О гравитационном потенциале шарового сегмента Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 521.14

Вестник СПбГУ. Сер. 1. Т. 2(60). 2015. Вып. 1

0 ГРАВИТАЦИОННОМ ПОТЕНЦИАЛЕ ШАРОВОГО СЕГМЕНТА*

К. В. Холшевников1'2, В. Ш. Шайдулин1'3

1 Санкт-Петербургский государственный университет,

Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7-9

2 Институт прикладной астрономии РАН,

Российская Федерация, 191187, Санкт-Петербург, наб. Кутузова, 10

3 Главная (Пулковская) обсерватория РАН,

Российская Федерация, 196140, Санкт-Петербург, Пулковское шоссе, 65/1

Наиболее употребительным представлением гравитационного потенциала V компактного тела T во внешнем пространстве в сферических координатах т,в,А служит ряд Лапласа

vM,A) = f jr(*y+1Yn(e,x). R r /

Здесь M — масса T, R — радиус объемлющей T сферы, Yn —безразмерная сферическая функция. Для тел нерегулярной структуры известна оценка чебышёвской нормы (максимум модуля функции на сфере):

(Yn) < Cn-5/2, C = const, n ^ 1.

В работе получено явное выражение Yn(0, А) для однородного сферического сегмента в трех системах отсчета. В тех из них, в которых ребро сегмента лежит на объемлющей сфере, справедлива указанная оценка (Yn) при точном показателе 5/2. Если же сегмент касается объемлющей сферы, то (Yn) убывают значительно быстрее. Именно,

(Yn) < Cn-5/2pn, C = const, n ^ 1.

Величина p равна расстоянию от начала координат до ребра сегмента, выраженному в радиусах объемлющей сферы. Библиогр. 4 назв. Ил. 3.

Ключевые слова: гравитационный потенциал, ряд Лапласа, скорость сходимости.

Введение. Наиболее употребительным представлением гравитационного потенциала V компактного тела T во внешнем пространстве в сферических координатах r, в, А служит ряд Лапласа

M / R\"+1

nr,e,x) = -J2(-) Уп(в,\). (1)

n=0 '

Здесь M — масса T, R — масштабный множитель, Yn —безразмерная сферическая функция, постоянная тяготения принята равной единице. В общем случае сферическая функция зависит от 2n +1 параметров (коэффициентов Стокса). В случае осевой симметрии Yn(в, А) = Yn(0) = cnPn(cosв), и остается лишь один параметр cn. Как обычно, Pn обозначает многочлен Лежандра со стандартной нормировкой Pn(1) = 1. Формула (1) принимает вид

M / R \n+1

V(r,e,X) = — ]Гс„ - Pn(cose). (2)

n=0 V r /

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №14-02-00804) и СПбГУ (грант 6.37.110.2011).

Как принято в теоретических исследованиях, за Д примем радиус объемлющей сферы содержащей Т внутри себя и имеющей с Т хотя бы одну общую точку. Рассмотрим класс Т компактных тел с ограниченной интегрируемой плотностью д(г,0, А), имеющей равномерно ограниченную вариацию вдоль любой окружности с центром в начале координат. Для тел Т £ Т известна оценка [1,2]

(Уи > <

С

(3)

Через С здесь и ниже обозначены различные постоянные, зависящие от свойств плотности д, (•} —чебышёвская норма, максимум модуля функции на сфере. Мы считаем п ^ 1, так как Уо тождественно равно единице. Заметим, что в осесимметричном случае

(Yn> = |cn|.

(4)

На одном примере (однородный полушар) в [1, 2] показана точность показателя 5/2 в оценке (3). Здесь мы приведем еще один пример тела, для которого показатель 5/2 достигается. Одновременно построим пример тела, для которого сферические функции убывают значительно быстрее, а именно

(Уи > <

С

^72

Р

0 < Р < 1.

(5)

Потенциал шарового сегмента. Рассмотрим однородный шаровой сегмент Т с радиусом а и углом полураствора а, 0 < а ^ п/2. На рис. 1 представлено сечение Т плоскостью, проходящей через ось симметрии.

г

x

Рис. 1. Сечение шарового сегмента плоскостью, проходящей через ось симметрии z; OA1 = OA2 = OA3 = a, ZA1OA2 = a; OB2 = a cos а; при фиксированном w = OBi = OB3 угол в меняется от 0 до в*, cos в* = (a/w) cos а.

В системе O с началом в центре шара O сегмент T задается неравенствами a cos а ^ w ^ а, 0 ^ в ^ в* (w), где cos в* (w) = (a/w)cos а. Вычислим объем сегмента

4

ев* 2п

/Л ________

/о ./о 32

Потенциал сегмента на оси симметрии при г ^ а по общей теории равен

fa I f 4 а

т= w2 dw / sin в ¿в / dX = -на3 sin4 — (2 + cos a),

./a cos a J 0 ./0 3 2

V(z) = 2ng / w2 dw /

a cos a 0

a

sin в de

2itq

z 2-kq

z

о л/w2 — 2wz cos в + z1

a cos a 1

w(w — z) + го\/u>2 — 2az cos a + z2

dw

-w3 - + - 2az cos a + z2)3/2

w=a cos a

Окончательно,

= 2а3-За2г(1 + со82 а)+ 6аг2сова-2г3+ 2(а2-2агсова +г2)3/2 . (7)

Ряд Лапласа шарового сегмента в системе отсчета О. В системе отсчета О имеем г = г, а = Д, и (7) переходит в

V (r)

3

па,д 3r

2 - -(1 + cos2 а) + cosa--\ + - 2wcosa + и2)3/2

где и = R/r. С учетом формулы (18)

V(r)

3

па,д 3r

4 sin4 —(2 + cos a) + 6 ^^ -Pn+i,2(cos a)«"

и=1

(8)

(9)

где многочлены Рпк (х) определены в Приложении, с. 162. Ряд (9) имеет вид (2) при

3

2па?д

с„ = м Pn+it2{cosa) =

2(2 +cos a) sin4(a/2)

Pu+1,2 (cos a),

(10)

где использовано равенство (6). Формула (19) доставляет искомую асимптотику при п —>• оо:

С

фР*

cos

1\ п

п-\— а--

2 4

(11)

где

C

6 / cos3 (a/2)

2 + cos ay п sin5 (a/2)

Последовательность косинусов в (11) при любом а ^ п/2 содержит подпоследовательность, отделенную от нуля, что доказывает точность оценки (3).

Ряд Лапласа шарового сегмента в системе отсчета О\. Обратимся к системе отсчета О1, отличающейся от О сдвигом начала вверх, в точку 01(0,0,6),

w=a

Си ~

Рис. 2. Сечение шарового сегмента в системе отсчета 0\\ 00\ = b, R = OiAi = \/а? — 2ab cos а + Ь2. Объемлющая сфера Si проходит через точки Ах,Аз.

Ь > 0. В этой системе объемлющая сфера §1 проходит через точки А\, Аз, Д = \/о2 — 2аЬ соэ а + Ъ2 > |о — Ь| = О1А2, см. рис. 2. Положим

— Ь, R = \/о2 — 2оЬ cos а + Ь2 ,

R R + bu

и = — , z = -

r u

Формула (7) примет вид

Здесь

V = а3 - 3а2(1 + cos2 а)

2 R + bu (R + bu)2 (R + bu)3

2u

+ 3а cos а

где

а cos а b

É =-ñ—, líK1-

R

Воспользуемся формулой (18):

3

Отсюда

Vi +V2 = — a (cos а — 3 cos а + 2) + 3R3^ PMi

i

(12)

(13)

^ = 5 j1 - ++i)«2+(V - Ь) «3+3 £ p„2(O«"+2| .

(14)

г

r = z

2

3

u

u

Асимптотика (19) показывает, что общий член ряда (14) имеет порядок n-5/2. Делитель R + bu в (13) не влияет на показатель степени общего члена ряда Лапласа, поскольку особая точка u = —R/b лежит вне единичного круга |u| = 1. Это доказывает точность показателя 5/2 в оценке (3) для тела T.

Ряд Лапласа шарового сегмента в системе отсчета 02. Обратимся к системе отсчета 02, отличающейся от O сдвигом начала вниз, в точку O2(0,0, —b), b > 0. В этой системе объемлющая сфера S2 проходит через точку A 2, касаясь сегмента; Д = ОоАо = а + 6, см. рис. 3. Ниже понадобится расстояние До = = \/а? + 2аЪ cos a + b2. Очевидно,

а < Ro, b<Ro , Ro < R. (15)

Рис. 3. Сечение шарового сегмента в системе отсчета СЬ; ОчО = b, Ro = О2А1 = \/«2 + 2abcos a + b2, R = а + b, R > R0. Объемлющая сфера §2 проходит через точку A2; проходящая через Ai, A3 окружность с центром в O2 представляет сечение границы области сходимости ряда Лапласа §*.

Положим Д Ь

г = £ + 6, Д = а + 6, и = —- , г = —--. (16)

г и

Формулы (13)—(14) остаются в силе, если сделать подстановку Д ^ До, Ь ^ —Ь. По-прежнему До/6 > 1. Это опять приводит к точному показателю 5/2 при .замене Д на До. Это значит, что вместо (3) мы приходим к оценке (5) при

До \/ о2 + 2 об соэ а + Ъ2

Р = тт =-;-< 1- 17)

Д а + Ь у '

Границей сходимости ряда Лапласа 8* служит сфера с центром 02, проходящая через точки А1, А3. Заметим, что на рисунках изображено сечение сегмента и сфер. В пространстве точкам А1, А3 отвечает ребро сегмента, так что сфера и сегмент имеют общую окружность.

Таким образом, ряд Лапласа сегмента Т сходится и под объемлющей сферой при г > До, как и должно быть согласно [2], поскольку ребро Т находится под ней, а выше

поверхность Т аналитична, причем она касается объемлющей сферы в общей точке. Заметим, что область сходимости ряда Лапласа определяется ребром поверхности Т (рис. 3).

Заключение. Мы исследовали скорость сходимости ряда Лапласа (1) одного тела вращения — сферического сегмента — в различных системах отсчета, различающихся выбором начала координат. Установлены следующие свойства, которые, возможно, справедливы для широкого класса тел. Обозначим через дТ поверхность тела Т, предполагаемого компактным, а через 5 пересечение дТ и объемлющей сферы 8.

• Если 5 состоит из одной точки, в окрестности которой дТ аналитична, то {Уп} убывает в геометрической прогрессии согласно (5), причем р равно расстоянию до ближайшей угловой точки дТ, деленному на радиус объемлющей сферы Д.

• Если 5 состоит из некоторой кривой, содержащей ребро поверхности дТ, то {Уп} убывает по степенному закону (3) при равном 5/2 показателе.

• Если 5 состоит из части сферы 8 положительной площади, и граница 5 представляет собой ребро поверхности дТ, то {Уп} убывает по степенному закону (3) при равном 5/2 показателе.

Приложение

1. Производящие функции.

На произведении отрезка — 1 ^ х ^ 1 и круга |г| < 1 справедливы 'разложения

то

(1 — 2хг + г2)-1/2 = ^ Рп(х)гп,

,п

п=0

то

(1 — 2хг + г2)1/2 = 1 — хг — ^ Рп1(х)гп+1,

2 Л1/2

п=1

Здесь Рп — многочлен Лежандра, Рпк — последовательные интегралы

ж

Рп,к-1 (у) Лу.

1

2. Асимптотика Рпк :

Рпк(сОв в)

2 втк-1/2 в П пк+1/2

П 8Шк+1 в

Г к (п,в)

} . (19)

где г к (п, в) ограничены при 0 ^ в ^ п, п ^ 2. Формулы (18), (19) содержатся в [3, 4].

Литература

1. Kholshevnikov C. On Convergence of an Asymmetrical Body Potential Expansion in Spherical Harmonics // Celestial Mechanics, 16, 1, 1977, 45—60.

2. Aнтoнoв В.А., Tимoшкoвa И.И., Холшевников К. В. Bвeдeниe в тeopию ньютoнoвcкoгo пoтeнциaлa. М.: Наука, 1988. 270 с.

3. Антонов В. А., Холшевников К. В., Шайдулин В. Ш. Об оценке производой многочлена Ле-жандра // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2010. Вып. 4. С. 3—9.

4. Холшевников К. В., Шайдулин В. Ш. О свойствах интегралов от многочлена Лежандра // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2014. Т. 1(59). Вып. 1. C. 55-67.

Статья поступила в редакцию 23 октября 2014 г.

Сведения об авторах

Холшевников Константин Владиславович —доктор физико-математических наук, профессор; [email protected]

Шайдулин Вахит Шамильевич — кандидат физико-математических наук, научный сотрудник; shvak@yandex. ru

ON THE GRAVITATIONAL POTENTIAL OF A SEGMENT OF A SPHERE

Konstantin V. Kholshevnikov1'2, Vakhit Sh. Shaidulin1'3

1 St.Petersburg State University, Universitetskaya nab., 7-9, St.Petersburg, 199034, Russian Federation; [email protected], [email protected]

2 Institute of Applied Astronomy RAS, nab. Kutuzova, 10, St.Petersburg, 191187, Russian Federation; [email protected]

3 Pulkovo Observatory of RAS, Pulkovskoye chaussee, 65/1, St.Petersburg, 196140, Russian Federation; [email protected]

The Laplace series

represents currently popular form of the representation of the gravitational potential V for a cosmic compact body T in spherical coordinates r, 0, A. Here M, R, Yn are the mass of T, the radius of a sphere enveloping T, and a dimensionless spherical harmonic, respectively. There exists a well-known estimate

of the Chebyshevian norm (maximum of the modulus) for bodies of irregular stucture. In the present paper an explicit representation of Yn(0,A) for a homogeneous segment of a sphere is obtained in three reference systems. If the edge of the segment lies on the enveloping sphere, the indicated estimate (Yn) is valid for an exponent exactly equal to 5/2. If the segment touches the enveloping sphere, then (Yn) decreases much faster. Namely,

The quantity p equals the distance from the origin of the coordinate system to the edge of the segment, expressed in units of the radius of the enveloping sphere. Refs 4. Figs 3.

Keywords: gravitational potential, Laplace series, rate of convergence.

1. Kholshevnikov C., "On Convergence of an Asymmetrical Body Potential Expansion in Spherical Harmonics", Celestial Mechanics 16, 1, 45—60 (1977).

2. Antonov V. A., Timoshkova E. I., Kholshevnikov K. V., "Introduction to the Theory of Newtonian Potential" (Nauka, Moscow, 1988) [in Russian].

3. Antonov V.A., Kholshevnikov K. V., Shaidulin V. Sh., "Estimating the derivative of the Legendre polynomial", Vestnik St. Petersburg University. Mathematics 43(4), 191—197 (2010).

4. Kholshevnikov K. V., Shaidulin V. Sh., "On properties of the integrals of Legendre polynomial', Vestnik St. Petersburg University. Mathematics 47(1), 28-38 (2014).

(Yn) < Cn-5/2, C = const, n ^ 1

(Yn) < Cn-5/2pn, C = const, n ^ 1.

References