О характеризации размазанных операторов в векторных решетках Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал Октябрь-декабрь, 2000, Том 2, Выпуск 4

УДК 517.98

О ХАРАКТЕРИЗАЦИИ РАЗМАЗАННЫХ ОПЕРАТОРОВ В ВЕКТОРНЫХ РЕШЕТКАХ

С. Н. Табуев

В работе получены различные характеризации размазанных операторов. Найдена также новая формула проектирования на полосу, дополнительную к полосе размазанных

операторов.

Данная работа посвящена исследованию вопросов, связанных с одним из классов линейных операторов в векторных решетках — размазанных операторов. Пусть /•,' и /•' — векторные решетки, а Ь~(Е, /•') — пространство всех по-рядково ограниченных линейных операторов из /•,' и /•'. Напомним, что оператор Т е /Л(ЛЛ /•') называют размазанным, если он дизъюнктен всем решеточным гомоморфизмам из Н и /•'. Если (/•,'. /•') — полоса в (/•,'. /•'). порожденная множеством решеточных гомоморфизмов Нот(£',^), а Ь^(Е,Е) — множество всех размазанных операторов, то (/•,'. /•') = Нот (/•,'. /•') 1 и Ь~(Е, /•') = Нот

Используется теория векторных решеток, изложение которой можно найти в [1-4]. В основу данной работы легли результаты полученные Хауисмансом п де Пахте в [5] и теорема (2.2 (1)-(3)), сформулированная А.Г.Кусраевым, см. [6].

Работа состоит из введения и двух параграфов. Первый параграф посвящен исследованию свойств двух М-полунорм. В 1.1 формулируется теорема Хана — Банаха для решеточных гомоморфизмов, доказанная Баскесом и ван Ружем в [7]. В 1.2 вводится новый сублинейный оператор ц-у. аналогичный оператору рт, введенному в [5], и доказывается, что (¡-¡- является М-полунормой. В 1.3 доказывается, что рт совпадает с ц -) . В 1.4 приведена новая формула проектирования ограниченного оператора на полосу решеточных гомоморфизмов.

Во втором параграфе рассматриваются критерии размазанности оператора. В 2.1 установлен новый критерий размазанности оператора (2.1 (1)-ФФ-(3)). В 2.2 получено доказательство теоремы (2.2 (1)-(3)), сформулированной в [6], а также добавлены два новых критерия размазанности положительного оператора (2.2 (4)-(5)). В доказательстве теоремы использован прием применявшийся в [8].

© 2000 Табуев С. Н.

Автор признателен своему научному руководителю профессору А. Г. Кус-раеву за постановку задачи и внимание к работе.

1. Формула проектирования на полосу решеточных гомоморфизмов

В текущем параграфе вводится новая М-полунорма, связанная с разложением положительного оператора и устанавливается одна новая формула проектирования на полосу порожденную множеством решеточных гомоморфизмов.

1.1 Всюду ниже /•,' и /•' — векторные решетки, причем /•' порядково полна. Пусть X — действительное векторное пространство. Оператор р : А —/•' называют сублинейным, если р(х + у) < р(х) + р(у) и р(Хх) = Ар(х) для всех .г.// А' н (I < А (■ I Множество всех линейных операторов из .V и /А мажорируемых оператором р, называют опорным множеством р и обозначают др:

др:= {Т е Ь(Х, Е) : (Ух еХ)Тх< р(х)},

где I. (А . Е) — пространство всех линейных операторов из X в Е.

Сублинейный оператор р : Е Е называют субморфизмом, еслъ р(х\/у) = р(х) V р(у) для всех х,у е Е. Если р(х) = р(|ж|) для всех х Е Е и отображение х р(х+) — субморфизм, то р именуют М-полунормой. Иными словами р — М-полунорма па Е и том и только в том случае, если выполнены условия:

(1) р(х + у) < р(х) +р(у), р(ах) = ар(х) для всех х,у Е Е и 0 < а е 1;

(2) р(х) < р(у), если |ж| < |у| в Е\

(3) р(х V у) = р(х) V р(у) для всех х, у е Е+.

Теорема Баскеса — ван Ружа. Пусть р — положительный субморфизм из /•,' а /•' и пусть Го — решеточный гомоморфизм из иодрешетки /-,'о С /•,' /; /•' такой, что Тдх < р(х) (х £ Ео). Тогда То можно продолжить до решеточного гомоморфизма Г : Е ^ /•' так, что Тх < р(х) (х Е Е).

< Этот факт установлен в [7]. Другое доказательство можно найти в [3]. >

1.2. Теорема. Пусть Т — решеточный гомоморфизм. Операторы И\ и И-> из полосы Г 1 1 дизъюнктны тогда и только тогда, когда дизъюнктны их образы.

< Эта теорема является следствием из теоремы Кутателадзе (см. [3], 3.3.3). >

1.3. Для положительного оператора Т е /Л(/А /-')+ определим отображение рт-.Е^гЕ (см. [5]):

рт(х) := {Тх± V • • • V Тхп : |ж| < х\ V • • • V хп; х\,..., хп е Е+, пеМ}.

Введем также отображение ц-у : /•,' —/•' следующей формулой:

Чти:) := ¡пГ |ж| V • • • V Тп\х\ : Т = ^ 7}. 7} е /Л (Я, /•')+• 7} ± Г,- (г # | .

Отметим, что отображения рт(%) и Чт(%) определены корректно, так как ¥ — полная векторная решетка, причем рт(х) < Т.г. (ц [ х ) < Тх для всех х Е Е+. Более того, если Т Е Нот(£', то рт{х) = = Т(ж) (непосредственно

следует из теоремы 2.1) для всех х Е

(1) Отображение рт является М-полунормой на Е. < Доказательство приведено в [5]. >

Доказательство аналогичного утверждения для ц-у опирается на следующее вспомогательное утверждение.

(2) Для любых 0 < .г. у (г /•,' и любого Т Е /Л(/•,'. /•') + существует разбиение Т = Т\ + Т2 такое, что Т\ . Т-> н

7\(ж V у) V Т2(х V у) < Тх V Ту.

< Пусть е := (.;•<=?/)+. с = (//<=.•;•)+. Т\ := 7геГ, Т2 := тг,1 7". (Определение проектора 7ге и его свойства см. в [3].) Тогда для любых ж, у Е Е имеем //(.г -ФФ-у)+ Л ж < ж, п(х ■Ф4>у)+ Л у < ж, значит

(пе Л (ж V у)) = (п(ж -ФФ-у) + Л ж) V (п(ж -ФФ-у) + А у) < ж.

Отсюда видно, что Т(пе Л (ж V у)) < Тх, поэтому 7\(ж V у) < Тж. Аналогично можно доказать, что жсТ(х V у) < Т(у) и, учитывая неравенство

ж^Т{хУу) < жсТ{х V у),

выводим Тх (ж V у) + V у) < Тх V Ту. >

(3) Отображение (¡у является М-нолунормой на Е. < Положительная однородность и 1.1 (2) тривиальны. Докажем субаддитивность ц-у. Возьмем .г. у (г Еи рассмотрим разбиения

Т = Т1 + --- + ТП, Т = +----Ь ¿"то

для некоторых Г1? • • -Тп Е Ь~(Е, /•') + . ----Л',,,. е Ь~(Е, Тогда

п тп тп,п т,п т,п

У'Пх^У И ¡у > у Т^х+ у ъ.ш = у Г^-(ж + у),

¿=1 ¿ = 1 1,3 = 1 1,3 = 1 1,3 = 1

где 4)j =Ti Л Sj и, таким образом,

n m

Чт{х + у) < V Txi + У ¿=1 i=l

Из этого можно заключить, что дт(х + у) < дт(х) + дт(у)- Остается доказать свойство 1.1 (3). Из 1.1 (2) имеем, что дт(х) V дт{у) < дт(% V у) для всех х, у е

Я+. Возьмем '/',.....'/;,.. »S'i.....„S'm е L~-(i:. /•') + такие, что Т = Тг + • • • + Тп =

+----Ь Sm. Докажем, что

(n \ im

V 7>Jv (V ^

Для этого рассмотрим те же 4)j. что и выше, и оценим

(n \ / m \ / n,m \ / n,m \ n,m

V TiX V V sjy > V v V = V v

*=1 / \.'= I / \'-.i=l / \'-.i=l / *,i=l

Исходя из 1.3(2) существуют некоторые ■. Tf- такие, что ■ + Tf- = 'l)j и Т^(х + у) V T?j(x + у) < Tijx V Tijy. Таким образом выполняется следующее соотношение:

n,m n,m

V (Tijx V Tijy) > V {ТУ{х + у) V 2?. (ж + у)).

i,j=1 i,j=i

Следовательно, дт{хУ у) < дт(х) Vдт(у), что и доказывает равенство 1.1 (3). >

(4) Для любого проектора b е В выполняется Ъдт{х) = дьт(%) (х Е Е).

< Проверяется прямым подсчетом. >

1.4. Для R G Нот (/•,'. /•') эквивалентны следующие утверждения:

(1) 0 < Д < Г;

(2) RedpT;

(3) II е (Л//.

< Импликации (2) =>■ (1) и (3) =>■ (1) — очевидны. Импликация (1) =>■ (2) следует из того, что для R е Нот (/-Л /•') будет

R{x) < R{xi) V • • • V R{xn) < Т{х\) V • • • V Г(жп).

Докажем (1) =>■ (3). Рассмотрим разбиение Т = 7\Н-----VTn, Ч) ± 7) (г ф j).

Так как II < Г. то существует разбиение II = 11\ — • • • — /,'„. где Я, < 7}. Учитывая теорему 1.2 имеем

п п

Rx = /|'|.г + • • • + /|'„.Г = \j Ii. ¡.Г < Ч).Г.

¿=1 ¿=1

что и завершает доказательство. >

(4) Если Т Е L~(E, 1"')+. ар — положительный субморфизм, то

р(х) = тах{Дж : Д е Нот (Е, F) П др}

для всех х Е . В частности, р ф 0 тоща и только тоща, когда р мажорирует нетривиальный решеточный гомоморфизм.

< Зафиксируем х Е Е+ и обозначим через Eq = {ax : a Е R} векторную иодрешетку порожденную элементом х. Обозначим через Rq Е Нот(/•,'. /•') оператор удовлетворяющий условию Ro(ax) = арж для всех а е R. Тогда /i'd.r < р(ж) для всех х Е Е0. Теперь по теореме Баскеса — пап Ружа 1.1 существует оператор R Е Нот (/-Л /•') такой, что Дж = /i'd.r для всех .г е /•,'(, и /i'.r < р(ж) для всех х Е Е. >

(5) Из доказанных выше утверждений следует, что

Prix) = (¡Г(.г) = max{ Их : R Е Нот (Е. /•'). О < Я < Т}.

1.5. Обозначим через Vef проектор L~{E,F) на полосу L~(E,F).

(1) Пусть Е и F — векторные решетки, причем F — норядково полна. Тогда для любого Т Е (/•,'. /•')+ и для каждого ж Е Еимеет место следующая формула:

{п п

У^ ¡>1 (х-,) : ж = ^^ ж¿; .г |......г„. Е Е+, n Е N > .

¿=i ¿=i J

< Это утверждение доказано в [5] Хауисмансом и де Пахте. >

(2) Для тех же Е. /•'. Г и х имеет место следующая формула проектирования на полосу L~(E, F):

{п п

У^ (¡1 (х-,) : ж = ^^ .г,-: .г |......г„. Е Е+, nGN>.

i=1 i=1 J

< Следует из (1) и равенства рт = дт, см. 1.4 (5). >

2. Характеризация размазанных операторов

2.1. Теорема. Пусть Е и F — векторные решетки, причем F — поряд-ково полна. Если Т Е L~(E, F), то следующие утверждения эквивалентны:

(1) Те /,,7(/АГ):

(2) т£{\/"=1 \T\xi : |ж| < \/Г=1ж^ жь...,жп е Е+, п е М} = 0, (х е

Е)\

(3) п.Г{\/Г=| Ъ :\Т\=Т1 + --- + ТП- Т> ± Т){%фз)пе М} = О, (ж е

Е).

< Без ограничения общности можно предположить, что Г > 0. Ясно, что Т е /•') в том и только в том случае, когда единственный решеточ-

ный гомоморфизм, мажорируемый Г. тривиален. Учитывая доказанное выше утверждение это эквивалентно тому, что рт = Ят = 0. >

Утверждение 2.1 (1) -ФФ- 2.1 (2) сформулировано и доказано в [5].

2.2. Элементы .г\......г„. назовем покрытием элемента х если выполняется следующее соотношение:

п

X < \/ Хъ. i=l

Буквой В будем обозначать полную булеву алгебру порядковых проекторов в /•'. Сформулируем теперь основной результат статьи.

Теорема. Для положительного оператора Т : /•,' —/•' равносильны следующие утверждения:

(1) Т — это размазанный оператор;

(2) для любых 0 < .г (г /■;.()<( (г /• и I) (г В при 1м ф 0 существуют ненулевой проектор р < Ь и некоторые попарно дизъюнктные положительные операторы Т\,..., Тп такие, что

Т = + ... + Тп, \рТкх\ < б, (к := 1,..., га);

(3) для любых 0 < .г (г /■;.()<( (г /• п I) (г П при 1м ф 0 существует счетное разбиение (Ьп) проектора Ьо [б] такое, что при каждом пбМ выполнено условие: Т можно разложить в сумму п попарно дизъюнктных положительных операторов Т\ .„.....,'!),-причем так, чтобы Ьп\Тк>пх\ < е (к := 1,..., /.:„):

(4) для любых 0 < .г (г /■;.()<( (г /• п I) (г П при Ьв Ф 0 существуют ненулевой проектор р < Ь и некоторые положительные элементы х,\,..., хп £ Е такие, что

п

< V \рТхк\ < е, (к := 1,..., га);

1=1

(5) для любых 0 < .г (г 1-1. ()<( (г /•' и I) (г И при 1м ф О существует разбиение (рг) проектора Ь°[е] такое, что при каждом £ е 5 выполнено условие: существует покрытие х < .г | .<;• V • ■ • Х/.г/,-с.г такое, что < е (к := 1,..., /.:„).

< Не ограничивая общности, можно считать [е] = Ь. Докажем (1) =>■ (2) от противного. Пусть существуют 0 < .г(, (г Е. О < гц /•' и 1>ц (г П такие, что Ьоео Ф 0 и для любого ненулевого проектора р < Ьо и любых попарно дизъюнктных положительных операторов Т\,..., Тп таких, что Т = Т\ + • • • + Тп, существует хотя бы один элемент Тко, для которого рТкохо ^ Ьо^о- Пусть

'//,.,.....'/},. — элементы разбиения удовлетворяющие условию рТк/хо ^ Ьо^о-

Докажем, что среди этих 7},.; найдется элемент '¡'¡" такой, что рТ£хо > Ьоео-Возьмем Тк1, и допустим, что рТк1хо ^ Ьоео- Тогда найдется проектор р\, для которого р±Тк1хо < Ьоео. Если р\Т^хо < Ьо^о Для всех г = то мы

сразу получаем противоречие. В противном случае, проводя аналогичные рассуждения необходимое конечное число раз, получим такой проектор р". что р*Т£хо ^ Ьоео и р*Т*хо < Ьоео Для остальных Т^. Тем самым вновь приходим к противоречию, т.е. р*Т£хо > Ьо^о- Так как это верно для любого разложения Т = Т\ + • • • + Тп, то имеем ят(хо) > 0, что согласно 1.3 противоречит размазанности Т.

Докажем (2) =>■ (3). Согласно (2) существуют 0 ф р < Ь и попарно дизъ-юктные операторы '¡\.....7"„. для которых Т = +----и ///},..г < е. Рассмотрим проектор Ь <=-р. Для него тоже существует проектор 0 ф р\ < Ь <=•/) и попарно дизьюктные операторы Бх,..., Бт такие, что Т = ^ + • • • + Бп и р | И/,-.!' < е. Проводя эту процедуру, мы получим упорядоченное по включению множество разбиений, которое по лемме Цорна имеет максимальный элемент. Пусть это (/>г)геЕ. Покажем, что это разбиение Ь. Пусть это не так. Тогда из нулевого элемента Ь-Ф^Х^е- Рс, также можно выделить проектор р". удовлетворяющий требуемым условиям, и добавить его к разбиению, что противоречит максимальности разбиения.

Таким образом, имеем разбиение (/>г)геЕ проектора Ь и разложения Т = 7"|.г + ... + 7),-с.г такие, что р^Тк^х < е. Пусть к(-) — отображение к : 5 —КГ, действующее по правилу £ />>. Введем следующие обозначения: 5П :=

А:-1 (»• Ьп := Х<ен„ рг. 7*;./,. = У]г6н„ /'^'Ч 0 = 1.....")• Исключив те Ьп,

для которых Л: 1 (и) = 0, и перенумеровав остальные получим требуемое разбиение.

Доказательство (3) =>■ (1) проведем от противного. Пусть выполнено (3) и при этом </■/ (.г) ф 0. Пусть е := (•'')• < := Ь := //7 (.г)]. Тогда из соотношения Ье Ф 0 в силу (3), определения дт и 1.2 (4) следует, что Ьпдт{х) = Яьпт(х) < е = ^е. Отсюда Ьдг(ж) < ^е и приходим к противоречию Ят{х) = с < ^е. Таким образом, е = 0, что и доказывает размазанность Т.

Докажем (1) =>■ (4) от противного. Пусть существуют 0 < жо & Е, 0 <

€q Е F ж bo Е В такие, что Ьоео Ф 0 и для любого ненулевого проектора р < Ьо ж любого покрытия хо < х,\ V • • • V хп существует хотя бы один элемент Xk0, для которого рТхко ^ Ьоео■ Пусть Xkt, ■ ■ ■ ,Xks — элементы покрытия удовлетворяющие условию pTfr.xо f- !>(,((,. Докажем, что среди этих x,jti найдется элемент х£ такой, что рТх£ > Ьоео- Возьмем х^ и допустим, что рТх^ ^ Ьоео- Тогда найдется проектор pi, для которого р{Тх^ < Ьо^о- Если piTxki < Ьо^о для всех г = 1......ч. то мы сразу получаем противоречие. В противном случае, проводя аналогичные рассуждения необходимое конечное число раз, получим такой проектор р* что р*Тх%, ^ Ьоео и p*Txi < Ьоео Для остальных х^. Тем самым, вновь приходим к противоречию, т. е. р*Тх£ > Ьоео- Так как это верно для любого покрытия х = х,\ V • • • Ужп, то имеем, что рт{%о) > 0, что противоречит размазанности Т.

Докажем (4) =>■ (5). Согласно (4) существуют р < Ь и покрытия х = .г I V • • • V хп, для которых ///>/,. < е. Далее рассмотрим проектор Ь -ФФ-р. Если b Ф р, то для него также существуют проектор р\ < 6 <=•/) и некоторые элементы х = у\ V • • • V ут такие, что р\Ту& < е. Проводя эту процедуру мы получим упорядоченное множество разбиений, которое по лемме Цорна имеет максимальный элемент. Пусть это (р¿г) Е S). Покажем, что это разбиение I). Пусть это не так, тогда имеем элемент b •«►X^e- Pi 11 из него тоже можно выделить проектор р* удовлетворяющий требуемым условиям и добавить его к разбиению, что противоречит максимальности разбиения.

Доказательство (5) =>■ (1) проведем от противного. Пусть выполнено (5) и при этом pri-1') Ф 0. Пусть е := рт(х), < := ^е, b := jr/ix)}. Тогда из соотношения Ъе Ф 0 следует, что Ьрт(хо) <е = ^еи приходим к противоречию Рт{хо) = е < —е. Таким образом, е = 0, что и доказывает размазанность Т. >

2.3. (1) Если в теореме 2.2 Е — решетка с главными проекциями, то в 2.2(4) и 2.2(5) покрытия х < \/Г=1 хг можно заменить на разбиения х =

Еп

1=1Х%1 ГДе •''/ — попарно дизъюнктны.

(2) Если Е — порядково полная векторная решетка, то в 2.2 (5) можно получить счетное разбиение (/'<;).

< Из 2.2 (4) =>■ 2.2 (5) имеем, что существует разбиение (рс) = Ь, £ е 5 и для каждого р^ существует покрытие х < V- • - такие, что р^Тх^^ < е.

Пусть отображение к : 5 —КГ определяется формулой ( />> (С Е =.). Введем следующие обозначения: Еп := Л: 1 (•//). Ъп := •'•;.„. := .г,-.г. Покажем, что

х<\/

п i= 1

Учитывая то, что Е — порядково полная векторная решетка, мы имеем

\/жм- = I Д Ж!И V I Д У - У I Д = Д (\fxiA >Х,

i=1 \сен„ / \сен„ / \сен„ / С6Н„ \/'=1 /

что и требовалось доказать. >

Литература

1. Aliprantis С. Г).. Burkinshaw О. Positive Operators.— N.Y.: Acad. Press, 1985,—359 р.

2. Бухвалов А. В., Коротков В. В., Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С., Макаров Б. М. Векторные решетки и интегральные операторы.—Новосибирск: Наука, 1991,—214 с.

3. Kusraev A. G. Dominated Operators.—Dordrecht etc.: Kluwer Academic Publishers, 2000,—446 p.

4. Schwartz H. U. Banach Lattices and Operators.— Leipzig: Teubrer, 1984.— 208 p.

5. Huijsmans С. B. and Pagter B. de. Disjointness preserving and diffuse operators // Compositio Mathematica.—1991.— V. 79.—P. 351-374.

6. Гутман A. E., Емельянов Э. Ю., Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. Нестандартный анализ и векторные решетки.—Новосибирск: Изд-во Ин-та мат-ки СО РАН, 1999,—380 с.

7. Buskes G. J. Н. М., Rooij А. С. М. van. Hahn-Banach for Riesz homomor-phisms // Indag. Math.—1989,—V. 51. P. 25-34.

8. Раднаев В.А. Метрическая //-неразложимость в упорядоченных решето-чно-нормированных пространствах и ее приложения. — НГУ, Новосибирск, Дисс. на соиск. уч. степ. канд. физ.-мат. наук, 1997.—108 с.

г. Владикавказ

Статья поступила 17 сентября 2000 г.