CC BY
9
Серия «Математика» 2017. Т. 21. С. 61-76
Онлайн-доступ к журналу: http://mathizv.isu.ru
ИЗВЕСТИЯ
Иркутского государственного ■университета
УДК 519.716 MSG 08А99,03В50
DOI https://doi.org/10.26516/1997-7670.2017.21.61
О классах гиперфункций ранга 2, порожденных максимальными мультиклонами
А. С. Зинченко, В. И. Пантелеев
Иркутский государственный университет
Аннотация. В теории дискретных функций одним из объектов исследования являются мультифункции — функции, заданные на конечном множестве А и принимающие в качестве своих значений все подмножества множества А. В множестве муль-тифункций можно выделить множество гиперфункций — функций, принимающих в качестве своих значений все непустые подмножества множества А.
Отношение принадлежности максимальным мультиклонам является отношением эквивалентности и порождает соответствующее разбиение. Используя данное разбиение, можно оценить мощности всех возможных базисов, подсчитать число различных типов базисов одинаковой мощности, построить каркас решетки клонов.
Зная число максимальных клонов, можно оценить сверху число классов разбиения как мощность множества всех подмножеств множества максимальных клонов. Свойства функций позволяют эту оценку понизить. Нижнюю оценку числа классов можно получить, построив соответствующие классы.
Стоит заметить, что с увеличением мощности множества максимальных клонов, сложность задачи описания всех классов эквивалентности значительно возрастает.
В работе рассматриваются мультифункции на двухэлементном множестве. Число максимальных мультиклонов было получено ранее и равно 15 (Пантелеев В. П., 2009).
Основной целью работы является описание разбиения множества гиперфункций на классы эквивалентности. При этом ранее было показано (Казимиров А. С., Пантелеев В. П.), что множество булевых функций, являющееся подмножеством множества гиперфункций, разбивается на 18 классов эквивалентности. В данной работе были найдены специальные свойства гиперфункций относительно принадлежности максимальным гиперклонам и с помощью компьютерного эксперимента описаны все классы эквивалентности, порождаемые функциями от трех аргументов. Полученные результаты позволили показать, что отношение принадлежности максимальным мультиклонам разбивает множество всех гиперфункций на 67 классов эквивалентности.
Ключевые слова: гиперклон, базис, гиперфункция, полное множество, суперпозиция, замкнутое множество, мультифункция.
А. С. ЗИНЧЕНКО, В. И. ПАНТЕЛЕЕВ Введение
Для произвольного множества А через обозначим мощность множества А и пусть Е = {0,1}.
На множестве Е определим следующие множества функций: ММ = {/ | / : Еп ->• 2е};
Н(п) = {/:/ е МН и |/(а)| ^ 1 для любого набора а € £га}; 0(П) = {/ : / е М(п) и |дй)| = ! для любого набора а € Еп}; 0*(п) = {/:/е МН и |/(а)| < 1 для любого набора а € Еп};
М = им('п\ Н =и#(га), о = иО(га), О* =ис*(га);
п п п п
М, Н, О, О* — множества, соответственно, мультифункций, гиперфункций, булевых функций, частичных функций ранга 2.
Замечание 1. Договоримся в дальнейшем не различать одноэлементные множества и элементы этого множества, для множества Е использовать обозначение 2, а для пустого множества — *, этим же символом обозначим множество всех функций, тождественно равных 0.
Суперпозиция
/(/1(ж1) • • • ) хт)-, ■ ■ ■ ■, 1) • • • ) хт))
с внешней мультифункцией /(х\, ...,хп) и внутренними мультифункци-ями /1,..., /га определяет мультифункцию д(х..., хт) следующим образом: если (а\,..., ат) € Ет, то
д(а!,...,ат) = У /(/?ь...,/?„). (1)
Понятия «клон», «максимальный клон», «функция, сохраняющая предикат» являются стандартными (см., например [2]). Предикаты ниже будем записывать в виде матрицы, в которой столбцами являются все наборы из предиката.
В [3] описаны все максимальные мультиклоны:
- Кг = {/(жь ..., хп)\/ = * или /(0,..., 0) € {0, 2}}.
- К2 = {¡(хъ ..., хп)\ / = * или /(1,..., 1) € {1, 2}}.
- К3 = {/(ж1,...,жга)|/(0,...,0)€{0,*}}.
- К4 = {/(ж1,...,ЖП)|/(1,...,1)€{1,*}}.
- К5=Н и{*}.
- = О* — клон частичных функций.
Мультиклоны Кч—являются множествами сохраняющими, соответственно, предикаты Д7—Д15, где
Ri =
Rg = Ru =
0****012 1*012***
0010212*** 1 0 1 2 1 2 2 0 1 2
01****201 10120****
Rg —
1 0 О 1
Rio —
0 0 1 0 2 2 2 10 12 10 2
Предикат R\2 содержит все наборы, кроме
000111222011210220220 012012012010222101022 *********100000000111
0 2 1*
* * * *
Предикат R\s содержит все наборы, кроме
*********111111110000 100102122200102121221 101020212021001221212
Предикат Ru не содержит наборы (а, /5,7 ф *)
/ * 0 0 0 1 1 1 1 0\ а 0 0 1 0 1 1 0 1 /501001011
У 7 1 0 0 0 0 1 1 1 /
и не содержит наборы (¿i ¿2 ¿3^4) такие, что ôi ф * (г € {1,2,3,4}) и среди ¿1, ¿2, ¿з, ¿4 встречается а € Е и fj = 2 .
Предикат не содержит следующие наборы и двойственные к ним ие {1,2}, lie {0,1,2}).
/*\
а
13
W
/0\
1 1
w
/0\
2 2
W
/0\
1 2
W
/0\
2 1
W
/0\ 2 О
W
/0\
1 О
W
/0\ о 2
W
/0\
0
1
W
Пусть есть матрица А = (ау) размерности тхп. Обозначим столбцы этой матрицы через А1,...,Аа. Для гиперфункции /(х\, ...,хп) опреде-
лим /
(
\ ат
J
как следующее множество
Здесь, если В3 = (Ь{,..., Ь3тУ,3 € {1,..., гг}, то
/(В1,..., Вп) есть :
Для каждой гиперфункции однозначным образом определим вектор принадлежности максимальным клонам. Длина такого вектора равна 15 и соответствующая координата равна 0, если гиперфункция принадлежит соответствующему максимальному клону, и 1, иначе.
На множестве всех гиперфункций определим отношение эквивалентности: эквивалентными будут гиперфункции, у которых совпадают векторы принадлежности максимальным клонам. Так как число максимальных клонов равно 15, то наибольшее возможное число классов эквивалентности равно 215 = 32768.
В работе найдены специальные свойства гиперфункций относительно принадлежности максимальным гиперклонам и с помощью компьютерного эксперимента описаны все классы эквивалентности, порождаемые функциями от трех аргументов. Полученные результаты позволили показать, что отношение принадлежности максимальным муль-тиклонам разбивает множество всех гиперфункций на 67 классов эквивалентности.
Из [5; 6] известно, что для булевых функций число аналогичных классов эквивалентности равно 15, при этом имеется один тип базиса мощности 1, 17 типов базиса мощности 2, 22 типа базиса мощности 3, 2 типа базиса мощности 4, базисов большей мощности не существует.
Изучение классов эквивалентности и типы базисов для различных дискретных функций, в том числе функций /г-значной логики, частичных функций, можно посмотреть в [7; 8; 9; 10; 11].
1. Основной результат
В [1] показано, что множество булевых функций разбивается на 18 классов эквивалентности. Поэтому ниже мы будем рассматривать гиперфункции из множества Н \ О. Все они принадлежат клону и не принадлежат клону
Пусть на наборе а функция возвращает 2. Тогда на противоположном наборе а она возвращает 0 или 1 или 2. Значит
(/(й),/(й))€{(2,0), (2,1), (2, 2)},
а потому функция / не принадлежит клону Кц.
Предположим, что на наборе /3 функция / возвращает значение, отличное от 2. Тогда
(т,/ф),№,/ф)) € {(2020), (2121)}.
Следовательно, функция не принадлежит клону Кц.
Осталось исследовать принадлежность гиперфункций оставшимся 11 максимальным клонам.
Лемма 1. Если гиперфункция / не принадлежит клону Кд, то она не принадлежит клону К\2.
Доказательство. Так как гиперфункция / не принадлежит клону Кд, то выполняется
'121 /0010212\ 00 Г \1012122/ '
Отсюда
0 0 10 2 12 €/ | 10 12 12 2 10 12 12 2
/°\ 1 0 1 2
или 2 €/ 0 0 1 0
\0 1 и 0 1 2
□
Лемма 2. Если гиперфункция не принадлежит клону Кю, то она не принадлежит клону К13.
Лемма 3. Если гиперфункция не принадлежит клону К13, то она не принадлежит клону Кю или не принадлежит клону К\5.
Доказательство. Пусть гиперфункция / не принадлежит клону тогда
/1 00000222 22 222 2\ Г 111111110000^
/ 100012000111222 П< 200102121221 > ф 0. \1 0120001201 201 2/ [ 02 1 00 1 2 2 1 2 1 2 ]
Используя первые 8 столбцов справа, легко показать, что функция не принадлежит клону Кю, а используя четыре последних, — что функция не принадлежит клону К\5. □
Лемма 4. Пусть функция / принадлежит клону Кю и /(1,..., 1) = 2. Если / не принадлежит клону К12, то она не принадлежит клону Кд.
Доказательство. Очевидно, что / не возвращает 1 (в этом случае она не принадлежит клону Кю). Пусть гиперфункция не принадлежит клоНУ К12 ■ Тогда на наборах из предиката Я\2 она возвращает (220), (020) или (200). Если в матрице, соответствующей предикату К\2, удалить первую или вторую строки, то оставшиеся наборы будут принадлежать предикату Кд. И тогда получаем, что на наборах из предиката Яд функция возвращает (20). □
Лемма 5. Пусть /(О, ...,0) = 0 и /(1,..., 1) = 1. Если гиперфункция / не принадлежит клону то она не принадлежит клону К\2 или не принадлежит клону К13.
Доказательство. Пусть гиперфункция не принадлежит клону Это означает, что выполняется
/012\ Г0122011 , ^\ч102/1220101/ '
В каждом из 6 возможных случаев убеждаемся в справедливости утверждения.
Для случаев 1, 3, 5 функция не принадлежит клону К\2, в остальных
-к13.
Для клона К12 ■ '0\ /011
Для клона К13:
'0\ /ООО 1 е/ 010
2/ \102/
□
Лемма 6. Если гиперфункция не принадлежит клону Кю, то она не принадлежит клону Кд или не принадлежит клону
Доказательство. Пусть гиперфункция не принадлежит клону К ю- Тогда выполняется
/00 1 0 2 2 2\ Г111 ^1012102^^021 '
В первом варианте легко показывается, что функция не принадлежит Кд:
/0010202\ /1
Для второго варианта предположим, что функция принадлежит клону К8. Тогда, если 1 € /(0010222), то 0 € /(1101222).
Если 2 € /(1012102) и есть уточнение набора, при котором функция возвращает 0, то она не принадлежит Кд. Поэтому предполагаем, что есть уточнение, при котором функция возвращает 2, т. е. 2 € /(101о;10/3) для некоторых а и [3. Так как функция принадлежит то /(0106:01/3) = 2.
Но тогда
010 0 01/3 110 1222
□
Лемма 7. Если гиперфункция не принадлежит клону Кд, то она не принадлежит клону Кю или не принадлежит клону
Доказательство аналогично доказательству предыдущей леммы.
Лемма 8. Пусть /(1,..., 1) € {1,2}. Тогда если гиперфункция не принадлежит клону К12, то она не принадлежит клону К\5.
Доказательство. Так как гиперфункция не принадлежит клону К\2, то выполняется
000011111122222 /[001120011220112 021221212122122
0112 10220220 П { 0 1 02 22 1 0 1 022 [> ф 100000000111
Слева добавим сверху строку из одних 1. Получим
/11111111111111 1\ 000011111122222 001120011220112 \0 21221212122122/
/
П
111111111111 011210220220 010222101022 100000000111
Ф
или
/111111111111111\ 000011111122222 001120011220112 ^02 1 22 1 2 1 2 1 22 1 22/
П
{ 2222222222221 011210220220 I 010222101022 [ 100000000111J
Ф
Слева все наборы, прочитанные снизу вверх, принадлежат предикату Eis, а справа — нет. □
Лемма 9. Пусть /(0, ...,0) = 2. Тогда если гиперфункция не принадлежит клону К 1з7 то она не принадлежит клону
Доказательство. Так как гиперфункция не принадлежит клону К13 и на наборе из всех нулей возвращает 2, то выполняется
/100000222222222\
100012000111222 101200012012012
/
П
^ооооооооооооооо/
111111110000 200102121221 021001221212 222222222222
Ф
Слева первые три строки сверху вниз образованы наборами из предиката Е13. В результате, слева все наборы принадлежат предикату Д15, а справа — нет. □
Лемма 10. Пусть /(0,..., 0) = 0. Тогда, если / не принадлежит клону Кю, то она не принадлежит клону
Доказательство. Так как гиперфункция не принадлежит клону Кю, то выполняется
'0 0 1 02 2 2 10 12 102 0000000
Здесь первые две строки слева образованы наборами из предиката Ею-Столбцы слева дополняем до наборов из предиката К15. Получившиеся столбцы справа не принадлежат предикату □
Лемма 11. Пусть /(0, ...,0) = 0, /(1,...,1) = 2. Тогда, если / не принадлежит клону Кд, то она не принадлежит клону
Доказательство. Следует из лемм 1 и 8. □
Лемма 12. Пусть /(0, ...,0) = 0, /(1,...,1) = 2, / принадлежит Кю и принадлежит Кд. Тогда, если / не принадлежит клону К\ъ, то она не принадлежит клону К13.
Доказательство. Очевидно, что гиперфункция ни на одном из наборов не возвращает 1 (иначе она не принадлежит Кю). Это замечание и предположение о том, что гиперфункция не принадлежит клону К15, приводит к утверждению
/
/00 00 00 0 1 1 1 1 1 1 1\ 00021001112011 00000211111120 \0 1200001021111/
Так как гиперфункция на наборе из всех нулей возвращает 0 и принадлежит Кд, то справедливо
/(00000002222222) = 0.
Из утверждения
/00000002222222\ 00021001112011 00000211111120 \0 1200001021111/
выбором подходящих строк получаем справедливость леммы. □
/
Лемма 13. Пусть гиперфункция / ни на одном наборе не возвращает 0. Тогда, если / не принадлежит клону К\ъ, то она не принадлежит КЛОНу К12-
Доказательство. По условию леммы выполняется
/
/ 2... 2 0 00 00 00 1 1 1 1 1 1 1\ а\ ... «27 о 0 0 2 1 0 0 1 1 1 2 0 1 1
/Зг ... /?27 0 0 0 0 0 211111120
У71... 727 0 1 2 0 0 0 0 1 021111/
скг,/?г,7г(г = 1, • • •, 27) € {0,1,2}. Так как функция / принадлежит клону Кю, то на наборе (2 ... 222222221111111) она возвращает 1. Рассматривая
.. «27 00021001112011 ../327 0 0 0 0 0 211111120 1 и .. 2 2222222111111 1/
'А ... /?27 0 0 0 0 0 2 1 1 1 1 1 1 2 О'
71 ... 727 0 1 2 0 0 0 0 1 0 2 1 1 1 1 2... 2 22222221111111
получаем необходимое заключение.
□
Теорема 1. Множество Н \ 0 разбивается не более чем на 49 классов эквивалентности относительно принадлежности максимальным мультиклонам.
Доказательство. Рассмотрим 9 вариантов, соответствующих значениям функции на наборах, образованных одними нулями или одними единицами.
В каждом таком варианте принадлежность клонам К\-К4 устанавливается однозначно. Значит осталось рассмотреть принадлежность 7 клонам — Ку-Кю, К\2, К13 и К15.
Рассмотрим значения гиперфункции на наборе из всех нулей.
Случай 1. Гиперфункция принимает значение 0. Дальнейшие наши рассуждения зависят от значения гиперфункции на наборе, образованном одними единицами.
Случай 1.1. Гиперфункция на наборе из всех единиц возвращает 0.
С учетом того, что на некотором наборе функция возвращает 2, несложно заметить, что она не принадлежит классам К^, К$, Кд, а по лемме 1 не принадлежит клону -^12 •
Если хотя бы на одном наборе гиперфункция принимает значение равное 1, то она не принадлежит клону Кю, а в соответствии с леммой 2 и клону К13.
Утверждение
/0 1\ о о 11
V01/
показывает, что функция не принадлежит клону К\5.
В результате остается один класс.
Для завершения случая 1.1. надо рассмотреть функции, которые возвращают только 0 и 2. Все такие функции принадлежат клону Кю и осталось рассмотреть принадлежность двум клонам Кю,К\^.
Любой набор из предиката можно дополнить до набора из предиката К15. Поэтому, если функция не принадлежит клону К13, то с учетом того, что функция возвращает только 0 и 2, на наборах из предиката К\з она может возвратить единственный набор — (022). Все наборы вида (022/х) не принадлежат предикату Е15, а потому и функция не сохраняет данный предикат. Число возможных классов в этом случае не более 3.
Итак, в случае 1.1 число всевозможных классов не более 4.
Случай 1.2. Гиперфункция на наборе из всех единиц принимает значение 2.
Отношение принадлежности к клонам определяется триви-
ально. Если гиперфункция не принадлежит клону Кю, то по леммам 2 и 10 она не принадлежит клонам и К\5. С учетом леммы 1 число классов не более 3.
Пусть теперь гиперфункция принадлежит клону Кю- Если она не принадлежит клону Кд, то по леммам 1, 11 она не принадлежит клону К15. Остается два возможных варианта.
Если же она принадлежит клону Кд, то по лемме 4 она должна принадлежать и клону К12■ Так как она принадлежит клону Кю, то ни на одном из наборов ее значение не равно 1.
И воспользовавшись леммами 3 и 12, заключаем, что число классов не более 2.
Всего получаем не более 7 вариантов.
Случай 1.3. Гиперфункция на наборе из всех единиц возвращает 1.
Такая функция принадлежит клону К7.
/о 0\ /0\
Гавенство /
показывает, что гиперфункция не при-
0 1 2 11 - 1
V01/ V2/
надлежит клону К15 и остается 5 классов и 32 варианта.
Если гиперфункция не принадлежит клону то леммы 1, 2, 5 оставляют 8 вариантов.
Если гиперфункция принадлежит клону то леммы 1, 2, 6, 7, оставляют 5 вариантов, а из принадлежности гиперфункции клону
/0 0\ /04 /014 /2\
следуют равенства / 01 = 2 и/10 = (21, показываю-
\ю) V2/ V11/ V1/
щие, что гиперфункция не принадлежит клонам Кю и К12 ■ Остается 2 варианта.
В случае 1.3. получаем не более 10 вариантов.
Случай 2. Гиперфункция на наборе из всех нулей возвращает 1.
Все такие функции не принадлежит клонам Кт, Кю и по лемме 2
КЛОНу К13.
Случай 2.1. Гиперфункция на наборе из всех единиц возвращает 0.
/00\ /А
Равенство /01 = 2 показывает, что гиперфункция не при-
V11/ \0/
надлежит клону Кд (а по лемме 1 и клону К12).
Покажем, что в этом случае гиперфункция не принадлежит и клону К15.
Пусть на наборе а\,... ,ап функция возвращает 2. Если на противоположном наборе она возвращает 0 или 2, то получаем
/ 0 . • ° \ ( 1 \
а\ . • ап 2
0 . . 0 1
\Й1 . • ап ) у0 или У
а если возвращает 1, то
(1 • • 1 \ /о\
а\ . • ап 2
а\ . . ап 1
\ 1 • ■ ч
Следовательно гиперфункция не принадлежит К15. И остается 2 варианта относительно принадлежности клону
Случай 2.2. Гиперфункция на наборе из всех единиц возвращает 1.
То, что гиперфункция не принадлежит клону устанавливается непосредственно.
Остались классы Кд, К12, К15 и не более 8 вариантов.
Леммы 8 и 1 оставляют 4 варианта.
Случай 2.3. Гиперфункция на наборе из всех единиц возвращает 2.
Принадлежность клону определяется однозначно.
Леммы 8 и 1 оставляют тоже 4 варианта.
Случай 3. Гиперфункция на наборе из всех нулей возвращает 2.
Сразу же замечаем, что она не принадлежит клону К^. Осталось рассмотреть принадлежность 6 оставшимся клонам.
Случай 3.1. Гиперфункция на наборе из всех единиц возвращает 0.
Такая функция не принадлежит клонам Кд (следовательно, по лемме 1 и клону К^)- Осталось 3 клона — К\о, и К\5 и не более 8 вариантов.
Лемма 2 убирает 2 варианта и лемма 9 убирает 2 варианта. Осталось 4 варианта.
Случай 3.2. Гиперфункция на наборе из всех единиц возвращает 1. Относительно клона все очевидно. Осталось 5 клонов и 32 варианта.
Случай 3.2.1. Пусть гиперфункция не принадлежит клону Кд. Значит она не принадлежит и клону К\2- По лемме 8 не принадлежит клону К15. Теперь по лемме 2 исключаем вариант, при котором функция не принадлежит клону Кю, но принадлежит клону К13. И осталось 3 варианта.
Случай 3.2.2. Пусть гиперфункция принадлежит клону Кд. Очевидно, что гиперфункция ни на одном из наборов не возвращает 0.
Если такая функция не принадлежит клону Кю, то по лемме 2 она не принадлежит клону К13, а по лемме 9 она не принадлежит и клону К15.
Осталось 2 варианта.
Если же гиперфункция принадлежит клону Кю, то в рассматриваемом случае она обязана принадлежать клону К13. Леммы 8 и 13 оставляют не более 2 вариантов.
Случай 3.3. Гиперфункция на наборе из всех единиц возвращает 2. В векторе принадлежности максимальным клонам первые 7 элементов есть 0011011.
а) Если гиперфункция возвращает только 2, то ей соответствует 1 класс.
б) Пусть гиперфункция возвращает 0 и не возвращает 1. Очевидно, что она не принадлежит клонам Kg, Кд и следовательно
клону К12 и принадлежит клону K\q.
/01\ /04
Гавенство /00 = 2 показывает, что функция не принадле-
V11/ W
ЖИТ И клону К15.
Остается не более 2 вариантов.
в) Пусть гиперфункция возвращает 1 и не возвращает 0.
Случай рассматривается аналогично предыдущему. Остается не более 2 вариантов.
г) Пусть гиперфункция возвращает 1 и возвращает 0. Очевидно, что она не принадлежит клонам Кд, K\q, К12, К\3, К15 и
остается не более 2 вариантов. □
В таблице ниже приведен список из 49 функций и соответствующие им различные векторы принадлежности максимальным клонам. Все функции зависят от трех переменных и представлены векторами значений на всех наборах, записанных в натуральном порядке.
С учетом классов, порождаемых булевыми функциями, можно сформулировать окончательный результат.
Теорема 2. Множество всех гиперфункций разбивается на 67 классов эквивалентности относительно принадлежности максимальным мультиклонам.
Таблица
Гиперфункции и соответствующие им классы
№ функция вектор № функция вектор
1 10000020 111101111111111 26 20000111 001001111011111
2 10000002 101101111111111 27 21111112 001101110110111
3 10022110 111101101111111 28 21111221 001001110111111
4 20000010 011101111111111 29 00000020 010101111011010
5 00000120 010101111111111 30 00001021 000001011111111
6 10000021 101001111111111 31 00001112 000101110110111
7 11212112 101101110111111 32 00002002 000101111011011
8 20000012 001101111111111 33 11111121 101001110110110
9 20000220 011101111011111 34 20000001 001001111011011
10 00000220 010101111011111 35 21111121 001001110110111
11 00001002 000101111111111 36 00000222 000101110010111
12 11111221 101001110111111 37 00001121 000001010111111
13 11111222 101101110110111 38 00012001 000001011011111
14 20000020 011101111011011 39 00122011 000001001111111
15 20000222 001101111011111 40 21212111 001001110011011
16 20001001 001001111111111 41 00000121 000001010011111
17 20001112 001101101111111 42 00002001 000001011011011
18 21212112 001101110111111 43 00111211 000001010110111
19 00000012 000101110111111 44 00000002 000101110010010
20 00002220 010101111011011 45 00000021 000001010011011
21 00022002 000101111011111 46 00021111 000001010010111
22 11111112 101101110110110 47 00022111 000001000011111
23 11212121 101001110110111 48 21111111 001001110010010
24 20000000 011101111011010 49 22222222 001101100010000
25 20000002 001101111011011
Список литературы
1. Казимиров А. С. О классах булевых функций, порожденных максимальными мультиклонами / А. С. Казимиров, В. И. Пантелеев // Вестн. Бурят, гос. ун-та. Математика и информатика. - 2015. - Вып. 9. - С. 16-22.
2. Казимиров А. С. Классификация и перечисление базисов клона всех гиперфункций ранга 2 / А. С. Казимиров, В. И. Пантелеев, Л. В. Токарева // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. - 2014. - Т. 7. - С. 61-78.
3. Пантелеев В. И. Критерий полноты для недоопределенных частичных булевых функций / В. И. Пантелеев // Вестн. НГУ. Сер. Математика, механика, информатика. - 2009. - Т. 9, вып. 3. - С. 95-114.
4. Тарасов В. В. Критерий полноты для не всюду определенных функций алгебры логики / В. В. Тарасов // Проблемы кибернетики. - М. : Наука, 1975. -Вып. 30. - С. 319-325.
5. Яблонский С. В. О суперпозициях функций алгебры логики / С. В. Яблонский // Мат. сб. - 1952. - Т. 30, № 2(72), С. 329-348.
6. Krnic L. Types of bases in the algebra of logic / L. Krnic // Glasnik matematicko-fizicki i astronomski. - 1965. - Ser. 2. - Vol. 20. - P. 23-32.
7. Classifikation and basis enumarations in many-valued logics / M. Miykawa, I. Stojmenovic, D. Lau, I. Rosenberg // Proc 17th International Symposium on Multi-Valued logic. - Boston, 1987. - P. 151-160.
8. Classifikation and basis enumarations of the algebras for partial functions / M. Miykawa, I. Stojmenovic, D. Lau, I. Rosenberg // Proc 19th International Symposium on Multi-Valued logic. - Rostock, 1989. - P. 8-13.
9. Lau D. Classification and enumaration of bases in Pk(2) / D. Lau, M. Miykawa // Asian-European Journal of Mathematics. - 2008. - Vol. 01, N 02. - P. 255-282. https://doi.org/10.1142/S1793557108000242
10. Stojmenovic I. Classification of Рз and the enumeration of bases of Рз / I. Stojmenovic // Rev. of Res. 14, Fat. of Sci., Math. Ser. Novi Sad. - 1984. -P. 73-80.
11. Miyakawa M. Classification of three-valued logical functions preserving 0 / M. Miyakawa, I. Rosenberg, I. Stojmenovic // Discrete Applied Mathematics. -1990. - Vol. 28. - P. 231-249. https://doi.org/10.1016/0166-218X(90)90005-W
Пантелеев Владимир Иннокентьевич, доктор физико-математических наук, Иркутский государственный университет, 664003, Иркутск, ул. К. Маркса, 1, тел.: (3952) 200567 (e-mail: [email protected])
Зинченко Анна Сергеевна, кандидат физико-математических наук, Институт математики, экономики и информатики, Иркутский государственный университет, 664003, Иркутск, ул. К. Маркса, 1, тел.: (3952) 242210 (e-mail: [email protected])
V. I. Panteleyev, A. S. Zinchenko
On Classes of Hyperfunctions of Rank 2 Generated by Maximal Multiclones
Abstract. The research of multifunctions is a one of the directions in discrete function's investigations. Multifunction is a discrete function from a finite set A to all subsets of A. The set of hyperfunctions is a subset of set of multifunctions. Hyperfunction is a discrete function from a finite set A to all nonempty subsets of A.
The subset relation of hyperfunctions to maximal multiclones is a relation of equivalence and according it all hyperfunctions are divided into equivalence classes. Based on this equivalence it is possible to estimate the cardinality of all possible bases, calculate the number of different types of bases of the same cardinality, and construct some intervals of the clone lattice.
Knowing the number of maximal clones, we can obtain upper-bound estimate of the number of such classes as the cardinality of the set of all subsets of the set of maximal clones. It possible to lower this estimate by using properties of the hyperfunctions . A lower-bound estimate for the number of classes can be obtained by constructing the corresponding classes.
It is noteworthy that the complexity of the problem of describing all equivalence classes increases essentially with the cardinality of the set of maximal clones increasing.
This paper considers multifunctions on a two-element set. The number of maximal multiclones equals to 15 (Panteleyev V.I., 2009)
The primary purpose of this research is describing the classification of the set of hyperfunctions into equivalence classes. As Kazimirov A.S. and Panteleyev V.I. showed there are 18 equivalence classes on the set of Boolean functions, which is a subset of the set of hyperfunctions. In this paper were obtained special properties of hyperfunctions and were described all the equivalence classes generated by functions of 3 arguments having applied a computer experiment. The obtained results made it possible to show that the subset relation of hyperfunctions to maximal multiclones splits the set of all hyperfunctions into 67 equivalence classes.
Keywords: hyperclone, basis; hyperfunction, complete set, superposition, closed set, multifunction.
References
1. Kazimirov A.S., Panteleyev V.I. On the classes of Boolean functions generated by maximal multiclones Vestn. Buryat. Gos. Univ., Mat., Inf., 2015, vol. 9, pp. 16-22. (in Russian)
2. Kazimirov A.S., Panteleyev V.I., Tokareva L.V. Classification and Enumeration of Bases in Clone of All Hyperfunctions on Two-Elements Set Izv. Irkutsk. Gos. Univ., Ser. Mat., 2014, vol. 7, pp. 61-78. (in Russian)
3. Panteleyev V.I. The criteria of completeness for redefining boolean function Vestn. Novosib. Gos. Univ., Ser. Mat. Mekh. Inform., 2009, vol. 9, no 3, pp. 95-114. (in Russian)
4. Tarasov V. V. A test for the completeness of not everywhere defined functions of the algebra of logic Problemy Kibernet., 1975, vol. 30, pp. 319-325. (in Russian)
5. Yablonskij S.V. On the Superpositions of Logic Functions Mat. Sbornik, 1952, vol. 30, no 2(72), pp. 329-348. (in Russian)
6. Krnic L. Types of bases in the algebra of logic. Glasnik matematicko-fizicki i astronomski, 1965, ser. 2, vol. 20, pp. 23-32.
7. Miykawa M., Stojmenovic I., Lau D., Rosenberg I. Classifikation and basis enumarations in many-valued logics Proc 17th International Symposium on MultiValued logic, Boston, 1987, pp. 151-160.
8. Miykawa M., Stojmenovic I., Lau D., Rosenberg I. Classifikation and basis enumarations of the algebras for partial functions Proc 19th International Symposium on Multi-Valued logic, Rostock, 1989, pp. 8-13.
9. Lau D., Miyakawa M. Classification and enumaration of bases in Pk(2) Asian-European Journal of Mathematics 2008, vol. 1, no. 2, pp. 255-282. https://doi.org/10.1142/S1793557108000242
10. Stojmenovic I. Classification of P3 and the enumeration of base of P3, Rev. of Res. 14, Fat. ofSci., Math. Ser., Novi Sad, 1984, pp. 73-80.
11. Miyakawa M., Rosenberg I., Stojmenovic I. Classification of three-valued logical functions preserving 0 Discrete Applied Mathematics, 1990, vol. 28, pp. 231-249. https://doi.org/10.1016/0166-218X(90)90005-W
Panteleyev Vladimir Innokent'evich, Doctor of Sciences (Physics and Mathematics), Irkutsk State University, 1, K. Marx st., Irkutsk, 664003, tel.: (3952) 200567 (e-mail: [email protected])
Zinchenko Anna Sergeevna, Candidate of Sciences (Physics and Mathematics), Irkutsk State University, 1, K. Marx st., Irkutsk, 664003 tel.: (3952) 242210 (e-mail: [email protected]).
