =(5• 6 + 5• 8• 6• 9)и=Г2 + 5• 8• 6• 7*9и=з +...
При этом сумма £ примет следующий вид:
2п=1,3
52 ^ = 5 • 6 • 9. (13)
(12)
и=1,3
При логическом умножении М- »-«м -4 - 6 • 7 • 8 на ( ^ 2п=п - 5 • 6 • 9 ) получим следующий окончательный результат:
Е- = (5 • 6 + 5 • 8 • 6 • 9) г. + 5 • 8 • 6 • 7 • 9п-з + 5 • 6 • 9 • 7 • 8п-
$.1 \ /п-1,2
(14)
Заметим, что действия, описанные нами в (11) — (14), производятся синхронно с действиями, описываемыми в (6), поскольку используются одни и те же п ПЦ из (3). Согласно (14) формула для расчета ТЗ ВНС ДС будет иметь следующий вид:
= (ЧзЧб + Р548РбЧэ Х=Г2 + РзЧ*Чб (1 - Р7Рэ )п=3 + ЧзРбЧэ I1 - Р7Р8 Х=^м =4 . (15)
При заданных исходных данных (т.е. при р^ = qi. = 0,5 для всех ребер графа ДС, представленного на рис. 3б) согласно (15) ТЗ ВНС анализируемой ДС будет равно:
& Р- = 0,3125 - + 0,093 75 3 + 0,093 7 5 „ 4 = 0,5 (16)
^О ¡.^ ' п=1,2 п=3 5 п=Ым=4 ■> ■ У1^)
«
р
го
а
Из результатов (7) и (15) видно, что, как и положено, сумма ТЗ ВС и ТЗ ВНС одной и той же ДС должны
^ дополнять друг друга точно до 1, что мы и наблюдаем Р/( + Р-^ ие
% Покажем процесс «накопительства» ТЗ ВНС ДС в п-м по — шаговом виде:
* ->
0 ' ' н
т
у
а
1
г +
Iн г, V г>н
р» =0 =0,3125 =0,40625 ->р- = Р- = 0,5
(17)
м
Поскольку р\\ = 1 - рН , то покажем процесс «отрицательного накопительства» ТЗ ВС ДС «сверху» (т.е. Р,ь1 ^ Р/( ), используя символ , в пошаговом виде:
Рь, ^ \РВ = 1 — Рв, = 0,6875 — рв = 0,59375 —
' V ' п=0 ' и=1.2 ' и=1.3
— Р = Р \ = 0,5
^-7 S,t 5
' п=1,^м=4
(18)
Используя результаты (9) и (18), на рис. 7 представлен график пошагового «сближения» ДСО к ТЗ ВС анализируемой ДС (т.е. Р— Р£ ^ ). На рис. 7 «звездочкой» показано положение ПО ВС анализируемой ДС, т.е. положение РТ,,п на каждом итерационном шаге соответствующих вычислений. В табл. 2 приведены численные значения вычисляемых переменных, характеризующих процесс сближения ДСО ВС ДС к ТЗ ВС этой же ДС.
Сравнивая между собой значения А5,,п и 5,Л, можно видеть, что, действительно, на всех п-х итерационных шагах неравенство вида | Р5, — РТ,,п А5,,п выполняется.
Завершая изложение о МОПЦ с учетом эффекта поглощения (как точного, так и приближенного метода), покажем, как можно, имея описание события связности ДС с учетом ненадежности только
лишь ребер случайного графа ДС (т.е. частный случай Ем ), при необходимости достаточно просто получить описание события связности той же ДС с учетом ненадежности всех элементов графа (ребер и вершин графа, т.е. общий случай Е^\+ь).
Выше мы получили соотношение (6), описывающее частный случай (приведем его еще раз):
= 5*2*8п=1+6*3*9*5*2* 8„=г + 5*2*7*3*9*8* 6„=з + + 6»3*7*2*8*5» 9„=лгм=4 . (19)
Теперь для получения общего случая описания события необходимо, воспользовавшись частным описанием Е^,, правильно расставить ВГП у соответствующих ребер описания (19). Например ((18) и рис.3), первое слагаемое из (19) 5 • 8п=1 содержит согласно рис. 3б два ребра: /,=5 и /,=8, но согласно рис. 3а в терминах ВГП это ребра такого вида / и / . Правильные действия по расстановке ВГП в логическом выражении 5 • 8п=1 , ориентируясь по рис. 3а, приведут к выражению следующего вида 5 • 2 • 8п=1 .
Следует иметь в виду, что в общем случае расчет ВС ДС всегда делается в предположении, что надежность отправителя (т.е. вершины ,) и получателя (т.е. вершины ,) идеальна. Если есть необходимость учесть ненадежность и вершин — полюсов ДС, то вычислен-
Таблица 2
Численные значения вычисляемых переменных
п Рн РВп 4 >'п РТ, А^ 8^п
0. 0 1 0,5 0,5 0,5
1. 0,25 0,6875 0,46875 0,21875 0,03125
2. 0,4375 ид 0,6875 0,5625 0,125 0,0625
3. 0,46875 0,59375 0,53125 0,0625 0,03125
4. 0,5 0,5 0,5 0 0
РН -> Р'\ <- Р
L s 4
а
1,0
0,9 -0,8 .. 0,7 0,6 + 0,5 0,4 -0,3 -0,2 __ 0,1 .. 0,0
Рис. 7. График пошагового «сближения» ДСО к ТЗ ВС анализируемой ДС
и
к т
0
ю
а р
го
а р
е и к
с е
т
и н
х е т
1
о н
Т
у а
i
В
п
1
2
3
4
0
ное ТЗ ВС ДС (т.е. ) необходимо просто домножить на р- и р, . Вследствие того, что описание (19) получено без учета состояний вершин - и ,, в выражении 5 • 2 • 8п=1 вершины и1 = и и>4 = и, (как ВГП ребер 1^=5 и 1^=8 ) и отсутствуют.
Таким образом, воспользовавшись соотношением (19) и расставив, глядя на рис. 3а, ВГП у ребер, входящих в то или иное логическое слагаемое суммы Ем , окончательно можно получить следующее выражение, описывающее общий случай события Егсвязности «мостиковой схемы»:
Е\ = 5 • 8 + 6• 9• 5*8п=2 + 5 • 7• 9• 8• би=з +
+ 6 • 7 • 8 • 5 • 9И
(20)
Формирование расчетной формулы 1 производится аналогичным образом, как и для частного случая ((6) и (7)). При принятых исходных данных р(и) = р(^) = 0,5 по всем элементам графа ТЗ ВС анализируемой ДС (как уже было сформулировано выше) должно быть равно 1 = 0,25. Заинтересованные читатели могут проверить справедливость этого утверждения самостоятельно.
Консервативные приближенные методы Еще в 60-х годах автор работы [13] доктор технических наук профессор В.А. Богатырев постановку задачи на поиск эффективных консервативных приближенных методов формулировал примерно так: «Уйти от проблемы NP-сложности в ТКН нельзя в принципе, поскольку это есть объективная реальность. Но ее, очевидно, можно обойти, так сказать, как бы обмануть ее... Для этой цели необходимо решить следующую задачу.
В общем случае понятно, что АМРПСН являются аддитивными процедурами. Из этого следует, что в процессе выполнения некоторых (п = 1 , N ) итерационных шагов и соответствующих вычислений в общую «копилку — сумматор» , которая в исход-
ном состоянии обнуляется, поступают на суммирование некоторые численные значения вида АР„., для которых справедливо 0 < АРп < 1 . Если метод верен, то по выполнению последнего (п = Л)-го итерационного шага накопленное значение Р„ является ТЗ ВС анализируемой ДС.
Можно предположить, что в процессе этого накопления слагаемые АРп. по своей абсолютной величине могут существенно разнится между собой так, что в ряде случаев наблюдается АРп. <<<...<<< АРп. Проще говоря, в процессе выполнения п-х итерационных ша5ов в «копилку» сносятся и «глыбы»,и «кирпичи», и «камушки», и «пылинки», и т.п. Задача разработчика хорошего консервативного аналитического приближенного метода заключается в том, чтобы, не прибегая к полному перебору, научится быстро и точно среди большого множества АР„. отыскивать «глыбы»».
Эту задачу разные авторы решали разными способами. Дадим краткое описание консервативных АМРПСН, ориентируясь на порядок их следования, представленное на рис. 2:
1. ОЭП — оценки Эзари-Прошана [10]. Основу ОЭП составляют формулы параллельного и последовательного соединения, примененные соответственно к множеству ПЦ и множеству ПР.
2. МЭО — метод экспресс-оценки [9]. Основу МЭО составляют формулы параллельного и последовательного соединения, примененные соответственно к горизонтальному независимому каркасу (ГНК) и вертикальному независимому каркасу (ВНК) [16].
3. ММЭО — метод моно-экспресс-оценки [21]. Основу ММЭО составляет способ разложения ГНК по элементам остаточного графа [10].
4. МРК — метод развязывания клаттеров [10, 11]. Основу метода составляет способ устранения структурной зависимости множества ПЦ по 5- и ,-звездным ПР, и множества ПР по элементам ГНК [18, 19].
0
ю
а р
го
а р
е и к
с е
т
и н
х
хет
1
о н
т
у
а
I
б)
Рис. 8. Структуры ГНК и ВНК
6
9
м
Заметим, что ОЭП и МРК, хотя и относятся к классу консервативных приближенных методов, все же являются ЖР-трудными (или ЖР-полными), поскольку они оперируют с полными множествами ПЦ и ПР. Но известно [12], что только лишь задача формирования полного множества ПЦ (или ПР) сама по себе уже является ЖР-трудной.
Проиллюстрируем только лишь МЭО на примере вычисления ПО ВС ДС, случайный граф которой представлен «мостиковой схемой» на рис. 3б для частного случая eSl,t. Здесь в качестве ГНК выступает МВПВНПЦ, представленное в (4), а в качестве ВНК - МВПВНПР, представленное в (4). Состав ГНК и ВНК имеет следующий вид:
м ={с = {5 , 8 }, = {6 ,9 }}. (21)
К =к=1 = {5,6}, с, = {8,9}} . (22)
На рис. 8 представлены структуры ГНК и ВНК, деформированные в соответствии с последовательно-параллельным и параллельно-последовательным соединением ненадежных элементов. Опираясь на структуры, представленные на рис. 8а и рис. 8б, неполное Ef:, событие и сверхполное Ef,t события связности «мостиковой схемы» согласно правилам и соответствующие расчетные формулы для Pftt и PBtt , представленным в работе [15], описываются следующим образом:
EH = 5 • 8 • 6 • 9 ^ P" =(1 -(1 - p 5 Р8 )(1 - Рб Р9 ))l
EB =5•6 •
s ,t
9 ^ PB =(1 - ^5q6 )(1 - q8q9 )
При принятых исходных данных р.=п = 1 и р-=59 = 0,5 согласно (23) ДСО ВС анализируемой ДС для частного случая будут соответственно равны рН- = 0,4375 и РВ, = 0,5625.
Используя формулу (2) при полученных выше ДСО ВС ДС, можно получить следующую ПО ВС той же ДС:
р 5 = о , 5
Л м = 0,0625 8,, = 0
(24)
Для общего случая, учитывающего ненадежность и вершин, и ребер графа, описание ДСО ВС анализируемой ДС по МЭО при правильной расстановке ВГП ребер согласно (23) будет иметь следующий вид:
Е^ = ШПТбТзТд^= (1 -(1 -АЛЛ)(1 -РбРзР,))1. (25)
Е1= 5 • 6 • 2 . 3 • 8 . 9 Р,в, = (1 -ад,)(1 - ЧЛг)(1
При принятых исходных данных и согласно (25) ДСО ВС анализируемой ДС будут соответственно равны Р= 0,234375 и Р^, = 0,421875. Воспользовавшись формулой (2) при полученных выше ДСО ВС ДС, можно для общего случая получить следующую ПО ВС той же ДС:
= 0,328125^ А, - = 0,1875 I . (26)
5 . = 0,078125
Можно видеть ((24) и (26)), что качество сходимости ДСО ВС ДС в обоих случаях достаточно хорошее. На рис. 9 приведена иллюстрация проведенных выше расчетов: на рис. 9а для частного случая, когда . (23) р.=п = 1 и р -)— = 0 , 5 , а на рис. 9б для общего случая, когда /)ы- = 0 )5 и р)-д = 0, 5 .
Здесь на этих рисунках «звездочкой» показаны положения ПО ВС анализируемой ДС, случайный граф которой представляет собой «мостиковую схему».
рЯ рв
s,t„ s,,t 4 s,t
A
0,58 ;
0 ,56 0,54.. 0,52.. 0,5 -» 0,48 -0,46 -0,44 0,42 .. 0,4 .. 0,0 '
0,5625
0,4375
PHt ^ PLt ^ PB
s ,tn s ,t s ,t
A
0,5 _,_
\—> n
P\ s,t = 0,5
PL = 0,5
s,t
0,4
0,3 -.
0,2 .. 0,0
0,421875
•k
0,234375
H—> n
a) 6)
Рис. 9. Верхние и нижние оценки ДСО ВС ДС
P~t = 0,328125
PL = 0,25
s ^
н
0
VO ГС
о.
го ГС О.
си
s ^
и
си у
s
1
X £
0
1 У
ГС
I
ТЕХНОЛОГИИ гражданской безопасности
107
2
2
В статье наиболее детально раскрыты два метода расчета показателей структурной надежности системы связи и управления НЦУКС — метод объединения простых цепей с учетом эффекта поглощения, основу которого составляют положения формулы полной вероятности и метод экспресс-оценки. Они проиллюстрированы примерами вычисления точных (приближенных) значений вероятности связности двуполюсных сетей, наибо-
лее применяемых в системе связи Национального ЦУКС с ЦУКС региональных центров МЧС Росси и ЦУКС главных управлений МЧС России по субъектам РФ, с информационными центрами, дежур-но-диспетчерскими службами органов исполнительной власти субъектов РФ и территориальных органов исполнительной власти, а также организациями (объектами) МЧС России центрального подчинения.
Литература
1. Шойгу С.К. Итоги деятельности Единой государственной системы предупреждения и ликвидации чрезвычайных ситуаций, выполнения мероприятий гражданской обороны в 2006 году и задачи на 2007 год // Сборник материалов Всероссийского сбора по подведению итогов деятельности единой государственной системы предупреждения и ликвидации чрезвычайных ситуаций, выполнения мероприятий гражданской обороны в 2007 г. и постановке задач на 2008 г. 29-30 января 2008 г. - М.: МЧС России, 2008. - 117 с.
2. Басакер Р., Саати Т. Конечные графы и сети. — М.: Наука, 1974.
3. Филин Б.П. Методы анализа структурной надежности сетей связи. — М.: Радио и связь, 1988.
4. Филин Б.П. О принципе дуальности в задачах анализа структурной надежности сложных систем // Автоматика и телемеханика. — 1989. — № 6. — С. 158-172.
5. Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи. — М.: Мир, 1982.
6. Нетес В.А., Филин Б.П. Анализ надежности и живучести сетей связи с помощью программного комплекса «МАМОНА» // Тезисы докладов X научной сессии, посвященной Дню радио. РНТОРЭС им. А.С. Попова, 1992.
7. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. — М.: Наука, 1964.
8. Дудник Б.Я., Филин Б.П. Применение метода двудольных графов для оценки надежности сложных систем // Автоматика и телемеханика. — 1981. — № 12. — С. 154-167.
9. Богатырев В.А. К расчету надежности сети связи по совокупности путей // Электросвязь. — 1981. — № 2. — С. 42-44.
10. Esary J., Proshan F. Coherent Structures of Non-Identical Components // Technometrics, 1963. — V. 5. — № 2. — P. 191-209.
11. Филин Б.П. О методе экспресс-оценки и коэффициенте потенциальной структурной неуязвимости связей в сложных системах // Автоматика и телемеханика. — 1994. — № 5. — С. 158-182.
12. Шапарев А.В. Метод моно-экспресс-оценок надежности случайной двух-полюсной сети // Электросвязь. — 1999. — № 5. — С. 22-26.
13. Полесский В.П. Преобразования клаттеров, корреляционные неравенства и границы комбинаторной надежности // Проблемы передачи информации. — 1997. — Том 33. Выпуск 3. — С. 50-69.
14.Костров В.О. Применение оценок Полесского для расчета надежности сети связи // Электросвязь. — 2001. — № 11. — С. 42-46.
15. Попов А.П. Основные системотехнические решения по созданию ЕДДС // Мир связи. Connect. — 1997. — № 7. — С. 54-56.
16. Попов А.П. Основные направления дальнейшего развития единых дежур-но-диспетчерских служб городов Российской Федерации // Системы безопасности. — 2002. № 5. — С. 78-80.
17. Попов А.П. Системы связи при возникновении чрезвычайных ситуаций в Москве // Системы безопасности. — 2002. — № 5. — С. 78-80.
18. Шойгу С.К. Наши приоритеты // Спасатель МЧС России. — М.: Медиа-Пресса. — 2003. — № 23. — С. 1.
19. Райншке К., Ушаков И.А. Оценка надежности систем с использованием графов. — М.: Радио и связь,
| 1988. о. С. 36-38.
О!
20. Грекова И. (Вентцель Е.С.). Всем ли ездить на ярмарку в Дублин // Знание — сила. — 1979. — № 8. —
21. Мур Э., Шеннон К. Надежные схемы из ненадежных сетей // Работы по теории информации и ки-
У бернетики. — М.: ИЛ, 1963. — С. 114-153.
т
I
х
£ I
0
1
т «
I
22. Иваницкая Л.Г. О функциях надежности устройств релейного действия / Труды научно-технической конференции профессорско-преподавательского состава ВЗЭИС. — М.: ВЗЭИС, 1967. — Выпуск 1. — С. 111-125.
