О формуле Милнора для объема идеального гиперболического октаэдра Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.132

О ФОРМУЛЕ МИЛНОРА ДЛЯ ОБЪЕМА ИДЕАЛЬНОГО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ОКТАЭДРА*)

Г, А. Байгонакова, А. Д. Медных

1. Введение

Объемы тетраэдров и некоторых других многогранников в гиперболическом пространстве Н3 как функции двугранных углов выражаются через функцию Лобачевского (см. [1-7]).

Функция Лобачевского Л (ж) определяется формулой

Функция Л(ж) нечетная, периодическая с периодом п и дифференцируемая всюду, кроме точек пп, где п = 0, ±1, ±2,... (рис. 1). Максимальное значение функции достигается в точке в = п/6 и равно Л(п/6) = 0.5247....

Рассмотрим идеальный тетраэдр в гиперболическом пространстве Н3. Напомним, что гиперболический многогранник называется идеальным, если все его вершины лежат на бесконечности. Хорошо известно [8], что двугранные углы такого тетраэдра при скрещивающихся ребрах

п

Следующие две теоремы доказаны Дж. Милнором [9].

*) Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 09-01-00255), АВЦП развития научного потенциала высшей школы (проект 2.1.1/3707) и фцд (проект 02.740.11.0457).

@ 2010 Байгонакова Г. А., Медных А. Д.

x

0

Рис. 1. Функция Лобачевского.

Теорема 1.1. Объем идеального гиперболического тетраэдра Т = Т(А, В, С) с углами А, В, С (А + В + С = п) вычисляется по формуле

Уо1(Т) =Л(А)+Л(В)+Л(С),

где Л(х) — функция Лобачевского.

Теорема 1.2. Максимальный объем идеального гиперболического тетраэдра достигается при А = В = С = п/Ъп равен

Уо1(Т) = ЗЛ(п/3) = 2Л(2п/6) = 1.01494....

Рис. 2. Рис. 3.

Цель настоящей работы — обобщить указанные результаты Милнора на случай идеального симметрического октаэдра.

В пространстве Н3 рассмотрим идеальный симметричный октаэдр О с попарно равными двугранными углами при противоположных ребрах. Обозначим его двугранные углы через А, В,С,В,Е и Е так, как указано на рис. 3.

О

евклидовой геометрией, имеем следующие равенства:

С = п - А, В = п - В, ^ = п - Е. Из последних равенств, в частности, заключаем, что А, В, С, В, Е, Е €

Объем октаэдра О определяется следующей теоремой.

Теорема 2.1. Объем идеального симметричного гиперболическо-О

доказательство. Соединим верхнюю и нижнюю вершины окта-О, О

занная прямая служит общим ребром.

2. Основные результаты

А + В + С+ В = 2п, А + С+ Е+ Е= 2п,

В+В+Е+Е= 2п.

Отсюда

(о, П.

Следуя [10], рассмотрим орисферу с центром в верхней точке октаэдра и спроектируем на нее полученные тетраэдры. Тогда общее ребро этих тетраэдров проектируется в некоторую точку б, лежащую на орисфере, а ребра с двугранными углами A, B,C, D — в точки со-

ответственно. Поскольку двугранные углы при

противоположных ребрах каждого из четырех идеальных тетраэдров равны, мы знаем значения углов E, F, E, F при вершине б в евклидовом четырехугольнике séSS^О). Обозначим углы, как показано на рис. 4.

По теореме синусов

sin х _ 6D sin у _ б A sin z _ б В sint _ б С sint' б A sinx' 6B sin y'

Перемножая равенства, получим

sinx sin y sinz sint sin t' si nx' si ny' si nz'

Из четырех треугольников на рис. 4 имеем

x + t' + F = п, y + x' + E = п, z + y' + F = п, t + z' + E = п,

x x' A, y y' B, z z' C, z z' D.

x

углы через x и диэдральные углы октаэдра O Учитывая, что C = п — A, D — п — B и F = п — E, имеем

x = x, x' = A — x, y = п + x — A — E, y ' = —п — x + A + B + E,

z = п H- x — A — B, z ' = —x + B, t = ^x — B — E, t' = —x + E. Из основного уравнения (1) для x = —u получим

sin u sin(A + B + u) sin(A + E + u) sin(B + E + u)

.

sin(A + u) sin(B + u) sin(E + u) sin(A + B + E + u)

.

Последнее уравнение эквивалентно следующему:

(соэ (А + В) - сов (А + В + 2м))(соз(А - В) - сов (А + В+ 2Е + 2 и)) _ (со в(А -В) - со в(А +В + 2м))(сов(А + В) - со в(А + В+ 2Е + 2м)) ~ '

из которого непосредственно вытекает, что

сов(А +В+ 2и) - сов(А + В + 2Е + 2и) = О,

или

2 вш Евт(А + В + Е + 2и) = 0.

Поскольку Е € (0, П, то втЕ ф 0. к переменной ж,

имеем

вт(А+В + Е - 2х) = 0.

Следовательно,

= ^ + ^ + кп,

где к — некоторое целое число. Заметим, что для А = В = Е = Щ справедливо равенство х = Это случай правильного идеального октаэдра. Следовательно, к = -1 и

А+В+Е-п х=---.

Симметричный октаэдр состоит из двух конгруэнтных идеальных тетраэдров с углами

А + В + Е - п . -А - В + Е - п

X = -, t = -, Р = 7Г — Е

2 2

и двух конгруэнтных идеальных тетраэдров с углами

. А-В-Е + п -А + В -Е + п

х = -, у = - и Е.

2 ' У 2

п - Е Е .

Установим аналог второй теоремы Милнора.

Теорема. Максимальный объем идеального симметричного октаэдра в Н3 достигается при А=В = С= В = Е = Е = п/4и равен

Уо1(0) = 4Л(п/4) = 3.66386 ....

Доказательство. Воспользуемся формулой для объема V = V(О) из теоремы 2.1. Вычисляя производную функции V по А, имеем

va = - log

- log

2 sin ■

•A + B + E

2 sin ■

2 sin ■

A-B-E

= log

log + log

2 sin t-a-b+e gin k-a+b-e

- A - B + E

2 sin ■

-A+B-E

2 sin k+A+B+E sin ^A-B-E

= log

cos(-B + E) — tos(n - A)

= log

B -E) - A

B + E) - A

cos(B + E) — tos (n + A)

Из равенства V' = 0 следует, что либо cos(B — E) = cos(B + E), либо cos(B — E) + cos(B + E) + 2 cos A = 0. В первом случае sin B sin E = 0, что невозможно, поскольку A, B £ (0,п).

B E A

Аналогично из уравнений Vb = 0 и V¿ = 0 имеем соответственно равенства eos A tos E + cos B = 0 и cos A tos B + cos E = 0. Полагая x = cos A, y = cos B и z = cos C, приходим к следующей системе уравнений:

x = yz, y = xz, z = xy.

Поскольку z = —xy, имеем x(l — y2) = 0 и y(l — x2) = 0. Так как 1— x2 = sin2 ^^и 1— y2 = sin2 ^О^о^Ои^О. Следовательно, и z = — xy = 0.

В результате получим cos A = cosB = cosE = 0, откуда A = B = E = Ц. Поскольку в этой точке

V'' — V'' — V'' — 9 V'' — V'' — V'' — n

vaa — vbb — vee — — z, VAB — VAE— VBE ~ u,

V.

Теорема доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Винберг Э. В. Геометрия-2. М.: ВИНИТИ, 1988. Современные проблемы математики. (Итоги науки и техники).

2. Деревнин Д. А., Медных А. Д. О формуле объема гиперболического тетраэдра // Успехи мат. наук. 2005. Т. 60, № 2. С. 159-160.

3. Деревнин Д. А., Медных А. Д., Пашкевич М. Г. Объем симметричного тетраэдра в гиперболическом и сферическом пространствах // Сиб. мат. журн. 2004. Т. 45, № 5. С. 1022-1031.

4. СЪо Yu., Kim Н. On the volume formula for hyperbolic tetrahedra // Discr. Comput. Geom. 1999. V. 22. P. 347-366.

5. Kellerbals R. On the volume of hyperbolic polyhedra // Math. Ann. 1989. V. 285. P. 541-569.

6. Murakami X, Yano M. On the volume of a hyperbolic and spherical tetrahedron // Comm. Anal. Geom. 2005. V. 13. P. 379-200.

7. Usbijima A. A volume formula for generalized hyperbolic tetrahedra // Non-Euclidean geometries. Math. Appl. 2006. V. 581. P. 249-265.

8. Thurston W. P. The Geometry and topology of three-manifolds. Princeton: Princeton Univ. Math. Dept., 1978.

9. Miinor J. Hyperbolic geometry: the first 150 years // Bull. Amer. Math. Soc. 1982. V. 6, № 1. P. 9-24.

10. Mobantv Ya. Hyperbolic polyhedra: volume and scissors congruence. Ph. D. in Mathematics, UCSD, 2002, 123 pp.

г. Горно-Алтайск, г. Новосибирск

20 ноября 2010 г.