CC BY
19
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 17. Выпуск 3.
УДК 511.9.
О ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ ГУРВИЦА
© 2016. Н. М, Добровольский, Н. Н. Добровольский (г. Тула), В. Н. Соболева, Д. К. Соболев (г. Москва), Л. П. Добровольская, О. Е. Бочарова (г. Тула).
Аннотация
В работе рассматривается новый объект исследования — гиперболическая дзета-функция Гурвица, которая задается в правой а-полуплоскости а = а+И,а > 1 равенством
£я (а; 1,Ь) ^^ (1ш + Ь) ,
тех
где 1 = 0 и Ь — любое вещественное число.
Гиперболическая дзета-функция Гурвица Ся(а; 1, Ь) при || ^ || > 0 совпадает с гиперболической дзета-функцией сдвинутой одномерной решеткой £я(Л(1, Ь)|а). Важность этого класса одномерных решёток обусловлена тем, что каждая декартова решётка представляется объединением конечного числа декартовых произведений одномерных сдвинутых решёток вида Л(1, Ь) = dZ + Ь.
Декартовы произведения одномерных сдвинутых решёток — это суть сдвинутые диагональные решётки, для которых в данной работе удается дать наиболее простой вид функционального уравнения для гиперболической дзета-функции этих решёток.
Изучается связь гиперболической дзета-функции Гурвица с периодизированной по параметру Ь дзета-функцией Гурвица С *(а; Ь) и с обычной дзета-функцией Гурвица С (а; Ь).
Получены новые интегральные представления для этих дзета-функций и аналитическое продолжение слева от прямой а = 1 + П.
Все рассматриваемые гиперболические дзета-функции решёток образуют важный класс рядов Дирихле, непосредственно связанный с развитием теоретико-числового метода в приближенном анализе. Для исследования таких рядов эффективным является применение теоремы Абеля, дающей интегральное представление через несобственные интегралы. Интегрирование по частям этих несобственных интегралов приводят к несобственным интегралам с полиномами Бернулли, которые также исследуются в данной работе.
Ключевые слова: дзета-функция Гурвица, периодизированная дзета-функция Гурвица, дзета-функция Гурвица второго рода, гиперболическая дзета-функция Гурвица, решётка, гиперболическая дзета-функция решётки, дзета-функция решётки, полиномы Бернулли, контур Ханкеля.
Библиография: 34 названия.
ON HYPERBOLIC HURWITZ ZETA FUNCTION
N. M. Dobrovolsky, N. N. Dobrovolsky (Tula),
V. N. Soboleva, D. K. Sobolev (Moscow), L. P. Dobrovol'skaya, О. E. Bocharova (Tula).
Abstract
1 Работа выполнена по грантам РФФИ №15-01-01540, №15-41-03263р_центр_а
The paper deals with a new object of study — hyperbolic Hurwitz zeta function, which is given in the right a-semiplane a = a + it, a > 1 by the equality
Zh (a; d,b) ^^ (dm + b) ,
me Z
where d = 0 mid b — any real number.
Hyperbolic Hurwitz zeta function ZH(a; d,b), when || d || > 0 coincides with the hyperbolic zeta function of shifted one-dimensional lattice ZH(A(d,b)|a). The importance of this class of one-dimensional lattices is due to the fact that each Cartesian lattice is represented as a union of a finite number of Cartesian products of one-dimensional shifted lattices of the form A (d, b) = dZ + b.
Cartesian products of one-dimensional shifted lattices are in substance shifted diagonal lattices, for which in this paper the simplest form of a functional equation for the hyperbolic zeta function of such lattices is given.
The connection of the hyperbolic Hurwitz zeta function with the Hurwitz zeta function Z*(a; b) periodized by parameter b and with the ordinary Hurwitz zeta function Z(a; b) is studied.
New integral representations for these zeta functions and an analytic continuation to the left of the line a = 1 + it are obtained.
All considered hyperbolic zeta functions of lattices form an important class of Dirichlet series directly related to the development of the number-theoretical method in approximate analysis. For the study of such series the use of Abel's theorem is efficient, which gives an integral representation through improper integrals. Integration by parts of these improper integrals leads to improper integrals with Bernoulli polynomials, which are also studied in this paper.
Keywords: Hurwitz zeta function, periodised Hurwitz zeta function, Hurwitz zeta function of the second kind, hyperbolic Hurwitz zeta function, lattice, hyperbolic zeta function of lattice, zeta function of lattice, Bernoulli polynomials, Hankel contour.
Bibliography: 34 titles.
1. Введение ....................................................................73
2. Цели и содержание работы .................................................74
3. Полиномы Бернулли и несобственные интегралы с ними...................75
4. Периодизированная по параметру Ь дзета-функция Гурвица и дзета-функция Гурвица второго рода ...........................................................78
Ь
79
4.2. Множитель Римана ....................................................................81
4.3. Аналитическое продолжение дзета-функции Гурвица второго рода ..................82
5. Гиперболическая дзета-функция Гурвица ..................................85
5.1. Дзета-функция сдвинутой решетки ....................................................87
5.2. Интегральные представления ..........................................................89
6. Функциональное уравнение для гиперболической дзета-функции сдвинутых диагональных решёток .........................................................95
6.1. Одномерный случай ...................................................................96
6.2. Двумерный случай .....................................................................98
7. Заключение ................................................................101
Список цитированной литературы ..........................................102
1. Введение
Теория гиперболической дзета-функции решёток излагается в монографиях [23], [13] и [2], которые опираются на результаты из работ [4]- [7], [10]- [17], [24], [25]. Теории гиперболической дзета-функции решёток и обобщенной гиперболической дзета функции сдвинутых
решёток были посвящены диссертации [8], [28], [26], [11] и [5], содержание которых отражено в авторефератах [9], [29], [27], [12] и [6].
В работе [16] получена новая асимптотическая формула для гиперболической дзета-функции алгебраической решётки квадратичного поля. Таким образом теория развивается как для произвольной размерности в, так и для конкретных значений, а именно, для в = 2. В настоящей работе внимание сосредоточено на одномерном случае, так как логика развития теории показала, что именно к этому случаю естественно сводится вся теория гиперболической дзета-функции декартовых решёток.
В большой обзорной работе [3] и в работе [34] приводятся последние достижения в этой теории — даётся вывод функционального уравнения для дзета-функции произвольной декартовой решётки. Кроме этого, в последнем разделе этой работы даётся список актуальных нерешенных проблем теории гиперболической дзета-функции решёток. Одной из таких проблем — получению аналитического продолжения и выводу функционального уравнения для гиперболической дзета-функции Гурвица — посвящена данная работа.
Данная постановка вопросов возникла естественным образом в процессе изучения гиперболической дзета-функции решётки приближений Дирихле квадратичной иррациональности. Приложение полученных результатов к этому классу гиперболических дзета-функций решёток будет посвящена наша следующая работа.
Как обычно, используются обозначения: N — множество натуральных чисел, Ъ — кольцо целых рациональных чисел, Q — поле рациональных чисел, М — поле вещественных чисел и С — поле комплексных чисел; через {х} и [х] обозначаются дробная часть и целая часть вещественного числа х: 0 ^ {х} < 1, [х] € Ъ, [х] ^ х < [х] + 1 х = [х] + {х}. В работе для вещественных ш используем очень удобное обозначение Коробова ш = тах(1, |ш|). Как правило, из контекста видно, что речь идет об обозначении Коробова, а не об комплесно-сопряженном числе.
2. Цели и содержание работы
В работе [3] были перечислены несколько актуальных нерешенных проблем теории гиперболической дзета-функции решёток. Одной из таких проблем является Проблема существования аналитического продолжения.
Как показано ранее в наших предыдущих работах, для любой декартовой решётки существует аналитическое продолжение гиперболической дзета-функции произвольной декартовой решётки. Более того, для произвольной декартовой решётки получено функциональное уравнение, задающее это аналитическое продолжение в явном виде.
Естественно возникают вопросы о существовании аналитического продолжения для гиперболической дзета-функции в случае, когда решётка не является декартовой. Простейшей такой решёткой является решётка приближений Дирихле квадратичных иррациональностей.
По-видимому, ключом к решению проблемы аналитического продолжения является дальнейшее изучение возможности предельного перехода для гиперболических дзета-функций декартовых решеток в левой полуплоскости по сходящейся последовательности декартовых решёток.
Если такой предел всегда существует, то, переходя в функциональном уравнении слева и справа к пределу, получим функциональное уравнение для предельной решётки. Наиболее перспективно должно быть получение функционального уравнения только в терминах взаимных решёток, так как сходимость последовательности решёток эквивалентна сходимости соответствующих взаимных решёток. Здесь необходимо подчеркнуть, что основная сложность должна быть в случае, когда предельная решётка недекартовая.
В процессе осуществления указанной программы для случая решётки приближений Дири-
хле квадратичных иррациональностей естественным образом возникло понятие гиперболической дзета-функции Гурвица и вопрос об аналитическом продолжении этой гиперболической дзета-функции, которая тесно связана с гиперболической дзета-функцией одномерной сдвинутой решётки.
В третьем разделе мы рассматриваем несобственные интегралы с полиномами Бернул-ли, которые естественно возникают в этой проблематике, когда от ряда Дирихле с помощью теоремы Абеля переходят к несобственному интегралу.
В четвертом разделе приводятся все необходимые факты о периодизированной по параметру & дзета-функции Гурвица ((а; Ь) и о дзета-функции Гурвица второго рода.
В пятом разделе вводится понятие гиперболической дзета-функции Гурвица и развивается соответствующая теория, которая во многом является аналогом теории дзета-функции Гурвица.
На основании полученных результатов в шестом разделе строится функциональное уравнение для гиперболической дзета-функции сдвинутых диагональных решёток.
Наконец, в заключении обсуждаются полученные результаты и возникающие трудности при реализации намеченной программы.
3. Полиномы Вернул л и и несобственные интегралы с ними
Для дальнейшего нам потребуются числа и полиномы Бернулли, сведения о которых мы приведём из [1] и [23].
Числа и полиномы Бернулли определяются равенствами:
Во = 1, ЕО1-'Вк = 0 (п > 1),
к=0
п
Во(ж) = 1, Вп(х) = Е СП Вк Хп-к (п ^ 1), к=о
уи(ж) = Ви(ж) - Ви (V ^ 1).
Для полиномов Бернулли справедливы следующие важные свойства:
В т В (0) / 0 еслип = 1,п ^0 т
Вп(1) - Вп(0) = | 1, ^п =1; (!)
ВП(ж) = пВп-1(х) (п ^ 1); (2)
1
У"вп(ж)^ж = 0 (п ^ 1). (3)
о
Нетрудно подсчитать первые пять многочленов у^(ж):
3 1
У1(ж) = ж, У2(ж) = ж2 - ж, уз(ж) = ж3 - 2Ж2 + 2ж, У4(ж) = ж4 - 2ж3 + ж2,
,, 5 5 4 5 з 1
у5 (ж) = ж--ж +--ж--ж.
' 2 3 6
Из следующей леммы видно, что периодизированные многочлены Бернулли у^({ж}) принадлежат классу периодических функций с быстро сходящимися рядами Фурье и имеют непосредственное отношение к теоретико-числовому методу И. М. Коробова [23].
Лемма 1. Справедливо разложение в ряд Фурье
(-1)2+{2М2Ь!
УV ({х}) = -Би + £
2пгтх
т=—оо
(2пш)1
— Б2, + £
т=1
1 ^ 1
2(-1)^-1(2д)! (2пш)2^
ео8 2пшх, при V = 2^,
= < — =2
+ -8т2пшх,
^^ пш
т=1
Е2( /1) (2^ +1)! зт2пшх, (2пш)2^+1 '
при V = 1,
при V = 2^ + 1,
(^ = 1, 2,...).
„ т=1
Доказательство. Действительно, для разложения в ряд Фурье
оо „
Уv({х}) = £ С(ш)е2пгтх, С(ш) = Уv(х)е
-2пгтх
1х
т=
имеем
11 1
С (0) = J yV (х)1х = J (БV (х) — БV) 1х = J БV (х)1х — БV =
-Бv =
о
—Б2м, при V = 2^,
1, ПрИ V = 1,
(^ = 1, 2,...),
0,
при V = 2^ + 1,
согласно равенству (3) и свойствам чисел Бернулли. ш=0
1
С (ш) = [ Уv (х)е-2пгтх1х = е-2п»тх
I —2пгш
^(х) е-2пгтх¿х _
—2пгш
(4)
□
V
—2пгш
Б^^е-2™^ = ... = ^!, Б1(х) е-2пгтх
(—! (—2пгш)1
_ —2пгтх
1х =
(—2пгш^-1 —2пгш
(—1)^! (—1)2+{2}г2{2^!
о
(—2пгш)1
(2пш)
Рассмотрим для 0 < в ^ 1 и Я ^ 0 несобственный интегр ал при V = 1, 2,...
V- 1
1-
/V(а; я, в) = V! П(а + • V! м=0 {
Уv ({х})1х (х + в 1
(5)
который абсолютно сходится для а = а + И при а > 1 — V.
Отметим сразу, что /1,(а; я, в) = 0 при а = 0, —1,..., 2 — V, так как при этих значения а несобственный интеграл абсолютно сходится, а множитель перед интегралом обращается в ноль. Вопрос о значении в точке а = 1 — V должен исследоваться отдельно, так как интеграл в определении (5) расходится, а аналитическое продолжение будет построено позже.
1
о
о
о
1
1
о
о
о
1
1
о
о
1
Лемма 2. Справедливо равенство
(а;в) = V;! Г[(а + ^ (^ + в)0й у
1 тгг/ % (а + v)BV 1 ^ В, в т- / т
- ^г 1=1(а + ^ ■ (д + в )а+^-1 + 1=0(а + ^ ■ (д + в )а+^ + ^+1(а;д,в). (6)
Доказательство. Прежде всего заметим, что
1
У у^(ж)^ж = -В; (V ^ 1). (7)
о
Действительно,
1 1 1 J у;(ж)^ж = J (В;(ж) - В;) ^ж = J В;(ж)^ж - В; = -В; о о о
согласно равенству (3). Далее заметим, что
Ж 1 {ж} {ж}
J у^(й)^ = [ж] У у^у^= -[ж]В^ ^У у^=
'V
о о о
{ж}
= -жBv + I ^(*) + Bv) ^ = -жBv + (В^)
о
{Ж}
= -жВ; + В;+1({ж}) - В;+1 = -жВ; + у;+1({ж}).
V + 1 V + 1
Отсюда следует, что
те
у;
у;({ж})^ж
У (ж + в)а+;
9
/JЖ у; (ф)^Л
о_
(ж + в )а+;
V /
Ж
те( /у;({*})^)^ж
+ (а +
'_жВ + Уу+1({ж}) жВ; + ;+1
(ж + в)
+ (а + V)
9 9
Уу + 1(М) ' те
(ж + в)а+;+1
9
-жВ; + ) ^ж
(ж + в)а+;+1
дВ; - +( + )В ¿ж Г в ¿ж \ +
(д + в)а+; + (а + V) ; \ У (ж + в)а+; ^ (ж + в)а+;+1 ) +
V 9 9
+ 7 у;+1({ж})^ж = 9ВУ - +
V +1 у (ж + в)а+;+1 (д + в)а+;
9
+ (а + ■ (а + V - 1)(д + в)а+;-1 + (а + V)(в + в)а+^' +
те
+ а + V [ у;+1({ж})^ж
V + 1 у (ж + в)а+;+1' 9
о
о
те
9
те
Подставляя последний результат в правую часть равенства (5), получим
1 ;-1 /„В - ({9})
(а;в) = ^ Г[(а + ^ (« + ^ + (а + V)В•
те
( 1 +__в_^ + а + V [ у;+1 ({ж})^ж
(а + V - 1)(д + в)а+;-1 (а + v)(g + в)а+;/ V + 1у (ж + в)а+;+1
9
1 П. , («В; - 1;"2 (а + v)Bv
= -т (а + ■ -—--г (а + ■ т^—\ \ +
V, 1=1 V г; I (« + в)«+; V! ^ (« + в)а+;-1
1—о \ / 1—о
1 ;-1 В в
+ V1! По(а + ^ ' (д + в)а+; + /;+1(а; «, в)
и лемма полностью доказана. □
Замечание 1. Из доказанной леммы вытекает,, что функция (а; д,в) заданная в правой полуплоскости а = а + И (а > 1 - V) последовательно аналитически продолжается на а
Теперь мы можем ответить на вопрос о величине (1 - V;«, в) Лемма 3. Справедливо равенство
(1 - V; «,в) = (-1;В;. (8)
Доказательство. Действительно,
1 ;-1 /«В _ уу+1({9})
(1 - V; ,,в) = ± № - V + (« " « + }
1 ;-2 1 ;-1 В в
- ¡ту П(1 - V + ■ В; + ^П(1 - V + ■ ГГ- + /;+1(1 - V; «,в)
! 1=о ! 1=о « + в
(-1); В;
□
4. Периодизированная по параметру Ь дзета-функция Гурвица и дзета-функция Гурвица второго рода
В дальнейшем будет использоваться периодизированная по вещественному параметру Ь дзета-функция Гурвица
с*(а; Ь)= Е (п + Ь)-а = <
те
^ п-а,
п=1
{Ь} = 0,
о<п+Ь
, (а > 1).
(9)
X] (п + {Ь}) а, при {Ь} > 0
п=о
Кроме того, определим дзета-функцию Гурвица второго рода (** (а; Ь) равенством
/■**( м ^ со8 2ппЬ С (а; Ь) =£ —^—, (ст> 1).
п= 1
(10)
По теореме Абеля (см. [32] стр. 106) получаем интегральное представление для периоди-зированной дзета-функции Гурвица (ст > 1):
а
[ж]^ж
жа+1 '
при {Ь} = 0,
С *(а; Ь) = <^
те те
[ ([ж] + 1)^ж Г [ж + 1 - {Ь}]^ж
а . , -, = а --—, при Ш = 0
У (ж + {6})а+1 у жа+1 ' ^ иг о {Ь}
(11)
и интегральное представление для дзета-функции Гурвица второго рода (ст > > 1):
( те
а
[ж]^ж
ж
а+1
при {Ь} = 0,
С **(а; Ь) =
(8т(п(2[ж] + 1)Ь) — 8т(пЬ)) ^ж ,,, . „
а I -— „ . , Л , , -, —-—, при {Ь} = 0,
2 8т(пЬ)жа+1
которое получается из выражения для сумматорной функции при {Ь} > 0
(12)
А(ж) = £ со8(2ппЬ) = ■ 1 , Ч £ СО8(2ППЬ) 8т(пЬ) =
п=1 п=1
1 м £ (81п(п(2п + 1)Ь) — 81п(п(2п — 1)Ь)) = 81п(п(2[ж] + 1)Ь) - 81п(пЬ). 2 81п(пЬ) п=1 ; ;; 2 81п(пЬ)
1
1
4.1. Аналитическое продолжение периодизированной по параметру Ь дзета-функция Гурвица
Нетрудно выписать различные явные формулы для аналитического продолжения на всю
а=1
Ь
1
Приведенные ниже формулы покрывают всю комплексную плоскость, задавая явный вид аналитического продолжения (*(а; Ь).
Лемма 4. Справедливы, равенства
С *(а; Ь) =
' Е (п + Ь)-а,
о<п+Ь
11 _ + ___ _ /2(а;0, 1),
1
1
1
---+
{Ь}а 2 а - 1
+(1-{Ь>М 1 -
а{Ь}}
-/2 (а; 1-{Ь}, {Ь})
ч ( па^еов2ппЬ па^81п2ппЬ\ „л 8Ш — \ —--^еов — > —- ,
п=1 п=1 /
2(2п)а-1 Г(1-а)1 в1п^
а > 1,
{ь}=о,
ст>-1
{Ь}=о,
ст>-1
а < 0.
(13)
а>1
Ь
Во втором случае из первой формулы в равенстве (11) и леммы 2 (стр. 77) имеем при Ь € Ъ
тете те
[жЫж Г (ж - {ж})^ж а Г {ж}^ж = а --=--— а
с*(а; Ь) = а/ жж^ = а/
га+1
а1
ж
а+1
+
а-1
(а + 1)В1 1
аа
- /1(а; 0,1) =-г - а ■
а1
0 ■ В1 - У^М
+
В1 1 1
- а ■ -1 - /2(а; 0,1) = - +-- - /2(а; 0,1),
1 2 а — 1
что доказывает второй случай равенства (13).
Аналогично, в третьем случае из второй формулы в равенстве (11) имеем при Ь € Ъ
те
С*(а; Ь) = а J
1-{Ь}
([ж] + 1Ыж Г ^ж
а / 7—:—г, ч ч „ , -I + а
{Ь}
([ж] + 1)^ж
(ж + {Ь})а+1 _ " У (ж + {Ь})а+1 1 " У (ж + {Ь})а+1 о о 1-{Ь}
те те
1 Г (ж + 1 - {ж})^ж 1 С ^ж
- 1 + а 1 , . Г7,\ " = -Т7Т- - 1 + а \ +
1-{Ь}
(ж + {Ь})а+1 {Ь}а
1-{Ь}
(ж + {Ь})а
те те
+а / (1-т - а
{ж}^ж
(ж + {Ь})а+1 У (ж + {Ь})а+1
1-{Ь} 1-{Ь}
2
1
1
1
|Ьр - 1 + ^ + 1 -ibi-№1 -{&}. W) =
1 , 1 _ rL1 ^ (1 - {b})Bi - y2({1-{b}})
+-- + 1 - {b} - a
{b}a а -1 L J \ 1
(a + 1)Bi , Bi ■ {b} \ --1-+ a--1-+ I2(a; 1 - {b}, {b}) I =
1 -1 + -Лг + (1 - {b}^1 - -12 (a; 1 - {b}, {b})
{Ь}а 2 а — 1 4 1 " V 2
что доказывает третий случай равенства (13).
Наконец, четвертый случай следует из функционального уравнения для дзета-функции Гурвица (см. [30], стр. 48), так как
с*(а;Ь) = / ^(а;{Ь}), при {Ь} >0;
Ц (а;Ь) \ ((а) = С(а;1), при{Ь} = 0 .
□
4.2. Множитель Римана
Через
„ „.. . 2Г(1 - а) па
M(а) = 2(2П^81П Па (14)
будем обозначать множитель из функционального уравнения для дзета-функции Римана (См. [30], стр. 19)
Z(a) = M(a)Z(1 - а).
Легко проверить, что
M(а) ■ M(1 - а) = 1. (15)
Действительно,
, 2Г(1 - а) па 2Г(а) п(1 - а)
M (а)'M (1 - а) = Wa2 sin пг' sin nV") =
Г(а)Г(1 - a)
=-sin па = 1
п
согласно формулы дополнения для гамма-функции (см. [31], стр. 19).
Множитель M(а) будем называть множителем Римана, а формулу (15) — формулой дополнения для множителя Римана.
Из свойств гамма-функции, определения (14) и формулы дополнения (15) следует, что множитель Римана — аналитическая функция для любого комплексного а, кроме точек а = = 1, 3, 5,... — нечетных натуральных значений, где он имеет полюс первого порядка.
Действительно, при а = п £ N имеется полюс первого порядка v гамма-функции Г(1 - а)
па
и это все полюса, а множитель sin ^г имеет значения
1 пп = ( (- 1)m, при n = 1 + 2m, m = 0,1,2,____
2 \ 0, при n = 2m, m £ N.
Поэтому при нечетных натуральных значениях а = 1, 3, 5,... множитель Римана M (а) имеет полюса с вычетом
При натуральных четных значений а = 2n, (n G N) имеем:
2Г(1 — а) Па 2
M(а) = lim / Ч1—- sin — = -—lim Г(1 - а)(1 - а - (1 - 2n)V V ' (2п)1-а 2 (2n)1-2n«^2n v n \ ))
, sin па , п(а - n) 2 (-1)2n-1 ( п\ (2п)2п
• lim —-—lim 2 — ' * —
n(f - n) 2n - а (2n)1-2n (2n - 1)! V 2) 2 ■ (2n - 1)1'
По свойствам гаммы функции Г(1 + 2n) = (2n)1, (n = 0,1, 2,...). Поэтому в четных отрицательных значениях а множитель Римана имеет нули первого порядка
М(-2n) = sin(-nn) = 0, n е No = N |J{0}. (16)
Так как гамма-функция не имеет нулей на всей комплексной плоскости, то нули множителя Римана являются нулями функции sin Пр и формулой (16) исчерпываются все нули множителя Римана.
Наконец, в точках а = -1, -3, -5,... имеем:
Ч л 2Г(2п) п(1 - 2n) 2(2n - 1)!(—1)n .
М(а)= М (1 - ^^T^sm ( 2 ) = ( ^ ) , (n е N)
и
2Г (2) п ^2
М - =--2- в1п - = —^ — = 1.
V 2) (2п)1 4 (2п) 2 2
Следующая лемма является своеобразным функциональным уравнением для периоди-
Ь
0 < Ь< 1 а < 0
с*(а; Ь) + С*(а; 1 - Ь) = 2М(а) Ее0п2аЬ = 2М(а)(**(1 - а; Ь). (17)
п-
п=1
а<0
с * (а; Ь) + С *(а; 1 - Ь) =
N ^ \ i па ^^ cos 2ппЬ = 2(2п) Г(1-а) sin —
(па ^ cos2nnb па ^ sin2nnb\ sin — > —z--hcos — > —i- +
n=1 n=1 /
^ / . па^cos2nn(1 - b) па^sin2nn(1 - b) I sin "y 2=1 n1-a hcos Tn1-a
+2(2п)а-1Г(1-а) ( sin —
n=1 n=1
пах^cos2пnb . ^cos2пnb
, чп^Чт-,/-. \ . е0В2ппЬ „,,/ ч \-ле0Ь2ппЬ чл**/-. 74
= 4(2п)а-1Г(1-а)81п —тта" = 2М(а) £ п^ = 2М(а)(**(1 - а; Ь)
2 п п
п=1 п=1
□
4.3. Аналитическое продолжение дзета-функции Гурвица второго рода
Теперь нетрудно доказать аналог леммы 4 (стр. 79) для дзета-функции Гурвица второго рода.
Лемма 6. Справедливы, равенства
С "(а; Ь) =
£
п=1
С08 2ппЬ
па
1+ _!_ — /2(а„>, !),
а(а + 1)
1
М (а)
81п(п(2[ж] + 1)Ь){ж} + с°8(2п^с(04()2п1х1Ь^ ¿ж
2 81п(пЬ)жа+2
СТ > 1,
{Ь}=0,
{Ь}=0,
(18)
2 а>-1'
2
1
М(а)
пей п + Ь
[М (а)С (1 — а),
1—а
(С*(1 — а; Ь) + С*(1 — а; 1 — Ь)),
{Ь}=0, а<0
{Ь}=0, а<0
ст>1
дзета-функции Гурвица второго рода (10) (стр. 79).
{ Ь} = 0
имеем равенство £**(а; Ь) = £*(а; Ь).
В третьем случае воспользуемся вторым интегральным представлением (12) (стр. 79) для дзета-функции Гурвица второго рода, получим, интегрируя по частям,
С **(а; Ь)= а
(8т(п(2[ж] + 1)Ь) — 81п(пЬ)) ^ж
=а
/ (ж)
2 81п(пЬ)ж'
а+1
те
те
+ а(а + 1) J
2 81п(пЬ)жа+1 /(ж)^ж
2 81п(пЬ)жа+2
= а(а + 1) У
/ (ж)^ж
2 81п(пЬ)жа+2:
где
1x1-1 к+1
/(ж) = (8т(п(2М + 1)Ь) — 81п(пЬ)) dí = £ / (81п(п(2Л + 1)Ь) — 81п(пЬ)) 1 к= к х 1x1-1
+ (81п(п(2[ж] + 1)Ь) — 81п(пЬ)) ^ = £ (81п(п(2Л + 1)Ь) — 81п(пЬ)) +
1x1
1x1-1
+ (81п(п(2[ж] + 1)Ь) — 81п(пЬ)) {ж} = £ 8ш(п(2Й + 1)Ь) —
к=1
— ([ж] — 1 + {ж}) 81п(пЬ) + 8т(п(2[ж] + 1)Ь){ж} = 81п(п(2[ж] + 1)Ь){ж} —
1
1x1-1
—(ж — 1) 81п(пЬ) + У^ (со8(п(2й + 1)Ь — пЬ) — С08(п(2Й + 1)Ь + пЬ))
2 81п(пЬ) 1
С08(2пЬ) — С08(2п[ж]Ь)
2 81п(пЬ
= 81п(п(2[ж] + 1)Ь){ж} — (ж — 1) 81п(пЬ) +
2 81п(пЬ)
1
2
1
1
Т
Отсюда следует, что
J (sin(n(2[x] + l)b)M + COS(2nba)2nNb)) dx
С (а; b)= а(а + 1)J-2sin(nb)xa+2-
1
J
-а(а + 1) / (X - 1)dX -
2x«+2 1
_ 7 (в1п(п(2[х] + 1)Ь){х} + С08(21)8-пС(°4()2пИЬ^ ¿х 1
= а(а + 1^ 2 8т(пЬ)х«+2 - 2'
1
что доказывает третий случай равенства (18).
Наконец, четвертый случай следует из формулы (17) и формулы дополнения для множителя Римана, а пятый случай совпадает с функциональным уравнением для дзета-функции Римана. □
Z**(а; b) = { Мм' ^ 2
Замечание 2. Из лемм 5 и 6 следует, что для любых а = 1 справедливы равенства
((а), при {Ь} = 0;
2 (С*(1 - а; Ь) + С*(1 - а; 1 - Ь)), при {Ь} > 0.
Лемма 7. Справедливо равенство
д-1
С * (а;
Я
Е 9"" (Z* (а; + Z* (а; 1 - ) = 2Z(а) (1 - Я~а) . (19)
1=1
Доказательство. Действительно, в правой полуплоскости а > 1 имеем:
q—1
1=1
Г«"Í Z 'I а; + Z '( а; 1 - £)) =
q"1 а( J í l Y" J í , l
1=1 \n=0x 4/ n=0 4 4
q—1/ j j N
= ЕЕ (q»+1)—а + Е (q»+9 -1)—а
1=1 n=0 n=0
j J
2 E »—a - 2 £(qn)—'а = 2Z (а)(1 - q"а)
n=1 n=1
Переходя к аналитическому продолжению, получим утверждение для любого а = 1. Проверим утверждение для левой полуплоскости а < 0. По лемме 5 имеем
Е 9"'íz' íа; 9)+Z'- 9)) =
q—1 1 па ^ cos 2п» q
= £ 9"^(^Щ-а^п -Е ^ =
1=1 n=1
j 1 q—1 i
= 9"а4(2п)а—1г(1-фш ^Е »!—a Еcos 2п»?
n=1 1=1 9
—a
Так как
то
9-1 I 9-1 е2пгп + е-2пгп
^еов 2пп- = -1 + Е-2-= (п) - 1,
1=1 « 1=о
Е (< * (а; «) + <' (а;! - «)) =
оо оо
тете
= ^4(2^^(1-а)в1п па Е - Е 1
2 \ ^ («п)1-а ^ п1-а /
\п=1 п=1 /
= 4(2п)а-1г(1-а)в1п п^С(1 - а) (1 - д-а) = 2((а) (1 - д-а) □
5. Гиперболическая дзета-функция Гурвица
Определение 1. Назовём гиперболической дзета-функцией Гурвица, при й = 0; й, Ь € М функцию Ся(а; й, Ь), заданную в правой а-полуплоскости а = = а + И (а > 1) равенством 2
Ся(а; й, Ь) = Е(йт + Ь)-а . (20)
тбЪ
Если мы рассмотрим сдвинутую одномерную решетку Л(й, Ь) = йЪ + Ь, то для гиперболической дзета-функции этой сдвинутой решетки мы получим
Г (я(а; й, Ь), при {|} = 0, Ся (Л(й,Ь)|а) = ^ (21)
[ Ся (а; й, Ь) - 1, при {д} = 0.
Кроме этого нам потребуется дзета-функция сдвинутой решетки ((Л(й, Ь) |а), которая задается равенством
С(Л(й,Ь)|а) = Е' |йт + Ь|-а, а> 1, (22)
где означает, что из области суммирования исключена точка т, для которой йт + Ь = 0,
и аналитическая функция Д(а; й, Ь), задаваемая равенством
/1(а; й, Ь) = Е' (1 - |йт + Ь|-а) . (23)
-1<^т+6<1
Ясно, что справедливо равенство
Ся (Л(й,Ь)|а) = С (Л(й,Ь)|а) + Л (а; й,Ь). (24)
Будем как обычно через ||Ь|| = т1п({Ь}, 1 - {Ь}) обозначать расстояние до ближайшего целого. Как хорошо известно, функция ||Ь|| — чётная: ||Ь|| = || - Ь||.
В работе [16] рассматривалась аналитическая по а функция /(а, й), заданая равенством
{0, при й ^ 1,
Е (1 -Тй^а), ПРИ 0<й< 1. (25)
КН<[ 1Г 1 т|а
Здесь и далее для вещественных т используем обозначение т = тах(1, |т|).
Ясно, что
Положим
/* (а; Ь) =
/1(а; 0) = /(а,2).
/1 (а; И, И II11
при ^ | ^ =0;
/1 (а; и, И II£II) + 1, при II%II =0.
(26)
(27)
Лемма 8. Для гиперболической дзета-функции Гурвица ("я (а; й,Ь) в правой а-полуплос-кости а = а + И (а > 1) справедливы, равенства
(я(а; Ь) = (я а; |2|, |2|
= И Л И|, И
Ь
а) + /* (а; |2|, |2|
Доказательство. Действительно, при {%} = 0 имеем [%] = ь
(28)
7 / ^ \ ( Ь\
(я(а;¿,Ь) = 1 + Е ¿(т + + Е ¿(т + Ь)
т=1 —1 т=—^
= 1 + 2 ^^ ^—а = (я (а; И, И Ь )
т=1 ^ '
и в этом случае первое равенство доказано. Пусть теперь {%} =0, тогда
—1—[ !]■
7 / Ь N — '
(я (а; ¿,Ь)= Е ¿(т + + Е
Г Ь 1 ^ ' гп — — г
т=—[ 1]
2 т + -а
т=0
—а оо
ЕЙ т + ] Ь } ) + Е |4|( т + 1 -
т=0
= (я а; |2|, |2|
и первое равенство полностью доказано.
Аналогично первому равенству доказывается, что
/1(а; ¿,Ь) = /1 а; |2|, |2|
Действительно, при 2 < 0 имеем
/1(а;¿,Ь)= Е' (1 -|2т + Ь|—а) = Е' (1 -
Ь
т + -а
Е'
— 11 |<т+11111<| 11
1 -И
т+
= /Л а; |2|, |2|
(29)
(30)
Отсюда и из равенств (21), (24) и (27) следует справедливость второго равенства в формуле □
—а
—а
— а
—а
— а
Лемма 9. Справедливо равенство
/1 а; | й| , | й|
0,
=
Е
0,
121
Е
1
|йт|с
-|й|
1 - | й|
т+
при |й| ^ 1, У д у при 0 < |й| < 1,
0;
при |й| ^ 2, ц | ц
при |й| ^ 2, 0 <
К|!|<2,
I ЬI I в I
1
^ И'
IIIII < ш;
при
I Ы|>|И
|>У |в| I
при
КН<2,
о<|| в ||<| м I
при 0 < |й| < 1, 0 < УI
(31)
Доказательство. При у|у = 0 первый и второй случай в равенстве (31) следует из (29), (26) и (25).
При УьУ ^ и |й| ^ 2 область суммирования в формуле (30) не содержит целых точек, поэтому сумма равна 0 и третий случай в равенстве (31) доказан.
При 0 < у 2у < щ и |й| ^ 2 область суммирования в формуле (30) содержит только одну т=0 равенстве (31) доказан.
При
>
и 1 ^ |й| < 2 область суммирования в формуле (30) содержит только две целых точки т = 0и т = -1, поэтому сумма содержит только два слагаемых и пятый случай в равенстве (31) доказан.
При 0 < у 2 у ^ и 1 ^ |й| < 2 область суммирования в формуле (30) также как и в
т=0
одно слагаемое и шестой случай в равенстве (31) доказан. Наконец, при
0 < У2II и 0 < |й| < 1 область суммирования - | ^ | <т + Ц ^ ^ < | ^ |в формуле
-
1 + и1 +
^ т ^ [| 11 - У2У], поэтому сумма преобретает
указанный вид и седьмой случай в равенстве (31) доказан. □
5.1. Дзета-функция сдвинутой решетки
Для получения функционального уравнения для дзета-функции сдвинутой решетки Л(й, Ь) нам еще потребуется дзета-функция второго рода сдвинутой решетки (*(Л(й, Ь)|а), которая задается равенством
с *(Л(й, Ь)|а) =
Г С(Л(й,Ь)|а)
те Ете
при у
0,
те / еов (2пт
(32)
т=—оо
|йт|а
при У 2 У > 0.
1
—а
—а
—а
—а
—а
т=—
Взаимную сдвинутую решётку определим равенством Л*(2, Ь) = А(«, Нетрудно видеть, что Л**(2, Ь) = Л* (1, %?) = Л(2, Ь).
Лемма 10. Для дзета-функции сдвинут,ой решетки £(Л(2,Ь)|а) ад всей а-пл,оскост,и, а=1
Г 2С(а)
С (Л(2, Ь)|а) =
№
1
0;
йг (с ( а;
+ С * а; 1 -
(33)
прм У % У > 0.
I а I
Доказательство. Рассмотрим сначала правую полуплоскость а = а + И (а > 1). При I % I =0 согласно равенству (22) (стр. 85) имеем
—а
с(Л(2, Ь)|а) = Е' |2т + Ь|—а = Е'(И
Е' (и
Ь
т + ^ 2
Ь
т + -а
Е' (|а| |т|)—а ^
и первый случай равенства (33) для правой полуплоскости доказан.
Аналогично, при I % I > 0 имеем
с (Л(а, Ь)|а) = Е' |ат + ь|—а = Е' ( |а|
Е' |2|
т + ^ а
т=0
Ь
т + -а
Е |а| т + а
+
+ Е'( и(т + 1 -{ а
т=0
|а|а
С * а;
+ С * а;1 -
и второй случай равенства (33) для правой полуплоскости доказан.
а
а=1
а
а = 1 □
Лемма 11. Для дзета-функции сдвинут,ой решетки £(Л(й, Ь)|а) в левой полуплоскости а<0
М (а)
С (Л(й, Ь)|а) =
М (а)
с (Л* (а, Ь)| 1 - а), при У « У =0;
с*(Л*(а,Ь)|1 - а), при I%I > 0.
(34)
Доказатюльство. Действительно, если Ц%I = 0, то Л(й, Ь) = Л(й), Л*(й, Ь) = Л*(й) = = Л (1) = Л (1, О?) и согласно лемме 10 и функциональному уравнению для дзета-функции Римана
2((а) 2М(а)С(1 - а)
С (Л(а,Ь)|а) =
|а|а
М (а)
Е'
1
т€й | %
т I__^ 11 а
л + <Р I
|а|а
М (а) det Л(а, Ь)
с (Л* (а, Ь) 11 - а)
%
а
а
а
а
а
1
и первый случай равенства (34) доказан.
Пусть теперь У ^У > 0, тогда по лемме 10 имеем:
с(Л(й,Ь)|а) = ^ (С*( а;
+ С * а; 1 -
Применим функциональное уравнение (5) (стр. 82) к правой части, получим
с(Л(й, Ь)|а) = "М«"^С** (1 - а;
М (а) ёе^(й,Ь)
те еоЧ 2п
Е/
т=—те
| т I <1
1а
_ М(а) " |й|а
М (а) detЛ(й, Ь)
Е
2п
/ еов (2пт
т=—те
|т|1-а С*(Л*(й, Ь)11 - а).
□
Рассмотрим теперь двумерную сдвинутую решётку Л(й1, Ь1, й2, Ь2) = Л(й1, Ь1) х Л(й2, Ь2) = = й1Ъ х й2Ъ + (Ь1, Ь2). Её дзета-функция определяется естественным образом:
С(Л(й1,Ь1,й2,Ьа) | а) = ((Л(й1,Ь1) | а) ■ ((Л(й2,Ь2) | а).
Аналогично определяется дзета-функция второго рода сдвинутой решетки: с*(Л(й1, Ь1, й2, Ь2) | а) = С*(Л(й1, Ь1) | а) ■ (*(Л(й2, Ь^) | а). Нетрудно видеть, что если положить Л*(й1, Ь1, й2, Ь2) = Л*(й1, Ь1) х Л*(й2, Ь2), то
Л**(й- ^-Ь2) = Л* ( Ъ ^ •! ) =Л(й-Ь-й2.Ь2).
Лемма 12. Для дзета-функции сдвинут,ой решетки £(Л(й1,Ь1,й2,Ь2)|а) в левой полу-а<0
((Л(й1,Ь1,й2,Ь2)|а) =
М 2 (а)
detЛ(й1, Ь1, й2, Ь2)
С * (Л*(й1 ,Ь1,й2 ,Ь2)|1 - а).
(35)
Доказательство. Действительно, так как detЛ(й1,b1,й2,b2) = detЛ(й1,b1) ■ detЛ(й2,Ь2),
то утверждение леммы непосредственно следует из определения дзета-функции сдвинутой
□
5.2. Интегральные представления
п( й, Ь)
-1 ^ йт + Ь ^ 1
в целых числах т, а через п*(й, Ь) — количество решений системы неравенств
-1 < йт + Ь < 1.
Нетрудно видеть, что п(й, Ь) = п (|й|, |й| ■ Ц 2 У), п*(й,Ь) = п* (|й|, |й| ■ Ц 2 Ц), кроме того
п*(й, Ь) =
п(й, Ь), при , ^^ € Ъ;
п(й, ь) - 1, при 1-2 € Ъ, ^, 2 € Ъ;
п(й, ь) - 1, при 1-2, 2 € Ъ, € Ъ;
п(й, ь) - 2, при 1-2,, 2 € Ъ.
ь
т
в
Рассмотрим шесть положительных чисел
1 1
|й| 1 [з[
[з| + { ь
з
Ш2 = Ш2(й,Ь) = 1Г щ-{|З +
ш*=ш**(й,Ь) = ]й[ + {-щ-
{ш*(й,Ь)}, при {ш*(й,Ь)} > 0; =
1 ' 1, прп{ш*(й,Ь)} = 0; , 2 = ] 1
{ш*(й, Ь)}, при {ш*(й, Ь)} >0;
при {ш*(й, Ь)} = 0.
Нетрудно увидеть, что
ш^ при =
ш* + 1, при | =
Ш 1 =
2 У ; III ;
2 У ; III ;
, Ш2 =
^ при I1 - = УзУ;
ш* + 1, при |1 - |1|-|
2 У ; III ;
Теорема 1. В а-полуплоскости а = а + И, а > 1 справедливы тождества
+|й|"
Г(а)(я(а; й, Ь) = п(й, Ь)Г(а)+ х«- 1 (е-( 1+й-{14в ||»-х + е-( 1+й-{й+ У в
1 е-
йж =
= п*(й,Ь)Г(а) +
а
[й[а 1 - е-
е V и +{ Уь У И}) е (н +{ и У в У}) ■
йж =
о /
1 тежа- 1 (е-|У в |х+е-( 1 31
= /*(а; й, Ь)Г(а)+<
[й[а
2 Г Ж
а
[й[а 1 - е-
1 е-
^ е й^ж,
йж, при У 2 У > 0;
при У2 У =0.
(36)
(37)
(38)
Доказательство. Без ограничения общности согласно лемме 8 (стр. 86) можно считать й > 0, 0 ^ Ь ^
а>0
те
гИ = / жа- 1 ^
Заменим теперь в этом интеграле переменную ж на йт + Ь ■ ж . Эта замена даст равенство:
те
г(а) ()-а = /жа- ■е-йж.
Здесь и далее dm + Ь = тах(1, + Ь|)
х
о
1
х
ь
х
о
о
Суммируя по всем целым т € Ъ, получим
Г(а)(я(а;^Ь) = Г(а) Е (^т + Ь)"
тбЪ
N
оо
= 11т V ха—V°т+ь^х =
N^7 /
т=—N 0
7 / N _ \ 7
= 11т / ха—1 Е е—'¿х = 11т / ха—(Ж,й,Ь)йх,
0 \т=—N / N 0
где
N _
—^т+Ь-ж
5 (Ж, а, Ь) = Е е
т=-N
Пусть N1 = [1^], N2 = [!+ь], тогда Ь) = N1 + N2 + 1. Аналогично, положим Ж* =
- [Ь—-1] - 1, N1 = - [-К^] - 1, тогда п*(2,Ь) = N1* + N1 + 1 и справедливы неравенства
ГЬ—1 I d
N1* ^ Nь N1 ^ N2 и
N* I N1, при е 1тв > 0; ^ = / N2, при е^в > 0;
1 \ N1 - Ц^} =0, 2 \ N2 - 1, при =0; .
Нетрудно видеть, что при N > тах(^, N2)
N _ N N1 —(N2+1)
5(^а,Ь)= Е е—°т+ь^ж = Е е^™^ + Е е—ж + Е е4^
т=—N m=N1 + 1 т=—N2 т=—N
N—N N—N
= (^ + N + 1)е—Х + Е е—+ Е е—(dm+dN2—ь)^ж =
т=1 т=1
N—N N—N = (^ + N + 1)е—ж + Е е— О^1—4 ^ }Ь + Е е—О^1—4 ^ }>ж
т=1 т=1
е—(«Ж—4^}Ь - е— (^"^1+1)+1—'^})• ж +--
1 - е—
е—(й+l—-+г}Ь _ е—(^—N2+l)+l—4-+г})• +-
= (Nl + N2 + 1)е—ж +-^-+
1 - е— Поэтому
Г(а)(я(а; а, Ь) = Г(а)(^ + N2 + 1) +
7 а—1 е—(д+1—4^})•»+е—(д+1—д{^})•*
I I 7 а^х
/ 1 - е—
7
_ е— ^—^+1)+1—-=ъ })•* + е— ^— ^ + 1)+1—})•*
- 11т ха 1--¿х =
NУ 1 - е—
0
7
а1
п(а,ь)г(а) + н—ау у-— ^е (!+и ^ II•ж + е {и + Н^1})^ ах,
0
0
так как
7 _ е—(^—^+1)+1—0{^})ж + е— (^—N2 + 1)+1—0{^})ж
11т ха 1--5-¿х = 0
N^7 / 1 - е—
в силу оценок
_ е— (d(N— ^+1)+1—0{})ж + е— (d(N—N2 + 1)+1—0{})*
а1
1е
—
<
е^ - 1
< хст—2 (V(d(N—^н1—4^ }Ь + е—(d(N—^ж—4^
^ 1 • 2 (d(N—N0 + 1—0{^+ е— (d(N—^) + 1—0{-±ь
<
_ е—(d(N—^+1)+1—0{-1— })ж + е—(d(N— ^+1)+1—0{ -±ь })•!
а1
1е
—
ах
<
^ 1 • хст—2 (е^^-^-)+1—'^}Ь + е—(d(N-^2)+1—'^}Ь) ¿Х = 1
- N1) +1 - а
1Ь
1-а
+ - N2) +1 - а
1+Ь
1-ст>
7ха-2е-жах• <ая )1-а-
0
!-N1 + ^_ (МвГ + Л-N2+ ^_ ШV-"
N dN N \ N dN N1
11т
N ^7
11т Г(а , 1) • ^)1—а = 0,
N^7 а
! _ N1-т'
N dN N
1-а
N2 . 1 Ш'
1-ст>
+ 1 - N + Ж -
N
= 2.
Аналогично получим и тождество (37).
е в е в
Для этого надо рассмотреть только случай, когда {!—ь} = 0 или {!+:ь} = 0. Оба эти случаи разбираются одинаково и сводятся к доказательству равенства
Г(а) + |а| —
х
а1
1 е—
— 1+А Ьж
а1
ах =
НаУ 1 - е-0
¿х.
Но
х
а1
| а| а 1 - е—
а1
ах - | а| —
1 е—
— 1 + Т
е V1+ Ж ж ¿х =
0
0
а
1
1
ж
1|
е
е
0
1
1
1
ж
1
е
0
0
а
|й|аУ 1 - е-
(1 - е х) йж =
а- - х
е-хйж = г(а),
и равенство правых частей в (36) и (37) доказано.
Перейдем к доказательству последнего равенства в утверждении теоремы. Из леммы 8 (стр. 86) следует, что
Г(а)(я(а; й, Ь) = Г(а)( Л |й|, |й|
а +Г(а)Д* а; |й|, |й|
Повторяя для дзета-функции £ (Л (|й|, |й| У | ^ | а) предыдущие рассуждения, получим
Г(а)( Л |й|, |й|
1 тежа- -
|й|а
=
а
|й|аУ 1 - е-
е-хйж,
а=
(е-У ЬУ-х+е-(1 -У ЬЮ-)
1 - е-х
йж, при У 2 У > 0;
при У д У =0
и доказательство полностью завершено. □
Напомним определение контура Ханкеля С, состоящего из трех последовательных частей С 1, О2 и О3. Делается разрез комилексной а-плоскости вдоль вещественной оси от 0 до бесконечности. Берется положительное число г, удовлетворяющее неравенствам 0 < г < 2п. О обозначает луч, начинающийся в бесконечности и идущий до точки а = г вдоль верхнего края разреза плоскости, С2 — окружность радиуса г с центром в точке а = 0, которая обходится в положительном направлении, и Сз — луч, начинающийся в точке а = г и идущий в бесконечность вдоль нижнего края разреза плоскости.
Определим для комплексных а и положительных ш функцию ^(а; ш) равенством
^ (а; ш) =
1- е-г
З^.
с
Теорема 2. Справедливы следующие утверждения: 1. Интеграл ^(а; ш) всюду сходится, и изображает целую функцию. а=1
^(а; ш1) + ^(а; ш2) = (е2пга - 1) ■ |й|а ■ Г(а) ■ ((я(а; й, Ь) - п(й, Ь)), ^(а; ш*) + ^(а; ш*) = (е2™а - 1) ■ |й|а ■ Г(а) ■ ((я(а; й, Ь) - п*(й, Ь)).
(39)
(40)
(41)
3. Функция (я(а; й, Ь) аналитически продолжается, на всю а-плоскостъ, кроме точки а = 1
2
И^ (я (а; й, Ь) = —.
а=1 |й|
1
1
х
в
е
о
о
2
о
4- В полуплоскости а < 0 справедливы тождества:
, , , ^ , ^ 2М(а) ^ с°з (2пт|)
Ся(а; аь) = /Г (а; а ь) + ■ Е т!-» =
т=1
= /Г (а; + ■ С**( 1 - (43)
Доказательство. Первое утверждение теоремы следует из теоремы 31 из [33] (см. [33], стр. 82).
При а > 1, повторяя рассуждения из теоремы 31 из [33] и пользуясь теоремой 1 (стр. 90), получим первое равенство второго утверждения теоремы. Второе равенство доказывается аналогично.
Так как все входящие в (40) функции имеют аналитическое продолжение на всю комплексную а-плоскость, кроме точки а = 1, то и функция ("я(а; а Ь) аналитически продолжается на всю а-плоскость, кроме точки а = 1.
Таким образом второе утверждение доказано полностью, причём из равенства (40) следует, что в а-полуплоскости а ^ 1 гиперболическая дзета-функция Гурвица определяется равенством
^ (а; ^1) + ^ (а; ^2)
(я(а; а Ь) = п(а Ь) +
(е2Па - 1) ■ |а|а ■ Г(а)
Из последнего выражения следует, что особенности гиперболической дзета-функции Гурвица, если таковые вообще существуют, могут находиться только в точках а = 0, ±1, ±2,.... Но в точках а = 2, 3,... особенностей быть те может, ибо во всей а-полуплоскости а > 1 гиперболическая дзета-функция Гурвица изображается абсолютно сходящимся рядом (20).
Далее, в точках а = 0, -1, -2,... нули функции е2пга — 1 "гасят" полюсы гамма функции; поэтому эти точки также не являются особыми точками для гиперболической дзета-функции
а=1
й м ,, а - 1 ^ (1; щ) + ^ (1;
лез (я(а; а, о) = ит —¡г—.-- ■-————-=
а=1ьЯ1 ' ' ' е2пга - 1 |а| ■ Г(1)
1 ¡Г ¿«-^-^ Г ¿«-^-^ \ 2
^ + —-^ I = -г—
|а| ■ 2п П 1 - е-г У 1 - е-г / |а|
\с с
в силу рассуждений при доказательстве теоремы 31 из [33] (см. стр. 85). Тем самым третье утверждение теоремы доказано.
а<0
чим:
. . , ,. г(2п)а-1 Г(1 - а) / а А е-2™Г + е-2™Г
Ся(а;а,о) = /Г(а;а,о)+ 1 ; |а|а-- е 2 Е-т-а--
' ' \ т=1
2 ^ " + е2™Г \ = г(а; а о) + 2(2п)а-1Г(1 - а)
-е )=/г(а;а,Ь)+ т=1 /
па ^ 81п(2птшГ*)+з1п(2птшГ*) . па ^ с°8(2птшГ*)+с°8(2птшГ*)\
с°з
Еиш(2пт^1 )+ИШ(271УН^2 ) . пагл т1-а +Й1П 2
2 ^ т1-а 2 ^ т1-а
т=1 т=1
Теперь воспользуемся периодичность тригонометрических функций и видом величин ш** и ш**, получим:
8т(2птш**) + 8т(2птш**) = 8т ( 2пт ( 1 + [1 - |у1[ -
+
+81п,2пт| 1+¿Чм+
= 8т ^2пт
ео8(2птш**) + ео8(2птш**) = сое ( 2пт ( 1 + щ - -
- 81п ^2пт Ь
3
= 0,
+
1
+еоЧ2пЧ1+Й-1Й+
1
= 2 ео8 2пт
7 п . 4(2п)а 1 Г(1 - а) . па ^ ео8 (2пт У 2 У)
Ся(а;й, Ь) = /1(а;й, Ь) + 1 7 |й|а-- • 81п у X, —т1-а
1 1 т=1
=/1(а; з.ь)+4(2п>;.;;а<1-^>. т п^ £ео8(2пт
|й|а ™ 2 ^ т1-а
т=1
, „ 2М(а) ^ ео8 (2пт2) 2М(а) Ь\
= /1(а;й,Ь) + ^ £ -тта^ = /1*(а;й,Ь) + ^ • с ** (1 - а, З)
т=1 □
6. Функциональное уравнение для гиперболической дзета-функции сдвинутых диагональных решёток
Диагональные решётки и сдвинутые диагональные решётки относятся к классу простейших декартовых решёток. Уже на их примере видно, что функциональные уравнения для гиперболической дзета-функции решёток имеют дополнительные слагаемых, которых нет в функциональном уравнении для дзета-функции Римана.
В этом разделе рассмотрим одномерный случай функционального уравнения гиперболической дзета-функции ("я (32 + Ь | а) и двумерный случай функционального уравнения гиперболической дзета-функции ("я(312 х 32^ + Ь | а).
Нам потребуется следующее определение.
Определение 2. Гиперболической дзета-функцией второго рода сдвинут,ой решетки С*(Л(й, Ь)|а) называется функция ("я(Л(й, Ь)|а); которая задается, равенством
Ся (Л(й,Ь)|а) =
при
0,
( Ся(Л(й,Ь)|а) те(
Е/ ео8 (27 п,
-, при У 2 У > 0.
(44)
йт
Если ввести обозначения
/2(а; й, Ь) = ^ ео8 ^2птЬ^ (1 - |йт|
то ясно, что справедливо равенство
ся (Л(й, Ь)|а) = С *(Л(й, Ь)|а) + /2(а; й, Ь).
(45)
(46)
а
6.1. Одномерный случай
Лемма 13. Для гиперболической дзета-функции Ся(Л(й, Ь) | а) произвольной сдвинут,ой решётки Л(й, Ь) вида, Л(й, Ь) = й ■ 2 + Ь и дзета-функции С(Л(й, Ь) | а) справедливо равенство
(я(Л(й, Ь) | а) = ((Л(й, Ь) | а) + /1 (а; й, Ь). (47)
Доказательство. Действительно, из определения гиперболической дзета-функции решётки следует, что
(я(Л(й,Ь) | а) = X |йт + Ь|—а + X' 1 = = X |йт + Ь|-а + X С1 -|йт + Ь|—а) = С(Л(й, Ь) | а) + /1(а; й,Ь).
т€Ъ -1<^т+6<1
□
Л
вида Л = й ■ г(?е й > 0; в левой полуплоскости а < 0 справедливо функциональное уравнение Ся(Л | а) - /(а, й) = ^Ог (Ся (Л*| 1 - а) - /(1 - а, й-1)) . (48)
□
Для сдвинутой решётки Л(й, Ь), когда || 11| =0, ситуация несколько другая.
Теорема 4. Для гиперболической дзета-функции произвольной сдвинут,ой декартовой решётки Л(й, Ь) вида Л(й, Ь) = й ■ 2 + Ь, где || ^ || > 0, в левой пмуплоскости а < 0 справедливо функциональное уравнение
(я(Л(й, Ь) | а) - /1 (а, й, Ь) = М(а) ^Ся (Л*(й, Ь)| 1 - а) - /2 (1 - а,1, . (49)
det Л(й, Ь) \4 4 ' л ' ' ^ V ' й й2 Доказательство. Действительно, согласно формулам (23) и (46) имеем:
Ся (Л(й, Ь) |а) - /1(а; й, Ь) = С(Л(й, Ь) | а), Ся(Л*(й, Ь)11 - а) - /2 (1 - а; й, = С*(Л*(й, Ь)|1 - а).
Согласно лемме 11 (см. стр. 88) правые части связаны функциональным уравнением, отсюда
□
Уже в одномерном случае можно проиллюстрировать эффективность функционального уравнения для гиперболической дзета-функции сдвинутой решётки.
Рассмотрим произвольную решётку Л(й) = й ■ Ъ и её подрешетку Л(^1) = ■ Ъ. Ясно, что = п ■ й п € Ми имеет место разбиение на сдвинутые подрешётки
га—1
Л(й) = У Л(й1,Ьй). (50)
Ь=0
Из этого разбиения вытекает равенство в правой полуплоскости а = а + И (а > 1):
га—1
Ся(Л(й)|а) = XСя(Л(й1,Ьй)|а). (51)
Ь=0
Применим функциональные уравнения для левой и правой частей данного равенства, тогда а<0
ёе^(а)
(я (Л^, Ьй) | а) - /1 (а, , =
Ся(Л(а) | а) - /(а, а) = —(Ся (ЛГ(а)| 1 - а) - /(1 - а, а-1))
м(а) ^Ся (ЛГ(Й1, ьа)| 1 - а) - /А 1 - а, -1, ^
detЛ(d1,—d) \ ' \ ' й\ й2
Лемма 14. Справедливо равенство
п-1
/(а, а) = Е /1 (а, йп, Ьй). (52)
ь=о
Доказательство. Действительно,
га-1 га-1
Е /1(а, йп, Ьй) = Е Е (1 - |йпт +
Ь=0 Ь=0 -1<^пт+М<1
Е' (1 -|йт|-а) = / (а,й),
-1<^т<1
так как
га-1
Z = и {пт + Ь|т е
ь=о
□
Лемма 15. Справедливо равенство
1 П- . Л 1 Ьй
ь=о
Доказательство. Действительно,
/ - а'й-1> = П Е /2 0 - (И)
1 у л - а 2.
п V ' йП (йп)2
1 ^ V с°^2пш— ) (1 -п ^ ^^ \ п
ь=о -1< т <1 4
п-1
т ~
т
йп
а—1
Е ( 1 йп ) п Е с°й (
2пт— =
-1< т <1
пп ь=о 4
Е' (1 -Г"' = / (а. й-1),
так как
□
п— 1
1 п- с°з ( 2пт I _ / при т = 0 (m°d п),
п \ п/ I 0, при т ф 0 (m°d п)
-1< т <1
Лемма 16. Справедливо равенство
n— 1
Z (Л*(й)| 1 - а) = - Е Z*(A*(dn,bd)|1 - а). (54)
n b=0
Доказательство. Действительно, A*(dn, bd) = Л (дП, ^^) и
1 n—1 1 n—1 ™о (о^™ b)
Е z^(^ж- а) = - Е Е
n^—..........' n^—' ^—' Iml1 а
b=0 b=0 m=-7 I dn I
7 n-1 / ,ч ^
^ 1 1 ^ / b\ 1
E ^= E ^ = z (A*(d)U - а),
I m 11 а n ^^ \ n I m I
m=-7 I dn I b=0 4 7 m=-7 | d I
так как
1 b\ ( 1, при m = 0 (mod n),
- > cos 2nm- = ^ , ) \ .
n ' \ n/ 0, при m ф 0 (mod n)
□
Из лемм 14 — 16 видно, что правые части функционального уравнения для сдвинутых решёток, содержащие функции второго рода, обеспечивают выделение подрешёток из решёток.
Теорема 5. Для, любого а0 = а0 + it0 в левой полуплоскост,и а < 0 пусть K(а0) — произвольный компакт в этой полуплоскости, содержащий точку а0; тогда для любого d0 > 0 и для гиперболической дзета-функции произвольной декартовой решётки A(d) вида, A(d) = = d ■ Z, где d > 0; справедливо равенство
lim Zh(A(d) | а) = Zh (A(d0)| а). (55)
u эта сходимость равномерная во всем компакте K(а0).
Доказательство. Действительно, для любой точки а из компакта K(а0) точка а принадлежит левой полуплоскости а < 0, a 1 - а — правой полуплоскости а > 1, и согласно теореме 3 (стр. 96) имеем:
Zh(A(d) | а) = f (а, d) + ^ММЛщ (Zh (A*(d)| 1 - а) - f (1 - а, d-1)) .
В правой части все функции, зависящие от d, непрерывны, а множитель M(а) — аналитическая функция на компакте K(а0), поэтому ограничена некоторой константой, зависящей от
□
6.2. Двумерный случай
Перейдем к рассмотрению двумерного случая. Положим Л^ = й^ ■ Ъ, Л^ (й^, Ь^) = й^ ■ Ъ + Ь(V = 1, 2).
Лемма 17. Для, гиперболической дзета-функции ("я(Л | а) произвольной декартовой решётки Л вида, Л = й1 ■ Ъ х й2 ■ Ъ и дзета-функции ((Л | а) справедливо равенство
(я (Л | а) = ((Л | а) + ((Л1 | а) + ((Л2 | а)+ +/(а, йх)С(Л2 | а) + /(а, Й2)С(Л1 | а) + +/(а, й1)/(а, й2) + /(а, + /(а, й2) = = ((Л | а) + (я (Л1 | а) + (я (Л2 | а) + +/(а, Й1)Ся(Л2 | а) + /(а, ¿2)Ся(Л1 | а) - /(а, ¿1)/(а, й2). (56)
□
Л
вида, Л = й1 ■ Ъ х й2 ■ Ъ, где й1, й2 > 0; в левой полуплоскости а < 0 справедливо функциональное уравнение
Ся(Л | а) - (я(Л1 | а) - (я(Л2 | а) - /(а, й^Ся(Л2 | а)-
М (а)2
-/(а, й)Ся(Л1 | а) + /(а, ^1)/(а, = М^ (Ся (Л2| 1 - а) -
-Ся(Л? | 1 - а) - (я(Л2 | 1 - а)--/(1 - а, й—1)(я(Л2 | 1 - а) - /(1 - а, й—1)(я(Л? | 1 - а) +
+/(1 - а, й—1)/(1 - а, й—1)) . (57)
□
Теперь мы можем получить новую форму функционального уравнения для гиперболической дзета-функции двумерной диагональной решётки.
Л
вида Л = й1 ■ Ъ х й2 ■ Ъ, где й1, й2 > 0; в левой полуплос кости а < 0 справедливо функциональное уравнение
Ся (Л | а) = Ме^ ^ (Л2| 1 - а) +
+Ся (Л?| 1 - а) (МО (1 + /(а, &)) - М^аЛ^ (1 + /(1 - а, й—))) +
+Ся (Л2| 1 - а) (Му (1 + /(а, й1)) - Ме^Г (1 + /(1 - а, О)) +
+Меат/(1 - а, й—1)/(1 - а, 1) + /(а, ^1) + /(а, ¿2) + /(а, (а, &)-м(а)^ .. ^ , ~ л ЛЛ М(а) ^^
-/(1 - а, й—1) (1 + /(а, й2)) - —^/(1 - а, й—1) (1 + /(а, . (58)
й1 1 й2
Доказательство. Действительно, по теореме 3 имеем:
Ся(Л1 | а) - /(а, ¿1) = М(а) (Ся (Л1| 1 - а) - /(1 - а, й—1)) , Ся(Л2 | а) - /(а, ¿2) = Му (Ся (Л2| 1 - а) - /(1 - а, й—1)) .
Отсюда следует, что
Ся(Л1 | а) (1 + /(а,й2)) = = /(а, й1) + Му (Ся (Л1| 1 - а) - /(1 - а, й—(1 + /(а, й2>), (59)
Ся(Л2 | а) (1 + /(а,й1)) = = /(а, й2) + Му (Ся (Л2| 1 - а) - /(1 - а, й—(1 + /(а, . (60)
Сложив почленно (57), (59) и (60), получим
М(а)2
Ся (Л | а) + / (а, ¿1)/(а, й2) = ^ (Л2| 1 - а) +
+Ся (Л1| 1 - а) ((1 + /(а, &)) - ММ^ (1 + /(1 - а, + +Ся (Л2| 1 - а) (Му (1 + /(а, й1)) - ММ^ (1 + /(1 - а, й—^) + +МеХ/(1 - а, й—1)/(1 - а, й—1) + /(а, ¿1) + /(а, ¿2) + 2/(а, (а, &)--МТ/(1 - а, й—1) (1 + /(а, й2)) - М^/(1 - а, й—1) (1 + /(а, ¿1)).
После приведения подобных получим утверждение теоремы. □
Перейдем к получению функционального уравнения для гиперболической дзета-функции двумерной сдвинутой диагональной решётки Л(й1, 61, ¿2, 62) = (й1Ъ + 61) х (й2Ъ + 62).
Лемма 18. Для гиперболической дзета-функции ("я(Л(й1,61, й2,62) | а) произвольной сдвинут,ой решётки Л(й1,Ь1 , й2,62) вида, Л(й1, 61, й2, 62) = (й1Ъ + 61) х (й2Ъ + 62) м дзета-функции С(Л(й1, 61, й2, 62) | а) в правой а-полуплоскости а > 1 справедливо равенство
(я(Л(йь 61, й2,62) | а) = ((Л(йь 61, й2,62) | а) + +((Л(й1, 61) | а)/1(а; ¿2,62) + С(Л(й2,62) | а)/1(а; йь61) + /1(а; йь &1)/1(а; ¿2,62). (61)
Доказательство. Действительно, из определения гиперболической дзета-функции решётки следует, что
Ся(Л^А,^) | а) = X (|й!т1 + &1||й2Ш2 + 62|)—а + X' (|^1т1 + 61|)—а +
^1т.1+Ъ1\>1 \ dl т1 + Ъ1 \ >1
\ >1 ^т2 + Ъ2 \<1
+ X' (|й2^2 + 62|)—а + X' 1= X' (|й!т1 + 61 ||й2Ш2 + ^21)+
\dlml + Ъl\<1 \dlml+Ъl\<1 т€Ъ2
\ d2m2+Ъ2 \ >1 \ d2m2+Ъ2 \ <1
+ X' (|й!т1 + 611) —а (1 -И2Ш2 + 62|—а) + X' (|й2^2 + ^Г" (1 - + 611—а) +
\ dlml + Ъ1 \ >1 \ dlml + Ъ1 \ <1
\ <^2т2+Ъ2 \ <1 \ с^2т2 +Ъ2 \ >1
+ X' (1 - (|й!т1 + + 62|)—а) = С^(¿1,61,^2,62) | а) +
\ dlml +Ъ1 \ < 1 \ (^2т2 +Ъ2 \ <1
+С(Л(й1,61) | а)/1(а; ¿2,62) - X' + 611)—а (1 - ^2 + &2|—а) +
\ dlml + Ъ1 \ <1 \ <^2т2 + Ъ2 \ <1
+С(Л(й2,62) | а)/1(а; ¿1,61) - X' (^2 + 62|)—а (1 - + 61 |—а) +
\ dlml + Ъ1 \ <1 \ <^2т2 + Ъ2 \ <1
+ X' (1 - (|й!т1 + 61||Й2Ш2 + 621) —а) = ((Л(й1,61,й2,62) | а) +
\ dlml+Ъl \ <1 \ d2m2+Ъ2 \ <1
+((Л(й1, 61) | а)/1(а; ¿2,62) + С(Л(й2,62) | а)/1(а; ¿1, 61) + Д(а; ¿1, 61)/1(а; ¿2,62).
□
Теорема 8. Для гиперболической дзета-функции произвольной сдвинутой решётки Л(й1,Ь 1,й2,Ь2) вида Л(й1, Ь1, й2, Ь2) = (й1Ъ + Ь1) х (й2Ъ + Ь2); где й1,й2 > 0; в левой полуплоскости а < 0 справедливо функциональное уравнение
Ся(Л(й1, Ь1, й2, Ь2) | а) - Ся(Л(й1, Ь1) | а)/1(а; й2, Ь2)--(я(Л(й2, Ь2) | а)/1(а; Ь1) + /1(а; йь Ь1)/1(а; й2, Ь2) =
= detж!стС*(Л*^^ - а). (62)
Доказательство. Действительно, из лемм 13 (стр. 96) и 18 (стр. 100) следует, что
Ся(Л(4, Ь^) | а) = ((Л(^, Ь^) | а) + /1(а; ^, Ь^), (V = 1,2), Ся(Л(й1, Ь1, й2, Ь2) | а) = ((Л(й1, Ь1, й2, Ь2) | а) + +С(Л(й1, Ь1) | а)/1(а; й2, Ь2) + С(Л(й2, Ь2) | а)/1(а; йь Ь1) + Д(а; ^, Ь1)/1(а; й2, Ь2), Ся(Л(й1, Ь1, й2, Ь2) | а) - (Ся(Л(й1, Ь1) | а) - /1(а; Ь1))/1(а; й2, Ь2)--((я(Л(й2, Ь2) | а) - /1(а; й2, Ь2))/1(а; йь Ь^ - /1(а; Ь1 )/1(а; й2, Ь2) = С(Л(й1, Ь1, й2, Ь2) | а), Ся(Л(й1, Ь1, й2, Ь2) | а) - (я(Л(й1, Ь1) | а)/1(а; й2, Ь2)--(я(Л(й2, Ь2) | а)/1(а; 61) + /1(а; й1, Ь1)/1(а; й2, Ь2) = С(Л(й1, Ь1, й2, Ь2) | а).
По принципу аналитического продолжения последнее равенство справедливо на всей комплексной а-плоскости кроме точки а = 1.
По лемме 12 (стр. 89) имеем для правой части равенство:
М 2 (а)
С (АЦ,^)^.^,, С ' ^^^^ - а>-
Отсюда следует, что
Ся(Л(й1, Ь1, й2, Ь2) | а) - (я(Л(й1, Ь1) | а)/1(а; й2, Ь2)--Ся(Л(й2, Ь2) | а)/1(а; Ь1) + /1(а; йь Ь1)/1(а; й2, Ь2) =
М2(а)
detЛ(d1, Ь1, й2, Ь2) □
С*(Л*(Й1,Ь1,й2,Ь2)|1 - а) (63)
7. Заключение
Анализируя полученные результаты, можно сделать следующие выводы:
• во-первых, теория гиперболической дзета-функции Гурвица является вполне содержательной и аналогична теории обычной дзета-функции Гурвица;
• во-вторых, на наш взгляд выделение дзета-функций второго рода является удачным и перспективны;
• в-третьих, последняя доказанная теорема 8 позволяет наметить дальнейшую программу исследований.Следующим этапом должно стать получение функционального уравнения для гиперболической дзета-функции произвольной декартовой решётки в аналогичной форме. Имеющееся в настоящее время функциональное уравнение не позволяет переходить в нем к пределу, так как предел дзета-функций решёток не всегда существует.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. А. О. Гельфонд Исчисление конечных разностей. — М.: Наука, 1967. 376 с.
2. Добровольская Л. П., Добровольский М. И., Добровольский Н. \!.. Добровольский И. Н. Многомерные теоретико-числовые сетки и решётки и алгоритмы поиска оптимальных коэффициентов / Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2012. — 283 с.
3. Добровольская Л. П., Добровольский М. Н., Добровольский И. \!.. Добровольский Н. И. Гиперболические дзета-функции сеток и решёток и вычисление оптимальных коэффициентов // Чебышевский сборник 2012 Т. 13. Вып. 4(44). Тула, Из-во ТГПУ им. Л.Н.Толстого. С. 4-107.
4. Добровольский М. И. Функциональное уравнение для гиперболической дзета-функции целочисленных решёток // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2007. № 3. С. 18-23.
5. Добровольский М. И. Некоторые теоретико-числовые методы приближенного анализа. Дис. ... канд. физ.-мат. наук. Москва, МГУ 2009.
6. Добровольский М. И. Некоторые теоретико-числовые методы приближенного анализа. Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. Москва, МГУ 2009.
7. Добровольский И. М. Гиперболическая дзета функция решёток. Деп. в ВИНИТИ 24.08.84, N 6090-84.
8. Добровольский И. М. Теоретико-числовые сетки и их приложения. Дис. ... канд. физ.-мат. наук. Тула, 1984.
9. Добровольский Н. М. Теоретико-числовые сетки и их приложения: Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. Москва, 1985.
10. Добровольский И. М. Теоретико-числовые сетки и их приложения // Теория чисел и ее приложения: Тез. докл. Всесоюз. конф. Тбилиси, 1985. С. 67-70.
11. Добровольский Н. М. Многомерные теоретико-числовые сетки и решётки и их приложения. Дис. ... доктора физ.-мат. наук. Тула, 2000.
12. Добровольский И. М. Многомерные теоретико-числовые сетки и решётки и их приложения. Автореф. дис. ... доктора физ.-мат. наук. Москва, 2000.
13. Добровольский Н. М. Многомерные теоретико-числовые сетки и решётки и их приложения / Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2005. — 195 с.
14. Добровольский И. \!.. Ванькова В. С. О гиперболической дзета-функции алгебраических решёток // Теория чисел и ее приложения: Тез. докл. республик, конф. Ташкент, 1990. С. 22.
15. Добровольский Н. \!.. Ванькова В. С., Козлова С. Л. Гиперболическая дзета-функция алгебраических решёток. Деп. в ВИНИТИ 12.04.90, .N'"2327 1591).
16. И. М. Добровольский, Н. И. Добровольский, В. Н. Соболева, Д. К. Соболев, Е. И. Юшина Гиперболическая дзета-функция решётки квадратичного поля // Чебышевский сборник 2015. Т. 16, вып. 4(56). С. 100-149.
17. Добровольский Н. \!.. Реброва И. Ю., Рощеия А. Л. Непрерывность гиперболической дзета-функции решёток // Мат. заметки. Т. 63. Вып. 4. 1998. С. 522-526.
18. Добровольский И. \!.. Рощеня А. Л. О числе точек решётки в гиперболическом кресте // Алгебраические, вероятностные, геометрические, комбинаторные и функциональные методы в теории чисел: Сб. тез. докл. II Междунар. конф. Воронеж, 1995. С. 53.
19. Добровольский Н. \!.. Рощеня А. Л. Об аналитическом продолжении гиперболической дзета-функции рациональных решёток // Современные проблемы теории чисел и ее приложения: Сб. тез. докл. III Междунар. конф. Тула, 1996. С. 49.
20. Добровольский Н. \!.. Рощеня А. Л. О непрерывности гиперболической дзета-функции решёток // Изв. Тул. гос. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т. 2. Вып. 1. Тула: Изд-во ТулГУ, 1996. С. 77-87.
21. Добровольский И. \!.. Рощеня А. Л. О числе точек решётки в гиперболическом кресте // Мат. заметки. Т. 63. Вып. 3. 1998. С. 363-369.
22. А. А. Карацуба Основы аналитической теории чисел, 2-е изд. М.: Наука, 1983. 240 с.
23. Коробов H. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе, (второе издание) М.: МЦНМО, 2004. 288 с.
24. Реброва И. Ю. Непрерывность гиперболической дзета-функции решёток // Современные проблемы теории чисел: Тез. докл. III Междунар. конф. Тула: Изд-во ТГПУ, 1996. С. 119.
25. Реброва И. Ю. Непрерывность обобщенной гиперболической дзета-функции решёток и ее аналитическое продолжение // Изв. ТулГУ. Сер. Механика. Математика. Информатика. Тула, 1998. Т.4. Вып.З. С. 99-108.
26. Реброва И. Ю. Пространство решёток и функции на нем. Дис. ... канд. физ.-мат. наук. Москва. МИГУ, 1999.
27. Реброва И. Ю. Пространство решёток и функции на нем. Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. Москва, МПГУ, 1999.
28. Рощеня А. Л. Аналитическое продолжение гиперболической дзета-функции решёток. Дис. ... канд. физ.-мат. наук. Москва. МПГУ, 1998.
29. Рощеня А. Л. Аналитическое продолжение гиперболической дзета-функции решёток. Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. Москва. МПГУ, 1998.
30. Е. К. Титчмарш Теория дзета-функции Римана. М.: ИЛ, 1953. 408 с.
31. Э. Т. Уиттекер, Д. Н. Ватсон Курс современного анализа. Часть вторая. Трансцендентные функции. — М.: Физматгиз, 1963. 516 с.
32. Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел. М.: Мир, 1974. 188 с.
33. Н. Г. Чудаков Введение в теорию L-функций Дирихле. М. — Л.: ОГИЗ, 1947. 204 с.
34. L. P. Dobrovolskaya, M. N. Dobrovolsky, N. M. Dobrovol'skii, N. N. Dobrovolsky. On Hyperbolic Zeta Function of Lattices. In: Continuous and Distributed Systems. Solid Mechanics and Its Applications. Vol. 211. 2014. P. 23-62. DOI:10.1007/978-3-319-03146-0_2.
REFERENCES
1. Gel'fond A. O., 1977, Calculus of finite differences, Nauka, Moscow, 376 p.
2. Dobrovolskava, L. P., Dobrovolskv, M. N., Dobrovol'skii, N. M. k, Dobrovolskv, N. N. 2012, Multidimensional Number-theoretic grid and lattice algorithms for finding the optimal coefficients , Izd-vo TSPU L. N. Tolstoy, Tula, 283 p.
3. Dobrovolskava, L. P., Dobrovolskv, M. N., Dobrovol'skii, N. M. k, Dobrovolskv, N. N. 2012, "Hyperbolic zeta-functions on nets and lattices and computation of optimal coefficients Chebyshevskii sbornik vol 13, № 4(44) pp. 4-107.
4. Dobrovolskiv, M. N. 2007, "A functional equation for the hyperbolic zeta function of integer lattices. Vestnik Moskov. Univ. Ser. I Mat. Mekh. no. 5, pp. 18-23.
5. Dobrovolskiv M. N. 2009, Some questions Number-theoretic methods in approximate analysis., dissertation of the candidate physical and mathematical sciences, Moscow.
6. Dobrovolskiv M. N. 2009, Some questions Number-theoretic methods in approximate analysis., author's abstract of dissertation of the candidate physical and mathematical sciences, Moscow.
7. Dobrovolskiv N. M., 1984 "Hyperbolic zeta function of lattices." Dep. v VINITI 24.08.84, no. 6090-84
8. Dobrovolskiv N. M., 1984 Number-theoretic nets and applications., dissertation of the candidate of physical and mathematical sciences, Tula.
9. Dobrovolskiv N. M., 1985 Number-theoretic nets and applications., author's abstract of dissertation of the candidate of physical and mathematical sciences, Moscow.
10. Dobrovolskiv N. M., 1985 "Number-theoretic nets and applications. Number Theory and Its Applications: Proc. rep. Ail-Union. Conf. Tbilisi, pp. 67-70.
11. Dobrovolskiv N. M., 2000 Multidimensional number-theoretic nets and lattices and their applications., dissertation of the doctor of physical and mathematical sciences, Tula.
12. Dobrovolskiv N. M., 2000 Multidimensional number-theoretic nets and lattices and their applications., author's abstract of dissertation of the doctor of physical and mathematical sciences, Moscow.
13. Dobrovolskiv N. M., 2005 Multidimensional number-theoretic nets and lattices and their applications.,Izd-vo TSPU L. N. Tolstoy, Tula, 195 p.
14. Dobrovolskiv N. M., Vankova V. C., 1990, "On hyperbolic zeta functions of algebraic lattices" Number theory and its applications: Proc. rep. Republics. Conf. Tashkent, pp. 22.
15. Dobrovolskiy N. M., Vankova V. C., Kozlov SL, 1990, "Hyperbolic zeta functions of algebraic lattices. Dep. v VINITI 12.04.90, no. 2327-B90.
16. Dobrovolskiy N. M., Dobrovolskiy N. N., Soboleva V. N., Sobolev D. K., Yushina E. I., 2015 "Hyperbolic zeta function of lattice over quadratic field Chebyshevskii sbornik vol. 16, no. 4(56).
pp. 100 149.
17. Dobrovolskiy N. M., Roshchenya A. L., Rebrova I. Yu,., 1998, "Continuity of the hyperbolic zeta function of lattices "Mat. Zametki, vol. 63, Issue 4, PP■ 522 526
18. Dobrovolskiy N. М., Roshchenya A. L., 1995, "Number of lattice points in the hyperbolic cross "Algebraic, probability, geometry, and combinatorial functional methods in the theory of numbers: Coll. mes. rep. II International. Conf. Voronezh, pp. 53.
19. Dobrovolskiy N. M., Roshchenya A. L., 1996, "Analytic continuation of the hyperbolic zeta-function of rational lattices Modern problems theory numbers and its applications: Coll. mes. rep. Ill International. Conf. Tula, pp. 49■
20. Dobrovolskiy N. M., Roshchenya A. L. 1996, "On the continuity of the hyperbolic zeta function of lattices Izvestija Tulskogo gosudarstvennogo universiteta. Ser. Mathematics. Mechanics. Computer science, vol. 2. no. 1. pp. 77-87.
21. Dobrovolskiy N. M., Roshchenya A. L. 1998, "Number of lattice points in the hyperbolic cross Mat. Zametki, vol. 63, Issue 3, pp. 363 369
22. Karatsuba A. A., 1983, Basics analytic number theory Nauka, Moscow 1983. p. 24-0.
23. Korobov N. M. 2004 Number-theoretic m,et,hods in approximate analysis. Fizmatgiz, Moskow, p. 288
24. Rebrova I. Yu., 1996, "Continuity of the hyperbolic zeta function of lattices // Modern problems of number theory: Tez. rep. Ill International. Conf. Tula pp. 119
25. Rebrova I. Yu,., 1998, "The continuity of the generalized hyperbolic zeta function of lattices and its analytic continuation"Izvestija Tulskogo gosudarstvennogo universiteta. Ser. Mathematics. Mechanics. Computer science, vol. 4■ no .3. pp. 99 108.
26. Rebrova I. Yu,., 1999, The space lattices and functions on it, dissertation of the candidate of physical and m,at,hem,atical sciences, Moscow.
27. Rebrova I. Yu,., 1999, The space lattices and functions on it, author's abstract of dissertation of the candidate of physical and m,at,hem,atical sciences, Moscow.
28. Roshchenya A. L., 1998, Analytic continuation of the hyperbolic zeta function of lattices, dissertation of the candidate of physical and m,at,hem,atical sciences, Moscow.
29. Roshchenya A. L., 1998, Analytic continuation of the hyperbolic zeta function of lattices, author's abstract dissertation of the candidate of physical and m,at,hem,atical sciences, Moscow.
30. Titchmarsh E. K., 1953, The theory of the Riem,ann zeta function, M.: IL, p. 408
31. Whittaker E. Т., Watson D. H., 1963, Course of modern analysis. Part two. Transcendental functions, Fizmatgiz, Moskow, p. 516
32. Chandrasekharan K, 1974, Introduction to analytic number theory Mir, Moscow, p. 188
33. Chudakov H. G., 1947 Introduction to the Theory of L-functions of Dirichlet, M. — L.: OGIZ, p. 204
34- L. P. Dobrovolskaya, M. N. Dobrovolsky, N. M. Dobrovol'skii, N. N. Dobrovolsky. On Hyperbolic Zeta Function of Lattices. In: Continuous and Distributed Systems. Solid Mechanics and Its Applications. Vol. 211. 20Ц. P. 23 62. DOLIO.1007/978-3-319-03146-0^2.
Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого.
Московский педагогический государственный университет.
Институт экономики и управления.
Получено 2.05.2016 г.
Принято в печать 12.09.2016 г.
