CC BY
7
Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки РФ (проект № 1.Ц36.20ЦК) и РФФИ (проекты № 15-01-04864 и № 16-01-00015).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Kuchment P. Graph models for waves in thin structures // Waves in Eandom Media. 2002. Vol. 12, № 4. P. 1-24.
2. Юрко В. A. О восстановлении операторов Штурма-Лиувилля на графах // Мат. заметки. 2006. Т. 79, № 4. С. 619-630.
3. Юрко В. А. Введение в теорию обратных спектральных задач. М. : Физматлит, 2007.
УДК 501.1
Д. А. Бредихин
О КЛАССАХ ПОЛУРЕШЕТОЧНО И РЕШЕТОЧНО УПОРЯДОЧЕННЫХ ГРУППОИДОВ ОТНОШЕНИЙ С ДИОФАНТОВЫМИ ОПЕРАЦИЯМИ
Алгеброй отношений называют упорядоченную пару (Ф, Q) где Ф -множество бинарных отношений, замкнутое относительно некоторой совокупности Q операций над ними. Основы абстрактно-алгебраического подхода к изучению алгебр отношений были заложены в работах А. Тар-ского [1]. Одной из основных задач теории алгебр отношений является изучение многообразий и квазимногообразий, порожденных различными их классами [2-5].
Операции над отношениями могут быть заданы с помощью формул логики предикатов первого порядка. Такие операции называются логическими. Важным классом логических операций является класс диофан-товых операций. Операция называется диофантовой [4,5] (в другой терминологии - примитивно-позитивной [6]), если она может быть задана с помощью формулы, которая в своей предваренной нормальной форме содержит лишь операцию конъюнкции и кванторы существования. Отношение теоретико-множественного включения С является стабильным относительно диофантовых операций, следовательно, всякая алгебра отношений (Ф, Q) с диофантовыми операциями может быть рассмотрена как упорядоченная (Ф, Q, с) этим отношением.
Алгебра отношений с одной бинарной операцией образует группоид бинарных отношений. Мотивацию рассмотрения группоидов бинарных отношений и ряд результатов в этом направлении можно найти в работах [7-10].
Для заданного множества Q операций над бинарными отношениями обозначим через R{Q} (R{Q, с}) класс алгебр (упорядоченных алгебр), изоморфных алгебрам отношений с операциями из Q. Пусть Var{Q} (Var{tt, с}) - многообразие, порожденное классом R{^} (R{Q, с}).
Сосредоточим внимание на следующей бинарной диофантовой операции над отношениями, определяемой следующим образом: для всяких бинарных отношений р и а, определенных на множестве U, положим р * а = {(x,y) Е U х U : (Зп, v)(x, u) Е р Л (u, v) Е а}.
Наряду с указанной операцией мы также рассмотрим теоретико-множественные операции пересечения П и объединения U отношений. Заметим, что алгебры отношений вида (Ф, *, П) и (Ф, *, П, U) могут быть расмотрены соответственно как полурешеточно и решеточно упорядоченные группоиды бинарных отношений.
Основные полученные результаты формулируются в следующих теоремах, в которых найдены базисы тождеств многообразий, порожденных соответствующими классами группоидов бинарных отношений.
Теорема 1. Алгебра (A, •, Л) типа (2, 2) принадлежит, многообразию Var{*, П} тогда и только тогда, когда (A, Л) - полурешетка и выполняются тождества
(x2y)y = x2y (1), (xy)2 = xy (2), x2y2 = y2x2 (3), (x2y)z = (x2z)y (4), (x2y2)z = x2(y2z) (5), x2 Л y2 = x2y2 (6), (x Л y)z Л xz = (x Л y)z (7), x(y Л z) Л xy = x(y Л z) (8).
Теорема 2. Алгебра (A, •, V, Л) типа (2, 2, 2) принадлежит, многообразию Var{*, U, П} тогда и только тогда, когда (A, V, Л) - дистрибутивная решетка, выполняются тождества (1) - (6) и тождества
x(y V z) = xy V xz, (x V y)z = xz V yz.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Tarski A. On the calculus of relations // J. Symbolic Logic. 1941. Vol. 4. P. 73-89.
2. Jonsson B. Varieties of relation algebras // Algebra Univers, 1982. Vol. 54. P. 273299.
3. Andreka H., Bredikhin D. A. The equational theory of union-free algebras of relations // Algebra Univers. 1994. Vol. 33. P. 516-532.
4. Бредихин Д. А. О квазитождествах алгебр отношений с диофантовыми операциями // Сиб. мат. журн, 1997. Т. 38. С. 29-41.
5. Бредихин Д. А. Об алгебрах отношений с диофантовыми операциями // Докл. РАН. 1998. Т. 360. С. 594-595.
6. Boner F., Po-schel F. R. Clones of operations on binary relations // Contributions to general algebras. 1991. Vol. 7. P. 50-70.
7. Bredikhin D.A. On Varieties of Groupoids assosiated with involuted restrictive bisemigroups of binary relations // Semigroup Forum. 1992. Vol. 44. P. 87-92.
8, Бредихин Д. А. О многообразиях группоидов отношений // Изв. Сарат, ун-та. Нов, сер. Сер, Математика, Механика, Информатика, 2013, Т. 13, JV2 1, ч, 1, С, 93-98,
9, Бредихин Д. А. О многообразиях группоидов отношений е диофантовыми операциями // Изв. Сарат, ун-та. Нов, сер. Сер, Математика, Механика, Информатика, 2013. Т. 13, вып. 4, ч. 2. С. 28-34.
10, Bredikhin D. A. On Varieties of Groupoids of Relations with Operation of Binary Cylindrifieation // Algebra Univers. 2015. Vol. 73. P. 73-89.
УДК 514.76
А. В. Букушева
ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ АВТОМОРФИЗМЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ КОНТАКТНЫХ
МЕТРИЧЕСКИХ МНОГООБРАЗИЙ С ДОПУСТИМОЙ СИМПЛЕКТИЧЕСКОЙ СТРУКТУРОЙ
На распределении контактного метрического многообразия определяется допустимая симплектическая структура Q. Находятся условия, при которых полный лифт vc допустимого векторного поля У является инфинитезимальным автоморфизмом формы Q.
Пусть M — гладкое многообразие нечетной размерности n = 2m + 1, m > 1, с заданной на нем контактной метрической структурой (f, У, n, g), где f — тензор типа (1,1), называемый структурным эндоморфизмом, у ж П вектор и ковектор, называемые соответственно структурным вектором и контактной формой. При этом выполняются равенства
f2 = -I + П ® £п(б = 1, (1)
g(fx,fy) = g(x,y) - n(x)n(У), (2)
(x, y) = ф(x, y), (3)
где Ф(Х, y) = g(x, fy) — фундаментальная форма структуры, x, у G G Г(ТМ) Г(ТМ) — модуль векторных полей на многообразпн M.
Многообразие, наделенное контактной метрической структурой, называется контактным метрическим многообразием. Гладкое распределение D = ker n называется распределением контактной метрической структуры.
Из равенств (1)-(3) следует, что f (У) = 0 n ◦ f = 0 n(X) = g(x, У),
g(fx,y) = g(x, fy)•
Внутренней линейной связностью V [1] на многообразии с контактной структурой называется отображение V : r(D) x r(D) ^ r(D), удовлетворяющее следующим условиям:
И
