CC BY
16
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 517.718.7
А. А. Вороненко1
О ФУНКЦИИ ШЕННОНА ДЛЯ ДЛИНЫ СЕРТИФИКАТА ПОВТОРНОСТИ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ В ОДНОМ СЕМЕЙСТВЕ БАЗИСОВ
Рассматривается следующая задача: требуется найти такой набор строк (сертификат), с помощью которого можно проверить повторность функций п переменных в некотором базисе В. В работе установлен линейный порядок функции Шеннона длины сертификата для всех функций п переменных в базисе, состоящем из конъюнкции, дизъюнкции, отрицания и дискриминатора s переменных.
Ключевые слова: бесповторная функция, дискриминатор, разнозначная матрица.
Булева функция f(x\,... ,хп), представимая (не представимая) бесповторной формулой в некотором базисе, называется бесповторной (повторной) в этом базисе. Множество n-мерных булевых наборов S назовем сертификатом повторности функции / в базисе В, если для любой бесповторной в базисе В функции h существует набор xeS, такой, что /(х) ф /г(х).
Преобразованиями обобщенной однотипности называются замена переменной или самой функции на ее отрицание и перестановка переменных. Функции, получаемые друг из друга конечным числом преобразований обобщенной однотипности, называются обобщенно однотипными.
Повторная функция в базисе В называется слабоповторной, если любая ее подфункция бесповторна в этом базисе. В. А. Стеценко [1] получил все пять семейств слабоповторных функций в элементарном базисе BQ = {&, V, -■} с точностью до обобщенной однотипности:
/| = хг(х2 V х3 ... xs) V х2х3 ...xs,
// = Х1Х2 ■ ■ -Xs V Х1Х2 ■ ■ -xs, s ^ 2,
,fm=X i(x2V ...V XS)V X2...XS, S 3,
/4 = xi(x2 V x3) V Ж3Ж4,
/5 = Ж1(Ж3Ж4 V x5) V x2(x3 V Ж4Ж5).
Для доказательства повторности любой функции в элементарном базисе достаточно предъявить четыре или шесть наборов [2]. Для доказательства повторности функции п переменных в базисе, содержащем вдобавок к элементарному функцию //, в худшем случае требуется fi(ns-1) наборов [3]. В настоящей работе рассматриваются базисы Bsd = {&, V,-i, /|}. Обозначим через Ts(n) функцию Шеннона [4] для длины (числа строк) сертификата повторности в базисе Bsd.
Функция ffm является повторной в базисе . Оценим снизу длину сертификата, учитывая необходимость отличать функцию ffm от всех бесповторных конъюнкций функций /J и иных бесповторных функций, равных единице на нулевом и единичном наборах.
Для этого используем метод разнозначных матриц [5]. Назовем (0 — 1)-матрицу разнозначной, если все ее строки различны, и она не имеет ни нулевых, ни единичных строк. Будем говорить, что функция ф моделирует разнозначную матрицу, если ф(х) = 0 для всех строк х матрицы и ^(0) = ф( 1) = 1.
В разнозначной матрице зафиксируем s столбцов с номерами ii,... ,is. Удалим из матрицы эти столбцы, а также все строки, на которых /¿(ж^,... ,Xis) = 0. В полученной матрице склеим одинаковые строки. Такое преобразование разнозначной матрицы назовем правильным преобразованием, если удалена хотя бы одна строка и полученная матрица является разнозначной.
Лемма 1. В разнозначной матрице с п > 2s столбцами ит ^ строками всегда найдется
s столбцов, по которым можно осуществить правильное преобразование матрицы.
Доказательство. Если число единиц или нулей в некоторых строках не превосходит s, назовем эти значения особыми и пометим столбцы, в которых они расположены. Перестановкой столбцов
1 Факультет ВМК МГУ, проф., д.ф.-м.н., e-mail: dm6Qcs.msu.ru
можно добиться того, чтобы сначала шли помеченные столбцы, а потом — непомеченные. Выделим первый столбец и произвольные 5 — 1 непомеченных столбцов. Они всегда найдутся, так как количество помеченных столбцов не превосходит тя ^ п—5+1. Так как первый столбец помечен, то найдется строка, в которой его значение равно нулю (единице), а на непомеченных 5 — 1 столбцах — единице (нулю). Так как /¿(0, 0,1, 0,..., 0) = /¿(1,1, 0,1..., 1) = 0, в обоих случаях возможно осуществить правильное преобразование по выбранным в столбцам. Лемма доказана. Лемма 2.
ТЬ
Та{п) > - + 1.
в
Доказательство. Нулевой и единичный наборы обязаны входить в сертификат — иначе функция будет совпадать с некоторой конъюнкцией. Предположим, что существует сертификат из т + 2 наборов, где т ^ ^ — 1. Запишем нетождественные наборы в виде разнозначной матрицы и многократно применим к ней лемму 1, последовательно выделяя конъюнкцию функций /|. Действуя таким образом, мы получим моделирующую функцию — конъюнкцию некоторого числа функций /| и, возможно, одной дизъюнкции вида х^Ух^. Получено противоречие с тем, что исходное множество наборов задает сертификат повторности. Лемма доказана.
Лемма 3. Функция Шеннона длины сертификата повторности в базисе В| ограничена сверху линейной функцией.
Доказательство. Для определения повторности всех слабоповторных функций в базисе как и в любом базисе, включающем элементарный и слабоповторную в нем функцию (см. [6, с. 1923]), кроме трех параметрических семейств /^ и при п > 5, достаточно константного числа наборов (тривиальное решение: все наборы слабоповторной подфункции). Обозначим через ег вектор с единственной единицей в г-й позиции.
Для функции /™ предъявим значения на следующих наборах:
/(0) = 1, /(1) = 1, /(е^) = 0, i = (1)
В силу отсутствия подфункций Д по значениям (1) последовательно восстанавливаем нули на 1-х слоях вплоть до (п — 1)-го. Повторная функция /™ восстанавливается однозначно. Для функции /^ предъявим значения
/(е0 = 0, /(в! Ф вг) = 1, ¿^2, (2)
и значения
/(1фе1) = 1, /(1 Ф в! ф вг) = 0, 1,^2. (3)
В силу отсутствия подфункций, обобщенно-однотипных с /¿, на подкубе х\ = 0 по значениям (3) функция /^ однозначно восстанавливается сверху вниз, а на подкубе х\ = 1 по значениям (2) — снизу вверх.
Для функции /2 предъявим значения
/(1) = 1, /(1 Ф вг) = 0, 3, (4)
и значения
/(0) = 1, /(е^) = 0, г^З. (5)
Кроме того, добавим два значения:
/(е0 = 1, /(е2) = 0. (6)
По значениям (4) в силу отсутствия подфункций /¿г однозначно восстанавливается подфункция на подкубе х\ = 1, жг = 1, а по значениям (5) — на подкубе х\ = 0, жг = 0. Отсутствие тех же подфункций и значения (6) позволяют установить / = 0 для х\ = 0, жг = 1 и / = 1 для х\ = 1, жг = 0. Функция таким образом восстанавливается полностью.
В первом случае мы использовали п + 2 набора, во втором — 2п, в третьем — также 2п. Лемма доказана.
Из лемм 2 и 3 следует Теорема.
%(п) = @(п).
Функции /2 и /™ неполяризуемы и их повторность в поляризуемых базисах доказывается на четырех наборах. Сертификат леммы 3 годится для установления повторности /^ в базисах Ва и {/4};
A)U{/4} и BQU{f5}. Поэтому после решения вопроса о скорости роста функции Шеннона для базисов
i?o U {//} в [3] и для базисов BQ U {/J} осталось установить нижние оценки для длины сертификата
повторности в поляризуемых базисах BQ U {/4}; A) U {/4} и BQ U {/5}-
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Стеценко В. А. О предплохих базисах в Рг // Математические вопросы кибернетики. Вып. 4. М.: Физ-матлит, 1992. С. 139-177.
2. Вороиенко А. А., Федорова В. С., Чистиков Д. В. Повториость булевых функций в элементарном базисе // Известия ВУЗов. Математика. 2011. № 11. С. 72-77.
3. Chistikov D., Fedorova V., Voronenko A. Certificates of non-membership for classes of read-once functions // RuFiDim II. TUCS Lecture Notes. N 4. Turku: Turku University, 2012. P. 48-53.
4. Shannon C.E. A symbolic analysis of relay and switching circuits // Trans. AIEE. 57. 1938. P. 713-723.
5. ВороненкоА.А. О сложности доказательства повторности булевых функций в бинарном базисе // Прикладная дискретная математика. 2011. № 3(13). С. 12-16.
6. Шаранхаев И. К. Слабоповторные булевы функции в предэлементарных базисах: Дисс. канд. физ.-мат. наук. Иркутск, 2003. 134 с.
Поступила в редакцию 13.05.13
ON SHANNON FUNCTION FOR READ-MANY CERTIFICATE LENGTH IN ONE BASES FAMILY Voronenko A. A.
Consider the following problem: given an n-argument function. We need to find a collection of vectors (certificate), proving a given function beeing read-many in a given basis B. It is shown that corresponding Shannon function grows as linear for any basis of conjunction, disjunction, negation and «-argument discriminator.
Keywords: read-once function, discriminator, non-constant rows matrix.
