О геометрической классификации уравнений Эйнштейна Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.822

С. Е. Степанов, А. А. Рылов

(Финансовая академия при Правительстве РФ, г. Москва)

О ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ КЛАССИФИКАЦИИ УРАВНЕНИЙ ЭЙНШТЕЙНА

В настоящей статье мы возвращаемся к работе [1] одного из авторов для более подробного рассмотрения предложенной там классификации уравнений Эйнштейна.

Ключевые слова: уравнения Эйнштейна, классификация.

§ 1. Уравнения Эйнштейна

В общей теории относительности пространство-время представляет собою гладкое четырехмерное многообразие М с метрикой g сигнатуры Лоренца. При этом g интерпретируется как гравитационный потенциал и связана уравнениями Эйнштейна Ric - -2 sg = T с распределением массы энергии, порождающей гравитационное поле. Здесь Ric — тензор Риччи метрики g, Т — известный тензор энергии импульса материи. Уравнения Эйнштейна дополняются законами сохранения

d*T = 0 , которые выводятся из уравнений Эйнштейна на основании тождеств Бианки 2d*Ric = - d s .

§ 2. Семь классов уравнений Эйнштейна

В [1] было доказано, что на псевдоримановом многообразии (М, g) расслоение Q(m)c T*M ® S2М, слой которого в каждой точке х е М состоит из трилинейных отображений Q: TxM ^ R

n

таких, что Q(X,Y,Z) = Q(X,Z,Y) и ,e,,X) = 0 для произ-

i=1

вольных X, Y, Z и ортонормированного базиса {еьв2,...,en } пространства TxM, имеет поточечно неприводимое относительно действия псевдоортогональной группы разложение Q(M) = Qj(M )© Q2 (М )© Q3 (М).

Если (М, g) — пространство-время, то VT еП(М). В результате инвариантным образом выделяются шесть классов уравнений Эйнштейна, для каждого ковариантная производная VT тензора энергии — импульса материи Т является сечением инвариантного подрасслоения Q (М), Q2 (М) или Q3 (М) либо их прямых сумм Qi(M )©Q (м), Q1(M )©Q3 (м) или Q2 (М )©Q3 (М ).

§ 3. Класс уравнений Q1 и интегралы геодезических

Класс Qi уравнений Эйнштейна выделяется в [1] условием д*Т = 0 , где 5* : S2M ^ S3M — симметрический дифференциал. Поскольку tracegT = — 5, то из уравнения 5*Т = 0 последует, что s = const. В этом случае уравнение 5*Т = 0 принимает вид 5*Ric = 0. Обратное очевидно.

Если каждое решение хк = хк (s) уравнений геодезических на псевдоримановом многообразии (М, g) удовлетворяет ус-dxi dxJ

ловию au--= const для симметрического тензорного по-

J ds ds

ля a (aij ), то говорят, что уравнения геодезических допускают

первый квадратичный интеграл [2, с. 157—161]. Для этого

необходима выполнимость уравнений 5*a = 0 . Тензорное поле a в этом случае называется тензором Киллинга [3, с. 560]. В нашем же случае первым квадратичным интегралом уравне-

^ ^ rv dx dx у. ний геодезических будет Kij--= const; а тензор Риччи

ds ds

Ric (Rj ), следовательно, — тензором Киллинга.

Теорема 1. Уравнения Эйнштейна принадлежат классу О2 тогда и только тогда, когда в пространстве-времени уравнения геодезических линий допускают первый квадратичный

интеграл вида It, dx dx = const для тензора Риччи Ric (Rj)

J ds ds J

метрики g.

Теория первых интегралов уравнений геодезических и симметрических тензорных полей Киллинга имеет многочисленные приложения в механике, общей теории относительности и других разделах физики (см., напр.: [3, с. 560—563; 4, с. 443—448]).

§ 4. Класс уравнений О и уравнения Янга — Миллса

Класс О уравнений Эйнштейна выделяется в [1] условием dT = 0 . Рассматривая эти уравнения вместе с уравнениями Эйнштейна, получаем s = const и вследствие этого приходим к уравнениями Кодацци d Ric = 0 [5, с. 169]. Из этих уравнений Кодацци следуют уравнения dT = 0 .

Рассмотрим n-мерное (n > 4) конформно плоское псевдо-риманово многообразие (M, g), для которого выполняются [2,

1

с. 116] уравнения

Ric —

= 0. Если предположить,

2(n—l)

что s = const, то получим уравнения d Ric = 0. Следовательно, для конформно плоского пространства-времени с s = const уравнения Эйнштейна принадлежат классу О, то есть УТ еО2 (М).

На произвольном n-мерном псевдоримановом многообразии (M, g) определяется [2, с. 165] тензор проективной кривизны Вейля P . При n > 2 обращение в нуль тензора P характеризует многообразия постоянной кривизны [2, с. 166]. Не* n—2

трудно усмотреть, что d P =--d Ric в силу тождества Би-

n—1

анки d*R = — d Ric . Будем говорить, что тензор проективной кривизны Вейля гармоничен, если d*Р = 0 . Название объясняется тем, что из условия d *Р = 0 автоматически следует тождество Бианки d Р = 0. Таким образом, если тензор Р рассматривать как 2-форму P : Л2 (TM) ^ Л2 (TM), то последняя

будет одновременно замкнута и козамкнута, а следовательно, гармонична [6, с. 240—242]. Условие гармоничности тензора проективной кривизны Вейля Р приводит к уравнениям Ко-дацци d Ric = 0, которые равносильны условию dT = 0 . Справедлива следующая

Теорема 2. Уравнения Эйнштейна принадлежат классу Q2 тогда и только тогда, когда тензор проективной кривизны Вейля Р гармоничен.

Известно [6, с. 188—189], что связность V в главном расслоении п : Е ^ М над псевдоримановом многообразием (M, g ) с послойной метрикой gE называется полем Янга —

Миллса, если ее кривизна R наряду с тождествами Бианки d R = 0 удовлетворяет уравнению Янга — Миллса d *R = 0 . Если рассматривать E = TM, gE = g, а связность Леви-Чивита V псевдоримановой метрики g в качестве связности V, тогда уравнения Янга — Миллса d * R = 0 в силу равенств d*R = — d Ric примут вид уравнений Кодацци d Ric = 0, которые равносильны уравнениям dT = 0. Справедлива следующая

Теорема 3. Уравнения Эйнштейна принадлежат классу Q2 тогда и только тогда, когда связность Леви-Чивита V метрики g, рассматриваемая как связность в касательном расслоении, является полем Янга — Миллса.

Теория Янга — Миллса занимает важное место в современных исследованиях как математиков, так и физиков-теоретиков (см., напр., [7; 8]).

§ 5. Класс уравнений и геодезические отображения

Класс П3 уравнений Эйнштейна выделяется в [1] следующими условиями на тензор Риччи

называются пространствами Ln. Последние были определены Н. С. Синюковым [11, с. 131—132] и представляют собой пример псевдоримановых многообразий непостоянной кривизны, допускающих нетривиальные геодезические отображения. Нетрудно проверить, что для n = 4 уравнения (5.1) и (5.2) совпадают, а потому пространства-времена, для которых T 6О3, являются пространствами Синюкова Ln . Справедлива

Теорема 4. Уравнения Эйнштейна принадлежат классу О2 тогда и только тогда, когда пространство-время является пространством Синюкова L4.

§ 6. Три других класса уравнений Эйнштейна

Класс уравнений Эйнштейна О © О выделяется следующим условием: y(trace gT)= 0 — или равносильным ему:

s = const. Будет справедливой следующая

Теорема 5. Уравнения Эйнштейна принадлежат классу О1 © О2 тогда и только тогда, когда метрика g пространства-времени имеет постоянную скалярную кривизну.

Известно, что все «-мерные (п > 2) псевдоримановы мно- непостоянной скалярной кривизны 5 , чей тензор Риччи Яге удовлетворяет уравнениям

y^R,

k R = 2(n—7)(n+2){n—2(k s)g, + ( sg + (dJ s) , (5.2)

Класс уравнений Эйнштейна О © О выделяется услови-

ем d

'Т - 3 1(tracegT) ]= 0. Для получения аналитической характеристики обратимся к тензору конформной кривизны Вейля W [2, с. 115]. На произвольном псевдоримановом многообразии (М, g) размерности п > 3 этот тензор подчиняется уравнению [9, с. 115]

d = -—d п - 2

2(п-1)

(6.1)

Тензор конформной кривизны Вейля гармоничен, если d*W = 0 .

Действительно, из условия d*Ж = 0 вытекает [9, с. 115] тождество Бианки dW = 0 . И если тензор конформной кривизны Вейля W рассматривать как 2-форму W : Л2 (ТМ) ^ Л2 (ТМ) , то последняя будет одновременно замкнута и козамкнута, а следовательно, гармонична.

Имеем T - 3-1((racegT) = Ric - 6-15 • g, тогда в пространстве-времени в силу (6.1) условие УТ е о2 (м )©о3 (М ) равносильно требованию d *W = 0 . Доказана следующая

Теорема 6. Уравнения Эйнштейна принадлежат классу О2 © О3 тогда и только тогда, когда тензор конформной кривизны W пространства-времени гармоничен.

Примером пространства-времени с УТ е о2 (М )©О3 (М) служит конформно плоское пространство-время, поскольку для него W = 0 [9, с. 116].

Класс О ©Од характеризуется условием 6 Т - 6 1(гас^Т) g]=0,

которое на основании равенства Т - 6-1^гасе^ ^ = Ric - 3-15 • g принимает вид следующих дифференциальных уравнений

- 3-15 • g)= 0. (6.2)

В,-, dx dx ^ этом случае Rij--= const будет первым квадратичным

ds ds

интегралом уравнений изотропных геодезических хк = xk (s) пространства-времени. При этом на многообразии Синюкова L4 уравнения (6.2) обратятся в тождества.

Список литературы

1. Степанов С. Е. О групповом подходе к изучению уравнений Эйнштейна и Максвелла //Теоретическая и математическая физика. 1997. Т. 111, № 1. С. 32—43.

2. Эйзенхарт Л. П. Риманова геометрия. М., 1948.

3. Stephani H., Kramer D., MacCallum M. и др. Exact Solutions of Einstein's Field Equations: Second Edition. Cambridge, 2003.

4. Ivancevic V. G., Tvancevic T. T. Applied differential geometry: A modern introduction. Word Scientific Publishing Co, 2007.

5. Норден А. П. Пространства аффинной связности. М., 1978.

6. Алексеевский Д. В., Виноградов А. М., Лычагин В. В. Основные идеи и понятия дифференциальной геометрии // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 28: Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР. М., 1988. С. 5—289.

7. Tafel J. Null solutions of the Yang — Mills equations // Letters in Math. Physics. 1986. Vol. 12, № 2. P. 167—178.

8. Sibner L.M., Sibner R.J., Uhlenbeck K. Solutions to Yang-Mills equations are not self-dual // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1989. Vol. 86. P. 8610—8613.

9. Синюков Н. С. Геодезические отображения римановых пространств. М., 1979.

S. Stepanov, A. Rylov

ON A GEOMETRICAL CLASSIFICATION OF THE EINSTEIN EQUATIONS

In current paper we refer to the paper [1] of one of the authors of the present paper for more detailed investigation of Einstein equations classification that was proposed in the paper [1].