CC BY
19
УДК 517.544.45
К. Ю. Федоровский
О ХАРАКТЕРИЗАЦИИ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ В ПЛОСКИХ ОБЛАСТЯХ КАРАТЕОДОРИ В ТЕРМИНАХ СЛАБОГО ПРИНЦИПА МАКСИМУМА
Получена новая характеризация голоморфных и мероморфных функций в областях Каратеодори, не разделяющих плоскость, в терминах специального "слабого" принципа максимума модуля.
E-mail: [email protected]
Ключевые слова: область Каратеодори, принцип максимума модуля, ме-
роморфная функция.
Пусть X — компактное подмножество комплексной плоскости C, а С (X) — пространство всех непрерывных на X комплекснозначных функций с равномерной нормой || f ||X := maxzeX | f (z)|. Пусть П С C — ограниченная область, а СА(П) — класс всех голоморфных в области П функций f таких, что f £ С(П). Напомним, что классический принцип максимума модуля для голоморфных функций состоит в следующем: пусть f £ СА(П), тогда |f(z)| ^ ||f ||дп для любой точки z £ П и, если для некоторого z £ П соответствующее неравенство обращается в равенство, то функция f постоянна в П.
Обозначим через D (открытый) единичный круг в C, через T — единичную окружность. В главе 12 книги [1] было доказано следующее утверждение: если функция g £ С(D) такова, что для любых функций fi, f2 £ CA(D) и для любой точки z £ D имеет место неравенство
|fl(z) + g(z)f2(z)| < ||fi + gf2|T, (1)
то функция g голоморфна в D. Неравенство (1) естественно рассматривать как специальный вариант неравенства, возникающего в принципе максимума модуля для голоморфных функций, а соответствующее утверждение - как одно из возможных обращений этого принципа. Возникает следующая задача: для как можно более широкого класса областей П в C найти характеристики свойства функции f быть голоморфной (или мероморфной) в области П в терминах неравенств, выражающих различные специальные варианты принципа максимума.
В связи этой задачей необходимо отметить, что в недавней работе Андерсона, Симы, Левенберга и Ренсфорда [2] получены результаты, существенно усиливающие упомянутый результат работы [1]. Сформулируем один из результатов работы [2], который будет необходим в дальнейшем. Напомним, что для произвольного открытого множества U С C через H^(U) обозначается класс всех голоморфных и ограниченных в U функций. Кроме того, если функция f £ H^ := H^(D),
то для почти всех (относительно длины на T) точек £ Е T существуют конечные угловые предельные (граничные) значения f (£).
Пусть U — открытое подмножество D, а функция g Е C(U U T). Предположим, что для любого z Е U найдется такая константа Cz, что для любых функций f1 ,f2 Е CA (D) выполняется неравенство
|fi(z) + g(z)f2(z)| < Cz||fi + gf2ÜT. (2)
Тогда ([2], теорема 2.1 и следствие 2.3]) найдутся такие функции u,v Е Hчто для почти всех точек £ Е T выполняется равенство u(£)/v(£) = g(£) и u/v = g в U .В частности, g голоморфна в U и продолжается до мероморфной функции (равной u/v) в D.
Приведем несколько замечаний относительно этого результата. Во первых, если U = D, то получаем, что функция g голоморфна в D и таким образом приведенный результат существенно усиливает упомянутый ранее результат работы [1], так как условие (2) слабее условия (1). Кроме того, если U = D \ Е, где Е - конечное множество, то обсуждаемый результат дает характеристику мероморфных в единичном круге функций в терминах принципа максимума модуля в форме (2).
Ограниченная область Q в C называется областью Каратеодори, если дQ = OQ^, где через Q^ обозначена неограниченная (связная) компонента множества C \ Q. Непосредственно из определения вытекает, что всякая область Каратеодори Q является односвязной и обладает свойством Q = Q°. Скажем также, что область Q не разделяет плоскость, если множество C \ Q связно.
В настоящей работе приведенный результат работы [2] распространяется с круга D на класс областей Каратеодори, не разделяющих плоскость. Далее использованы следующие соглашения и обозначения: под многочленами понимаются многочлены от комплексного переменного, совокупность всех таких многочленов обозначается символом P; под мерой понимается конечная комплекснозначная борелев-ская мера в C; мера ц называется ортогональной, если она ортогональна всем многочленам, т.е. если f P(z) dß(z) = 0 для любого P Е P. Соответствующий факт записывается как ц Кроме того, под контуром понимается замкнутая жорданова кривая в C (не обязательно спрямляемая). Если Г — контур, то D(r) — область, им ограниченная.
Некоторые свойства областей Каратеодори. Всюду в дальнейшем для любой ограниченной односвязной области Q в C будем считать, что ф — это некоторое фиксированное конформное отображение D на Q, а ф — соответствующее обратное отображение.
Для работы с мерами, сосредоточенными на границах областей Каратеодори, потребуется изучить (для таких областей) следующий
вопрос: что можно утверждать о возможности продолжения р на D и о возможности продолжения ф на П?
Хорошо известная классическая теорема Каратеодори [3, гл. 2, раздел 2.1] дает ответ на оба эти вопроса в случае, когда П является жор-дановой областью: р продолжается до гомеоморфизма D на П в том и только том случае, когда П — жорданова область.
Пусть теперь П — область Каратеодори и р выбрано так, что р(0) = z0 G П и р'(0) > 0. Определим множество
даП := {р(£) : £ G F(p)},
где множество F(р) С T состоит из всех тех точек £ G T, для которых существуют угловые граничные значения р(£). Множество F(р) называется множеством Фату функции р и является (см., например, [3] предложение 6.5) борелевским множеством. Множество даП называется достижимой частью дП. Как показано в [4] §2, множество даП является борелевским и зависит только от П, но не от выбора конкретного конформного отображения р.
Выберем и зафиксируем совокупность спрямляемых контуров (Гт)^=1 таких, что П С D(rm) С D(rm-1), а Гт стремятся к дП при m ^ œ. Для построения таких контуров рассмотрим конформное отображение Фоо круга D на Пю с нормировкой Ф^(0) = œ и положим Гт := ({£ : |£| = 1 — 1/(m + 1)}). Выберем и зафиксируем последовательность конформных отображений (рт)^=1 круга D на D(rm) с нормировкой рт(0) = z0, рт(0) > 0. Так как область D(rm) является жордановой, то рт продолжается до гомеоморфизма D на Д(Гт). Классическая теорема Каратеодори о сходимости к ядру ([3] теорема 1.8) утверждает, что последовательность (рт) равномерно на компактах в D сходится к р, а последовательность (рт1) равномерно на компактах в П сходится к ф = р-1 при m ^œ.
В работе [4, предложение 1] доказано, что если П — область Кара-теодори, то для любой точки С G даП существует единственная точка
£ = £(С) G Лр) такая что р(£) = Z. П°л°жим ф(С) := р-1 (Z) := £(Z).
Более того, в [4, теорема 1] доказано, что для любого С G даП имеет место сходимость
рт1(с ) ^ р-1(с ) (3)
при m ^œ. Из этого вытекает (см. [4] следствие 1), что р и ф продолжаются до борелевских функций на DUF(р) и ПидаП соответственно, а продолженные функции (обозначаемые теми же символами р и ф) обладают следующими свойствами:
ф(р(£)) = £ для любого £ G F^) и р(ф(С)) = С для любого С G даП.
(4)
Если область П такова, что дП = даП, то говорят, что область П имеет достижимую границу. Таким образом, если П — это область Каратеодори с достижимой границей, то сходимость (3) имеет место всюду на дП и, следовательно, ф на дП является поточечным пределом непрерывных функций. Таким образом, в случае областей Кара-теодори с достижимой границей ф продолжается до функции первого класса Бэра в П. Отметим также, что существуют области Каратеодо-ри с достижимой границей, не являющиеся жордановыми областями (см., например, [4] пример ]), и что любая область Каратеодори с достижимой границей не разделяет плоскость (см. [4] следствие 2).
Перейдем к изучению структуры ортогональных мер, сосредоточенных на границах областей Каратеодори, не разделяющих плоскость. Пусть П - такая область.
Для функции и класса Ь1(Т) обозначим через и меру на Т, действующую (как функционал на пространстве С(Т)) по формуле и ¿С^) = /т f (£)и(£) ¿С Для меры V := и ¿С определим меру ц>(и) на дП следующим образом: )(Е) : = V(ф(Е П даП)) для любого борелевского множества Е с дП. Такое определение корректно, так как функция ф продолжается (в случае областей Каратеодори) до бо-релевской функции на множестве П и даП. Отметим, что для любой функции д € С(дП) имеют место равенства
[ д(С) ¿ф )(с) = [ дШМО ¿С = / дШМС) (5) J №(<р) ¿т
Определим теперь меру ш0 на дП равенством ш0 := <^(|^£|/2п). При этом мера ш0 сосредоточена на даП и не имеет атомов. Далее, из (4) и (5) следует, что для любой функции и € Ь1(Т) имеет место равенство
¿С) = (ио ◦ ф) ¿ш0,
где ио(С) =
Уточним природу меры ш0. Во первых, как показано в [4, раздел 2], для любого борелевского множества Е с дП имеет место равенство ш0(Е) = ш(г0,Е, П), где через ш(г0,Е,П) обозначается гармоническая мера множества Е, вычисленная относительно области П и точки г0 = ^(0). Так как любая ограниченная односвязная область в С регулярна относительно задачи Дирихле для гармонических функций, то для любой функции д € С(дП) существует такая гармоническая в области П и непрерывная в П функция д, что д|г»п = д. Как показано в работе [5, раздел 3.6], мера ш0 является представляющей мерой для функционала д ^ д(^0), т.е.
J д(С) ^0(С) = яЫ-
Пусть Н1 — это стандартное пространство Харди в О. Из результатов работы [6] вытекает следующее утверждение (см. также [4] теорема 2).
Теорема 1. Пусть П — не разделяющая плоскость область Каратеодори и пусть ц - мера на дП такая, что ц Тогда найдется функция Н € Н1 такая, что Н(0) = 0 и
ц = (Н о ф) ^0. (6)
Равенство (6) означает, что если П - это не разделяющая плоскость область Каратеодори, то любая мера на дП, ортогональная всем многочленами комплексного переменного, будет абсолютно непрерывной относительно гармонической меры на дП (вычисленной относительно П и любой точки г € П). Интересно отметить, что имеет место следующее несложное обращение этого факта.
Предложение 1. Пусть П — ограниченная односвязная область в С и пусть а € П. Если любая мера ц на дП с условием ц является абсолютно непрерывной относительно гармонической меры <(а, П), то П является не разделяющей плоскость областью Каратеодори.
Доказательство. Напомним, что для любых точек а1 € П и а2 € П меры ш(а1, П) и <(а2, П) абсолютно непрерывны относительно друг друга.
Проверим сначала, что если область П не является областью Каратеодори, то найдется мера ц0 на дП, не являющаяся абсолютно непрерывной относительно меры <(а, П), но такая, что ц0 ± Р. Обозначим через П внутренность объединения множества П со всеми ограниченными связными компонентами множества С \ П и рассмотрим связную компоненту П0 множества П, содержащую точку г0 = р(0). Так как область П не является (в силу сделанного предположения) областью Каратеодори, то найдется точка г1 € дП П П0. Рассмотрим меру
ц0 := <(¿1, П0) - 8в(¿1, ■),
где 8о- это £-мера Дирака множества Е, сосредоточенная в точке -ш. По построению мера ц0 не является абсолютно непрерывной относительно меры <(а, П). В самом деле, мера <(а, П) не имеет атомов, но ц0({г1}) = -1. Покажем, что ц0 ± Р .В самом деле, для любого многочлена Р имеет место равенство
[ Р(С) ^(С) = / Р(С) ¿<(¿1, С, П0) - р(¿1) = р(¿1) - р(¿1) = 0.
J JдQ.0
Пусть теперь область Каратеодори П разделяет плоскость. Пусть П1 - одна из ограниченных связных компонент множества С\П и пусть € П1. В силу [4, предложение 2] множество даП П дП1 состоит не
более, чем из одной точки. Отсюда вытекает, что мера
:= (г - ¿1) ш(гь П1)
не является абсолютно непрерывной относительно ш(а, П) (более того, эти меры взаимно сингулярны). Остается проверить, что ± Р. В самом деле,
I Р(С) ^(С) = ((г - ¿1)Р(г)) |*=*1 =0. □
Основной результат и его доказательство. Основная цель настоящей работы — доказательство следующего утверждения.
Теорема 2. Пусть П — не разделяющая плоскость область Каратеодори с границей Г, а и - открытое подмножество П. Пусть д € С (и и Г). Если для любого г € и найдется константа С такая, что неравенство
|Л(г)+ д(*^2(г)| < С11+ gf2||г
выполняется для любых функций € СА(П), то существуют две функции и, V € Нте(П) такие, что равенство
д(г) = м(г)/^ (7)
выполняется всюду в и и почти всюду на Г в смысле конформного отображения. Последнее означает, что для почти всех точек С € Т выполняется следующее равенство угловых граничных значений:
д(^(0)= «(^(О)М^)).
5 частности, функция д голоморфна в и и мероморфно продолжается во всю область П.
Пусть X1 с П — конечное множество, а и = П \ X1. Теорема 2 в этом случае дает описание мероморфных в П функций с полюсами в X .В частности, если X — пустое множество, то возникает соответствующее описание голоморфных в П функций. Таким образом, теорема 2 усиливает цитированные выше результаты Рудина и Андерсона-Симы-Левенберга-Ренсфорда.
Отметим, что в случае, когда П — жорданова область со спрямляемой границей, равенство (7) может пониматься напрямую, т.е. как равенство угловых граничных значений почти всюду на дП. Аналогичным образом равенство (7) можно понимать на любой спрямляемой жордановой дуге 7 с дП, обладающей тем свойством, что всякая точка а € 7 не является предельной точкой для множества дП \ 7.
Доказательство теоремы 2 удобно начать с доказательства следующего утверждения, обобщающего результат ([2] теорема 2.1) на области Каратеодори, не разделяющие плоскость.
Предложение 2. Пусть П — не разделяющая плоскость область Каратеодори с границей Г. Пусть д € С (Г), а ¿0 € П и Ь € С. Если существует константа С такая, что для любых функций /1 ,/2 € СА(П) выполняется неравенство
1/1Ы + Ь/2(*,)| < С||/1 + д/2|г, (8)
то найдутся две функции и, V € Н^(П) такие, что равенство (7) выполняется почти всюду на Г в смысле конформного отображения, а «(¿0)/v(zo) = Ь.
Доказательство. Не ограничивая общности будем считать, что р выбрано таким образом, что р(0) = ¿0.
Рассмотрим подпространство М пространства С (Г), состоящее из сужений на Г всех функций вида /1 + д/2, где /1,/2 € СА(П). Из неравенства (8) следует, что линейный функционал
/1 + д/2 ^ /1(^0) + /2(2:0)
ограничен на М. По теореме Хана-Банаха этот функционал продолжается до непрерывного линейного функционала на всем пространстве С (Г) и, следовательно, по теореме Рисса о представлении, найдется такая комплекснозначная борелевская мера ц на Г, что
/1Ы + Ь/2Ы = I (/1(С) + д(С)/2(С)) ¿ц(С). (9)
Применяя равенство (9) для функций /1(^) = (^ - ¿0)п при п € и /2 = 0 получаем, что /г(£ - ¿0)п ¿ц(С) = 0 при всех целых п > 0, а /г ¿ц(С) = 1. Из этих равенств вытекает, что мера ц - <0 ортогональна всем многочленам. По теореме 1 эта мера имеет вид ц - <0 = (Н1 о ф) <0, где Н1 € Н1 и Н1(0) = 0, откуда
ц = (Н1 о ф + 1) <0. (10)
Рассуждая аналогично и полагая в равенстве (9) /1 = 0, а /2(^) = = (^ - ¿0)п при п € найдем такую функцию Н2 € Н1 с условием Н2 (0) = 0, что
дц = (Н2 о ф + Ь) <0- (11)
Из соотношений (10) и (11) следует, что для <0-почти всех £ € Г верно равенство
Н2(Ф(С)) + Ь = д(с )(Н1(ф(С )) + 1).
Так как Н1(0) = 0, то (Н1 о ф + 1) ф 0 и, следовательно, для <0-почти всех ( € Г предельные значения Н1 (ф(С)) + 1 отличны от нуля. Таким образом, для <0-почти всех £ € Г справедливо соотношение
д(С ) = (МФ(С)) + ь)/ (Нх(Ф(С )) + 1).
Поскольку функция Л,2 + принадлежит классу Н1 и, следовательно, классу Неванлинны в круге О, то найдутся такие функции и1 и и2 класса Нчто Л,2 + = и1/и2. Аналогично существуют функции v1 и v2 класса Н^ такие, что + ^ = v1/v2. Определим теперь функции и и v класса Н^(П) следующим образом:
и(г) := «1(ф(г)) V2(ф(z)), v(г) := «2(ф(г)) Vl(ф(г))
при г € П. Таким образом, для почти всех точек С € Т выполняется равенство угловых граничных значений
«И£)) «1(0 ) Ч£)+ МО
v(<p(£)) U2(£) vi(£) hi(£) + p(£)
МФ(С)) + b
= g(Z) = g(v(£)), (12)
МФ(С )) + 1
где Z=<?(£). Из равенства (12) вытекает, что равенство g(Z)=u(Z)/v(Z) выполняется почти всюду на Г в смысле конформного отображения. Остается заметить, что
u(zo) = МФЫ) + b = h2 (0) + b = b D v(zo) = hi^(zo)) + 1 = hi(0) + 1 = .
Завершим теперь доказательство теоремы 2. В силу предложения 2, для любой точки z Е U существуют такие функции u, v Е H^(Q), что u(z)/v(z) = g(z), а равенство g(Z) = u(Z)/v(Z) выполняется почти всюду на Г в смысле конформного отображения. Возьмем две различные точки zi Е U и z2 Е U и определим для них соответствующие пары функций ui и vi (для точки zi) и u2 и v2 (для точки z2). Заметим, что vi ф 0 и v2 ф 0 в Q и для почти всех £ Е T имеет место равенство угловых граничных значений
vi(^(£)) i*(p(£))
Отсюда, на основании граничной теоремы единственности Лузина-Привалова [7, гл. 4, раздел 2.5] заключаем, что ui/vi = u2/v2 в Q. Таким образом, существуют такие функции u, v Е H^(Q), что равенство g = u/v выполняется всюду в U и почти всюду на Г в смысле конформного отображения. Кроме того, непрерывная на U функция g совпадает там с мероморфной функцией u/v и, следовательно, g голоморфна в U. □
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 10-01-00837) и Программы Президента РФ по поддержки ведущих научных школ (проект НШ-3476.2010.1).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. R u d i n W. Real and complex analysis. - McGraw-Hill, New York, 1987.
2. Anderson J. T., C i m a J. A., Levenberg N., Ransford T. J. Projective hulls and chracterizations of meromorphic functions // ArXiv:1107.4345v1 [math.CV] 21, Jul 2011.
3. PommerenkeCh. Boundary behaviour of conformal maps. - Berlin: SpringerVerlag, 1992.
4. Carmona J. J., Fedorovskiy K. Yu. Conformal maps and uniform approximation by polyanalytic functions // Selected Topics in Complex Analysis, Operator Theory: Advances and Applications. - Basel: Birkhauser Verlag, 2005. 158. - P. 109-130.
5. Хейман У., Кеннеди П. Субгармонические функции. - M.: Мир, 1980.
6. B i s h o p E. The structure of certain measures // Duke Math. J. - 1958. - Vol. 25:2. - P. 283-289.
7. Привалов И. И. Граничные свойства аналитических функций. - М.-Л.: Гостехиздат, 1950.
Статья поступила в редакцию 2.11.2011
Авторы статей
Ванько Вячеслав Иванович — д-р техн. наук, профессор кафедры "Прикладная математика" МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Галанин Михаил Павлович — д-р физ.-мат. наук, заведующий отделом Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, профессор кафедры "Прикладная математика" МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Дзева Иван Юрьевич — магистрант 2-го года обучения кафедры "Прикладная математика" МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Зарубин Владимир Степанович — д-р техн. наук, профессор кафедры "Прикладная математика" МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Иванова Ольга Алексеевна — аспирантка, ассистент кафедры "Прикладная математика" МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Каштанова Светлана Владимировна — студентка 6-го курса кафедры "Прикладная математика" МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Красновский Евгений Ефимович — канд. техн. наук, доцент кафедры "Прикладная математика" МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Кувыркин Георгий Николаевич — д-р техн. наук, заведующий кафедрой "Прикладная математика" МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Леонов Виктор Витальевич — аспирант кафедры "Прикладная математика" МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Лукин Владимир Владимирович — аспирант, младший научный сотрудник Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, ассистент кафедры "Прикладная математика" МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Макарова Мария Евгеньевна — студентка 4-го курса кафедры "Прикладная математика" МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Марчевский Илья Константинович — канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры "Прикладная математика" МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Меженная Наталья Михайловна — канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры "Прикладная математика" МГТУ им. Н.Э. Баумана.
