О изотропных решениях уравнений Максвелла Текст научной статьи по специальности «Математика»

НАУЧНОЕ ИЗДАНИЕ МГТУ ИМ. Н. Э. БАУМАНА

НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

Эл № ФС77 - 48211. Государственная регистрация №0421200025. ISSN 1994-0408

электронный научно-технический журнал

Об изотропных решениях уравнений Максвелла

# 11, ноябрь 2012

Б01:10.7463/1112.0489647

Тришин В. Н.

УДК 514.8+537.8

Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана [email protected]

Введение

В статье исследуются изотропные решения уравнений Максвелла без источников в пространстве-времени Минковского. Тензор напряженности Fßv таких полей удовлетворяет условию изотропности FßvFßv = Fßv *FßV = 0, где *FßV = 2£ßvaeFaß — дуальный тензор. Хорошо известно, что собственные векторы lß таких полей касательны к лучам бессдвиговой конгруэнции. Верно и обратное утверждение, известное как теорема Робинсона [2](см. также [3]), что с каждой бессдвиговой (аналитической) конгруэнцией связано решение уравнений Максвелла, изотропное вдоль lß. Теорема Робинсона не дает явного вида изотропного поля, и в литературе известно мало примеров решений уравнений Максвелла, полученных с помощью этой конструкции (см., например, [4]). В предлагаемой работе получена явная формула для изотропного поля, следующая из теоремы Робинсона.

Для решения задачи используется спинорный формализм абстрактных индексов, изложенный в [1]. Для тензора напряженности электромагнитного поля имеем спинорное представление

Fßv = <^AB SA'B' + Фл'Б' £лв,

где симметричный электромагнитный спинор <^лВ = ф(лв) соответствует антисамодуаль-

def 1

ной части поля

Fßv ^ ßv + i F ßv >

а спинор <^a'в = P(A'B') — самодуальной части

T,{FßV + i Fßv> = Рлв£a'

B',

+def 1 (T? ■* tp \_

Fßv = 2(Fßv — i Fßv> = PA'B'£лв.

Уравнения Максвелла имеют вид

vaa'^ab = 0,

(1)

где УАА' — оператор дифференцирования. Эти уравнения эквивалентны условию замкнутости ¿Т = 0 2-формы

Т = 2 + г ) ¿х» Л ¿х",

что совместно с антисамодуальностью *Т = -гТ ведет к выполнению условия козамкну-тости (второй пары уравнений Максвелла) й * Т = 0.

Спинор £А, соответствующий изотропному векторному полю I» = £А£А' и определяющий бессдвиговую конгруэнцию, удовлетворяет [1] системе

£А£В УАА' £в = 0. (2)

Условие изотропности поля Г»„ вдоль I» означает, что ^Ав = х£А£В, где х(х») — некоторая функция пространственно-временных координат. Задача построения явных решений уравнений Максвелла (1) сводится к нахождению функции х(х), удовлетворяющей системе линейных дифференциальных уравнений первого порядка.

1. Поле Максвелла, изотропное вдоль бессдвиговой конгруэнции

Уравнения Максвелла (1), записанные для изотропного поля ^Ав = х£А£В с учетом (2), приводят для неизвестной функции х(х) к уравнениям

£аУаа' 1п х = -Улл' £А - ПА', где па' определяется из уравнения

£А^АА' £в = £в ПА'. В формализме Ньюмана — Пенроуза эти уравнения принимают вид

Б 1п х = р - 2е, 6 1п х = т - 2в, (3)

где спинор £А выбран в качестве одного из спиноров базисной диады, а р, е, т, в — соответствующие спиновые коэффициенты (см. [1]).

Выберем в пространстве Минковского изотропные координаты

и = х0 + х3, V = х0 - х3, ( = х1 + гх2, ( = х1 - гх2

(используется система единиц, где скорость света с = 1). Метрика имеет вид

¿в2 = йи¿V -

Масштаб на £А выберем такой, что £0 = 1, £1 = У. Тогда условие (2) нулевого сдвига для конгруэнции эквивалентно системе квазилинейных уравнений

У-с = УУи, У = УУС (4)

- дУ

для комплексной функции У (и, V, (,<-), где Уи = диУ = и т.д. Общее решение этой

системы можно записать в неявном виде

Б (У, и + У-,С + Уv) = 0,

где Б — произвольная голоморфная функция трех переменных (теорема Керра [1]). Базисная тетрада Ньюмана — Пенроуза имеет вид

Б = /»д» = У У- ди + д^ - Удс - У д-, а = п»д» = д^, 6 = т»д» = Уди - д-, - = т»д» = Уди - д^.

Вычисляя спиновые коэффициенты, получим с учетом (4), что отличны от нуля только коэффициенты р = У^ - УУ и т = - УИ, и система (3) для функции х принимает вид

дС (Ух) = д^ х, д„ (Ух) = дс-х. (5)

Антисамодуальная 2-форма поля Максвелла Т = х^ Л М после подстановки базисных 1-форм I = ¿и + У- ¿С + у ¿с + У У- ¿V и М = ¿С + У^ равна

Т = х (¿и + У¿0 Л (¿С + У¿V). (6)

Рассмотрим (дуальное) твисторное пространство с координатами Za = (£А, иА'), где спинор

А' А' АА'

иА связан с £а условием инцидентности иА = £ах , и эрмитова матрица координат

^АА' 1 и £ \ I х0 + х3 х1 + гх2 - VI ух1 - гх2 х0 - х3

При выбранном масштабе спинора £а спинор иА' имеет компоненты

и0' = и + У- и и1' = £ + У V.

Выразим 2-форму Т в (6) через дифференциалы компонент спинора иА'. Легко видеть,

что

(¿и + У^О Л (¿С + У^) = ¿и0' Л ¿и1' + ЫУ Л ¿и0' - -¿У Л ¿и1'. (7)

В силу (4) дифференциал ¿У = Уи(^и + У^с) + У-(^С + У^), поэтому

¿У Л ¿и0' = Ус(¿и + У^с) Л (¿£ + У^), ¿У Л ¿и1' = У„(^и + У^с) Л (¿С + У^).

Тогда из (7) получаем

¿и0' Л ¿и1' = (1 + (Уи + уУс)(<1и + У^) Л (¿( + У ¿у),

откуда следует, что Т = /¿и0' Л ¿и1', где х(х^) = (1 + сУи + уУ,г)/(хм). Подставляя это разложение для х в (5), получим для / (хсистему

/с = У/и. /V = У/С,

общее решение которой имеет вид / = / (и + У(, ( + У у), где / — произвольная голоморфная функция двух переменных.

Таким образом, любое изотропное электромагнитное поле определяется антисамодуаль-ной формой

Т = /(и0',и1'^и0' Л ¿и1'; и0' = и + У(, и1' = ( + Уу, (8)

где У неявно задана условием Е (У, и + У(, ( + У у) = 0, а / и Е — произвольные голоморфные функции двух и трех переменных соответственно.

Из формулы (8) можно получить выражения для векторов напряженности Е (Е = Е0{) электрического поля и индукции В (Б^ = --Еjk) магнитного поля. Для этого введем комплексный вектор Римана — Зильберштейна Е = Е — 1В. Его компоненты выражаются следующим образом через компоненты спин-тензора <^ав :

Е1 = ^00 — ^и, Е2 = г(^00 + ^и), Е3 = —2^1. Тогда для вектора Е получаем формулу, эквивалентную (8):

( 1-У2\

F = (1 + (Yu + vYc)f (u + Y(, С + Yv)

Заключение

i(1+ Y2)

v -2Y /

(9)

На основе теоремы Робинсона получено явное выражение для произвольного изотропного поля Максвелла. Решения имеют вид (8) (поля в трехмерной форме даны (9)) и определяются двумя произвольными голоморфными функциями / и Е двух и трех переменных соответственно.

Список литературы

1. Пенроуз Р., Рпндлер В. Спиноры и пространство-время. В 2 т. Т. 2. Спинорные и тви-сторные методы в геометрии пространства-времени: пер. с англ. М.: Мир, 1988. 572 с. [Penrose R., Rindler W. Spinors and space-time. Vol. 2. Spinor and twistor methods in SpaceTime geometry. Cambridge: Cambridge University Press, 1986. 501 p.].

2. Robinson I. Null electromagnetic fields // Journal of Mathematical Physics. 1961. №.2. P. 290-291. DOI: 10.1063/1.1703712

3. Tafel J. On the Robinson theorem and shearfree geodesic null congruences // Letters in Mathematical Physics. 1985. Vol. 10, no. 1. P. 33-39. DOI: 10.1007/BF00704584

4. Dalhuisen J. W., Bouwmeester D. Twistors and electromagnetic knots // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 2012. №.A45. P. 135201-135209. DOI: 10.1088/17518113/45/13/135201

SCIENTIFIC PERIODICAL OF THE BAUMAN MSTU

SCIENCE and EDUCATION

EL № FS77 - 48211. №0421200025. ISSN 1994-0408

electronic scientific and technical journal

On null solutions of the Maxwel equations # 11, November 2012 DOI: 10.7463/1112.0489647 Trishin V. N.

Russia, Bauman Moscow State Technical University

[email protected]

Null solutions of the source-free Maxwell equations in the Minkowski space-time are considered. It is well known that a principal null direction of the null electromagnetic field defines a shear-free geodesic null congruence. Conversely, null Maxwell fields can be obtained from the (analytic) shear-free congruence via the Robinson theorem. We present the explicit formula for the electromagnetic field derived from the Robinson and Kerr theorems. The solution depends on two analytic functions of two and three complex variables.

References

1. Penrose R., Rindler W. Spinors and space-time. Vol. 2. Spinor and twistor methods in SpaceTime geometry. Cambridge, Cambridge University Press, 1986. 501 p. (Russ. ed.: Penrouz R., Rindler V. Spinory i prostranstvo-vremia. V 2 t. T. 2. Spinornye i tvistornye metody v geometrii prostranstva-vremeni. Moscow, Mir, 1988. 572 p.).

2. Robinson I. Null electromagnetic fields // Journal of Mathematical Physics, 1961, no. 2, pp. 290-291. DOI: 10.1063/1.1703712

3. Tafel J. On the Robinson theorem and shearfree geodesic null congruences // Letters in Mathematical Physics, 1985, vol. 10, no. 1, pp. 33-39. DOI: 10.1007/BF00704584

4. Dalhuisen J. W., Bouwmeester D. Twistors and electromagnetic knots // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 2012, no. A45, pp. 135201-135209. DOI: 10.1088/17518113/45/13/135201