CC BY
16
УДК 514.17
О ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ НЕПРЕРЫВНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ, СОХРАНЯЮЩИХ ОРИЕНТАЦИЮ СИМПЛЕКСОВ
В. А. Клячин, Н. А. Чебаненко2
1 Клячин Владимир Александрович, доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой компьютерных наук и экспериментальной математики, Волгоградский государственный университет, 400062, Россия, Волгоград, просп. Университетский, 100, [email protected], [email protected] 2Чебаненко Никита Алексеевич, ассистент кафедры компьютерных наук и экспериментальной математики, Волгоградский государственный университет, 400062, Россия, Волгоград, просп. Университетский, 100, [email protected]
Несложно показать, что если непрерывное и открытое отображение сохраняет ориентацию всех симплексов, то оно является аффинным. В статье рассматривается класс непрерывных, открытых отображений f : D с Rm ^ Rn, сохраняющих ориентацию симплексов из заданного подмножества множества симплексов с вершинами в области D с Rm. В работе исследуются вопросы геометрического строения линейных прообразов таких отображений. В основу данного исследования положено доказываемое в статье ключевое свойство: если отображение сохраняет ориентацию симплексов из некоторого подмножества B множества всех симплексов с вершинами в области D, то прообраз гиперплоскости при таком отображении не может содержать вершины симплекса из B. На основе анализа структуры множества, обладающего таким свойством, можно получить результаты о его геометрическом строении. В частности, в статье доказано, что если непрерывное и открытое отображение сохраняет ориентацию достаточно широкого класса симплексов, то оно является аффинным. Для некоторых специальных классов треугольников в R2 с заданным условием на его максимальный угол показано, что прообраз прямой локально является графиком (в некотором случае липшицевой) функции в подходящей декартовой системе координат.
Ключевые слова: симплекс, непрерывное отображение, ориентация симплекса, монотонные функции. DOI: 10.18500/1816-9791 -2017-17-3-294-303
ВВЕДЕНИЕ
Классическая теорема Лебега [1, с. 199] утверждает, что неубывающая функция y = f (ж) на отрезке [a, b] почти всюду дифференцируема. Это же справедливо и для любых монотонных функций. Сложность распространения этого результата на многомерный случай связана с тем, что в многомерном случае понятие монотонности отображения является неоднозначным. Например, отображение f : D ^ Rn называется монотонным по Лебегу [2,3] если
osc{f, D'} < osc{f, 3D'},
для всякой подобласти D' с D. Здесь
osc{f,D'} = sup |f(ж) - f (y)|.
x,y£D'
Исследованию такого рода отображений посвящено множество публикаций. В частности, в работе С. К. Водопьянова [4] изучались монотонные по Лебегу функции и отображения на группах Карно и было установлено N-свойство Лузина таких отображений. В работах В. М. Миклюкова [5,6] было доказано, что монотонное по Лебегу отображение, принадлежащее весовому пространству Соболева, почти всюду имеет полный дифференциал при определенных условиях на весовую функцию. Отметим также работу [7], в которой свойство дифференцируемости доказывается для класса ^-гомеоморфизмов, которые в каком-то смысле близки к отображениям, монотонным по Лебегу. В то же время определенный интерес представляют отображения, для которых понятие монотонности имеет иную форму. Этот подход к понятию монотонности основан на понятии ориентации симплексов и, в частности, имеет важное значение в теории построения расчетных сеток [8].
Рассмотрим для примера одномерный случай. Будем говорить, что невырожденный отрезок [Ро, Р] числовой прямой имеет положительную ориентацию, если Ро < Рх, и отрицательную ориентацию, если Р0 > Рх. Тогда функция у = /(ж), заданная на отрезке [а, Ь], является неубывающей, если f (ж) сохраняет ориентацию каждого отрезка [Р0, Рх] с [а, Ь]. Если аналогичное построение сделать для многомерного случая, получается следующее понятие, аналогичное понятию монотонного отображения по Лебегу. Пусть в Еп, п ^ 1, заданы точки Р0,Рх,...,Рп. Выпуклую оболочку этих точек назовем симплексом 5 = 5(Р0,...,РП). Симплекс называется невырожденным, если векторы Рх — Р0, Р2 — Р0,..., Рп — Р0 линейно независимы или, что то же самое
ае^Рх — Ро ,Р2 — Ро,... ,Рп — Ро) = 0.
Здесь ,£2,...,£п) обозначает определитель матрицы, столбцами которой являются векторы ,£2,... ,£п е Еп.
Будем говорить, что невырожденный симплекс 5(Р0,Рх,...,РП) имеет положительную (отрицательную) ориентацию, если — Р0,Р2 — Р0,... ,РП — Р0) > 0 (ае^Рх — Ро, Р2 — Ро,..., Рп — Ро) < 0). Пусть В с Еп - область.
Обозначим через 5(В) совокупность всех невырожденных симплексов с вершинами из области В.
Зададимся вопросом определения геометрических и дифференциальных свойств непрерывных отображений f : В ^ Еп, которые сохраняют ориентацию симплексов из некоторого, заранее данного подмножества множества 5(В). Более точно нас будет интересовать структура прообраза плоскости в Еп. Отметим работу [9], в которой получены условия сохранения ориентации симплексов при их квазиизометричном преобразовании.
Обозначим множество непрерывных отображений f : В ^ Еп, сохраняющих ориентацию симплексов 5 е В с 5 (В) через Св (В). В работе авторов [10] была доказана следующая теорема.
Теорема 1. Если открытое отображение f е С8р) (В), то f — аффинное преобразование.
Из этого результата следует, что большинство отображений не может сохранять ориентацию всех симплексов. Рассмотрим некоторое подмножество В с 5(В).
1. КЛЮЧЕВОЕ СВОЙСТВО НЕПРЕРЫВНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
В [10] был доказан следующий ключевой результат о структуре прообраза гиперплоскости непрерывного отображения f е Св(Р). Мы приводим немного измененное доказательство этого утверждения, устранив тем самым некоторые не существенные пробелы в доказательстве.
Теорема 2. Если множество В с 5(Р) открыто и отображение f е Св (Р) не является аффинным, то прообраз любой гиперплоскости не содержит вершин симплекса из В.
Доказательство. Предположим противное, т. е. предположим, что найдется невырожденный симплекс 5(Р0, • • •, РП) е В такой, что Р; е f-1(Ь), г = 0,1,..., п. Пусть Р/ = f (Р;). Тогда 5(Р0, •.., РП) — вырожденный симплекс, так как точки Р/, г = 0,..., п лежат в одной гиперплоскости. Для всех г > 0, не ограничивая общности, будем считать, что симплексы
= 5(Р0,..., РП-1, РП ± гС)>
где С — нормаль к не вырождены. Ясно, что ориентации этих симплексов для г > 0 и для г < 0 противоположны. Положим
М± = f-1( и (РП ± гС)) .
Множество М± замкнуто, причем Рп е М±.
Рассмотрим окрестность V(Рп) точки Рп такой, что для любой точки Р е V(Рп) симплекс 5(Р0,..., Рп-1, Р) имеет ту же ориентацию, что и симплекс 5(Р0,..., Рп). Поскольку множество В открыто, то найдется окрестность и(5(Р0,..., Рп)) с В. В частности, можно найти такую окрестность V'(Рп) с V(Рп), что для всех точек Р е V'(Рп) выполняется 5(Р0,..., Рп-1, Р) е и(5(Р0,..., Рп)). По предположению теоремы отображение f открыто. Следовательно, образ окрестности V/(Pn) есть окрестность точки РП = f (Рп). Тогда можно найти такие
Р+ е М+ п {V'(Рп)\Рп}, Р- е М- п {V'(Рп)\Рп},
что для некоторых г+ ,г- > 0 будет выполнено f(Р+) = РП + г+С, f(Р-) = = РП — г-С. Из этих построений следует, что симплексы 5(Р0,...,Рп-1 ,Р+) и 5(Р0,..., Рп-1 ,Р-) принадлежат В и имеют одинаковую ориентацию, а симплексы 5(Р0,..., РП-1, РП + г+С) и 5(Р0,..., РП-1, РП — г-С) имеют разные ориентации. Таким образом, мы пришли к противоречию с условием теоремы о том, что f е С (В). Теорема доказана. □
В настоящей статье мы доказываем некоторые обобщения и следствия этих результатов. Предварительно дадим необходимые определения.
Пусть т < п и Е = {е1}..., еП-т} — некоторая система линейно-независимых векторов в ЕП. Будем говорить, что т-мерный симплекс 5(р0,р1,... , рт) с вершинами р е ЕП, г = 0,... ,т имеет положительную (отрицательную) ориентацию относительно системы Е, если det(p1 — р0,... ,рт — р0, е1,..., еП-т) > 0 (< 0 соответственно).
Набор систем E = |en,ei2 ,...,ein_m},..., Efc = {ви, efc2,..., efcn_m} назовем полным, если размерность суммы ортогональных дополнений к системам E, равна n. Пусть П,, i = 1,..., N, — m-мерная плоскость, ортогональная векторам из системы
и п : Rn ^ П, обозначает ортогональную проекцию на эту плоскость. Рассмотрим отображение h = п ◦ f : Rm ^ П,.
Теорема 3. Пусть , i = 1,...,N, — полный набор систем в Rn и f : Rm ^ Rn — непрерывное отображение, сохраняющее ориентацию любого m-мерного симплекса относительно каждой системы E1,..., EN. Если все сквозные отображения , i = 1,..., N, открыты, то f — аффинное отображение.
Доказательство. Покажем, что для каждого i = 1,..., N отображение h = h, сохраняет ориентацию любого симплекса. Чтобы в этом убедиться построим положительно ориентированный ортонормированный базис b1,..., в Rn таким образом, чтобы векторы b1}..., bm были ортогональны векторам ei1,..., ein-m, причем
det(b1,..., bm, ,..., em_m) > 0.
Пусть симплекс S = S(po,... ,pm) с вершинами в D имеет положительную ориентацию. В силу условия теоремы симплекс S' = S(f(po),...,f(pm)) тоже имеет положительную ориентацию относительно системы Ei, т.е.
det(f (Р1) - f (po),..., f (pm) - f (po), e,1,..., e,n_m) > 0.
При переходе к базису {bk, k = 1,..., n} это условие не изменится. В то же время в новом базисе такой определитель будет равен
det(h(p1) - h(po),..., h(pm) - h(po)) > 0.
В силу теоремы 1 мы можем сделать вывод, что сквозное отображение h : Rm ^ П, является аффинным. Отсюда получаем, что для каждого i = 1,..., N и каждого k = 1,... ,m скалярное произведение (f(u),bk) является аффинной функцией переменной u е D.
Рассмотрим произвольную пару векторов v, w такую, что точки u + w + v, u + v, u + w, u принадлежат области D. Построим вектор
G = f (u + v + w) - f (u + v) - f (u + w) + f (u).
Из аффинности функции (f(u),bk) следует, что (G,bk) = 0. А из условия полноты набора систем E, можно сделать вывод, что (G,y) = 0 для любого y е Rn. Откуда следует, что G = 0 и отображение f аффинно. □
Замечание. Поскольку функция det(po - p1 ,...,pn - po) непрерывна по переменным po,... ,pn, то из того, что непрерывное отображение сохраняет ориентацию заданного симплекса, следует, что сохраняется ориентация всех симплексов из некоторой окрестности данного симплекса. Это, в свою очередь, влечет, что множество симплексов, ориентация которых сохраняется данным непрерывным отображением открыто. Поэтому мы ограничимся рассмотрением открытых подмножеств B с S(D).
Теорема 4. Пусть г = 1,..., N, — полный набор систем в ЕП и f : Ет ^ ЕП, т < п — непрерывное отображение, сохраняющее ориентацию любого т-мерного симплекса из некоторого открытого подмножества В с 5(Б). Если все сквозные отображения Н;, г = 1,..., N, открыты, а отображение f не является аффинным, то прообраз любой гиперплоскости не содержит вершин симплекса из В.
Доказательство. Пусть П;, г = 1,..., N, — т-мерная плоскость, ортогональная векторам из системы Е;, и : ЕП ^ П; обозначает ортогональную проекцию на эту плоскость. Рассмотрим отображение Н = о f : Ет ^ П;. Как и при доказательстве теоремы 3, легко убедиться, что отображение Н сохраняет ориентацию любого симплекса из множества В с 5(Б). Тогда утверждение теоремы следует из теоремы 2. □
Замечание. Используя теоремы из [11] о структуре множеств с ограничениями на его контингенцию, можно получить некоторую информацию о структуре прообразов прямых линий отображений, сохраняющих ориентацию симплексов. Этот метод был использован в работе [10]. В настоящей работе мы будем использовать другой подход.
2. СЛЕДСТВИЯ
Рассмотрим в пространстве Ет некоторую прямую Ь. Обозначим через а некоторое число из интервала (0,п). Пусть Ва обозначает открытое множество симплексов из 5(Б), у которых имеется ребро, образующее угол ^ < а с прямой Ь.
Теорема 5. Если отображение f : Б с Ет ^ Ет открыто и принадлежит классу СВа (Б), то оно аффинно.
Доказательство. Предположим, что отображение f не является аффинным. В силу теорем 2 и 4 на прообразе f-1(П) гиперплоскости П с Ет не существует симплекса из множества Ва. Это означает, что все ребра симплексов с вершинами на f-1 (П) образуют угол с прямой Ь не меньше, чем а. Рассмотрим некоторую точку х0 е Б и построим семейство А гиперплоскостей, проходящих через точку f (х0). Положим
А = и /-1 (П).
пеА
В силу предположения любое ребро вида ж0ж1 с х1 е А имеет угол с прямой Ь не меньше, чем а. В то же время если точка х2 е Б такая, что отрезок ж0ж2 образует угол с прямой Ь меньше, чем а, то найдется гиперплоскость П е А такая, что f (х2) е П. Поэтому х2 е А. Полученное противоречие доказывает теорему. □
Зафиксируем п/2 < а0 < п. Рассмотрим в области Б с Е2 совокупность треугольников 5(Р0,Р1, Р2), имеющих максимальный угол а(5) < а0. Обозначим эту совокупность треугольников через 5ао(Б).
Теорема 6. Если а0 > 2п/3, а отображение f : Б с Е2 ^ Е2 открыто и принадлежит классу (Б), то прообраз любой прямой локально представляет собой график функции в подходящей декартовой системе координат.
Доказательство. Будем читать, что отображение f не является аффинным. Пусть ж0, ж £ В Построим окружности, проходящие через эти точки, с радиусом
R =
|xi - Хо|
2 sin a0
Центры этих окружностей лежат на серединном перпендикуляре к отрезку x0x и симметричны относительно этого отрезка. При этом касательные к этим окружностям в точках x0, ж1 образуют угол п — а0 с отрезком x0x1. Этот угол меньше, чем п/4, в силу предположения теоремы. Наконец, обозначим через Mx0Х1 пересечение соответствующих кругов, а через ПЖ0Ж1 полосу, образуемую точками, расположенными между прямыми, ортогональными отрезку x0x1 и проходящими через его концы (рис. 1). Из свойств окружностей следует, что треугольник вида XoXiX2, X2 e ПЖ0Х1 \ МЖ0Ж1 имеет угол /ж0ж2ж1 < а0. Остальные углы этого треугольника острые и потому меньшие, чем а0.
Пусть L с R2 — некоторая прямая и p0, p1 e e f-1(L) — две произвольные точки на ее прообразе. Покажем, что пересечение f-1(L) ППР0Р1 представляет собой график функции в системе координат, в которой одна ось направлена вдоль прямой p0p1, а другая ей ортогональна.
Согласно теореме 2 не существует треугольника с вершинами на f-1 (L) и с углами, меньшими чем а0. Значит, пересечение
f-1 (L) П (П
пусто, так как, в противном случае, можно было бы найти треугольник вида p0p1 p2, p2 e f-1(L) П (ПР0Р1 \ MP0P1) с углом Zp0p2p1 < a0. Таким образом, имеет место включение
Рис. 1. Множества ПХ0Х1 и Mx0Х1 Fig. 1. The sets Пх0х1 and Mx0x1
f-1 (L) П П
P0P1 ^ MP0P1 •
Предположим, что найдутся две точки р,р' £ МР0Р1 П f 1 (£), лежащие на одном
отрезке, ортогональном прямой р0р1, тать, что точка пересечения прямых рр' и р0р1 находится ближе к точке р1 (рис. 2). Также предположим, что если точки р, р' лежат по одну сторону от отрезка р0р1, то р будет расположена дальше от него, чем точка р'. В этом случае
причем, не ограничивая общности, будем счи-
Pi
p' е П
Р0 V
Покажем, что /рр'р0 < а0. Действительно, если точки рр' расположены по разные стороны отрез-
Рис. 2. К доказательству теоремы 6 Fig. 2. To the proof of Theorem 6
ка p0p1, то треугольник p0pp' — остроугольный, а значит, его углы меньше а0. Если точки pp' расположены по одну сторону от отрезка p0p1, то угол Zpp'p0 меньше тупого угла между прямой pp' и прямой, соединяющей точку p0 и середину граничной дуги МР0Р1. Несложно вычислить, что этот угол равен п — а0/2 и в силу предположения а0 > 2п/3 этот угол меньше а0. Мы получили противоречие с утверждением теоремы 2. Таким образом, всякая прямая, ортогональная отрезку p0p1, может пересекать f-1 (L) не более чем в одной точке. Теорема доказана. □
Теорема 7. Если а0 > 3п/4, а отображение f : D с R2 ^ R2 открыто и принадлежит классу CSao (D), то прообраз любой прямой локально представляет собой график липшицевой функции в подходящей декартовой системе координат.
Доказательство. Покажем, что угол наклона отрезка с концами на f-1 (L) не превосходит 2(п — а0) < п/2. Тем самым будет доказано, что постоянная Липшица графика соответствующей функции не превышает tg2(n — а0) < Рассмотрим некоторую точку p G МР0Р1 П f-1 (L). Угол между отрезками p0p1 и p0p обозначим через в. Ясно, что в < п — а0. Пусть p' — проекция точки p на отрезок p0p1. Выберем произвольную точку p* G f-1 (L), чья проекция на отрезок p0p1 лежит между p0 и p'. Угол между прямой отрезка p*p и прямой отрезка p0p1 очевидно не превосходит суммы угла в и угла между прямой отрезка p0p1 и касательной к одной из граничных дуг окружностей множества Mp0p в точке p, т. е. не превосходит суммы в + п — а0 < 2(п — а0) < п/2. Тем самым теорема доказана. □
Теорема 8. Пусть а0 > п/2, а отображение f : D с R2 ^ R2 открыто и принадлежит классу CSao (D). Пусть p0, p1 G f-1 (L) — две произвольные точки на прообразе прямой L с R2. Тогда найдется точка p1 G [p0 ,p1 ] такая, что пересечение f-1(L) П ПР0pi локально представляет собой график функции в подходящей декартовой системе координат.
Доказательство. Рассмотрим точку p1 G [p0,p1] такую, что
d • ctg2(п — а0) > А,
(1)
где А = — р01, = — р0|. Предположим, что прямая I, ортогональная отрезку Р0Р1, пересекает отрезок в точке д так, что |д — р01 = 6 < А. Покажем, что тогда эта прямая пересекает множество f-1 (Ь) не более в одной точке. Предположим, что
нашлись две точки д', д'' е f-1(Ь) ПI.
Рассмотрим треугольник р^д'д'' (рис. 3). Для доказательства теоремы достаточно показать, что угол /д'д''р1 < а0 или угол /д''д'р1 < а0. Если точки д', д'' лежат по разные стороны от отрезка р0р1, оба эти угла острые, а значит, не превосходят а0. Будем считать, что точки д', д'' лежат по одну сторону от отрезка р0р1,
1 /q, // q{
Po q Pi
Рис. 3. Построение точки до Fig. 3. Construction of the point д0
причем будем предполагать, что точка q'' находится ближе к этому отрезку, чем точка q'. Пусть q0 — точка пересечения прямой I с граничной дугой окружности множества МР0Р1, причем той, которая ограничивает половину МР0Р1, в которой лежат точи q', q''. Тогда угол Zp1q''q' не превосходит тупого угла между прямой I и отрезком p1 q0. А этот угол, в свою очередь, будет меньше, чем а0, если tgZqq0p > tg(n — а0). Прямым вычислением несложно показать, что
д/ d2 ctg2(n — а0) + (2d — 0)0 + dctg(n — а0)
tgZqqoPi =--->
о
dctg(n — а0 ) dctg(n — а0)
> о > д '
Откуда, используя (1), заключаем, что
tgZqqoPi > tg(n — «о)-Теорема доказана. □
Благодарности. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 15-41-02517).
Библиографический список
1. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. М. : Наука; Гл. ред. физ.-матем. лит., 1974. 480 с.
2. Lebesgue H. Sur le probleme de Dirichlet // Rend. Cire. Palermo. 1907. Vol. 27. P. 371-402.
3. Mostow G. D. Quasi-conformal mappings in n-space and the rigidity of hyperbolic space forms // Publ. Math, de l'lnstitute des Hautes Etudes Scientifiques. 1968. № 34. P. 53-104.
4. Водопьянов С. К. Монотонные функции и квазиконформные отображения на группах Карно // Сиб. матем. журн. 1996. Т. 37, № 6. С. 1269-1295.
5. Миклюков В. М. Введение в негладкий анализ. Волгоград : Изд-во ВолГУ, 2008. 424 с.
6. Миклюков В. М. О некоторых признаках существования полного дифференциала // Сиб. матем. журн. 2010. Т. 51, № 4. С. 805-814.
7. Салимов Р. Р. Абсолютная непрерывность на линиях и дифференцируемость одного обобщения квазиконформных отображений // Изв. РАН. Сер. матем. 2008. Т. 72, № 5. С. 141-148. DOI: 10.4213/im2675.
8. Прохорова М. Ф. Проблемы гомеоморфизма, возникающие в теории построения сеток // Тр. ИММ УрО РАН. 2008. Т. 14, № 1. С. 112-129.
9. Болучевская А. В. Сохранение ориентации симплекса при квазиизометричном отображении // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13, вып. 1, ч. 2. С. 20-23.
10. Клячин В. А., Чебаненко Н. А. О линейных прообразах непрерывных отображений, сохраняющих ориентацию симплексов // Вестн. Волгоград. гос. ун-та. Сер. 1: Математика. Физика. 2014. № 3 (22). С. 56-60. DOI: 10.15688/jvolsu1.2014.3.6.
11. Сакс С. Теория интеграла. М. : Изд-во иностр. лит., 1949. 495 с.
Образец для цитирования:
Клячин В. А., Чебаненко Н. А. О геометрических свойствах непрерывных отображений, сохраняющих ориентацию симплексов // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2017. Т. 17, вып. 3. С. 294-303. 001: 10.18500/1816-9791-2017-173-294-303.
On the Geometric Structure of the Continuos Mappings Preserving the Orientation of Simplexes
V. A. Klyachin1, N. A. Chebanenko2
1 Vladimir A. Klyachin, ORCID: 0000-0003-1922-7849, Volgograd State University, 100, Prosp. Universitetsky, Volgograd, Russia, 400062, [email protected], [email protected]
2Nikita A. Chеbanеnko, ORCID: 0000-0002-8462-5619, Volgograd State University, 100, Prosp. Universitetsky, Volgograd, Russia, 400062, [email protected], [email protected]
It is easy to show that if a continuous open map preserves the orientation of all simplexes, then it is affine. The class of continuous open maps f : D c Rm ^ Rn that preserve the orientation of simplexes from a given subset of a set of simplexes with vertices in the domain D c Rm is considered. In this paper, questions of the geometric structure of linear inverse images of such mappings are studied. This research is based on the key property proved in the article: if a map preserves the orientation of simplexes from some subset B of the set of all simplexes with vertices in the domain D, then the inverse image of the hyperplane under such a mapping can not contain the vertices of a simplex from B. Based on the analysis of the structure of a set possessing this property, one can obtain results on its geometric structure. In particular, the paper proves that if a continuous open map preserves the orientation of a sufficiently wide class of simplexes, then it is affine. For some special classes of triangles in R2 with a given condition on its maximal angle it is shown that the inverse image of a line is locally a graph (in some case a Lipschitzian) of a function in a suitable Cartesian coordinate system.
Key words: simplex, orientation of simplex,continuous mapping, monotone function.
Acknowledgements: This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 15-41-02517).
References
1. Natanson I. P. Teoriya funkciy veschestvennoy peremennoy [Theory functions of real variable]. Moscow, Nauka, 1974. 480 p. (in Russian).
2. Lebesgue H. Sur le probleme de Dirichlet. Rend. Circ. Palermo, 1907, vol. 27, pp. 371-402.
3. Mostow G. D. Quasi-conformal mappings in n-space and the rigidity of hyperbolic space forms. Publ. Math, de l'lnstitute des Hautes Etudes Scientifiques, 1968, no. 34, pp. 53104.
4. Vodop'yanov S. K. Monotone functions and quasiconformal mappings on Carnot groups. Siberian Math. J., 1996, vol. 37, no. 6, pp. 1113-1136. DOI: 10.1007/BF02106736.
5. Miklyukov V. M. Vvedenie v negladkiy analiz [Introduction in nonsmooth analysis]. Volgograd, Volgograd Univ. Press, 2008. 424 p. (in Russian).
6. Miklyukov V. M. Some conditions for the existence of the total differential. Siberian Math. J., 2010, vol. 51, no. 4, pp. 639-647. DOI: 10.1007/s11202-010-0065-9.
7. Salimov R. R. ACL and differentiability of a generalization of quasi-conformal maps. Izv. Math., 2008, vol. 72, no. 5, pp. 977-984. DOI: 10.1070/IM2008v072n05ABEH002425.
8. Prokhorova M. F. Problems of homeomorphism arising in the theory of grid generation. Proc. Steklov Inst. Math. (Suppl.), 2008, vol. 261, suppl. 1, pp. S165-S182. DOI: 10.1134/S0081543808050155.
9. Boluchevskaya A. V. On the Quasiisometric Mapping Preserving Simplex Orientation. Izv. Saratov Univ. (N.S.) Ser. Math. Mech. Inform., 2013, vol. 13, iss. 2, pp. 20-23 (in Russian).
10. Klyachin V. A., Chebanenko N. A. About linear preimages of continuous maps, that preserve orientation of triangles. Science Journal of VolSU. Mathematics. Physics, 2014, no. 3 (22), pp. 56-60 (in Russian). DOI: 10.15688/jvolsu1.2014.3.6.
11. Saks S. Teoriya integrala [Integral theory]. Moscow, Izd-vo. inostr. lit., 1949. 495 p. (in Russian).
Cite this article as:
Klyachin V. A., Chebanenko N. A. On the Geometric Structure of the Continuous Mappings Preserving the Orientation of Simplexes. Izv. Saratov Univ. (N.S.), Ser. Math. Mech. Inform., 2017, vol. 17, iss. 3, pp. 294-303 (in Russian). DOI: 10.18500/1816-9791-2017-17-3-294-303.
