О граничном управлении на двух концах вынужденными колебаниями струны Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _____________________________________2012, том 55, №4____________________________________

МАТЕМАТИКА

УДК 517.984.5

М.Ф.Абдукаримов

О ГРАНИЧНОМ УПРАВЛЕНИИ НА ДВУХ КОНЦАХ ВЫНУЖДЕННЫМИ КОЛЕБАНИЯМИ СТРУНЫ

Московский государственный университет имени М.ВЛомоносова

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.И.Илоловым 14.03.2012 г.)

В работе показано, что в случае Т ф1, где I - длина струны, существуют граничные управления и(0,/) = //(/) и и{1,() = у{(), 0 <1<Т, обеспечивающие переход колебательного процесса, описываемого неоднородным волновым уравнением, из произвольного начального состояния в любое наперед заданное финальное состояние. Доказано, что при Т > I искомые управления определяются неоднозначно, а при Т <1 приведены соотношения, обеспечивающие однозначную разрешимость. В обоих случаях также получены явные аналитические формулы решения.

Ключевые слова: граничное управление - неоднородное волновое уравнение.

В данной работе в терминах обобщенного решения неоднородного волнового уравнения

и (х, ?) — и (х, ?) = /(х,1) с конечной энергией изучается вопрос о граничном управлении колеба-

ГГ зсзс

ниями, производимом на двух концах струны смещениями и{0, / ) — //(/) и 11(1,1) = |/(7 ), 0 < I < Т.

Решение этой задачи существенно зависит от того, в каком соотношении находятся длина струны I и момент времени Т. В данной статье рассмотрены два случая: Т <1 и > / (ради определенности и простоты будем считать, что I <Т <21). Случай Т = 1, названный критическим, изучен в [1].

В первом из этих случаев для произвольных пяти функций (р{х), 1//(х) . (р} (х) . Ц/] (х) И / (о из классов

<р{х) е W¡[0, /], у/(х) е £2[0, /], <рх{х) е W¡[0, /], у/х(х) е ¿2[0, /],

( )

/(х, е £2 [ 0 < х < / х 0<?<Г ]

установлены необходимые и достаточные условия существования и единственности граничных управлений //(?) и у(1), переводящих процесс колебаний из начального состояния й£(х, 0) = <р(х), и( (х, 0) = ц/(х) в финальное состояние г$х.7) = (р1 (х). г/, (х.7) = »//, (х) , а эти граничные

управления приведены в явном аналитическом виде. Во втором случае показано, что искомые граничные управления существуют для совершенно произвольных пяти функций из классов (*), но они определяются неоднозначно. Получен их общий вид, в который входят четыре произвольные функ-

Адрес для корреспонденции: Абдукаримов Махмадсалим Файзуллоевич. 119991, Российская Федерация, г. Москва, ул. Ленинские горы, 1, Московский государственный университет. E-mail: [email protected]

ции, определенные на сегментах длины Т — I, принадлежащие на них классу W\ , и принимающие на концах этих сегментов заданные значения.

Для решения различных задач, связанных с граничными управлениями, В.А.Ильин и его ученики опубликовали целый ряд работ (см., например, [2-6], а также библиографию в [7]). Из более ранних работ, относящихся к данной тематике, приведем работы Ж.Л.Лионса [8], А.Г.Бутковского [9], Ф.П.Васильева [10-11] и А.И.Егорова [12].

Отметим, что в упомянутых работах рассматривается процесс свободных колебаний, то есть колебаний, описываемых однородным волновым уравнением. Случай вынужденных колебаний, то есть случай, когда на колебательную систему влияет внешняя сила, изучен в [13-15] для классических решений.

1°. Постановка задачи и основные определения. В открытом прямоугольнике QT = (0 < х < /) х (0 < t < Т) рассмотрим в обобщенной трактовке следующие три задачи.

Смешанная задача I:

Mff(x,0-^(x,0 = /(x,0 в QT, (1)

и(0,/) = ju(t), u(l, t) = v(t) при 0 <t <Т, (2)

и(х, 0) = <р(х), ut(x, 0) = у/(х) при 0 <х<1, (3)

в которой (р{х), 1//(х). f(x,t) принадлежат классам (*), ju((). v(t) е W-, |, '/' и выполнены условия согласования

МО) = <р(0), v(0) = <р(1). (4)

Задача граничного управления II: (1), (2), (3) и

и(х, Т) = срх(л), ut(x, Т) = ц/j(л) при 0 <х<1, (5)

в которой (р{х), ///(Л'), фх(х), <//, Ц'), f(x,t) принадлежат классам (*), //(/). v(t) е W\ \,Т_ и выполнены условия согласования (4) и

М(Т) = <р1(0), v(T) = <pl{l). (6)

^1

Решение поставленных задач будем искать в классе W 2(QT ), впервые введенном в работе [4]

(определение этого класса приведено, например, в [14]).

Дадим определения решений поставленных задач I-II.

^1

Определение 1. Решением из класса W2(Q) смешанной задачи I назовем функцию u(x,t) из этого класса, которая удовлетворяет тождеству

/ т

|Jm(x,î) Фй(х,t) — Фп(х,t) dxdt + J 9?(л:)ФДл:,0)-^(х)Ф(л:,0) dx —

о

Т Т I т

■ |//(7)Фх (0, t)dt + jV(7) Фх (/, t)dt — \ ОФ(Х t)dxdt = О

о о

для произвольной функции Ф(х. t ) из класса С (2) Qt ^ подчиненной условиям Ф(0,1) = О, Ф(/, / ) = О при 0 <t <Т и условиям Ф(Х.7 ) = 0.Ф,(х.7 ) = 0 при О<х</, граничным условиям (3) и первому начальному условию (2) в классическом смысле, а второму начальному условию (2) - в смысле равенства элементов Ь2 \,1 .

^1

Определение 2. Решением из класса W2(QT) задачи граничного управления II назовём решение u(x, t) из этого класса смешанной задачи I, которое обеспечивает выполнение первого равенства (5) в классическом смысле, а второго равенства (5) - в смысле совпадения элементов Ь2 |,/ .

2°. Вспомогательные утверждения. Сначала приведем два утверждения о единственности решения поставленных задач.

Доказательство этих утверждений аналогичны доказательству, приведённому в [3] для однородного волнового уравнения.

Утверждение 1. Для любого Т > 0 смешанная задача I может иметь только одно решение ^1

из класса W2(Q).

Для задачи граничного управления II справедливо аналогичное

Утверждение 2. Для любого Т <1 может существовать только одно решение из класса

1

W2 (Qt ) задачи II.

Рассмотрим теперь смешанную задачу I, в которой ср{х) = 0 на сегменте |, / , у/(х) — нулевой элемент пространства Ь2 I.' ] а граничные функции jLl( / ) и v(l ) являются произвольными функциями из класса W2 |.T При этом в силу условия согласования (4) должны выполняться равенства

0) = 0, v(0) = 0, (8)

которые позволяют продолжить //(/) и v( ! ) тождественным нулём на значения / < 0.

^1

Утверждение 3. Единственное решение u(x.t) из класса W2(QT) смешанной задачи I, у которой <р(х) = 0 на сегменте 1.0 Ц/(х) является нулевым элементом пространства L2 |,/] f(x,f)eL2GT ^ a /.i(t) и v(t) - произвольные функции из класса W2 |. 7\ удовлетворяющие условиям (8), при О <Т <1 определяется равенством

о

о

u(x,t) = fi(t-x) + v(t + x — r)+—^ | f{^,r)d^dr, (9)

^ 0 x-t+r

где Li(t) и vit) совпадают с [i{t) и v(t) при f > О и обращаются в нуль при t < О.

Доказательство. Продолжим функцию f (x, t) по первой переменной нечётно относительно точек х=0 и х=1 на [■ /, 0 и (, 2/_ так, чтобы она принадлежала классу /,2 [-/ < х < 2/) х (О < / < /') _ . После этого с помощью свойств функций f(x,t), jLl(t ) и v(/) тривиально проверяется, что при О <Т<1 функция (9) в классическом смысле удовлетворяет граничным условиям //(0,/) = //(/), u(l,t) — v(t) и первому начальному условию и(х,0) = 0, а второму начальному условию ut (х, 0) = 0 - в смысле равенства элементов L2\,l . Поэтому достаточно убедиться в том, что она удовлетворяет равенству (7), в котором ср(х) s 0 Vx е f, l , а <//(х) является нулевым элементом L I. ' ] то есть соотношению

I т т т

Lu Г Ф = ^u(x,t) ФДх^-Ф^хД) dxdt - |//(г)фдо,г)^ +jV(í)Фx(/,í)£й-

0 0 гГ ° ° (Ю)

- J |/(х, ¿)Ф(Л t)dxdt = 0

0 0

для произвольной функции Ф(х,^) е С(2) QT подчинённой условиям Ф(0,/ ) = 0, Ф(/,/ ) = 0 при

0 < t < Т и условиям Ф(х,77) = 0, ФДх,Т) = 0 при 0 < х < /.

С помощью интегрирования по частям придадим соотношению (10) следующий вид:

1 Т I Т I т

Luf<i> = Цг/Дх, t)<& X(x,t)dxdt - Цг/Дх, t)<î>t(x,t)dxdt - ^f(x,t^(x,t)dxdt. (11)

0 0 0 0 0 0

Обозначим через f (x. t ) произвольную первообразную по x функции f ( x. t ). Далее, найдя

из (9) ux (x. t). подставляя их в правую часть (11), после некоторого преобразования убедимся в

том, что правая часть (11) равна нулю.

3°. Основной результат. Основными результатами работы являются следующие две теоремы Теорема 1. Для того чтобы при Т <1 для наперёд заданных пяти функций ç(x), <рг(х),

у/(х), ipx(x) и /(x, t), принадлежащих классам (*), существовало единственное решение граничного

^1

управления II из класса W2(QT), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись для всех

• соотношения:

t є І — T _ следующие два і

t

^y/l{x)dx + ç^t) -ср^О) - ^y/(x)dx-(p(T + t) + cp(T)-^ j f{^,T)d^dz = 0,

T+t T t+T-r

l-T

Т 1-Т+т

J^(л-)с/х- (px(t + Г) + q\(J) + ^y/(x)dx +(p(t)~ (p(l-Т) + ^ ^f(^,T)d^dr = 0.

/ /0 t+г

При выполнении этих условий решение указанной задачи дается формулой u(x,t) = F(t + x) + G(t — x + l) + ^^ | f{^,r)d^dz,

где при 0 < z <1

О X-t+T

П*) = -

2

JV(x)cfo + (p(z)

, од—

1-2

J y/(x)dx - (р{1 - z)

F{T + z) =

G(T + z) = -

1 Z 1 Z-f-l —T

^y/(x)dx+<p(T)+ ^y/l{x)dx + <pl{z)-(pl{0)- J J /(¿f, r)d^dr

0 7-r

/-Г / T 1-T+t

jip(x)dx-cp(l-T)- J t//j (x)<ix - (/ - z) + ^ (/) + J J/Оэ з T)d^d

0 l-z-T+r

При этом искомые граничные управления и(О, /) = //(/) м и{1, /) = 1^(/). переводящие процесс колебания из начального состояния в финальное, имеют следующий вид:

ju(t) =

I I 1 1—1 -I- с

| i//(x)dx + (p(t) + <p(l -Т)+ J і//г (x)dx + ^ (71 - i) - cpx (/) - J* J f{^,r)d^dr

л»-\

t+l-T

T t+l-T

^ip(x)dx + <p(l -t) + <p(T)+ J"i//, (x)dx + (-/), (/ + / - T) - <p] (0) - J" j/(c, r )dcdT

i-t

Теорема 2. Если 1<Т<21, то для совершенно произвольных пяти функций ср(х), <рх(х),

^1

цг(х), у/х(х) и /(х, /) принадлежащих классам (*), существует решение и(х,1) из класса \Уг(07) задачи граничного управления II, то есть существуют граничные управления //(/ ) и v(Y) из класса Т переводящие процесс колебаний из начального состояния (3) в финальное состояние (5). Эти решение и граничные управления определяются неоднозначно и имеют следующий вид:

где

и(х, t) - и(х, t) + и(х, t), ju(t) - ju(t) + ju(t), v(t) - v(t) + v(t),

u(x, 0 = M<+x)-M,-x+20 + r(,-x+0-'(<+x+0-£n/(i, ryifdr, (12)

/(x, t) = ju(t-x) -ju(t + x-21) + y(t + x-l) -v(7-x-/) + — j j f{^^r)d^dT, (13)

0

0

0

0

0

l-z

1

2

l-T

T-t

0 т-t

T

0

0 I-t

0 x-t+T

м(0 =

<р(і) + у/(і) + ^- р(і

— т, т)с1т

+ со(1. + /) при 0 < ґ < /,

при І <і <Т, при і>Т,

(14)

ко =

2^

ю(/)

О

+ 3(1 + 1) при 0</</,

и/ш / < / <Г, и/ш />Г,

(15)

/40 =

0

•5»! (О

1

йС^-О-'/лС^-О+і т)сіт

у({) =

0

®і(0

1

^ 1

(рх(1-Т + ї) + ц/1(1-Т + ?)— |/(/-? + г, т)с1т

2 п

и/и/ ? < О, при О<?<Г-/,

+ &>1(?-/) ирм Т-1<і<Т,

и/и/ ? < О, при 0 < ? < Г - /,

+ 5Д?-/) при Т-І <і <Т,

(16)

(17)

^(х), ^(х) и f{x,t) - совершенно произвольные первообразные функции соответственно ^/(х), ^(х) и /(х,£) «о х, ,9(7) и со(1)- две произвольные функции из класса [, /-~ удовлетво-

ряющие условиям 3(1) = 1/2

^(/) + ^/(/) +1 / 21/(/ - т, г)й?г

5(Г) = 0, ©(/) = 1/2

і

^(0)-і//(0)-1/2 |7(т, г)б/г

¿»(Г) = 0 а равные нулю при I > / , <9, ( /) и ¿о1 (/)- две произвольные функции из класса ]¥\\,Т -I ,

удовлетворяющие условиям ^ (0) = 0, 3Х(Т -1) = И 2

(рх(Т)-ц/х(Т) + \!2^/(1-Т + т, т)ёт

0)^ 0) = О,

щ(Т -I) = 1/ 2

<рх (0) + ц/х (0) -1 / 21/(Г - г, г)а?г

и равные нулю при I < 0.

Кратко наметим схему доказательства теоремы 2. Заметим, что при / < Т <21 решение и(х, /) из класса Ж2(0Г) задачи граничного управления II представляет собой сумму решений из этого класса двух задач: решения и(х,1) задачи о полном успокоении колебательного процесса, переводящего систему колебания из начального состояния т|(х, 0) = (р(х), и, (х, 0) = >р(х) в состояние , и решения и( х, ^) задачи о приведении в произвольное наперед заданное состояние и х, Т) = (р1(х), и1 (х. /') = у/, (х) первоначально покоящейся системы. Поэтому достаточно от-

О

о

о

дельно доказать, что функция u(x,t), определяемая соотношением (12), с функциями /и(!) и v(l), удовлетворяющими соотношениями (14) и (15), является решением из класса 4^т "задачи

Utt{x, t)- U хх (x, t) = \!2f (x, t) в QT, и( О, t) = ju(t), u(l, t) = v{t) при 0<t <T, u(x, 0) = ç>(x), ut(x, 0) = ц/{х) при 0 <х<1, и(х,Т) = 0, ut{x,T) = 0 при 0 <х<1

с произвольными (р(х) е ei2 11/(-Х, t) е Z2 (£>r ) , a функция w(x, t) , опре-

деляемая (13) с функциями u(t) и г(/), удовлетворяющими (16) и (17), является решением из класса

1

W2 (Qt ) задачи

utt(x,t)-uxx(x,t) = l/2f(x,t) в QT, u(0,t) = /¿(t), и{1, i) = v(i) я/ш 0 < t < T, u(x, 0) = 0, ut (x, 0) = 0 при 0 < x < /, u(x,T) = <pl(x), ut(x,T) = i//l(x) при 0 <x<l

С произвольными (x) e W.] » Jl ^i(x)eZ2 и f(x,t) e L2(Qt).

Начнём с рассмотрения функции (12). Из соотношения (14) и (15) вытекает, что каждая из функций //(0 й v(0 принадлежит классу W\ на каждом из сегментов [),/_и [,7'_ и обращается в нуль при всех t > Т. Кроме того, легко проверяется, что //( / — 0) = //(/ + 0), v(/ — 0) — v(J + 0), //(T1 — 0) = 0 и v(77 — 0) — 0. Отсюда следует, что каждая из функций /и(!) и v(t) принадлежит клас-_

су W\ |,Т + 21 ^ в силу чего функция (12) принадлежит классу W2(0, ). Далее, из (14) и (15) полу-Vx е Ц,/

чим, что

/и{х) = 1 / 2

^(x) + ç//(x) + l/2 j*/(x-r, T)dr

v{l-x) = 1/2

+ <г»(х + /), //(2/ - x) = $(2/ - x),

+ 5(2/ - x), v(l + x) = a>{l + x)

(p{x)-ip{x)-H2 j/(x + r, т)с1т

_ 0 _

и в силу (12) выполняется соотношение

/(х, 0) = ju(x) — ju(2l — x) + v(l — x) — v(x + /) +1 / 4 J* J"/-(¿f, T^dÇdr = ^>(x).

Г Х+Г

u(

0 x—t

Аналогично из справедливых в смысле равенства элементов L2 /

соотношений

г

о

т

/л ' (х) = 1 / 2

у ' (/ - х) = 1 / 2

вытекает справедливое в том же смысле соотношение

_____ т _

ut{x, 0) = /л'{х) - /и'{21 - х) + у'(l-х)- v'(x + /)-l/4 J |r(x-r, r) + / (x + r, r) dr = ц/{х).

0

Итак, остается доказать, что для произвольной функции Ф(х, I) из определения 1 справедливо

тождество (7), в котором и(х,t) = и(х,t), ju(t) = v(l) = v(l) и f(x,t) заменена на 1 /2f(x,l). С помощью интегрирования по частям перепишем его в виде

IT IT IT I

№ x(x, ¿)Фх(x,t)dxdt - It)<bt(x,t)dxdt-H 211/(Л',/)Ф(л',/)dxdt = |<//(л')Ф(л',0)б/х

0 0 0 0 0 0 о

Обозначим через f (x, t) первообразную функцию f (x, t) по первой переменной и введём в рассмотрение функцию

___ _ _ _ _ т

U(x, t) = ju(t + x) + ju(t-x + 2l)-v(t-x + l)-v(t + x + l)-l/41

t

удовлетворяющую соотношениям U х{х, t) — Ut(x,t\ Ut{x, t) — 1/2f(x,t) — Ux(x,t). Используя эти соотношения и учитывая свойства функции Ф(х, I ) из определения 1, легко устанавливается соотношение (18). Для функции и(x, t) рассуждения проводятся совершенно аналогично.

Пользуясь случаем, автор выражает глубокую благодарность академику РАН В.А.Ильину, профессору Б.А.Алиеву и доценту Л.В.Крицкову за полезные обсуждения и постоянное внимание при выполнении настоящей работы.

Поступило 14.03.2012 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Abdukarimov M.F. - Azerbaijan journal of mathematics, 2012, v.2, pр.3-12.

2. Ильин В.А., Тихомиров В.В. - Дифференц. уравнения, 1999, т. 35, №5, с. 692-704.

3. Ильин В.А. - Дифференц. уравнения, 1999, т. 35, №11, с. 1517-1534.

4. Ильин В.А. - Дифференц. уравнения, 2000, т. 36, №11, с. 1513-1528.

5. Ильин В.А., Моисеев Е.И. - Докл. РАН, 2002, т. 387, №5, с. 600-603.

6. Никитин А.А. - Докл. РАН, 2006, т. 406, №4, с. 458-461.

7. Ильин В.А. Избраные труды, т. 2. - М.:МАКС Пресс, 2008, 692 с.

8. Lions J.L. - SIAM Review, 1988, vol. 30, №2, рр. 1-68.

f(x + t-T, r) + f(x-t + T, t)

і

- q>1 (x) + цг(х) + 1/ 2 J/(x + r, r)dт

+ 9'(21-х), v'(l + x) = co'(l + x),

0

9. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. -М., 1985.

10. Васильев Ф.П. - Дифференц. уравнения, 1995, т. 31, №11, с. 1893-1900.

11. Васильев Ф.П., Куржанский М.А., Потапов М.М. - Вестник МГУ, сер. 15, вычисл. матем. и ки-берн, 1993, №3, с. 8-15.

12. Егоров А.И. - ДАН УССР, серия физ-мат. и техн. наук, 1986, №5, с. 60-63.

13. Абдукаримов М.Ф. - Сб. ст. молодых ученых фак-та ВМК МГУ, 2011, вып.8, с. 5-18.

14. Абдукаримов М.Ф. - ДАН РТ., 2011, т.54, №8, с.624-630.

15. Абдукаримов М.Ф. - Изв. АН РТ. Отд. физ-мат., хим., геол. и техн. н., 2011, №3(144).

М.Ф.Абдукаримов

ДОИР БА ИДОРАКУНИИ САР^АДИИ ЛАПИШ^ОИ МА^БУРИИ МЕ^ВАР ДАР ОХИР^ОИ ОН

Донишго^и давлатии Маскав ба номи М.В.Ломоносов

Дар м а кол а нишон дода шудааст, ки дар холати Т ^ / будан, ки дар ип но / дарозии мсхвар аст, чунин идоракупихои сархадии 1/(0,1) = ju(t) ва ?/(/, I) = !'(/)- 0 <t <Т мавчудаид. ки системаи лапиши бо ёрии муодилаи гайриякчинсаи мавчй додашударо аз х,олати ибтидой ба холати иптихой меоранд. Исбот карда шудааст, ки дар холати Т < I будан ин идоракупихо хапюми инрои баъзе inapixo ягона буда, дар холати Т > I будан опхо ягона нестанд. Барой х,исоби ин идоракуних,о формулах,ои ошкори аналитикй пешних,од карда шудаанд.

Калима^ои калиди: идоракунии саруадй - муодилаи гайриякцинсаи мавцй.

M.F.Abdukarimov

ABOUT BOUNDARY CONTROL AT THE TWO ENDS OF FORCED STRING VIBRATION

M.V.Lomonosov Moscow State University In this paper it is proved that, in the case T Ф / where 1 is a string’s length there exist the boundary controls u(0,t) - ju(t) and ?/(/, I) = v(t). 0 <t <T, which provide transition of an oscillatory process described by a non-homogeneous wave equation from an arbitrary initial state to any preassigned final state. It is proved that, for 7 > /, these controls are not unique and for Г < /, relations which provide uniqueness are given. For both cases, explicit analytical formulae are obtained.

Key words: boundary control - non-homogeneous wave equation.