О j-РЯДАХ Шлемильха Текст научной статьи по специальности «Математика»

62 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2013. №12(155). Вып. 31

MSC 42C20

О j-РЯДАХ ШЛЕМИЛЬХА Л.Н. Ляхов

Воронежский государственный университет Университетская пл. 1, Воронеж, 394006, Россия, e-mail: [email protected]

Аннотация. Классические ряды Шлемильха строятся на основе функций Бесселя и функций Струве с аргументами kx, к = 0,1, 2,... . В работе вводится модификация ряда Шлемильха, в которой используются либо четные функции Бесселя первого рода, нормированные соответствующим образом (называются j-функции Бесселя), с тем же аргументом kx либо нечетная производная от четной j-функции Бесселя (она выполняет роль функций Струве). Приводятся формулы вычисления коэффициентов такого ряда Шлемильха.

Ключевые слова: ряд Шлемильха, j-функция Бесселя, уравнение Шлемильха, интеграл Сонина.

Введение. Впервые представление функций рядами

ГО

f(x) = у + ^2akJv(kx),

k= 1

где Jv — функция Бесселя первого рода порядка v, были исследованы Шлемильхом в 1857 году, рассмотревшего только частные случаи v = 0 и v = 1. В некоторых отношениях ряд Шлемильха ближе к тригонометрическим рядам Фурье, чем ряды Фурье-Бесселя или Дини и свойства рядов Шлемильха можно изучать с использованием свойств тригонометрических рядов, о чем можно судить по книгам [1], [2], [3], [4] и по работе [5].

В настоящее время рядами Шлемлиха называют ряды по функциям Бесселя с аргументом kx, к = 0,1, 2,... (см. [3] и ссылки на литературу в этой книге). Классическим рядом Шлемильха называется ряд (см. [1], с. 682, обобщенный ряд Шлемильха)

ар yv akJujkx) + bkY„(kx) 2Г(гУ+1) (kx/2)v

(1)

где Jv — функция Бесселя первого рода порядка v, Yv — функция Струве порядка v. Ряд (1) состоит изчетных и нечетных слагаемых, поэтому и напоминают тригонометрические ряды Фурье. Давно отмечена невостребованность полных рядов Шлемильха при исследовании физических, поскольку «...функции Струве не принадлежат к типу функций, встречающихся в решениях уравнения Лапласа или волнового уравнения. Таким образом, по-видимому, существуют основания физического характера для ограничений, которые были наложены на f (x), чтобы сделать возможным разложения Шлемильха». Это цитата из книги Г.Н. Ватсона [1] (с. 693). Мы в этой работе используем только функции Бесселя первого рода (чётные и нечетные — производные от чётных), поэтому

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2013. №12(155). Вып. 31

63

конструкции предложенных здесь рядов Шлемильха лишены недостатка, отмеченного Г.Н. Ватсоном.

Следуя [6], в качестве четной и нечетной составляющих ряда Шлемильха будут использованы j-функция Бесселя и ее производная (как и в тригонометрических рядах)

4>ev{x) =М%) = 2гТ(^ + > <Pod(x) = ~j'v{x) = 2^X+ ^ jv+i{x) •

Здесь четные j-функции Бесселя jv нормированы так, чтобы для всех v > -1/2 выполнено равенство jv(0) = 1. Соответственно, j V(0) = 0.

Рассматриваемые ряды Шлемильха имеют вид

ГО

2Г(и°+ \) + J2(ak Vevikx)+bk Lpod(kx)) =

ар

2Г(и + 1)

ГО

k= 1

ak jv (kx)+bk

kx

7+1

jv+1(kx)

(2)

Для произвольных v 6 [1/2, -1/2] вычисление коэффициентов этого ряда опираются на формулы обращения интегралов Абеля. D этой работе мы используем тот же подход для v > 1/2. Он приводит к интегралам Римана-Лиувилля дробного порядка, обращение которых достигается применением соответствующих производных дробного порядка 7 = v + 1. Далее, для удобства, используем одновременно два индекса v и у, которые связаны равенством

v

7~ 1 2

Схемы получения формул для коэффициентов bk в (2) опираются на соответствующие подходы и формулы, полученные для вычисления ak, поэтому вначале рассмотрим, вообще говоря, известный ряд Шлемиха для четных функций.

2. Применение оператора Пуассона к конструированию четных j-рядов Шлемильха. Четные составляющие ряда (2), учитывая связь j-функций Бесселя с функциями Бесселя первого рода, легко преобразуются к ряду по четным j-функциям Бесселя

—^ + £ ак W кх) > (3)

к= 1

с ak (v) = ak/2V r(v + 1). Выражение (3) мы и будем называть четным j-рядом Шлемильха (при этом иногда будем писать ak вместо ak (v)).

Преобразование тригонометрического ряда в ряд (3) происходит в результате применения к нему оператора Пуассона порядка v (см. далее), действие которого определено формулой

Щ git,у)

г(+) г (I)г (I)

7Г

g(t cos a, x) sin7 1

ada,

v

1- 1 2

о

64 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2013. №12(155). Вып. 31

Исходя из формул для в-функций Эйлера нетрудно проверить, что

=> П C = C.

Г (2±1Л г

^ 2 ' sin7 1 ada = 1

Г(?)ГШ

0

Интегральное представление Пуассона jv (t) = Пe-it запишем в виде

п

Г(1±1\ г _

jv(t) = —2 cositcosa) sin7 1 a da . (4)

Г(|)ГШ J ' ’ !

Из этого представления видим, что если некоторая четная функция g(t) представлена cos-рядом

ГО

а0

g{t) = у + ай cos kt,

k=i

допускающим почленное интегрирование, то функция

Г (т±1) }

f{t) = - 2 ,n git cos a) sin7 1 a da

Г(1)Г(|)

0

оказывается представленной рядом Шлемильха по (четным) j-функциям Бесселя:

/со=п* (у + ак cos kt) =у+5^afc

k= 1

Clo

2

k= 1

Таким образом, представление четной функции f рядом Шлемильха можно получить из cos-ряда Фурье другой функции д, которая неизвестна, но может быть найдена по функции f, как решение интегрального уравнения

п g(t) = f (t)- (5)

Для четной функции g(t) уравнение (5) преобразуется в уравнение Шлемильха3)

п/2

2 Г -i

—т~т---77V о(ж sin си) cos7 ada= fit),

г(|)г(|)/"' ’ nl

поскольку действие оператора Пуассона на четную интегрируемую функцию легко сводится к интегрированию по отрезку [0, п/2]:

Щ g(x)

п/2

2Г(У) Г , . , , 7-1

iY / 9ixsma) cos’ ada, u=—-—

Г(?)Г(5

(6)

0

3Исследование уравнения Шлемильха, для параметра v G (-1/2,1/2) можно найти, например, в

книге [1] на с. 691.

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2013. №12(155). Вып. 31

65

Замечание 1. Интересно отметить, что результатом применения оператора Пуассона к произвольной (в смысле четности) функции — четная функция. Для представления этого оператора в виде (6) необходимо, чтобы функция д была четной.

Из (6), в частности, следует, что представление j-функции Бесселя интегралом Пуассона (4) можно записать в виде

jv м

2Г (ДО

Г(1)г(I)

7т/2

/cos(t sin “)cos1"-1 ada’

о

V

7- 1 2

(7)

Таким образом, для четной функции g(t) уравнение (5) приводится к уравнению

2Г (УД г (I) г 6)

7т/2

J g(t sin a) cos7-1 ada = f (t). о

(8)

которое отличается от уравнения Шлемильха лишь коэффициентом.

Как видим, формально, ряд Шлемильха для четной функции f строится применением оператора Пуассона к cos-ряду Фурье для функции, представляющей собой решения уравнения Шлемильха (8) с функцией f в правой части. По сути этот подход реализован в классических исследованиях ряда Шлемильха, которые содержат книги [1], [2],

[3], но лишь в случае 0 < у < 2. В [4] и [3] для этой цели используется подход, основанный на интегралах Сонина (первом интеграле Сонина, для у < 2 и втором интеграле Сонина для произвольных у > 0).

В терминах четных j-функций Бесселя jev и при v G (—|, |) полученные в этой работе результаты легко вытекают из известных путем соответствующей правкой коэффициентов (так же как в (3). Далее формулы для коэффициентов будут получены в общем случае v> —1/2 и приведены условия на функции, необходимые для ее представления j-рядами Шлемильха.

Четные j-ряды Шлемильха при v G (—\ < |) (=>- у G (0,2)). В этом случае (т.е. у G (0, 2)) уравнение Шлемильха

f (t)

2

Г (|) Г (i

7т/2

J g(x sin a) cos7-1 ada о

имеет следующее решение (см. [1], с. 691)

<Кт> = г (Т77) /(о)+

г 6)

г(1-1)

7г/2

sec7 a

d_

da

[sin7 1 a(f (x sin a) — f (0))] da.

(9)

о

66 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2013. №12(155). Вып. 31

Уравнение же (8) есть уравнение Шлемильха для функции

1

fi(t)

Р ( 7+1

f it) .

Но тогда его решение получится из решения (9) делением на коэффициент Г (фф):

7т/2

Г (-И

9(t)=f(0) +

d

, . /—rrv sec7 си-—[sin7 1 а( fix sin си)— f (0))1 da

Г (! - I) Г (фф) J da 1

Точно также, по известным коэффициентам ak разложения (1) (см. [1]. с. 690) находятся коэффициенты ak(v) в разложении:

ak (v)

2 п-1/2

r(i±l)r(l-l)

X

П 7т/2

х J cos kx dx J 0 0

d

sec7 a— [sin7 1 da

a(f (x sin a)-f (0))] da

Замечание 2. Условия, при которых функция f представляется рядом Шлемильха по четным j-функциям Бесселя содержатся в [1] в теореме п. 19.3, называемой теоремой Нильсена 4).

Далее получено общее утверждение, которое опирается на формулу обращения интегралов дробного порядка у/2. Полученные формулы оказались общими и более короткими.

3. Решение уравнения Шлемильха при и = фф > — ф Обычный подход к решению уравнения Шлемильха состоит в следующем. Неизвестная функция д в уравнении

f(x)

2

Г (*) л/ТГ

7т/2

J д(х sin a) cos7-1 a da 0

ищется в виде функции xu(x2). Отметим, что в нашем случае функции f и д четные, но такая замена имеет смысл не только в области x > 0. Обращаем внимание на замечание 1 — результат применения оператора Пуассона — четная функция. Далее (не доверяя этому замечанию) мы проверим, что полученное решение g(x) — четная функция. Имеем

f (x)

Г (i) А

7т/2

jx sin a •u(x2 sin2 a>cos-'-2 ad(sn 0 =

0

4 Эта теорема сформулирована Н. Нильлсоном в 1904г., но формулы коэффицентов ряда Шлемильха, которыми мы здесь воспользовались, получены Г.Н. Ватсоном.

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2013. №12(155). Вып. 31

67

7т/2

г(!Ь/?

Замена переменной x2 sin2 а = t приводит к уравнению

x 1u{x2 sin2 а) cos7 2 а d(x2 sin2 а).

л/тгх1 1/(Ж)

u(t) dt

rg)y (x2-t)1~'y/2

Если положить здесь у = х2 (при этом х = ^/у, х1 1 = у^~), то получим уравнение

у

1

u{t) dt

Щ) J ('y-t)1“7/2

7-1

/l(»). /l(y) = у/ку -

(10)

2

левая часть которого представляет собой левосторонний интеграл Римана-Лиувилля 1а дробного порядка а = 7 > 0 (см. [7], с. 42, формула (2.17)) Но тогда его решение (формально) находится применением к правой части левосторонней производной Римана-Лиувилля Da дробного порядка а ([7], с. 44, формула (2.30))

u(y) = Df (у)

d_

dy

[а] + 1

I1-,a,/i{y),

где [а] и {а} — соответственно, целая и дробная часть числа а,

I au{y)

у

1 Г u(t) dt

Г (а) J (У~ ty~a

Следовательно (формально)

u{y)

1 f d\^+l } /i(t)dt

Г(1-Ш) UJ J (у-ф} '

Положим здесь y обозначений

x2, (x > 0) и вернемся к функциям f и g, согласно введенных

fi{t)

y/bt^

u{y) = u{x2)

д(х)

x

Тогда

g{x)

У а Л|}|+1 } ttsTt)

7 —1 7

t 2 dt

x г(!- Ш) 7 (x2_t){?} '

И, наконец, в полученной формуле естественно заменить переменную интегрирования t на t2. Получим следующую формулу для решения уравнения Шлемильха

g{x)

2у/7г • ж / d \ [2]+1 г f(t)tJdt

Г (! — (il) \xdx) J (Ж2_£2)Ш

(11)

68 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2013. №12(155). Вып. 31

Исследование четности функции g(x). Сначала заметим, что сингулярный дифференциальный оператор d/xdx имеет четный порядок, поэтому не меняет четности функций. Правую часть равенства (11) запишем в виде

'П x

Г(!-Ш)

d \й+1, . Г fit) fi dt

ш) <slgn'r)iyryTiT

Легко проверить, что если f (x) четная функция, то и

(sign x)

x

0

f(t) t1 dt (x2 -С){з}

— четная функция. По условию f — четная, следовательно и g — четная функция.

Формула (11) получена нами формально. Точные условия возможности обращения дробного интеграла (левостороннего) Римана-Лиувилля содержит Теорема 2.2 гл. 1 (с. 46) монографии [7]. Нам остается ей воспользоваться.

Обозначим через AC(a,b) множество абсолютно непрерывных на \a,b] функций, а также посредством ACm(a,b) — множество непрерывных на \a,b] вместе с m — 1 производной функций f с абсолютно непрерывной (m — 1)-ой производной: f (m-1)(x) £ AC (a,b).

Теорема 1. Пусть v > —1/2, nv — оператор Пуассона и f = f (x) четная функция такая, что f{y/x) £ AC^t2\t), Ъ), 0 < Ь < оо. Тогда в классе четных функций решение уравнения

f (t) = nv g(t)

Г (У)

Г (i) Г(I)

П

J g(t cos a) sin7-1 a da 0

(12)

находиться по формуле

g(x)

2л//7г • х f d \[2]+1 r f(t)tJdt

Г (X “ { 2 }) \xdx) J (x2-^2){1}

(13)

□ Отметим, что функция f определенная через функцию g по формуле (12), всегда (независимо от g)четная. Поскольку решение ищется в классе четных функций g(x), то правая часть уравнения преобразуется согласно (7), и уравнение (12) принимает вид уравнения Шлемильха. Последнее преобразуется в уравнение (10) с функцией fi(y) = л/ттг/2^-f(dfy) в правой части. По условию теоремы f(^/y) £ AC^^(0,b), но тогда и f1(y) £ AC[Y/2](0,b). Следовательно законна операция применения к этой функции производной Римана-Лиувиилля дробного порядка {у/2}. Это приведет нас к формуле (12). ■

4. Четные j-ряды Шлемильха при v = "-Ад- > — Из теоремы 1 вытекает теорема разложения в четный j-ряд Щлемильха.

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2013. №12(155). Вып. 31

69

Теорема 2. Пусть четная функция f Е AC[т/2]+1(0, b), 0<6<то представлена равномерно сходящимся рядом Шлемильха

Ж

/(*) = у + ^2ak jxzk(kt)- (14)

k= 1

Тогда коэффициенты ряда находятся по формулам

2 Г

cik = — g(t) cos(kt) dt =

П J 0

2

П

2y/7T

г (1-Ш)

7Г

0

xdx

[i]+1

x

0

/w <7

(ж2 — t2){z }

dt

x cos(kx) dx.

Замечание 3. Существуют, так называемые, «нуль ряды Шлемильха» — ряды с ненулевыми членами, но сходящиеся к нулю. Поэтому представление (14) не единственно.

Замечание 4. Для сходимости рядов Фурье обычно достаточно некоторой гладкости функции. Требование равномерной сходимости ряда (14), в этой теореме вызвано необходимостью почленного интегрирования и дифференцирования рассмотренных рядов и, по-видимому, излишне, как оно было бы излишне для рядов Фурье. Более того, для классических рядов Шлемильха установлены теоремы аналогичные теоремам Римана-Лебега, Парсеваля и Рисса-Фишера для рядов Фурье (см. [4], с. 81). Но полное исследование j-рядов Шлемильха не является основной задачей этих исследований. Здесь лишь приведены формулы для коэффициентов ряда Шлемильха по j-функциям Бесселя.

5. Нечетные j-ряды Шлемильха при v = Ад- > — Пусть теперь / - нечетная функция, и она представлена сходящимся нечетным j-рядом Шлемильха

f (x) = ^2 bfc jv,od(kx)

k=1

Ж 1

£> 2ETT)j''+l{kx)

Тогда равенство

2(u + 1)

x

f(x)

Ж

y^bk k jv+i(kx),

k=i

представляет собой ряд Щлемильха для четной функции

(15)

h(x) = 2^+ ^ /(.г).

x

Предполагаем, что для функции f\(x) = /(ж) выполнены условия теоремы 2.

По этой функции уравнение Шлемильха (для четной функции), отвечающее порядку оператора Пуассона v + 1 имеет вид

f (t)i = n;:+1»(t)

Г (У)

Г(1 + 1)Г(|)

J g(t cos a) sin7+1 a da . 0

70 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2013. №12(155). Вып. 31

Его решение находится по формуле (13), в которой надо заменить порядок v оператора Пуассона на порядок v +1 (соответственно у на у + 2), а функцию f на функцию (четную) fi(x) = fix). В результате придем к следующему решению этого уравнения

9(х) = X (4-) М+2 / т >1+\Л\ ■

г (! — Ш) \xdxj J (X2_t2){i}

Разумеется, здесь f(t)t1+1 = /(t)t(t2)a — четная функция, следовательно (см. выше в п.3), и g(x) — четная функция. Коэффициенты разложения (15), согласно теореме 2, найдем по формуле

2 Г

Ъкк = — д{х) cos{кх) dx = п J о

4(7+1)(тг)“1/2 [

г(1-Ш) /

_d_\M+2 j tJ+l dt

Xdx) J ^x2_t2^{l}

x cos(kx) dx.

Таким образом справедлив следующий результат.

Теорема 3. Пусть нечетная функция f такова, что f (x)/x £ AC[7/2]+2(0, b), 0<6<то и представлена равномерно сходящимся нечетным j-рядом Шлемильха

f (t) = bk <fv,od(kt) .

k=1

Тогда коэффициенты ряда находятся по формулам

k bk

4(7+1)(тг)“1/2 [

r(i -Ш) /

d \ И+2 j f{t) Г+1 dt

Xdx) J (ж2_£2)Ш

x cos(kx) dx.

Интегралы Сонина часто применяются при конструировании рядов Шлемильха, о чем можно судить по книгам [3], [4]. Мы приведем пример построения таких рядов Шлемильха по j-функциям Бесселя на основе первого интеграла Сонина. Этим интегралом называется следующее выражение (см. [4], с. 80, формула (39)):

г*п/2

Jv (z sin 0) (sin 0)v (cos 0) v d0

0

1

Г ( l — v | z

„v-l

sin z, — 1 < Re v < -.

2V уТг V2

В терминах j-функций Бесселя интеграл Сонина примет вид:

Г п/2

jv (z sin 0) (sin 0)Y (cos 0)Y 1 d0

Г(/2 + 1) Г (4 — //) sin z

z

о

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2013. №12(155). Вып. 31

71

1 Y — 1

— 1 < Re // < - , v =-----.

2 ’ 2

Предположим, что нечетная функция f представлена (неполным) рядом Шлемиль-ха, допускающим почленное интегрирование

ГО ГО

f (x) = ^2 bm <fod,v (mx) = ^2 bm m=1 m=l

mx Y + 1

jv+i(mx).

Удобно ввести обозначение p = v + 1, тогда

ГО

f(x) = bm фг ь(тх)

m=1

(16)

Здесь x заменим на x sin 0, умножим обе части на (sin0 cos©)7 1 и проинтегрируем по 0 от 0 до п/2. При этом выражение (16) примет вид

рп/2

f (x sin 0)(sin 0)

Y-1

0

(cos 0)Y-1 d0 =

1 ro pn/2

m=1 J0

m i jv(mx sin0)(sin 0)Y (cos 0)Y 1 d0

0

Правая часть последнего равенства представляется в виде:

' 3

0

У2 r(u)r (- — iA

f(x sin 0)(sin 0)2гУ (cos 0)2гУ dO =--—bm sin mx .

2 v \/n z'

m=1

Как видим, правая часть этого равенства есть тригонометрический ряд. Поэтому он является рядом Фурье для его левой части. Таким образом, мы доказали следующее утверждение.

Теорема 4. Если нечетная функция f представлена равномерно сходящимся на отрезке [0,п] рядом (неполным) Шлемильха

ГО

f (x) = ^2 bm Vod,v (mx)

m=1

по нечетным j-функциям Бесселя ляются по формуле

bm

jv(mx), ve(—22, то его коэффициенты опреде-

2v

^ГИГ (| - и)

х

х

п

0

Гп/2

I f (x sin 0)(sin 0)2v (cos 0)2v d0 sin mx dx .

0

(16)

О существовании нуль-ряда. Как известно (см. [1], [3], [4], классические обобщенные ряды Шлемильха могут представлять так называемые « нуль-ряды», т.е. существуют

72 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2013. №12(155). Вып. 31

сходящиеся обобщенные ряды Шлемильха с ненулевыми коэффициентами, сумма которых почти всюду равна нулю. Покажем, что аналогичное свойство имеется и у рядов Шлемильха по j-функциям Бесселя.

Рассмотрим функцию

f(x) = ^ зЛах)> " = Р+ 1. Определим ее j-ряд Шлемильха. По формуле (16) имеем

п п/2

2 V

^Г(и) Г(| - и)

{ \ / ax sin 0 . , , , . , 2v ( rw 2v ir\ 7

sm(mx) ---------------Jv\ptx suit)) (smfc)) (cos 0) аю ax

п/2

^Г(0Г(| - и)

ax sin(mx) / jv(ax sin 0) (sin 0)2v+1 (cos0)2v d0 dx .

Отсюда

1

bm = —= sin mx sin axdx = (—1)

m+1

m

'П

fn (m2 — a2)

sin an.

Таким образом, получено следующее представление функции f (x):

sin an ^ (—i)m+1m

f(x) = —7=- V--------2----Г" ш •

Vn ^—/ m2 — a2

v m=1

Разделив полученное равенство на sin an и перейдя к пределу при a ^ 0 с учетом, что jv (0) = 1, получим

x 1 ^ (-1)т , ч

+ — 2_^ ----У-- <Ро4,р(тХ) = 0 •

2ип Jn ^—' т

v m=1

Этот ряд представляет собой нуль-ряд из нечетных функций. Из него легко вытекает форма нуль-ряда из четных функций:

1 + J_ (~l)m Pod,p(mX) = Q

2ип Xх ^

т= 1

m

x

При этом ifiod,p(mx)/x — ограниченная функция.

п

1

п

Литература

1. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций / пер. со 2-го англ. изд. / М.: ИЛ, 1947. - 780 с.

2. Грей А., Метьюз Г. Функции Бесселя и их приложение к физике и механике / М.: ИЛ, 1953.

3. Коренев Б.Г. Введение в теорию Бесселевых функций / М.: Наука, 1971. - 298 с.

4. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, т.2 / М.: Наука, 1973. - 294 с.

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2013. №12(155). Вып. 31

73

5. Ляхов Л.Н., Санина Е.Л. Многочлены Шлемильха, интерполяционная формула Рисса для В-производной и неравенство Берштейна для В-производной Вейля-Маршо // Доклады РАН. - 2007. - 417,№5. - С.592-596.

6. Киприянов И.А. Об одном классе одномерных сингулярных псевдодифференциальных операторов // Мат. сборник. - 1977. - 104,№1. - С.49-68.

7. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев И.О. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / Минск: Наука и техника, 1987. - 688 с.

ABOUT SCHLOMILCH’S j-SERIES L.N. Lyakhov Voronezh State University

Universitetskaya Sq., 1, Voronezh, 394006, Russia, e-mail: [email protected]

Abstract. dassical Schlomilch’s series are constructed on basis of the sum of Bessel’s and

Struve’s functions with arguments kx, k = 0,1,2,___ The modification of Schlomilch’s series is

introduced. In frames of this modification, even Bessel’s functions of first kind which are normed by the way (they are called Bessel’s j-function) with the same argument kx or the odd derivative of even Bessel’s j-function (it plays the role of Struve functions) are used. Formulas for calculation of coefficients of such Schlomilch’s series are given.

Key words: Schlomilch’s series, Bessel’s j-function, Schlomilch’s equation, Sonin’s integral.