О группах с представлением n = 1 ab = b3a3

Горюшкин Александр Петрович

Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2010. № 1 (1). C. 8-11

Математика Mathematica

УДК 512.24

О ГРУППАХ С ПРЕДСТАВЛЕНИЕМ

< a, b; an = 1, ab = b3a3 >

А.П. Горюшкин

Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга, 683032, г. Петропавловск-Камчатский, ул. Пограничная, 4

E-mail: [email protected]

Устанавливается, что для n = 4 и n > 7 группы G(n) = < а,b;an = 1, b = b^a3 > бесконечны. Для остальных n вычисляется порядок и исследуется строение группы G(n).

Ключевые слова: группа, порядок, подгруппа, коммутант, фактор-группа

MSC 18A32

GROUPS WITH REPRESENTATION

< a, b; an = 1, ab = b3a3 >

A.P. Goryshkin

Kamchatka State University by Vitus Bering, 683032, Petropavlovsk-Kamchatskiy, Pogranichnaya st., 4, Russia E-mail: [email protected]

Established that for n = 4 and n > 7 group G(n) = < a, b; an = 1, ab = Ьъаъ > are infinite, and for the remaining n evaluated the procedure and investigate the structure of the group G(n).

Key words: group, the order of the subgroup, subgroup, quotient

Введение

Группы G(n) с представлением

G(n) = < a, b; an = 1, ab = b3a3 >

широко используются в различных топологических приложениях. Для некоторых значений n устройство G(n) может оказаться очень непростым. Сложным может быть даже вопрос о порядке таких групп. В данной статье предлагается решение вопроса о порядке таких групп, а в конечном случае исследуется строение группы.

Исследование группы G(n)

Заметим сначала, что для любого n фактор-группа G(n) по ее коммутанту является прямым произведением циклической группы < a; an = 1 > порядка n, а также циклической < ab; (ab)2 = 1 > порядка 2.

Таким образом, индекс коммутанта равен 2n. Группа G(2) имеет представление

G(n) = < a, b; a2 = 1, ab = b3a3 > = < a, b; a2 = 1, aba-1 = b3 > .

Из соотношений a2 = 1, aba-1 = b3 следует, что b8 = 1. Таким образом, группа

G(2) является полупрямым произведением групп < a; a2 = 1 > и < b; b8 = 1 >. Порядок G(2) равен 16.

Группа G(3), имеющая представление

G(3) = < a, b; a3 = 1, ab = b3a3 > =

= < a, b; a3 = 1, ab = b3 > = < a, b; a3 = 1, a = b2 > = < b; b6 = 1 >,

является циклической порядка 6. Подгруппа группы

G(4) = < a, b; a4 = 1, ab = b3a3 >,

порожденная элементами x = a2, y = b3, z = bab, имеет представление с двумя определяющими соотношениями:

H = < x, y, z;xzy-1x-1(yx)3x2zy-1x-1(yx)3x2zy-1x-1(yx)3x2zy-1x-1(yx)3x,

11 Q О Л 111111 11 О Л 11111

xzy x (yx)3x(yx)3x(yx)2yx y x y x y xzy x (yx)3x(yx)2yx y x y x •

1 11 Q Л 111111 11 о 301

•y xzy x (yx)3x(yx)2yx y xyxy xzy x (yx)3x(yx)3x2y •

•x-1(yx)3x(yx)3x2y-1x-1(yx)3x(yx)3x2y-1x-1(yx)3x >,

поэтому H, а следовательно, и группа G(4) бесконечна.

Отметим, что бесконечность группы G(4) можно получить из других, более общих соображений, используя метод малых сокращений. Введем новый порождающий элемент c = ab. Тогда a = cb-1, a-1 = be-1, а группу

G(4) = < a, b; a4 = 1, ab = b3a-1 >

можно представить в виде

G(4) = < a, b, c; a4 = 1, a = cb-1, c = b3bc-1 >,

ISSN 2079-6641

Горюшкин А.П.

или

G(4) = < b, c; (bc-1)4 = 1, c2 = b4 >.

Это значит, что G(4) является фактор-группой свободного произведения G двух бесконечных циклических групп с объединенной подгруппой:

G = < b, c; c2 = b4 > .

Фактор-группа G1 группы G по нормальному замыканию элемента c2 является свободным произведением двух циклических групп:

G = < b, c; b4 = 1 , c2 = 1 > .

Сама же группа G(4) - это фактор-группа группы G по нормальному замыканию N элемента r = (bc-1)4.

Для симметризированного множества R, состоящего из циклических перестановок слов r и r-1, в группе G выполняется условие C' (1); поэтому каждый неединичный элемент из нормального замыкания множества N в группе G содержит в качестве внутреннего сегмента левую половину некоторого элемента из R. В подгруппе H, порожденной элементом b2c, ни один элемент не содержит фрагментов слов длины > 3 из R. Это значит, что нормальный делитель N имеет единичное пересечение с подгруппой H и, следовательно, фактор-группа G/N = G(4) бесконечна.

Перейдем к рассмотрению группы G(5). В группе

G(5) = < a, b; a5 = 1, ab = b3a3 > введем еще один порождающий элемент c = (ab)2. Тогда

G(5) = < a, b, c; a5 = 1, ab = b3a3, c = (ab)2 >.

Из этих соотношений следует, что b10 = 1, c11 = 1. Кроме того, bcb-1 = c5. Последнее соотношение означает, что подгруппа C нормальна в G(5). Согласно выражению aba-1 b-1 = c-2 подгруппа C = гр(^ содержится в коммутанте K группы

G(5). Исходя из того, что фактор-группа

< a, b,c; a5 = 1, ab = b3a3, c = (ab)2, b10 = 1, c11 = 1,

aca-1 = c9, bcb-1 = c5, c = 1 >

группы

< a, b, c; a5 = 1, ab = b3a3, c = (ab)2, b10 = 1, c11 = 1, aca-1 = c9, bcb-1 = c5 >

абелева, следует обратное включение: C D K. Итак, коммутант K совпадает с подгруппой C порядка 11, а фактор-группа по коммутанту имеет порядок 10. Следовательно, порядок группы G(5) равен 110.

Отметим, что группа G(5) порождается элементами b, c и ее представление имеет вид

G(5) = < b, c; b10 = 1, c11 = 1, bcb-1 = c5 > .

Отсюда следует, что группа G(5) является полупрямым произведением циклических групп

C = < c; c11 = 1 > B = < b; b10 = 1 >,

причем первая нормальна в 0(5), а вторая нет. Индекс коммутанта К в группе

0(6) = < а, Ь; а6 = 1, аЬ = Ь3а3, аЬ = Ьа >

равен 12. В порождающих х = [а, Ь], у = [а2, Ь] коммутант К имеет представление:

____1 2 _1 _1 _2 _1 _2 __1 __________1

К = < х, у;у ху ху х ух ух ух ух ,

хух-1 ух-2у2х-1 ух-2(ух-1)3 ух-2ух-1 ух-1у-1,

1 101 1301 1101 11

ху ху х2у (ху )3х2у ху у х2у ху х у,

1 О 1-7 10 1 1101 1

х ух (ух )7у х2у ху у х2у ху ,

2—1 —12—12 —1 —12—12 —1 —12—12 —1 —1 2 —1 х2у 1ху *х2у *х2у ху х у х у ху х у х у ху х у ,

— 1 —12—12 —1 —12—12 —1 —12—12 —1 —1 2 —1 ху ху х у х у ху х у х у ху х у х у ху х у х,

ху 1 хух 1 ух 1 х 1 уху 1 хух 1 ух 1 х 1 уху 1 хух 1 ух 1 х 1 уху 1 хух 1 ух 1 х 1 у,

ух - 1ух- 1х- 1уху - 1хух -1 ух - 1х- 1уху - 1хух - 1ух - 1х- 1уху - 1хух - 1ух - 1х- 1уху - 1х > .

Элемент х имеет в коммутанте порядок 84, порядок элемента у равен 21, а порядок ху равен 28. Фактор-группа К по ее коммутанту состоит из 28 элементов, а порядок второго коммутанта равен 27. Следовательно, порядок группы 0(6) -27■28■12 = 9072. Группа

■7 Л О "7 3111

0(7)= < а, Ь; а7 = 1, аЬ = Ь3а3 > = < а, с; а7 = 1, са-3с-1ас-1ас-1а = 1 > является фактор-группой свободного произведения двух циклических групп:

0 = < а; а7 = 1 > * < с >.

Сама же группа 0(7) - это фактор-группа группы 0 по нормальному замыканию N1 элемента Г1 = са-3с-1ас-1ас-1а. Для симметризированного множества Ль состоящего из циклических перестановок слов Г1 и г-1, в группе 0 выполняется условие С' (6). Поэтому каждый неединичный элемент из нормального замыкания множества N1 в группе 0 содержит в качестве внутреннего сегмента левую половину некоторого элемента из Ль Отсюда следует, что нормальный делитель N имеет единичное пересечение с подгруппой С = гр(с) и, следовательно, фактор-группа 0^^ = 0(7) бесконечна.

Заключение

Заметим, что в последнем рассуждении используется лишь то свойство, что порядок элемента a строго больше 2 • 3. Поэтому не только для n = 7, но и для любого n > 7 группа G(n) бесконечна. Таким образом, вопрос № 8.10 из работы [1] получает полное и окончательное решение.

Литература

1. Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп. 16-е изд., доп. Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 2006.

Поступила в редакцию / Original article submitted: 11.09.10

О группах с представлением n = 1 ab = b3a3 Текст научной статьи по специальности «Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Горюшкин Александр Петрович

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Горюшкин Александр Петрович

Текст научной работы на тему «О группах с представлением n = 1 ab = b3a3»