О генерической сложности экзистенциальной теории поля действительных чисел (посвящается 80-летию профессора Владимира Никаноровича Ремесленникова) Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 510.51

DOI 10.25513/1812-3996.2018.23(4).56-59

О ГЕНЕРИЧЕСКОЙ СЛОЖНОСТИ ЭКЗИСТЕНЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

(посвящается 80-летию профессора Владимира Никаноровича Ремесленникова) А. Н. Рыбалов

Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, г. Омск, Россия

Дата принятия в печать 17.10.2018

Дата онлайн-размещения 14.12.2018

Ключевые слова

Булевы формулы, классы Поста, асимпотическая плотность

Финансирование

Работа выполнена при поддержке гранта Российского фонда фундаментальных исследований в рамках научного проекта № 16-01-00577

ON GENERIC COMPLEXITY OF THE EXISTENTIAL THEORY OF THE REAL NUMBER FIELD (paper dedicated to professor Vladimir Nikanorovich Remeslennikov on the occasion of his 80 th birthday)

A. N. Rybalov

Dostoevsky Omsk State University, Omsk, Russia

Article info Abstract. In the paper we prove that the problem of solvability of the polynomial equations

Received over real numbers is generically hard provided p ф np and p = bpp.

17.09.2018

Accepted 19.10.2018

Available online 14.12.2018

Keywords

generic reducibility, c.e. degrees

Acknowledgements

The reported study was funded by Russian Basic Research Foundation according to the research project 16-01-00577

Информация о статье

Дата поступления 17.09.2018

Аннотация. В данной статье доказывется, что проблема разрешимости систем полиномиальных уравнений над множеством действительных чисел является генерически трудноразрешимой при условии р фмр и р = врр.

Вестник Омского университета 2018. Т. 23, № 4. С. 56-59

ISSN 1812-3996-

1. Введение

Изучение экзистенциальной теории поля действительных чисел связано с решением систем уравнений и классической алгебраической геометрией. В XX веке начались активные исследования алгоритмических и вычислительных аспектов этой области. Наряду с положительными результатами - алгоритм Тарского для разрешения элементарной теории действительных чисел, алгоритм Бухбергера для вычисления базисов Гребнера и др. - можно отметить и негативные результаты: экспоненциальная нижняя оценка Рабина - Фишера [1] на сложность в худшем случае элементарной теории действительных чисел, двойная экспоненциальная оценка Майра - Мейера [2] для времени работы алгоритма Бухбергера. В связи с большой вычислительной сложностью экзистенциальной теории поля действительных чисел интерес представляет изучение сложности в среднем и генерической сложности этой проблемы.

Генерический подход в применении к алгоритмическим проблемам был впервые предложен в [3]. В рамках этого подхода изучается поведение алгоритмов на множествах почти всех входов (эти множества называются генерическими), игнорируя поведение алгоритма на остальных входах, на которых алгоритм может работать медленно или вообще не останавливаться. Такой подход имеет приложение в криптографии, где требуется, чтобы алгоритмические проблемы были трудными для почти всех входов. В отличие от сложности в среднем, генерический подход применим и для алгоритмически неразрешимых проблем. Для многих классических алгоритмически неразрешимых проблем алгебры доказано, что они разрешимы в генерическом случае.

В данной работе доказывается, что проблема разрешимости систем полиномиальных уравнений над множеством действительных чисел является ге-нерически трудноразрешимой при условии pфnp и p = bpp . Здесь BPP - это класс проблем, разрешимых за полиномиальное время на вероятностных машинах Тьюринга. Большинство исследователей сейчас считает, что имеет место равенство p = bpp. Это равенство означает, что любой полиномиальный вероятностный алгоритм можно эффективно деран-домизировать, т. е. построить полиномиальный детерминированный алгоритм, решающий ту же задачу. Хотя это равенство пока еще не доказано, имеются серьезные результаты в пользу него (см. [4]).

2. Генерическая вычислимость и сложность

Пусть A есть множество всех входов для некоторой алгоритмической проблемы, а S - некоторое его подмножество. Рассмотрим последовательность

р"( ) KI '

где A - множество всех входов проблемы размера n . Если случайно и равновероятно генерировать входы размера n, то вероятность попасть в S равна pn(S). Определим асимптотическую плотность множества S как предел (если он существует) |(S) = lim Pn (S).

п^да

Если предела не существует, то считаем, что асимптотическая плотность не определена.

Множество входов S с A называется генери-ческим, если |(S) = 1, и пренебрежимым, если |(S) = 0. Непосредственно из определения следует, что S является генерическим тогда и только тогда, когда A\S пренебрежимо. Понятие генерического множества формализует интуитивное понятие множества «почти всех» входов в том смысле, что при увеличении размера входа вероятность того, что случайно сгенерированный вход попадет в генериче-ское множество, стремится к 1. Если последовательность p (S) стремится к 0 экспоненциально быстро, т. е. существуют константы C >0 и 0<ст< 1 такие, что для любого n

Pn (S) < Cап,

то множество S называется строго пренебрежи-мым. Множество S называется строго генериче-ским, если A\S строго пренебрежимо.

Алгоритмическая проблема S с A строго гене-рически полиномиально разрешима, если существует множество G с A такое, что:

1) G - строго генерическое;

2) G - разрешимое за полиномиальное время;

3) SflG - разрешимое за полиномиальное время.

Генерический алгоритм, решающий проблему S, работает следующим образом. Сначала определяет, принадлежит ли вход генерическому множеству. Если да, то проверяет принадлежность входа S. Если нет, то отвечает «НЕ ЗНАЮ». Такой алгоритм правильно решает проблему S на почти всех входах.

Будем рассматривать системы полиномиальных уравнений, в которых каждое уравнение является уравнением одного из следующих типов:

• xi = xixk,

• xi = xj + xk, • x = 1.

Вестник Омского университета 2018. Т. 23, № 4. С. 56-59

-ISSN 1812-3996

Нетрудно показать, что любую систему полиномиальных уравнений с целыми коэффициентами можно привести к такому виду. Будем называть систему нормализованной, если в к-м уравнении системы могут встречаться только переменные х , где / <3к. Очевидно, что любую систему можно нормализовать при помощи подходящего перенумерования переменных. В дальнейшем будем рассматривать только нормализованные системы. Размер такой системы - это число уравнений в ней. Обозначим через 3 множество всех нормализованных систем.

Лемма 1. Число нормализованных систем размера п есть

п

|3,| = П<54к3 + 3к).

к=1

Доказательство. Для t -го уравнения в системе 5 е3п существует (3^3 вариантов выбрать уравнение вида х = хХк, также (3^3 вариантов выбрать уравнение вида х, = х. + х и только 3t вариантов выбрать уравнение вида х, = 1. Итого для t -го уравнения есть 54t3 + 3t вариантов. А для всей системы из п уравнений имеем

N=П<54^3+3k)

вариантов.

3. Основной результат

В этом разделе будет доказано, что проблема разрешимости нормализованных систем над множеством действительных чисел является трудноразрешимой на любом полиномиальном строго генери-ческом подмножестве входов при условии р фыр и р = врр.

Для произвольной нормализованной системы 5 ={5,..., 5т } рассмотрим множество систем eq(S),

которые получаются добавлением к системе 5 любого количества произвольных уравнений вида X = Х]Хк или х = X + х , где /,У,к > 3т, с сохранением условия нормализации. Очевидно, что любая система из eq(5) разрешима в действительных числах тогда и только тогда, когда разрешима в действительных числах система 5.

Лемма 2. Пусть система 5 имеет размер т . Тогда для любого п>т имеет место

рп№)) > 2(54п1+п)т.

Доказательство. Пусть п >т. Для t -го добавленного к 5 уравнения вида х. = ххк или

X = х + х, где /,У,к>3т, имеется 2(3() = 54^ вариантов. Поэтому

п-т

|е^5)„| = П(54t3).

Теперь по лемме 1

Р„ (eq(S)) =

|eq(S)„|

П(54к3)

. k=1_.

п

П(54к3 + 3k)

k=1 п

п

п-т ЦД к-2

П54к2 +1 к=Пг54к> + к Оценим снизу сначала первое произведение: ^ 54к2 пт (. 1 1=I 54к2 +1

п-т+1 ( 1 п-т+1 {

> П ,1 ,,2

1=П 11

п-т+1 / л \ п-т+1

П( 1 - F |=П

54k-2 +1 (k - 1)(k +1)

>

1 • 3 2 • 4 (п - т - 1)(п - т +1)

-X—-X... X---X

22 32 (п - т)2

п - т + 2 1

=->-.

2(п - т +1) 2

Теперь оценим второе произведение:

1 1

(п - т)(п - т + 2) 4 (п - т +1)2

П

■ >-

к=п-т+154к + к (54п + п)" Итого получаем

рпШ5)) >: 1

2(54п3 + п)т.

Теорема 1. Пусть р фыр и р = врр. Тогда проблема разрешимости нормализованных систем уравнений над множеством действительных чисел не является строго генерически разрешимой за полиномиальное время.

Доказательство. Нетрудно показать, что к проблеме разрешимости нормализованных систем уравнений над множеством действительных чисел полиномиально сводится МР-полная проблема выполнимости 3-КНФ. Поэтому, при условии р ф ыр, не существует полиномиального алгоритма, решающего эту проблему для всех входов. Более того, так как р = врр, то не существует полиномиального вероятностного алгоритма, решающего ее для всех входов.

Допустим, что проблема разрешимости нормализованных систем уравнений над множеством действительных чисел является строго генерически разрешимой за полиномиальное время. Это означает, что найдется полиномиальное строго генерическое разрешимое множество систем в такое, что суще-

t=1

k=1

Вестник Омского университета 2018. Т. 23, № 4. С. 56-59

ISSN 1812-3996-

ствует полиномиальным алгоритм А, определяющий для любой системы 5 еб ее разрешимость. Построим теперь вероятностный полиномиальный алгоритм В, определяющий разрешимость любой системы. Алгоритм В на системе 5 размера п работает следующим образом:

1. Проверяет, принадлежит ли 5 множеству б. Если да, то с помощью алгоритма А определяет разрешимость 5 . Если нет, то переходит к шагу 2.

2. Генерирует случайную систему 5'еeq(5) размера п2 .

3. Проверяет, принадлежит ли 5' множеству б. Если да, то с помощью алгоритма А определяет разрешимость 5 . Если нет, то выдает ответ «НЕТ».

Заметим, что алгоритм выдает неправильный ответ, только когда 5 'г б. Нужно доказать, что вероятность этого меньше 1/2.

Вероятность того, что случайная система 5' еeq(5) размера п2 не попадет в б, не больше

|(3\б),| 1(3 \ б),| |3,|

Так как б строго генерическое, то существует константа а> 0 такая, что

1(3 \ б)"

L<-

1

Ь

2"

для любого n . С другой стороны, по лемме 2

|з 2I

,< 2(54n6 + n2)" .

|^(5>n

Поэтому искомая вероятность не больше 2(54п6 + п2)п 1 2аП 2 при достаточно больших п .

Итак, в предположении существования полиномиального строго генерического множества, на котором рассматриваемая проблема разрешима за полиномиальное время, мы построили вероятностный полиномиальный алгоритм, разрешающий эту проблему на всем множестве формул. Это противоречит условиям теоремы.

WS):

n

n

СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ

1. Fischer M., Rabin M. Super-Exponential Complexity of Presburger Arithmetic // Proceedings of the SIAM-AMS Symposium in Applied Mathematics. 1974. № 7. P. 27-41.

2. Mayr E. W, Meyer A. R. The complexity of the word problems for commutative semigroups and polynomial ideals // Advances in Mathematics. 1982. Vol. 46, no. 3. P. 305-329.

3. Kapovich I., Myasnikov A. G., Schupp P., Shpilrain V. Generic-case complexity, decision problems in group theory and random walks // J. Algebra. 2003. Vol. 264, no. 2. P. 665-694.

4. Impagliazzo R., Wigderson A. P=BPP unless E has Subexponential Circuits: Derandomizing the XOR Lemma // Proceedings of the 29th STOC. 1997. P. 220-229.

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ

Рыбалов Александр Николаевич - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры компьютерной математики и программирования, Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, 644077, Россия, г. Омск, пр. Мира, 55а; e-mail: alexander.rybalov@ gmail.com.

INFORMATION ABOUT THE AUTHOR

RybalovAlexander Nikolaevich - Candidate of Physical and Mathematical Scienses, Docent of the Department of Computing Mathematics and Programming, Dosto-evsky Omsk State University, 55a, pr. Mira, Omsk, 644077, Russia; e-mail: [email protected].

ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ

Рыбалов А. Н. О генерической сложности экзистенциальной теории поля действительных чисел // Вестн. Ом. ун-та. 2018. Т. 23, № 4. С. 56-59. Э01: 10.25513/1812-3996.2018.23(4).56-59.

FOR QTATIONS

Rybalov A.N. On generic complexity of the existential theory of the real number field. Vestnik Omskogo uni-versiteta = Herald of Omsk University, 2018, vol. 23, no. 4, pp. 56-59. DOI: 10.25513/1812-3996.2018. 23(4).56-59. (in Russ.).