CC BY
8(ап 0
0 а,п
р(а) =
0 0
0 а \
0 а2
an an- 1
V 0 0 ... 0 an J
Значит, p(A) = Bn(n — 1, Fn ), и l(A) = 1 по теореме 1.
Пусть выполнено условие 5. Тогда eAe = Fe, f Af = Ff, eAf = J (A). Положим n = dim A. Можно выбрать базис vi, ...,vn алгебры A, такой, что vi,... , vn-2 £ J (A), vn-i = e, vn = f. Для произвольного элемента a = aivi + ... + anvn G A имеем
/an-i 0 0 an-1
P(a) =
0
0 0
0 0 0
0 0
0 0
ai \ a2
an-i 0 an-2 0 an-i 0 0 0 a,n J
Значит, р(А) = Т>Вп(п - 1^га"2), и 1{А) = 1 по теореме 1. □
Автор приносит глубокую благодарность А. Э. Гутерману и А. В. Михалеву за постановку задачи и постоянное внимание к работе.
Работа выполнена при финансовой поддержке грантами МД-2502.2012.1 и РФФИ № 12-01-00140-а.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Pappacena C.J. An upper bound for the length of a finite-dimensional algebra //J. Algebra. 1997. 197. 535-545.
2. Альпин Ю.А., Икрамов Х.Д. Об унитарном подобии матричных семейств // Матем. заметки. 2003. 74, № 6. 815-826.
3. Al'pin Yu.A., Ikramov Kh.D. Reducibility theorems for pairs of matrices as rational criteria // Linear Algebra Appl. 2000. 313. 155-161.
4. Маркова О.В. Классификация матричных подалгебр длины 1 // Фунд. и прикл. матем. 2011/2012. 17, № 1. 169-188.
5. Маркова О.В. Вычисление длин матричных подалгебр специального вида // Фунд. и прикл. матем. 2007. 13, № 4. 165-197.
6. Пирс Р. Ассоциативные алгебры. М.: Мир, 1986.
7. Маркова О.В. О некоторых свойствах функции длины // Матем. заметки. 2010. 87, № 1. 83-91.
Поступила в редакцию 21.05.2012
УДК 519.71
О ГЛУБИНЕ ФУНКЦИЙ к-ЗНАЧНОЙ ЛОГИКИ В КОНЕЧНЫХ БАЗИСАХ
А. В. Кочергин1
Рассматриваются схемы из функциональных элементов, реализующие функции к-значной логики над произвольным конечным полным базисом В. Исследуется асимптотическое поведение функции Шеннона Б в (п) глубины схем над базисом В, определяемой как минимальная глубина схем, достаточная для реализации над базисом В любой функции к-значной логики от п переменных. Показано, что при любом натуральном к ^ 2 для
1 Кочергин Алексей Вадимович — асп. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
произвольного конечного полного базиса B функций k-значной логики существует такая положительная константа а в, что при n ^ ж выполняется соотношение Db (n) ~ авn.
Ключевые слова: k-значные логики, глубина схем, конечный базис.
Realization of functions of k-valued logic by circuits is considered over an arbitrary finite complete basis B. Asymptotic behaviour of the Shannon function Db (n) of the circuit depth over B is examined. The value Db (n) is the minimal depth sufficient to realize every function of k-valued logic on n variables by a circuit over B. It is shown that for each natural k ^ 2 and for any finite complete basis B there exists a positive constant а в such that Db (n) ~ а в n for n ^ ж.
Key words: k-valued logics, circuit depth, finite basis.
В работе рассматривается глубина функций k-значной логики (k ^ 2) при реализации схемами из функциональных элементов над произвольным базисом. Под базисом понимается произвольное конечное множество функций k-значной логики, такое, что суперпозициями функций этого множества можно реализовать любую функцию k-значной логики. Глубиной схемы называется максимальное число элементов в ориентированных цепях, ведущих от какого-либо из входов схемы к ее выходу. Под глубиной функции k-значной логики f над базисом B понимается минимальная глубина схем, реализующих функцию f над базисом B. Эту величину будем обозначать через Db (f). Для каждого базиса B введем функцию Шеннона Db (n), характеризующую максимальную глубину функций от n переменных и определяемую равенством Db(n) = max Db(f), где максимум берется по всем функциям k-значной логики f, зависящим от n переменных.
В [1] установлено, что в случае двузначной логики (k = 2) для любого базиса B при n ^ ж выполняется соотношение Db (n) ~ ^n, где в = (log2 m)-1 и m — максимальное число существенных переменных у функций из базиса B.
В данной работе доказано следующее утверждение.
Теорема 1. Для произвольного конечного полного базиса B функций k-значной логики (k ^ 2) существует такая положительная константа ав, что при n ^ ж выполняется соотношение Db (n) ~ ав n.
Пусть B — произвольный базис функций k-значной логики. Для любого целого неотрицательного числа d через NB(d) обозначим наибольшее число существенных переменных у функций, допускающих над базисом B реализацию схемой глубины не более d. Нетрудно показать, что имеет место
Лемма 1. Для любых целых неотрицательных чисел m и l выполняется неравенство NB (m + l) ^ N*B (m)Njg (l).
Сформулируем известный факт из математического анализа (см., например, [2]).
Лемма 2. Пусть {an} — такая последовательность неотрицательных чисел, что для любых натуральных чисел т и I выполняется неравенство ат+1 ^ ат + щ. Тогда существует предел lim —.
Из лемм 1 и 2 вытекает
Лемма 3. Последовательность {су}, где ad = logfc ^в^ , d = 1, 2, 3,... , при d —ж имеет предел.
Несложно показать, что выполняется неравенство lim logfc Nв> q Положим
d
yd^TO d
С использованием мощностных соображений (см., например, [3]) можно получить следующее утверждение.
Лемма 4. Для любого е, е > 0, при достаточно больших n выполняется неравенство Db (n) > aвn(1 — е), причем доля функций f (xi,... ,xn), для которых Db(f) < ав^1 — е), стремится к нулю с ростом n.
Множество {0,... , k — 1} обозначим через Ek. Произвольную функцию h(xi,..., xn) : {0,1}n ^ Ek будем называть булевой квазифункцией. Заметим, что булева функция является частным случаем булевой квазифункции. Скажем, что функция k-значной логики g(xi,...,xn) порождает булеву квазифункцию f(xi,...,xn), если для любого набора (а1,...,аТ1) из нулей и единиц выполняется равенство f (а1,...,аТ1) = $(а1,..., а^. Для любой булевой квазифункции f через D'B (f) обозначим ming Db (g), где минимум берется по всем функциям k-значной логики g, порождающим булеву квазифункцию f. При любом натуральном n под D'B(n) будем понимать max/ D'B(f), где максимум берется по всем булевым квазифункциям f, зависящим от n переменных.
Лемма 5. При n ^ ж выполняется соотношение D'B(n) ^ (logk 2)авn + o(n).
Лемма 6. Существует такая положительная константа с, что при любом натуральном n справедливо неравенство Db (n) ^ cn.
Каждой булевой квазифункции f сопоставим некоторую функцию f * (выбранную произвольным образом) k-значной логики, порождающую булеву квазифункцию f и удовлетворяющую условию Db(f *) =
DB (f).
Лемма 7. При n ^ ж выполняется соотношение Db (n) ^ а в n + o(n).
Доказательство. Рассмотрим произвольный набор 7 = (71,72,..., 7«.) из E^ . Представим набор 7 в виде 7 = (71,..., 7s), где 71,..., 7s — наборы длины R = [log 2 n] (последний набор может иметь меньшую длину, обозначим его длину через R'). Легко видеть, что s = [n/[log2 n]].
Пусть a — произвольное натуральное число, а b = [log2 ka]. Будем кодировать всевозможные наборы из Ea наборами из нулей и единиц длины b. Легко видеть, что при каждом a существует некоторое взаимно однозначное кодирование Ка ь (т.е. такое, что разным наборам из Ea соответствуют разные кодовые
слова). Для произвольного набора 5 из Ea обозначим соответствующее ему кодовое слово при кодировании Ка,ь через (/1,...,/).
Таким образом, наборам 71,... ,7s-i,7s сопоставлены кодовые слова
,... ,e^:og2 kR1),.., (ей,... kR1), к,... ,ei;og2 kR'
Каждому набору 7 из En сопоставим набор
77 = к,... ,e711og2 kR1,.. ,... ,eo? kR1,e7s,... ,ei;og2 kR'1)
из нулей и единиц. Длина такого набора не превышает s [log2 kR]. Оценим сверху эту величину: s[log2 kR] = [n/[log2 n]] [log2 k^2n1] < (n/[log2 n] + 1)(log2 fc[1og2n1 +1) <
< (n/(log2 n) + 1)((log2 n + 1) log2 k + 1) = (n/(log2 n) + 1)(log2 k log2 n + (log2 k + 1)) =
= (log 2 k)n + (log 2 k + 1) (n/ (log 2 n) + log 2 k log2 n + (log 2 k + 1)) = (log 2 k)n + o(n). (1)
Заметим, что различным наборам 7, 7 из Ek сопоставлены различные наборы /7, /%.
Пусть h = h(x1,x2,... ) — произвольная функция k-значной логики. Рассмотрим такие функции k-значной логики
g1 (y1,...,yR) ,gi! #11og2 k 1 ^...^r^
g^l^b.. ^Ы^-^Уъ ..., yR),.. .,gl1°g2 k 1(Уъ.. .^R^ g^b.. .,yR'),gi2(Уъ.. .,yR'),.. .,gi1og2 k V.. .,yR'^
что для любых i и j и для любого набора 7 из E^ выполняется соотношение gj (7^) = /7 . В силу леммы 6 глубина каждой такой функции не превосходит с [log2 n]. Обозначим через
th = ..., zR,..., z1-l, ..., zR-1, Zl1 ,...,ZrR )
некоторую булеву квазифункцию (выбранную произвольным образом), удовлетворяющую условию: для любого набора 7 из E^ справедливо равенство
th (el,..., ei;og2 kR1.....!,..., в-2 kR1 д,..., /i!og2 kR'1)=h(7).
В силу леммы 5 и соотношения (1) получаем
Db (th) = DB (th) < DB (s [log2 kR]) < авn + o(n).
Функцию h = h(x1,x2,..., xn) можно представить в виде
h(x1,x2, ...,xn) = th (gi (x1, ..., xr), ..., gf°g2 k*1 (x1,..., xr), ..., gl-1(x's-2)R+1,. . . , x(s-1)r), . . .
..., gi-f kR1 (x(s-2)R+1,..., x(s-i)R),gi (x(s-i)R+i.....x.).....gP°g2 kR 1 (x(s-i)R+i ,...,xn)) .
Поэтому для произвольной функции h от n переменных справедливы соотношения
DB(h) ^ DB (th) + max DB(gi) ^ авn + o(n) + C1 |"log2 n] = авn + o(n).
i,j
Лемма 7 доказана.
Из лемм 4 и 7 непосредственно следует утверждение теоремы 1.
Теорема 1 в произвольном конечном полном базисе B функций k-значной логики для функции Шеннона глубины устанавливает асимптотику роста вида авn, однако ни из формулировки, ни даже из доказательства не извлекается информация о способе нахождения константы а в. Тем не менее такой способ существует. Справедливы следующие утверждения.
Теорема 2. Для всякого базиса B функций k-значной логики константа ав имеет следующий вид: ав = (logk Ав)-1, где Ав является алгебраическим числом.
Теорема 3. Существует алгоритм, нахождения по произвольному базису B функций k-значной логики многочлена с целыми коэффициентами, максимальным действительным корнем которого является число Ав.
Автор выражает благодарность О. М. Касим-Заде за постановку задачи, всестороннее внимание и ценные замечания.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 11-01-00508) и программы фундаментальных исследований Отделения математических наук РАН "Алгебраические и комбинаторные методы математической кибернетики и информационные системы нового поколения" (проект "Задачи оптимального синтеза управляющих систем").
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лупанов О.Б. О схемах из функциональных элементов с задержками // Проблемы кибернетики. 1970. Вып. 23. 43-81.
2. Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. Часть первая. М.: Наука, 1978.
3. Лупанов О.Б. О синтезе некоторых классов управляющих систем // Проблемы кибернетики. 1963. Вып. 10. 64-97.
Поступила в редакцию 20.06.2012
УДК 514.853
УСТОЙЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ ВРАЩЕНИЙ МНОГОМЕРНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
А. М. Изосимов1
Хорошо известно, что свободное вращение трехмерного твердого тела вокруг большой и малой осей инерции устойчиво, а вокруг средней неустойчиво. В настоящей работе этот результат обобщается на твердое тело в пространстве произвольной размерности.
Ключевые слова: многомерное твердое тело, устойчивость.
It is well known that the rotation of a free three-dimensional rigid body around the long and the short axes of inertia is stable, while the rotation around the middle axis is unstable. We generalize this result to the case of many-dimensional space.
Key words: many-dimensional rigid body, stability.
1 Изосимов Антон Михайлович — канд. физ.-мат. наук, ассист. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
