О группе, связанной с теорией интерферометра Фабри-Перо Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 530.14")

О ГРУППЕ, СВЯЗАННОЙ С ТЕОРИЕЙ ИНТЕРФЕРОМЕТРА ФАБРИ-ПЕРО

Л. В. Виноградов

Предложено обобщение теории интерферометра Фабри Перо. Дана групповая трактовка процессов отражении и прохождения излучения.

]. Общие соотношения. Пусть И и Т - коэффициенты отражения и пропускания плоской электромагнитной волны, падающей нормально на интерферометр Фабри Перо, образованный двумя плоскопараллельными зеркалами, имеющими коэффициент и отражения и пропускания ИЛ, 7\ и Т2. Для того, чтобы найти коэффициенты отра жения и пропускания для каждого из зеркал и интерферометра, необходимо решить волновые уравнения с соответствующими граничными условиями. Для зеркал они им<-ют вид

а для интерферометра:

Е" + кге,{х)Е = 0, ] = 1,2 [ ёкх + Щс-гкх, х -ос

од~ т 3 <")

I, Т,е , х —> +оо,

Е" + к2[е.,{х) + е2(х)]Е = 0

1 Тс{к±, х

Г <2)

+ ОС,

где (¡(х) - распределение диэлектрической проницаемости в 3-ом зеркале.

При весьма общих предположениях о виде функций «^(х) и е2(х) можно показа гь. что отражение Я и пропускание Т интерферометра могут быть выражены через ана логичные величины составляющих зеркал:

Г»

7' =

1U + ПдГг/Т; 1 + R\R,2Tl/T{

Тхт2

(3)

1 + /гтвд/7'*'

Формулы (3) справедливы в предположении: (а) отсутствие поглощения (c'i'(x) и с2(.г) вещественны), (б) [ti(x) — 1] и [t2(x) — 1] - финитны и не перекрываются в пространстве. Никаких других ограничений па функции сi(х) и t2(x) не накладывается. Для доказательства (3) нужно построить решение уравнения (2) для интерферометра пу тем последовательной сшивки решений в областях III, 11 и I (см. рис. I) с учетом граничных условий в (1) и (2) (см. ниже).

Если смести ть одно из зеркал (например, 2) на расстояние L, то формулы (3) останутся справедливыми, если заменить R2 на R2e~2tk'J. При этом выражении (3) переходя i в известные формулы для интерферометра Фабри Перо, которые обычно выводятся ну тем суммирования амплитуд многократно отраженных лучей, образующих геометри ческую прогрессию [1, 2].

2. Унитарность. В отсутствие поглощения стандартное рассмотрение (охранения потока для каждого из трех уравнений (1) (2) дает

Прямая подстановка Я и Т из (3) в (5) подтверждает, что соотношение (5) выполняе м я для любых двух пар комплексных чисел {Н\, '¡\} и {Иг- Г2}, удовлетворяющих условию

3. Гриппа. Приведенное выше рассмотрение показывает, ч то пары комплексных чи сел {Rj,Tj}, удовлетворяющих условию |Я,-|2 + |Тл-|2 = 1, образуют группу, закон композиции которой задан соотношениями (3). Группу {И^Т^} естественно назвать группой рассеяния.

Имеется взаимно однозначное соответствие между этой группой и группой уничар пых унимодулярных матриц второго порядка (8и2):

Подчеркнем, однако, различие законов композиции группы рассеяния (см. (3)) и группы (Я(12). который соответствует произведению матриц:

+ \Tj\2 = I, з = 1,2 |й|2 + |7'|2 = 1.

Н)

(5)

(4)

(6)

X

X

X

Рис. 1. Отражение волны от одного (а), (Ь) и двух (с) потенциальных барьеров.

Я = Т\Я2 + Т = Т^Т2 — Я\Я2- (7)

А. Обсуждение, (а) Таким образом, формулы (3), полученные из рассмотрения интср феромегра, Фабри Перо, определяют закон композиции в группе, элементами которой являются пары чисел {Я^,Т3}, такие, что \Я3\2 + |Т,|2 = 1. Эта группа, связана взаимно однозначным соответствием с группой (Зи2), но имеет другой закон композиции.

В связи с этим возникают следующие вопросы. Группа (SU2) параметризуется vi ia ми Эйлера, что выражает изоморфизм группы (SU2) и группы вращений {SO:i) [3]. В частности, произведению матриц вида (6) соответствует произведение вращений трех мерного пространства. Возникает вопрос, имеет ли геометрический смысл закон ком позиции (4), выраженный, например, через углы Эйлера? Аналогичный вопрос можно отнести и к группе рассеяния. Имеет ли физический смысл слоистая структура, отра жение R и пропускание Т которой выражаются законом композиции группы (SU2) (см. (7))? Рассмотрим в частности подгруппу (SU2), отвечающую вращениям на плоскости:

cos a, i sin а —i sin а, cos а

и соответствующую ей подгруппу группы рассеяния

{Я = i sin а, Т = cos а}. (<))

Закон композиции (3) применительно к (9) дает

{¿sinai, cosai} • {¿sin«2, coscn2} = {¿sin<¿>, cos¡¿>}, (10)

где

sin с*! sin а2 cos c*i cos a2

sin <¿> = --:-:-, cos <¿> = --:-:-. (11)

1 + sin aj sin a2 1 + sin «i sin a2

Имеет ли угол <p в (10) геометрическую трактовку? Может ли быть она полезна для изучения задач распространения волн в слоистых средах? Ответы на эти вопросы автору пока неизвестны, (б) Для того, чтобы привести (3) к форме, обычно используемой в теории интерферометра Фабри-Перо, нужно выделить в явном виде зависимость оч ражения и пропускания от положения зеркала L:

Я3{Ь) = Т3(Ь) = г,, (12)

Тогда формулы (3) принимают более привычный вид:

о - ,, , Р2Т?е-2^ т\т2

Н Р1 + 1--1 'л-7-1ШГ- '13

1 — р\р2е 1 — р^ р2е

Здесь величины р\ и р2 описывают отражение изолированных зеркал, причем условно

(поскольку е^ж) и е2(х) - распределенные, хотя и неперекрывающиеся, функции), первое

зеркало находится в начале координат, а второе - на расстоянии Ь от него. Через р\

—Р\Т\1Т\ обозначен коэффициент отражения первого зеркала при падении волны на него справа.

Формулы (13) выводятся в [1, 2] путем суммирования амплитуд бесконечного чи ела прошедших и отраженных волн. Использованный нами вывод на основе волновых уравнений представляет методический интерес и наряду с формулами (3) может бы I . полезен при решении задач синтеза многослойных покрытий оптического и рентгенов с ко го диапазонов.

Автор благодарит Л. А. Шелепина за полезное обсуждение.

После того, как статья была принята к публикации. И. В. Тютин показал автору, что найденная в работе группа связана с группой 5£/( 1,1). Доказательство будет оп\ бликовано отдельно. И. В. Тютину приношу благодарность.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Бор н М., Вольф Е. Основы оптики, М. Наука, 1973.

[2] Розенберг Г. В., Оптика тонкослойных покрытий, М. Физмаггиз. 1958.

[3] В и л е н к и н Н. Я., Специальные функции и теория представлений групп. М Наука, 1991.

Поступила в редакцию 20 сентября 1996 г.